29.2 的有关性质&29.3 弧长和扇形面积（随堂反馈）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

29.2圆的有关性质 29.2.1垂直于弦的直径 知识梳理 ①圆是轴对称图形，任何一条 所在直线都是圆的对称轴. ②垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧」 ③垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且平分弦所对的 当堂练习 1.下列说法不正确的是 ( A.圆既是轴对称图形又是中心对称图形B.圆有无数条对称轴 C.圆的任意一条直径都是它的对称轴 D.圆的对称中心是它的圆心 2.如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB于点E,且OE=4,OB=8,则AB的长为( ) A.43 B.4 C.6 D.8√3 (第2题图) (第3题图) (第4题图) (第5题图) 3.如图，已知C是弦AB的中点，连接OA,OB.若∠A=40°，则∠BOC的度数是( A.65 B.60 C.55 D.50° 4.如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D,BC=6cm,则OD的长为cm. 5.如图，有一座圆弧形桥拱，桥拱的半径OA=10m,桥拱的跨度AB=16m,则拱高CD 为 m. 6.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E.若AE=CD=8,求⊙O的 半径. ·29· 29.2.2 圆心角 知识梳理 ①顶点在 的角叫作圆心角， ②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等 3在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，所对的 相等. ④在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的 相等，所对的优弧和劣弧 分别相等 当堂练习 1.下列图形中的角是圆心角的是 A B 2.如图，在⊙O中，AB=AC,∠AOB=122°，则∠AOC的度数为 A.122 B.120° C.61° D.58° D (第2题图) (第3题图) (第4题图) 3.如图，在⊙O中，AB=CD,则下列结论错误的是 A.AB-CD B.AC=BD C.∠AOC=∠BOC D.AC-BD 4.如图，点A,B,C,D在⊙O上，且AB=BC=CD.若∠AOB=80°，则∠AOD的度数为 5.如图，AB,CD,EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3.求证：AC=BE=DF ·30· 29.2.3 圆周角 第1课时圆周角定理及其推论 知识梳理 ①顶点在 并且两边都与圆相交的角叫作圆周角 ②圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ③同孤或等孤所对的圆周角 ④半圆（或直径）所对的圆周角是 ,90°的圆周角所对的弦是 当堂练习 1.如图，AD所对的圆周角是 A.∠5 B.∠1和∠2 C.∠3和∠4 D.∠1和∠3 E (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) 2.如图，点A,B,C都在⊙O上.若∠BOC=72°，则∠A的度数为 A.24° B.36 C.40 D.48° 3.如图，AB是⊙O的直径，AC,BC是⊙O的弦.若∠A=20°，则∠B的度数是 A.70° B.90° C.40° D.60° 4.如图，在⊙O中，AD=BC.若∠CEB=80°，则∠A的度数为 5.如图，AB,CD是⊙O的弦.若∠ADB=90°，∠C=45°，AD=2,求⊙O的半径. ·31· 第2课时圆内接四边形 知识梳理 ①如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作 ,这个 圆叫作这个多边形的 ②圆内接四边形的对角 当堂练习 1.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠B十∠D的度数是 A.120° B.180° C.270° D.360 D (第1题图) (第2题图) (第4题图) (第5题图) 2.如图，AB是⊙O的直径，D,C是⊙O上的点，∠ADC=116°，则∠BAC的度数是( A.26° B.30° C.36° D.40° 3.若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠A:∠B:∠C：∠D的值可能是( A.2:3:4:5 B.1:2:3:4 C.2:5:4:1 D.4:3:3:2 4.如图，⊙C过原点O,且与两坐标轴分别交于点A,B,点A的坐标为(0,4)，M是第三象 限内OB上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径为 ( A.4 B.5 C.6 D.23 5.如图，AB是⊙O的直径，C,D在⊙O上.若∠AOD=40°，则∠BCD的度数为 6.如图，∠ADE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，连接AC,已知∠ADE= ∠ACB (1)求证：AB=AC; (2)若∠BAC=70°，求∠ADC的度数 0 ·32· 29.3弧长和扇形面积 第1课时孤长和扇形面积 当堂练习 1.已知扇形的圆心角为60°，半径为3cm,则弧长为 A誓m B.2x cm C.4 cm D.元cm 2.如图，若⊙O的半径为10，∠ACB=45°，则扇形AOB的面积为 A.5π B.12.5π C.20元 D.25π 3.若扇形的半径是12cm,弧长是20πcm,则扇形的面积是 cm2. 4.如图，一把扇形纸扇完全打开后，AB和AC的夹角为120°，AB的长 静心 为25cm,贴纸部分的宽BD为15cm,则BC的长为 cm,纸扇 B 上贴纸部分的面积为 cm2. 第2课时 圆锥的侧面积和全面积 当堂练习 1.如图，已知圆锥的底面半径r为3，母线1长为5，则圆锥的侧面积为 A.20π B.15π C.12π D.10π -0G (第1题图) (第2题图) 2.如图，已知圆锥的母线AB长为4cm,底面半径OB长为2cm,则将其侧面展开得到的 扇形的圆心角为 A.309 B.45 C.90° D.180 3.将一个圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半 径为 ( A.1 cm B.2 cm C.元cm D.2πcm 4.一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积为 ·33·-是当：=8时y-号=4，可知点B3,0在函数y号的图象上.当=2时y=号 3 =6,可知点C(2,5)不在函数y=12的图象上. 27.3实际问题与反比例函数 第1课时将实际问题抽象成反比例函数问题 知识梳理 时间宽 面积电阻 当堂练习 1.C2.A3D4.解：1)设y关于x的函数解析式为y=冬把x=6y=2代入， 得2=专解得=12y关于：的两数解析式为y兰.(2当y=3时，是-3解得 x=4.∴小孔到蜡烛的距离为4cm. 第2课时结合反比例函数图象解决实际问题 当堂练习 1.C2.B3.A4解：1)设p=冬(S>0.把0.1,100)代入，得100= 0.7,解得 100 k=10.p关于S的函数解析式为p=19(S>0.(2)当S=0.25m时p= 400(Pa)..∴.当S=0.25m时，物体所受的压强是400Pa. 第二十八章旋转 28.1图形的旋转 第1课时旋转的概念及性质 知识梳理 ①旋转旋转中心旋转角对应点②全等相等相等旋转角 当堂练习 1.D2.B3.34.解：(1)A∠DAB∠EAC(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC =5,BC=12,由勾股定理，得AB=√AC+BC=√5十12=13.，将△ABC绕点A 逆时针旋转得到△ADE,∴.AE=AC=5..BE=AB-AE=13-5=8. 第2课时旋转作图 当堂练习 1.A2.解：(1)如图，△AB1C即为所求 (2)A(4,-2), 一432- B1(4,0),C1(1,1) 28.2中心对称 28.2.1中心对称及其性质 当堂练习 1.D2.D3.解：如图所示.(1) (2 28.2.2中心对称图形 当堂练习 1.A 2.②③④⑤ ①②⑤3.S=S,4.解：(1)如图① 所示.（答案不唯一）(2)如图②所示.（答案不唯一） 图① 图② 94 28.2.3关于原点对称的点的坐标 当堂练习 1.D2.A3.D4.6 第二十九章圆 29.1圆的有关概念 29.1.1圆的有关概念 知识梳理 ①>= ②弦直径圆弧弧③半圆优弧劣弧 当堂练习 1.B 2.D 3.D 4.C 5.AC,AB AB ABC,BAC AC,BC 6.100 29.1.2过三点的圆 第1课时确定圆的条件及运用 当堂练习 1.D2.C3.解：(1)如图所示. B (2)在Rt△ABC中，AB=√AC+BC =5..⊙0的半径为2.5. 第2课时反证法 当堂练习 1.半径相等的圆不是等圆2.A3.证明：假设在△ABC中有3个内角大于60°，则 ∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°，∴.∠A十∠B十∠C>180°，这与三角形内角和等于180 相矛盾.∴.在△ABC中至多有两个角大于60°. 29.2圆的有关性质 29.2.1垂直于弦的直径 知识梳理 ①直径②平分平分目垂直两条弧 当堂练习 1.C2.D3.D4.35.46.解：连接OC.:AB是⊙O的直径，CD⊥AB,.CE= DE=CD=4.设OC=,则OE=8-n在Rt△OCE中，OE+CE=OC,即(8-r)P 十4=r2,解得r=5..⊙0的半径是5. 29.2.2圆心角 知识梳理 ①圆心②弧弦③圆心角弦 ④圆心角 当堂练习 1.B2.A3.C4.120°5.证明：由题意，得∠1=∠AOC,∠2=∠BOE,∠3= ∠DOF.:∠1=∠2=∠3，.∠AOC=∠BOE=∠DOF.AC=BE=DF. 29.2.3圆周角 第1课时圆周角定理及其推论 知识梳理 ①圆上②一半③相等④直角直径 当堂练习 1.C2.B3.A4.40°5.解：∠C=45°，.∠A=45°.，∠ADB=90°，.AB是 ⊙O的直径，∠ABD=45°.∴∠A=∠ABD..AD=BD=2.∴.AB=√AD+BD= 2√2..⊙O的半径为√2. 第2课时圆内接四边形 知识梳理 ①圆的内接多边形外接圆②互补 当堂练习 1,B2.A3.C4.A5.110°6.(1)证明：∠ADE+∠ADC=180°，∠B+∠ADC =180°，∴.∠ADE=∠B.:∠ADE=∠ACB,∴∠B=∠ACB.∴.AB=AC.(2)解： :∠B=∠ACB,∠BAC=70°，∴∠B=号(180°-∠BAC)=55.·∠ADC=180°- ∠B=125°. 95 29.3弧长和扇形面积 第1课时孤长和扇形面积 当堂练习 50r175元 1.D2.D3.120m4. 第2课时 圆锥的侧面积和全面积 当堂练习 1.B2.D3.B4.48π 第三十章直线与圆的位置关系 30.1直线与圆 30.1.1 直线与圆相离、相切、相交 知识梳理 ①没有②一个3两个④>=< 当堂练习 1,C2.C3.0≤d<34.解：：△ABC为等边三角形，∴.BC=AB=2√3cm.:BD =CD.:.ADLBC.-BD=号BC=5cm∴AD=VAB-BD-3cmI)当r=1cm 时，AD>r,.BC与⊙A相离.(2)当r=3cm时，AD=r,.BC与⊙A相切. 30.1.2圆的切线 第1课时切线的性质与判定 知识梳理 ①垂直②半径3垂直 当堂练习 1.B2.43.64.证明：：∠B=29°，.∠AOC=2∠B=58°..∠OAP=180°-∠P -∠AOC=90°.∴.OA⊥PA.,OA是⊙O的半径，∴.PA是⊙O的切线.5.证明：连接 OC.CD为⊙O的切线，.OC⊥CD.CD⊥AD,.OC∥AD.∴.∠E=∠OCB.OB =OC,.∠B=∠OCB..∠B=∠E..AE=AB. 第2课时切线长定理 知识梳理 ②相等平分 当堂练习 1.C2.43.证明：：射线PA,PB与⊙O相切，.PA=PB,PO平分∠APB. ∠APC=∠BPC.PC=PC,.△APC≌△BPC(SAS).∴AC=BC.4.解：连接OE. :∠ACB=90°，∴.OC⊥BC.OC是⊙O的半径，BC是⊙O的切线.又⊙0与边 AB相切，∴.BE=BC=6.:AB=10,∴AE=AB-BE=4,AC=√AB-BC=8.设 ⊙O的半径为r,则OE=OC=r,OA=8-r.在Rt△AOE中，OE十AE2=OA,即2+ 4=(8-r)2,解得r=3..⊙0的半径为3. 30.2三角形的内切圆 知识梳理 角平分线内心 当堂练习 1.B2.C3.B4.B5.解：设AD=x..⊙O分别切△ABC的三条边AB,BC,CA D,E,F,..AF=AD=x,BE=BD=AB-AD=5-x,CE=CF=AC-AF=6-x. :BC=BE+CE=7,.5-x十6-x=7,解得x=2.∴AD=2,BE=3,CF=4. 30.3正多边形与圆 知识梳理 ①相等②中心圆心角 当堂练习 1.C2.B3.C4.35.解：如图，正八边形ABCDEFGH即为所求. 6.解：连接OA,0B,则∠A0B=360°=72，：OA=0B,∠0AB 5 =∠OBA=2(180°-∠AOB)=54°.：PA为⊙0的切线，∴OA⊥AP.∴·∠OAP= 90°..∠PAB=90°-∠OAB=36°. 96