第28章 旋转 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

6m十n= n=-6, 0·解得m,。直线的丽数解析式为y=x一6.(2)设抛物线的函数解 n=-6. 析式为y=a(x-1)2十k(a≠0)，把A(6,0),B(0,-6)代入，得 ,25a十k=0,解得 a+k=-6, 4 k=、25 “抛物线的函数解析式为y=子(x-1)-空=子-合x-6 4 (3)A(6,0),B(0,-6),∴.OA=OB=6.在△AOB中，∠AOB=90°，∴.∠OAB= ∠OBA=45°.：PC⊥x轴，PM⊥L,.∠PCA=∠PMD=90°.在Rt△ADC中，∠PCA =90°，∠OAB=45°，∴.∠ADC=45..∠PDM=∠ADC=45°，在Rt△PMD中， ∠PMD=90°，∠PDM=45°，PM+DM=PD,.∠PDM=∠DPM=45°.∴.PM= DMPM=号PD.设点P的坐标为，子-合一-6）则D,t一6.PD=-6) -(-4-6）=-+=-4-3+.：-<05当4=3时，PD 有最大值是号，此时PM最大，∴PM=号PD-号×号-9Y.当1=3时， 8 合一6=子×g-合×3-6=-头P（3,-尖)PM的最大值是92此时点P 的坐标是(3，一2头)： 第二十八章综合评价 1.C2.A3.B4.A5.D6.D7.A8.B9.B10.C11.(-5,2)12.90° (答案不唯一)13.50°14.A15.516.50°17.4818.319.解：如图所示. A 20.解：(1)如图，△A1BC即为所求.点B的坐标为 (一2,5).(2)如图，△A2B2C即为所求.点C的坐标为(4,5). 21.证明：：四边形ABCD、四边形FECG均为矩形，∴AD∥BC,EF∥CG,∠BCD ∠DCG=∠EFG=90°.∴.∠BCD+∠DCG=180°.点B,C,G在一条直线上..AD∥ EF...∠DAM=∠HFM由旋转的性质，得CD=CG,AD=FG,.∠DGC=45°. ∴.∠DGF=45°=∠FHG.∴.HF=FG=AD.又：∠DMA=∠HMF,∴.△ADM≌△FHM (AAS).∴.AM=FM.22.解：(1)(2)如图所示. 图① 图② 图③ 23.解：(1)过点D作DE⊥x轴于点E.A(W3,0),B(W5,m)(m>0),∴∠OAB=90°， OA=√3.由∠AOB=30°，易得AB=1,OB=2.由旋转的性质，得OD=OB=2,∠COD =∠A0B=30°，·∠D0E=60.∠0DE=90-∠D0E=30.·0E=20D=1. ∴.DE=√OD-OE=√3.D(1√3).(2)过点C作CF⊥x轴于点F.由旋转的性质， 得00=0A=,∠00F=45易得0F=CF-9.∴点C的坐标为(9.写) 24.解：(1)四边形BEGF为正方形.理由如下：由旋转的性质，得∠F=∠BEC=90°， ∠EBF=90°，BF=BE,∴.∠BEG=180°-∠BEC=90°.∴.四边形BEGF为矩形. 又：BE=BF,∴.四边形BEGF为正方形.(2)设正方形BEGF的边长为x,则AF=x 十1.在Rt△BFA中，根据勾股定理，得AF2+BF=AB,即(x十1)2十x=5,解得x =3(负值已舍去)..AF=4..CE=AF=4..CG=CE十GE=7.25.解：(1)90° -79 AF=号DE(2)由旋转的性质，得AB=AD=AE=BC=DE,∠CAE=30,∠BAC- ∠ABC=60°..∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°.∴△ABE是等腰直角三角形. ∠ABE=45°.∴.∠EBC=∠ABC-∠ABE=15°.F是BE的中点，AF⊥BE. ∴∠AFB=9O.△AFB是等腰直角三角形，易得AF-号AR,:AB=DE,AF DE.③)AF1或，B.【解析分两种情况讨论：①如答图①，当点E在BC上方时 :AB=AC=2,∠BAC=90°，.∠ABC=45.∠EBC=15°，.∠ABF=∠ABC- ∠EBC=30°.由旋转的性质，得AB=AC=AE.:F是BE的中点，.AF⊥BE “∠AFB=90.AF=号AB=1.②如答图②，当点E在BC下方时，同理可得∠ABF =60,∠AFB=90,∠BAF=90-∠ABF=30.BF=号AB=1.AF= √/AB-BF=√3.综上所述，AF=1或，√3. 答图① 答图② 第二十九章综合评价 1.A2.D3.A4.D5.A6.B7.D8.A9.B10.B11.ab≤012.62 1834145515,391610:7.爪x183【解析]在上找到点D的对 称点D,连接AD,CD,BC.:AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠BAC =62°.∴.∠D=180°-∠B=118°.由折叠的性质，得∠ADC=∠D'=118°，∴.∠DCA= 180°-∠ADC-∠DAC=34°.19.解：连接AC.:四边形ABCD是矩形，.BC=AD= 8cm,∠B=90°.：AB=6cm,AC=√AB2十BC=10cm.:圆的半径为6cm,.点B 在圆上，点C在圆外，点D在圆外，20.证明：四边形ABCD内接于⊙O,.∠DAB +∠DCB=180°.：'∠EAD+∠DAB=180°，∴∠EAD=∠DCB.:∠DAE=∠DAC, ∠DAC=∠DCB.∠DAC=∠DBC,∴∠DBC=∠DCB..DB=DC.21.解： (1)如图所示. (2)在Rt△ABC中，AC=1.2m,BC=1.6m,.AB= VAC+BC=2m∴所需圆板的最小面积是x×(号)广=(m).2.1)证明：在 △ABC中，AB=AC,AH⊥BC,.BH=CH..AF⊥BC,.DH=EH.,.BH-DH= CH-EH,即BD=CE.(2)解：连接AD.设⊙A的半径为r,则AD=r,AH=r-2. :DE=8,DH=EH=号DE=4.在R△ADH中，DF+AF=AD,4+ (r-2)2=r2,解得=5.∴.⊙A的半径为5.23.(1)证明：：∠E=∠B,∠D=∠E, ∴∠D=∠B.AD=AB.AB为⊙O的直径，∠ACB=90°，即AC⊥DB.BC= CD(2解连接OC:AB=4O0的半径为2e==号六m=60, ∠AOC=60°.：OA=OC,∴.△OAC为等边三角形.∴.S阴=S扇形0Ac-S△ac= 60X82-号×2X5=号-反.24解：1)连接0M.:0CLMN.MN=48, 360 ∠0CM=90,MC=2MN=24.:AB=520D=0M=号AB=26.在R△0MC 中，OC=√OM-MC=10..CD=OD-OC=16.故水截面最大深度CD的长为16. (2)过点O作OE⊥GH于点E,交MN于点D.MN∥GH,.OE⊥MN.∴∠ODB= 90°，MD=BD.由题意，得DE=13,则OD=OE-DE=13.在Rt△OBD中，BD= √OB-OD=133.∴.MN=2BD=26√5.答：此时水面截线MN的长为26√3， 25.(1)证明：连接OD.:C为优弧ABD的中点，.AC=CD.∴.∠AOC=∠COD.:OA =0C=0D,.∠CA0=∠AC0=2(180°-∠A0C,∠D00=∠CD0=号(180° -80 ∠COD)..∠ACO=∠DCO.∴.CO平分∠ACD.(2)证明：AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°.∠EAD+∠E=∠ADC+∠CDE=90°.：AC=⑦，∠CDA= ∠CAD.∠CDE=∠E.∠EAB=∠CDE,∠EAB=∠E.BA=BE.(3)解： :∠CDE=∠E,.CD=CE.:AC=⊙D,AC=CD=CE=45.∴.AE=AC+CE= 85.设AB=BE=x.在Rt△ABD中，AD=AB-BD,在Rt△AED中，AD=AE -DE.∴.AB2-BD=AE-DE,即x2-62=(8√5)2-(6十x)2,解得x=10(负值已 舍去)..AB=10..AD=√AB-BD=8. 第三十章综合评价 1.D2.B3.B4.B5.C6.C7.A8.B9.D10.B【解析】连接OB,OP,过 点O作OP⊥l于点P',则OP=3.PB切⊙O于点B,.OB⊥PB.∴∠PBO=90 .PB=√OP-OB=√OP一2.当点P运动到点P'的位置时，OP的长有最小值， 则PB长的值最小，此时OP=OP=3,.PB长的最小值为√3-2=√5.故选B. 1.<2.相离13.5万14.1815.12万16.20°17.6918号19.解：过点 C作CD⊥AB于点D.:∠C=90,AC=4,BC=3,.AB=√BC+AC=5.S△Ax =号BC·AC=号AB.CD,CD-BCAC=2.当直线AB与OC相切时， AB 2.4.20.解：设⊙I的半径为r,⊙I与△ABC的三边分别相切于点D,E,F,连接ID, IE,IF,如图所示. 1B易得四边形IECF是正方形，∴.CE=CF=IE=. 在Rt△ABC中，：∠C=90°，BC=9,AC=12,∴.AB=√AC+BC=15.由切线长定 理，得AD=AF=AC-r,BD=BE=BC-r,AB=AD十BD,.AB=AC-r十BC r,即15=12-r十9-r,解得r=3,∴.⊙1的半径为3.21.解：(1)如图所示 (2)连接OD.:∠C=90°，AC=4,BC=3,AB=√AC+BC=5. ∠C=90°，.OC⊥AC..OC为⊙O的半径，.AC为⊙O的切线.又.⊙O与AB相 切于点D,.AD=AC=4..BD=AB-AD=1.设OD=OC=x,则OB=3-x.在 R△B0D中，BD十OD=OB,∴1+2=(3-)，解得x=号⊙0的半径为号 22.(1)证明：，⊙A与x轴相切于点B,∴.AB⊥x轴.AH⊥CD,HO⊥OB,∴∠AHO =∠HOB=∠OBA=90°..四边形ABOH是矩形.(2)解：连接AD.,四边形ABOH 是矩形，∴.AH=OB=√7.AD=AB=4,.DH=√AD-A严=3.：AH⊥CD, .CD=2DH=6.23.解：(1)连接OD.CD与⊙O相切，.∠ODC=90°.∠COD =90°-∠C=70.·∠A=号∠C0D=35.(2)设车轮的半径为，m,则0D=0B= rm,OC=BC+OB=(3十r)m.在Rt△COD中，OC=OD十CD,∴.(3十r)=P十 2,,解得，-号答：车轮的半径为号m,24.1)证明：连接OC.:AC=CD,∠D =30°，.∠CAO=∠D=30°..∠COD=2∠CAO=60°..∠OCD=180°-∠D- ∠COD=90°..OC⊥CD.:OC为⊙O的半径，.CD是⊙O的切线.(2)解：由(1)可知 ∠0cD=90,∠C0B=60.∠D=30,0D=4,0C=号0D=2.CD= VOD-0C=2反.∴Se=Sw-Sa#r=号CD.00-60rX0C=7X25× 360 ?-6002=25-号∴图中阴影部分的面积为26-号，25.(1)证明：CE 360 为⊙O的切线，∴.OC⊥CE.AD⊥CE,.AD∥OC.∴.∠DAC=∠OCA.OA=OC, ÷∠OAC=∠OCA.∠DAC=∠BAC(2)解：CD=宁AB.证明如下：△ADC是等 腰三角形，AD⊥CE,.△ADC是等腰直角三角形，DA=DC.∴∠DCA=45°.CE为 ⊙O的切线，.OC⊥CE..∠OCD=90°.∴.∠OCA=45°.OA=OC,∠OAC=45°. ∠COA=90°.∴∠ADC=∠AOC=∠OCD=90°，.四边形AOCD为矩形..CD= AO.CD-AB (3 81第二十八章综合评价 PXTREE (时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列现象属于旋转的是 童 A.太阳缓缓升起 B.雪花在天空中飘落 新 C.拧开瓶盖 D.运动员在100m跑道上赛跑 2.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史。 下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是 孝粮树 3.如图，若△ABC绕点O逆时针旋转60°后与△LMN重合，则与线 段OB长度相等的线段是 A.OC B.OM C.ON D.ML A ② ③ (第3题图) (第4题图)》 (第5题图) 4.如图，在平面内将Rt△ABC绕着直角顶点C逆时针旋转90° 得到Rt△A'B'C.若AB=5,AC=4,则AB的长为 A.7 B.8 C.9 D.10 5.如图，从图案①到图案②再到图案③的变化过程中，不可能的 图形变换是 ( A.轴对称 B.旋转 C.中心对称 D.平移 i 6.如图，△ABC和△A'B'C'关于点O成中心对称，下列说法不正 竹 确的是 ( ) A.△ABC≌△A'B'C' B.OC-OC' C.点A的对应点是点A D.∠COB'=∠AOC 中 ⊕ (第6题图) (第7题图) (第8题图) 25 7.在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现又出现一个方块 正在向下运动，为了使所有图案消失，需进行的操作是() A.顺时针旋转90°，向右平移B.逆时针旋转90°，向右平移 C.顺时针旋转90°，向左平移D.逆时针旋转90°，向左平移 8.如图，E是正方形ABCD内一点，将△ABE绕点B顺时针旋转 与△CBF重合，连接EF.若BE=√3，则EF的长为 ( A.2 B.√ C.2√2 D.2√3 9.如图，在平面直角坐标系中，点B在第二象限，点A在y轴正 半轴上，∠AOB=∠B=30°，OA=2.将△AOB绕点O顺时针 旋转90°得到△AOB',则点B的对应点B的坐标是( A.(3,1) B.(3,√3) C.(√3,3) D.(-3,3) (第9题图) (第10题图) (第12题图) 10.如图，在等边三角形ABC中，D是边AC上一点，连接BD,将 △BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE,连接DE.若BC= 8,BD=7,则下列结论错误的是 ( A.AE∥BC B.△BDE是等边三角形 C.∠ADE=∠BDC D.△ADE的周长是15 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.点A(5,一2)关于原点的对称点A的坐标是 12.一个风车图案如图所示，它绕中心点旋转一定的角度后能与 自身重合，则这个角度可能是 .(写出一个即可) 13.如图，将△ABC绕点C逆时针旋转至△DEC,使点D落在 BC的延长线上.已知∠A=30°，∠B=35°，则∠ACE的度数 是 (第13题图) (第14题图) (第15题图) 14.如图，在正方形网格中，将△MNP绕旋转中心旋转一定角度 后得到△M1N1P1,则旋转中心是点A,B,C,D中的点 15.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=13,AC=12,D是AC的 中点，B,E两点关于点D成中心对称，则AE的长为 26 16.如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋 转到△AB'C的位置，使CC∥AB,则∠CAC的度数是 C B /B (第16题图) (第17题图) (第18题图) 17.如图，矩形ABCD和矩形A'B'CD关于点D成中心对称.已 知AB=3,BC=4,则阴影部分的周长是 18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1,将 △ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC',使点A,B,C'在同 一条直线上.若点P在射线A'B上运动，则AP+CP的最小 值为· 三、解答题（共66分） 19.(8分)如图，△ABC和△A'B'C关于某一点成中心对称，某同 学不小心把墨水泼在纸上，只能看到△ABC和线段BC的对应 线段B'C,请你帮该同学找到对称中心O,并补全△ABC. 20.(8分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分 别为A(1,-1),B(2,-5),C(5,-4). (1)画出△ABC关于原点O对称的△A,B1C1,并写出点B1 的坐标； (2)画出将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的 △A2B2C2,并写出点C2的坐标 -5-4-3-2-1,0123451 -27 21.(8分)如图，矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°后得到矩形 FECG,连接DG,交EF于点H,连接AF,交DG于点M.求 证：AM=FM. 22.(10分)如图，在4×4的正方形网格中，有4个小正方形被涂色. (1)在图①中再涂4个小正方形，使新涂色的图形与原来涂色 部分关于点O成中心对称； (2)在图②和图③中再分别涂4个小正方形，使新涂色的图形 与原来的涂色部分所组成的新图形既是轴对称图形又是 中心对称图形.（两个图各画一种） 图① 图② 图③ 23.(10分)在平面直角坐标系中，已知A(√3,0)，B(√3，m)(m 0),∠AOB=30°，以点O为中心，逆时针旋转△OAB得到 △OCD,点A,B的对应点分别为点C,D,记旋转角为α. (1)如图①，当点C落在OB上时，求点D的坐标； 图① 28 (2)如图②，当a=45°时，求点C的坐标. 图② 24.(10分)如图，E为正方形ABCD内一点，∠BEC=90°，将 △BEC绕点B逆时针旋转90°得到△BFA(点E的对应点为 点F),延长CE,交AF于点G. (1)试判断四边形BEGF的形状，并说明理由； (2)若AB=5,AG=1,求CG的长. G -29 25.(12分)数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为 主题，开展如下探究活动： (1)操作探究：如图①，△ABC是等边三角形，将△ABC绕点 A旋转180°得到△ADE,连接BE,则∠EBC的度数是 ;若F是BE的中点，连接AF,则AF与DE之 间的数量关系是 (2)迁移探究：如图②，将(1)中的△ABC绕点A逆时针旋转 30°得到△ADE,其他条件不变，求出此时∠EBC的度数 及AF与DE之间的数量关系. (3)拓展应用：如图③，在Rt△ABC中，AB=AC=2,∠BAC 90°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,连接BE, F是BE的中点，连接AF.在旋转过程中，当∠EBC=15° 时，直接写出线段AF的长。 D 图① 图② 图③ —30