第5章 分式（复习课件）数学新教材浙教版七年级下册

该初中数学单元复习课件系统梳理了分式的概念、基本性质、四则运算及分式方程的解法与应用，通过单元知识图谱将分式与整式除法的联系、性质与运算的逻辑、方程与实际问题的建模等核心内容串联，构建完整知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”分层复习策略，如分式方程应用中结合工程、行程问题实例，培养学生数学思维（运算能力、推理意识）和数学语言（模型意识），不同难度题目满足个性化需求，助力学生巩固知识，教师高效开展复习教学。

单元复习课件 第5章 分式 新教材浙教版·七年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 3. 异分母分式的加减运算，通分找最简公分母、化简过程易出错；分式混合运算的顺序、符号处理、因式分解与分式化简的综合运用；分式方程增根的理解，理解去分母变形不是等价变形，掌握必须验根的原因；根据实际问题列分式方程，找准等量关系，建模解题。 1. 理解分式的概念；掌握分式的基本性质；掌握分式的乘、除、加、减运算法则；理解分式方程的定义，掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，理解增根产生的原因，掌握验根方法；能利用分式方程解决简单的实际问题。 2. 分式的概念及分式有意义、值为0的条件；分式的基本性质，分式的约分与通分；分式的四则运算与混合运算；分式方程的解法及实际应用。 单元学习目标 单元知识图谱 考点一、分式的意义 1．概念：如果把写成 的形式，其中都是 ，且中含有 ，那么代数式就叫做分式。 整式 字母 注意：分式必须具备三个条件 （1）必须是的形式； （2）必须是整式； （3）中必须含有字母． 考点串讲 考点一、分式的意义 2．分式有意义：在分式中，当 时，分式有意义。 反之，当 时，分式无意义。 3．分式的值为0：在分式中，当分式的分子为 ，且分母 时，分式的值为0. 0（即） 不为0（即） 方法总结:分式有意义的条件是分母不为零.如果分母是几个因式乘积的形式，则每个因式都不为零. 考点串讲 1．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一 . 的整式，分式的值不变，即 , （其中是不等于零的整式 ）。 考点二、分式的基本性质 不等于零 2．约分：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中除1以外的 约去，叫做分式的约分。 公因式 注：约分要约去分子、分母所有的公因式。当分式的分子与分母是多项式时，应先把多项式进行因式分解，再约去公因式。 考点串讲 考点二、分式的基本性质 3．最简分式：一个分式的分子与分母，没有公因式，我们称这个分式为最简分式。 注：分式约分的结果应当是最简分式或整式。 约分的基本步骤: （１）若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂； （２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式． 考点串讲 考点三、分式的乘除 1．分式的乘法法则：分式乘分式，把分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 。 2. 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子与分母颠倒位置后，再与被除式相乘，即 。 3．分式的乘方法则：就是把分式的分子、分母各自乘方，即 。 （为正整数，其中） 考点串讲 考点三、分式的乘除 分式乘除法的注意事项 1.先定符号，再计算。 2.整式与分式相乘，要把整式看作是分母为“1”的式子。 3.多项式除以多项式。先变为乘法，再因式分解化简。 4.结果化为最简分式。 考点串讲 考点四、分式的加减 1.同分母分式相加减：分母不变，分子相加减，即 . 2.异分母分式相加减：先把它们通分 ，变为同分母分式，再加减，即 . 3.通分：利用分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整式（即 ），把几个异分母的分式化成同分母分式的变形，叫做分式的通分 . 最简公分母 注：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，即最简公分母。 当分母是多项式时，应先将分母分解因式，再找最简公分母。 考点串讲 考点四、分式的加减 分式的加减法的解题步骤 （1）异分母先转化为同分母，再加减； （2）分母不变，把分子相加减. ①如果分式的分子是多项式，一定要加上括号； ②如果分子是单项式，可以不加括号. （3）分子相加减时，应先去括号（注意是否需要变号），再合并同类项. （4）多项加减时，按照从左到右依次计算. （5）最后的结果，应化为最简分式或者整式. 考点串讲 考点五、分式的混合运算 分式的混合运算：先算 ，再算 ，最后算 ，有括号的 。 乘方 乘除 加减 先算括号里面的 易错提醒： 1. 最终结果必须是最简分式/整式，彻底约分； 2. 分母不能为0，含字母分母要保证有意义； 3. 结果一般不用带分母小数、带分数，统一为整式或纯分式； 4. 不要跳步，尤其符号、括号、通分步骤； 5.添（去）括号要注意括号前的符号； 5. 切勿“分母单独加减约分”（典型错误）； 6. 整式和分式运算：把整式看成分母为1的分式再计算； 考点串讲 考点六、分式方程 分式方程：分母中含有未知数的方程叫作分式方程 。 解分式方程的步骤 1.去分母：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2.解方程：解这个整式方程. 3.检验：把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；如果最简公分母的值为0， 原分式方程无解，该解称为增根。 4.写解：写出原方程的根. 简记为：“一去二解三检验”. 产生增根的原因: 化分式方程为整式方程时，扩大了未知数的取值范围。 考点串讲 考点七、分式方程的应用 考点串讲 考点七、分式方程的应用 列分式方程解应用题的步骤 1.审题：弄清题意，找出问题中已知量、未知量之间的等量关系；借助图表分析过程. 2.设元：根据题中的数量关系，将某一未知量用字母表示，并用含该字母的代数式表示相关未知量. (可设直接元、间接元、辅助元) 3.列式：根据题中的相等关系列出一元一次方程. 4.求解: 解出一元一次方程的根. 5.检验: 看所得的解是否是分式方程的根，是否符合题意。 6.作答: (完整性，注意单位). 简记：审、设、列、解、验、答 考点串讲 题型一、分式的概念 例1 在代数式，，，，中，分式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 解：∵ 分式的定义为：若是整式，且中含有字母（），则是分式. ：分母含字母，是分式； ：分母含字母，是分式； ：分母是常数，不含字母，不是分式； ：分母含字母，是分式； ：分母含字母，是分式； ∴ 分式的个数为. 解析：依据分母中含有字母的代数式是分式，分母不含字母的不是分式。 C 题型剖析 解： ∵分母不含有字母，是整式， 中分母含有字母，是分式， ∴整式有3个，分式有3个． 故答案为：3，3． 练一练 下列代数式中，，整式有 个，分式有 个． 题型一、分式的概念 题型剖析 题型二、分式有（无）意义、值为零的条件 例2 分式中，自变量的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解：分式中，分母，所以． 故选：B． 解析：考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为零求解即可． B 题型剖析 解：∵分式的值为0， ∴且， 解，得或， 由，得， ∴． 练一练 分式的值为0，则x的值是（    ） A． B．0 C．2 D．2或 C 题型二、分式有（无）意义、值为零的条件 题型剖析 题型三、最简分式与最简公分母 例3 下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 解：A、，可约分，所以不是最简分式； B、，可约分，所以不是最简分式； C、，可约分，所以不是最简分式； D、中， 分子无法因式分解，与分母无公因式，所以是最简分式． 解析：考查最简分式，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．分别检查各选项的分子和分母是否能约分． D 题型剖析 练一练 分式与通分时，分子、分母要同时乘（   ） A． B． C． D． 解：第一个分式的分母， 第二个分式的分母， 最简公分母需包含所有唯一因式：，即最简公分母为． 因此，通分时分子、分母要同时乘． 题型三、最简分式与最简公分母 C 题型剖析 题型四、分式的基本性质 例4 下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 解：A: ，选项分式变形错误，不符合题意； B: ，选项分式变形错误，不符合题意； C: ，选项分式变形错误，不符合题意； D: （其中），选项分式变形正确，符合题意； 解析：通过因式分解和分式的基本性质，检查每个选项的变形是否正确即可得到答案 题型剖析 练一练 若分式的分母经通分后变为，则分子应变为 ． 解：， 因此分子应变为：， 故答案为：． 题型四、分式的基本性质 题型剖析 题型四、分式的基本性质 练一练 如果分式中的和的值都扩大为原来的 3倍，则分式的值（ ） A.扩大为原来的3倍 B.不变 C.缩小为原来的 D.缩小为原来的 解题思路：根据分式的基本性质。当分式的和都扩大为原来的3倍，即原分式变为，其中分子、分母中的 3均可以约去。 B 题型剖析 题型四、分式的基本性质 练一练 已知，。求 的值 。 解：原式= = = = 当，时 ，原式== 解题技巧：先化简，再代入。 易错点：注意符号，特别是“-”时，去括号每项都要变号。 题型剖析 题型五、分式的混合运算 例5 计算： (1)； (2) （1）解：原式； 解析：考查了分式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再算乘法即可解答； （2）先计算除法，再算减法即可． （2）解：原式 ． 题型剖析 练一练 化简：． 解： ． 题型五、分式的混合运算 题型剖析 题型六、解分式方程 例6 解下列分式方程 （1） （2） 解：(1)去分母，方程两边同时乘以最 简公分母， 得. 即 经检验，是原分式方程 的根。 解：(2)去分母，方程两边同时乘以最 简公分母， 得. 即 经检验，是原分式方程 的根。 题型剖析 题型六、解分式方程 练一练 解方程： 解：(1)去分母，方程两边同时乘以最简公分母， 得. 即 经检验，是原分式方程的增根。 ∴原分式方程无解。 题型剖析 例7 若关于的分式方程：的解为正数，则的取值范围为（   ） A．且 B． C． D． 解：∵方程， 移项得， 两边乘（注意） 得， 展开得， 移项得， 题型七、分式方程的解 解析：考查分式方程的解及限制条件，注意分母不为零．首先解分式方程，得到解，然后根据解为正数且分母不为零，得到不等式和限制条件． ∴， ∵解为正数，∴即 ， ∵ 分母，∴， 即，∴， ∴ 且， A 题型剖析 练一练 已知关于的方程，解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 解：∵方程， ∴分母，即． 方程两边乘得：， 移项得：． 当时，． 因为解为负数，即， ∴． 题型七、分式方程的解 B ∵分子， ∴分母，即． 当时，方程无解，不符合题意． 又∵，即， ∴， 综上，当时解为负数． 故选B． 题型剖析 练一练 若关于y的分式方程的解为整数，且是一个完全平方式，则满足条件的整数a的值为 ． 解：关于的分式方程的解是，且解为整数，a为整数， 或且， 解得或或或， 而当时，分式方程有增根， ， 或或， 是一个完全平方式， ， 或， 故 题型七、分式方程的解 -2 题型剖析 练一练 若关于x的分式方程无解，则m的值为（   ） A． B． C． D．2 解：， ， 方程有增根时，代入得，解得：， ∴当时，分式方程无解， 故选：A． 题型七、分式方程的解 A 题型剖析 题型八、分式方程的应用 例8 从广州某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍． (1)求普通列车的行驶路程； (2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间短3小时，求高铁的平均速度． 解：(1)400×1.3=520（千米） 题型剖析 题型八、分式方程的应用 (2)设普通列车平均速度为千米/小时，则高铁的平均速度为2.5千米/小时。 根据题意，得=3 解得 经检验，是原分式方程的解。 ∴2.5=300. 答：普通列车的行驶路程为520千米；高铁的平均速度为300千米/小时。 题型剖析 题型八、分式方程的应用 练一练 某施工队挖掘一条长90米的隧道，开工后每天比原计划多挖1米，结果提前3天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖米，则依题意列出正确的方程为（ ） C A. B. C. D. 题型剖析 题型八、分式方程的应用 练一练 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支.求第一次每支铅笔的进价是多少元？ 解：设第一次每支铅笔进价为。 根据题意，得=30 解得 经检验 ，是原分式方程的解。 答：第一次每只铅笔的进价为4元。 题型剖析 1.若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C． D． 考查分式方程的解 解：∵方程， 去分母，两边乘以得：， ∴， 整理得：， ∴， ∵增根为， ∴， ∴， ∴． 故选：B． B 针对训练 2.已知：，求的值。 考查消元法 解：∵，所以。 ∴原式==。 针对训练 3.已知，，则的值为 ． 考查分式的变形 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． -2 针对训练 4.先化简，再求值。，并在-2，-1,0,1,2中选取一个合适的数作为的值，并求出原式的值。 考查先化简再求值 解：原式= . ∵原式中分母不能为0. ∴可选的数只有； 当时，原式=1。 针对训练 5.观察发现：；；根据你发现的规律，回答下列问题： (1)利用你发现的规律计算：． (2)灵活利用规律解方程：． 考查分式裂项 针对训练 考查分式裂项 （1）解：由题意得：． ∴ ． （2）解：∵，，…，， 针对训练 考查分式裂项 ∴ ． ∴． ∴或． 经检验，当时，；当时，． ∴是的解． 针对训练 6.阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ∴ ∴的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． (3)已知，，，求的值． 考查分式的倒数法 针对训练 考查分式的倒数法 （1）解：∵，可知， ∴， ∴， ∴； （2）由， ∴，即， 则 ； 针对训练 考查分式的倒数法 （3）解：依题意，∵，，， ∴ ∴，即 ∵ ∴． 针对训练 7.定义新运算“◎”：，如果，那么x的值为（    ） A．1或2 B．1或3 C．2 D．3 考查新定义问题 解：∵ ， 当 时，， 解得 ， 经检验，是方程的根，且符合题意； 当时，， 解得 ， 经检验，是方程的根，且符合题意； ∴ 的值为1或3． 故选：B B 针对训练 8.为了进一步美化两江新区鹿山公园绿化环境，公园管理委员会计划种植A、B两种名贵树苗，于是在今年11月购买了40株A树苗和50株B树苗，共花费了4300元，已知A树苗的单价比B树苗的单价少5元． (1)请问11月份A、B两种树苗的单价分别是多少元？ (2)由于A、B两种树苗种植效果较好，公园管理委员会决定12月份再购买A、B两种树苗进行种植，且这次购买两种树苗的数量相同，由于市场原因，此时两种树苗的单价都有所上涨，A树苗上涨后的单价比B树苗上涨后的单价少10元，12月份购买A树苗花了2800元，购买B树苗花了3360元．请问A树苗上涨了多少元？ 考查分式方程的应用 针对训练 考查分式方程的应用 （1）解：设B树苗的单价为x元，则A树苗的单价为元， 由题意可得：， 解得：， 则元． 答：A树苗的单价是45元，B树苗的单价是50元． 针对训练 考查分式方程的应用 （2）解：设12月份 A 树苗上涨后的单价为y元，则 B 树苗上涨后的单价为元． 由题意可得： ， 解得：． 经检验，是分式方程的解． 所以A 树苗上涨的金额：元． 答：A树苗上涨了5元． 针对训练 课堂总结 感谢聆听! $