基本功专练(4) 与切线的判定与性质有关的计算与证明（阶段小测）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

基本功专练（四）与切线的判定与性质有关的计算与证明 （时间：40分钟满分：60分) 1.(6分)如图，MP切⊙O于点M,直线PO交 (2)求直径BC的长 ⊙O于点A,B,弦AC∥MP.求证：OM∥BC. M 2.(6分)如图，AB为⊙O的直径，如果⊙O 上一点D恰好使∠ADC=∠B.求证：直 线CD与⊙O相切. 4.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°. (1)先作∠ACB的平分线，交AB边于点 P,再以点P为圆心，PA的长为半径 作⊙P;(要求：尺规作图，保留作图痕 迹，不写作法) (2)请你判断(1)中BC与⊙P的位置关 系，并证明你的结论 3.(8分)如图，PA,PB分别与⊙O相切于 点A,B,AC为弦，BC为⊙O的直径.若 ∠P=60°，AC=2cm. (1)求证：△PAB是等边三角形； ·21· 5.(10分)如图，AB为⊙O的弦，C为AB的 (2)若AE=4,AC=8,求两个绳柄A,B 中点，过点C作CD∥AB,交OB的延长 之间的距离. 线于点D,连接OA,OC (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若OA=3,BD=2,求△OCD的面积. D 7.(12分)如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB 于点O,交⊙O于点C,D为OB上一点， 连接CD并延长，交⊙O于点E,延长OB 至点F,使DF=EF. (1)求证：EF为⊙O的切线； (2)若BD=BF,OD=1,求⊙O的半径. 6.(10分)抖空竹在我国有着悠久的历史， 是国家级非物质文化遗产之一，为弘扬传 统文化，某校将抖空竹列入了体育课程. 在学习了圆之后，数学兴趣小组的同学们 对抖空竹进行了探究，示意图如图所示. 已知绳AC,BD分别与空竹⊙O相切于点 C,D,且AC=BD,连接左右两个绳柄A, B,AB经过圆心O,且交⊙O于点E,F. (1)求证：AE=BF; D ·22·(2):y=x2十x,∴y一x=x.又：一1≤x≤3，.当x=3时，yx取最大值，最大值是 9,.函数y=x2十x(-1≤x≤3)的“纵横最大差”为9.(3)y=-x2十(2h十1)x,∴y -x=-x2+2hx=-(x-h)2+h2.由题意，得当-1≤x≤3时，y-x=-(x-h)2十h2 的最大值为4.分以下三种情况进行讨论：①若h<一1，侧当x=一1时，y一x有最大值 为4，.一1-2h=4,解得h=-2.5.②若-1≤h≤3，则当x=h时，y-x有最大值为 4,∴.h2=4,解得h=2或h=-2(舍去).③若h>3,则当x=3时，y-x有最大值为4， -9十6h=4,解得么=号（舍去）.综上所述，h的值为2或-25. 基本功专练（三）二次函数的实际应用 1.解：(1)5(2)由(1)可知h=-5+5t+1.92=-5(t-)+3.17,当=2时， h有最大值，最大值为3.17.答：实心球离手号s时，离地面的高度最大，最大高度为 3.17m2.解：1)根据题意，得y=(24-3x)=-3+24红（号<<8）(2)由1. 得y=-3x+24红=-3x-4+48:-3<0,号<x<8当x=普时y有最大 值，最大值为-3×（告-4）十48=46号.∴当AB的长为号m时，花圈的面积最大， 最大面积是46号m.3解：1)由题意，得0=(48-30-)(50十50)=-50(x 4)2+9800.(2)由(1)，得w=-50(x-4)2十9800.：-50<0，∴.当x=4时，0有最大 值，最大值为9800..当降价4元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大，最大利润 为9800元.4.解：(1)由题意，得抛物线的顶点为(3,0)，∴.设抛物线的函数解析式为 )ax一3).将(0,1.2)代人，得9a=1.2.a=忌抛物线的函数解析式为y 号Cx-3,2)由题意，得点F的横坐标为4，将x=4代人y号x3),得y号 (4一3)2=号÷该同学最低要跳过号m,才能让绳安全通过。5解：1由题意，得M (8,0),P(4,4).设抛物线的函数解析式为y=a(x一4)2+4.把M(8,0)代入，得0=16a 十4，解得a=-子∴这条抛物线的函数解析式为y=一十(x一4)十4.(2)该双车道 能同时并行两辆宽1.8m,高1.5m的车辆.当x=4-1-1.8=1.2时，y=-子× 1.2-4)+4-}>1.5∴该双车道能同时并行两辆宽1.8m高1.5m的车辆。 6.解：(1)由题意易得点H的坐标为(0,1.6)，点A的横坐标为2，纵坐标为1.6十0.2= 1.8,设L1:M=a(x-2)+1.8,将H(0,1.6)代入，得1.6=4a+1.8a=一20L1 1 1 的函数解析式为y=一20(x-2)+1,8.当y=0时，0=一20(x-2)+1.8,1=8, x2=-4(舍去)，∴.喷出水的最大射程OC为8m.(2)当d=4时，根据题意，得E(7,0), F7,0.6当x=7时n=-2元×(7-2)+1.8=0.55.0.55<0.6，当d=4 时，灌溉车在行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带」 阶段微测试（四） 1.A2.D3.A4.D5.B6.A7.>8.x<0或x>29.3210.b=-4或b >-311.解：(1)把(2,3)代入y=x2-mx十1，得3=4-2m十1，解得m=1.(2)不经 过，理由如下：由(1)，得y=x2一x十1.当x=一2时，y=(一2)2一（一2）十1=7≠5， .该二次函数的图象不经过点(-2,5).12.解：(1)设抛物线的函数解析式为y=ax +3.5.4-2.5=1.5(m),.抛物线过点(1.5,3.05).把(1.5,3.05)代入y=ax2+ 3.5,得2.25a十3.5=3.05，解得a=-0.2.∴.抛物线的函数解析式为y=-0.2x2十 3.5.(2)在y=-0.2x2十3.5中，当x=-2.5时，y=-0.2×(-2.5)2+3.5=2.25 答：球出手时离地面的高度是2.25m.13.(1)证明：令y=0,则x2一3mx十m一1= 0.,△=（一3m)2一4×1×(m2一1）=5m2十4>0，∴.方程有两个不相等的实数根.∴.二 次函数y=x2-3mx十m2一1的图象与x轴总有两个交点.(2)解：由题意，得x1,x2是 方程x2-3mx十m2一1=0的两个根，.x1十x2=3m,x1x2=m2一1.AB=3, .x1一x2=3..(x1-x2)2=(十x2)2-4x1x2=(3m)2-4(m2-1)=9,解得m= 士1.14.解：(1)：抛物线y=x2一(k十1)x十1的顶点A在x轴的负半轴上， :4X1X1-Ck十1D1=0,且-二6卫<0，解得k=-3.(2)由(1)，得抛物线的 4×1 2 函数解析式为y=x2十2x十1.令x2十2x十1=一x十1，解得x1=0,x2=-3.当x=-3 时，-x十1=4；当x=0时，-x十1=1.∴.B(-3,4),C(0,1).设直线y=一x十1与x 轴的交点为D,则D(1,0).:y=x2十2x十1=(x十1)2，.A(-1,0),.AD=2. ∴Sam=Sam-Sam=合×2X4-合X2X1=3. -85 阶段微测试（五） 1D2.B3D4.C5.D6.C7y=(答案不唯-)8-29.>0或K -310.4√2十411.解：：反比例函数y=mxn-5的图象经过第二、第四象限， ∴m-5=-1,且m<0,解得m=一2.该反比例函数的解析式为y=一子 12.解：1)把8，-2》代入y=冬得-2=令，解得长=一6，反比例函数的解析式为 y=- 兰(2)如图所示。 13.解：(1)把A(1,t+1),B(t-5,-1)代入 为=婴得仁1m: {-(t-5)=m, 解得2，A(1,3),B(-3,-1),反比例函数的解析式为 m=3. -是把A1.8.B队-3-D代入=红6得2-1，解得合 次函数的解析式为y=x十2.(2)-3<x<0或x>1,14.解：(1)把A(-2,m)代入y 只得m=-号=5.“点A的坐标为(-2.5).把A(-2,5代人y=一号十6： 得5=1十b,解得b=4.一次函数的解析式为y=-号x十4，把B(4,)代入y 司十4，得n=-2十4=2.点B的坐标为4,2》.把B4,2)代入y=兰，得表=4× 2=8∴反比例函数的解析式为y=三(x>0.(2)把x=0代入y=一子x十4，得y 4.∴点C的坐标为(0,4).Sae=Se十Sx=0C·(x-x)=号×4X (4+2)=12. 阶段微测试（六） 1A2.C3C4B5D6D7.08169.(0,25-010791.解： (1)如图，△ABC即为所求.C(3,3).(2)如图，△AB,C2即为所求.B2(3,-4). 12.解：(1)由旋转的性质，得∠B=∠E=30°，∠ACB=180 一∠B一∠A=80°..旋转角的度数为80°.(2)由旋转的性质，得DC=AC=3,CB=CE =5,∴.BD=CB-DC=2.13.解：(1)如图，点O即为所求. (2)15 (3)四边形ACDF是平行四边形.理由如下：由题意，得OA=OD,OC=OF,.四边形 ACDF是平行四边形.14.(1)证明：，△ABC是等边三角形，.BA=BC,∠ABC= 60°.由旋转的性质，得BD=BE,∠DBE=60°，.∠ABC-∠CBD=∠DBE-∠CBD, 即∠ABD=∠CBE.∴.△ABD≌△CBE(SAS).∴AD=CE.(2)解：AD=CE,AC= BC=6,.CE+CD=AD+CD=AC=6.,BD=BE,∠DBE=60°，∴△DBE是等边三 角形..DE=BD=5.5.∴.△DCE的周长是DE十CE+CD=11.5,15.解：(1)中心 轴(2)如图所示.（答案不唯一） 阶段微测试（七） 1.A2.B3.A4.D5.C6.D7.98.35°9.30°10.4√5或2511.证明： (1)AB=CD,∴.AB=D.∴.AB-AC=⊙D-AC,即C=AD.(2)C=AD, ∴·∠B=∠D.∴.EB=ED.12.解：(1)：∠BAC=70°，∠ACB=50°，∠ABC=180 -∠BAC-∠ACB=60.AD=D,:∠ABD=∠CBD=号∠ABC=30 (2)∠CAD=∠CBD=30°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=100°.13.解：(1)如图所 一 86 示 (2)连接OA,OC..∠B=45°，.∠AOC=2∠B=90°..OA2+O =AC..OA=OC,AC=4m,.2OA=16..OA=2√2m,即圆形花坛的半径为2√2m. 14.解：(1)△ABC是等腰直角三角形.证明如下：AC是⊙O的直径，∴.∠ABC=90. :∠ADB=∠CDB,∴AB=C..AB=BC..△ABC是等腰直角三角形.(2)在 Rt△ABC中，BC=AB=√2，∴.AC=√AB+BC=2.:AC是⊙O的直径，∴∠ADC= 90°.在Rt△ADC中，AD=1,AC=2,∴.CD=√AC-AD=3.15.解：(1)连接 OD.设⊙O的半径为r.:AB⊥CD,∴DE=CE=号CD=4.在Rt△ODE中，OE+DE =OD,即(r-2)2十4=r2,解得r=5.∴.⊙O的半径为5.(2)：⊙O的半径为5，∴.AB =10.在Rt△BCE中，'CE=4,BE=AB-AE=8,.BC=√/CE+BE=4√5 OFLBC.:BF-CF-BC-2/5,ZOFB-90.:OF-/OB-BF-5. 基本功专练（四）与切线的判定与性质有关的计算与证明 1.证明：MP切⊙O于点M,.PM⊥OM.又：AC∥MP,∴.OM⊥AC.AB为⊙O的 直径，∠C=90°.∴.BC⊥AC..OM∥BC.2.证明：连接OD.,OA=OD,∠A= ∠ODA.AB为⊙O的直径，∠ADB=90°..∠A+∠B=90°.·∠ADC=∠B, .∠ODA十∠ADC=90°，即∠CDO=90°..OD⊥CD.OD为⊙O的半径，.直线 CD与⊙O相切.3.(1)证明：PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,∴.PA=PB. ∠P=60°，△PAB是等边三角形.(2)解：，△PAB是等边三角形，∴∠PBA= 60°.：PB是⊙O的切线，∴∠PBC=90°.∴∠ABC=∠PBC-∠PBA=30°.BC是 ⊙O的直径，∴.∠CAB=90°..BC=2AC=4cm.4.解：(1)如图所示. (2)BC与⊙P相切.证明如下：过点P作PD⊥BC于点D.:CP平 B D 分∠ACB,且PA⊥AC,PD⊥BC,.PA=PD..PD是⊙P的半径..BC与⊙P相切. 5.(1)证明：：C为AB的中点，.AC=BC.∴∠AOC=∠BOC.OA=OB,∴.OC⊥AB. CD∥AB,.OC⊥CD.OC是⊙O的半径，∴.CD是⊙O的切线.(2)解：OA=OC =OB=3,BD=2,∴.OD=OB+BD=5.:OC⊥CD,.∠OCD=90°..CD= √OD=OC=4.∴S△m=之CD·0C=6.6.(1)证明：连接OC,OD.:AC,BD分 别与⊙O相切于点C,D,.∠ACO=∠BDO=90°.AC=BD,OC=OD,.△ACO≌ △BDO(SAS)..AO=BO.OE=OF,∴AO-OE=BO-OF,即AE=BF.(2)解：设 OE=OC=x,则AO=x十4.在Rt△ACO中，AOP=OC2十AC2,即(x十4)2=x2十8，解 得x=6.∴AO=10.∴.AB=20.∴.两个绳柄A,B之间的距离为20.7.(1)证明：连接 OE.:OC⊥AB,.∠COD=90°.：OE=OC,.∠OEC=∠OCE.DF=FE, ∴.∠FED=∠FDE.∠FDE=∠CDO,∠CDO+∠OCD=180°-∠COD=90°， ∠FED十∠OEC=90°，即∠FEO=90°.∴.OE⊥EF.:OE是⊙O的半径，∴.EF为 ⊙O的切线.(2)解：设⊙O的半径为r,则BD=BF=r一1，.EF=DF=2BD= 2(r-1)=2r-2,OF=2BD+1=2r-1.在Rt△FEO中，EF+OE=OF2,即(2m-2)2 十2=(2-1)，解得r=3或r=1(舍去)..⊙O的半径为3. 阶段微测试（八） 1.A2.B3.C4.D5.B6.C7.相交8.39.1210.(1，一1)11.证明：连 接OC.:⊙O与AB相切于点C,.OC⊥AB.:OA=OB,AC=BC.12.解：过点P 作PC⊥OB于点C,则∠0CP=90.:∠A0B=30,0P=24em,∴PC=号OP 12cm.(1)PC=r=12cm,∴.⊙P与OB相切.(2)当⊙P与OB相离时，r<PC,.r 需满足的条件是0cm<r<12cm13.解：(1)连接OA,OF.:正六边形ABCDEF内 接于⊙0，∠A0F=号×360=60.∠APF=号∠A0F=30.(2)连接0P,0E, OD,:正六边形ABCDEF内接于⊙0，∠DOE=号×360=60.：P为E的中 点∠P0E=号∠DOE=30.n=360÷30=12.14.(1)证明：点E是△ABC 的内心，∴.∠BAD=∠CAD,∠ABE=∠CBE.:'∠CBD=∠CAD,∴.∠BAD= ∠CBD.∴∠CBD+∠CBE=∠BAD+∠ABE,即∠DBE=∠BED.∴BD=DE. (2)解：连接CD,:⊙O是△ABC的外接圆，且∠BAC=90°，.BC是⊙O的直径. ∴∠BDC=90°.：E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD.∴.BD=D..BD=CD. 由(I)知BD=DE,∴.BD=CD=DE=3√2.在Rt△BCD中，BC=√BD+CD=6, 87