25.2.1 配方法 第1课时 教学设计 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“直接开平方法解一元二次方程”核心知识点，通过复习平方根定义、性质及练习题，搭建从平方根知识到一元二次方程降次转化的学习支架，承上启下衔接后续配方法等内容。 以核心素养为导向，通过分类讨论p取值培养推理意识，整体代换思想提升抽象能力，结合三角形周长、正方形面积等实例强化模型意识。分层练习和特色作业帮助学生夯实运算能力，清晰的教学闭环为教师提供高效教学路径。

第二十五章 一元二次方程 25.2.1 配方法 第1课时   一、教材分析 《直接开平方法解一元二次方程》是人教版一元二次方程章节第二节内容，承接平方根、一元一次方程知识，是配方法、公式法、因式分解法的基础解法. 直接开平方法本质是配方法的特殊形式，掌握整体开方降次思路，既能巩固平方根概念，又搭建“二次方程向一次方程转化”的转化思想模型，为后续配方法推导、一元二次方程实际应用、二次函数学习铺垫核心逻辑，在整个初中方程体系中起到承上启下的关键作用. 教材先回顾x2＝p基础形式，分类讨论p>0、p=0、p<0三种根的情况，夯实直接开方基本原理；再设置探究问题，由x2=4迁移到(x+3)2=5，引出整体思想，把含未知数的代数式看作整体开平方，实现二次降次为两个一元一次方程；接着设置两道例题，分别是纯单项式平方、多项式整体平方题型，规范解题步骤；最后配套分层练习题，由基础型到稍复杂变式，巩固整体开方、分类判断有无实数根的知识点，完整形成“原理引入——迁移探究——例题示范——习题巩固”的闭环教学逻辑.   二、教学目标 1. 理解一元二次方程“降次”的转化思想，对形如(x+m)2=p(p≥0)的一元二次方程进行直接开平方法求解. 2. 理解整体代换思想，完整分类讨论p取值，判断方程根的情况，规避开平方漏写正负号的易错问题. 3. 探究推导直接开平方法，感悟降次转化思想，提升类比能力，养成严谨运算习惯，增强解方程信心. 4. 在自主探究解法的过程中感受数学转化之美，培养严谨细致的运算习惯，增强学好代数方程的自信心.   三、教学重难点 重点：理解一元二次方程“降次”的转化思想，对形如(x+m)2=p(p≥0)的一元二次方程进行直接开平方法求解； 难点：理解整体代换思想，完整分类讨论p取值判断方程根的情况，规避开平方漏写正负号的易错问题.   四、教学过程 · 复习回顾 问题1：什么是平方根？一个数的平方根怎样表示? 答：一般地，如果一个数 x 的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫作a的平方根. a(a≥0)的平方根记作. 问题2：正数、0、负数的平方根各有什么性质? 答：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 问题3：(1) 11的平方根为 ； (2) 的平方根为 ； (3) -42的平方根为 . 答：(1) ； (2) ； (3) 没有平方根 师生活动：教师依次抛出三个回顾问题，先点名学生口头作答平方根定义与性质，再让三名学生上台填写填空题答案，师生共同订正易错点. 设计意图：复习平方根核心知识，夯实直接开平方法的理论基础，扫清新课认知障碍，自然引出用平方根解一元二次方程. · 探究新知 活动：探究用直接开平方法解一元二次方程 问题4：根据平方根的意义解下列的方程： x2=4 师生活动：教师出示方程 x2=4引导学生口述解法，引出直接开平方法；学生独立完成三道练习题后互评订正；师生共同分类研讨 x2=p根的三种情况，归纳结论. 解题思路：根据平方根的意义，得 x=2， 即 x1=2， x2= – 2 总结：利用平方根的意义直接开平方来求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法. 试一试 利用所学知识解下列方程. (1) x2=25 (2) x2=0 (3) x2+1=0 解：(1)根据平方根的意义，得 x1=5， x2=－5. (2)根据平方根的意义，得 x1=x2=0 (3)整理，得x2 =－1， 因为负数没有平方根，所以原方程无解. 问题5：若 x2=p ，则x的值是多少呢？ 分析：方程左边x2≥0，右边p的取值不确定，可能是正数、0或负数，因此要分类讨论. 总结：一般地，对于方程 x2＝p， 　　(1) 当 p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根 x1＝ ，x2＝－； 　　(2) 当 p＝0时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝0； 　　(3) 当 p＜0时，因为对任意实数 x，都有x2≥0，所以方程无实数根． 设计意图：由旧知迁移出新解法，初步掌握直接开平方步骤，通过分类讨论理解根的判定规律，渗透降次转化思想. 问题6：对照上面解方程x2=4的过程，你认为应怎样解方程 (x+3)2=5? 师生活动：教师抛出对比问题，启发学生把x+3看成整体尝试解题；学生口述步骤后，师生总结该类方程解法，完成练习题并说明取值取舍理由，最后一起整理直接开平方法完整结论. 提示：将x+3看成一个整体. 解题步骤： ①两边开平方(降次) (x＋3)2＝5 → x＋3＝±． ②分别求解两个一次方程 x＋3＝， x＋3＝－． ③求出方程的两个根 x1＝－3＋，x2＝－3－． 在上面的解法中，由方程(x＋3)2＝5得到x＋3＝，或x＋3＝－，实质上是根据平方根的意义，把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程1转化为我们会解的方程了. 方法总结：一元二次方程→（降次）→两个一元一次方程→求解得到两个根 问题7：解方程形如(mx+n)2=p 的指导思想是什么? 通过开平方降次，转化为两个一元一次方程，再解两个一元一次方程即得原方程的解. 问题8：练一练：若，则          ． 分析：由， 直接开平方，得， 或， ，，， ， 故答案为． 总结：直接开平方法 方程x2=p(p≥0)的解为 x1=，x2=. 由方程(mx+n)2=p(p≥0)，可得mx+n=或mx+n= . 降次思想：一元二次方程一般通过降次转化成两个一元一次方程来解. 直接开平方法是降次的一种方法. 设计意图：依托整体思想拓展方程题型，理解降次转化本质，完善解法框架，培养分类取舍、严谨运算的数学思维. · 应用新知 【教材例题】 师生活动：教师出示两道例题，先请学生口述变形思路，两名学生板演解题全过程；师生对照订正步骤，梳理先整理成平方等于非负数的解题流程，强调开方务必带正负号. 例1 解下列方程： (1) 4x2－3=0； (2) (x+2)2－9=0. 解：(1)移项，并将二次项系数化为1，得 x2= 由此可得 x= 即 x1=， x2=. (2)移项，得 (x+2)2=9 由此可得 x+2=3 x+2=3，或x+2=－3. 即 x1=1， x2=－5. 总结：用直接开平方法解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的定义求解． 总结：开方的结果要注意取正、负两种情况． 设计意图：规范直接开平方法解题步骤，巩固两种典型题型解法，强化整体思想，规避漏根易错点，落实降次转化的核心思想. 【经典例题】 师生活动：教师出示两道综合例题，学生先独立解方程，再小组讨论检验解的合理性；指名学生上台书写完整解题过程，师生点评，强调实际问题要检验取值是否符合题意. 例2 已知三角形的两边长分别为和，第三边的长是一元二次方程的一个根，试求三角形的周长． 解：方程， ， ， 解得，， 当时，，，可以构成三角形； 当时，，，不能构成三角形． 所以三角形的周长为．  注意：用方程解决实际问题时，要考虑所得结果是否符合实际意义． 例3 若的值与的值互为相反数，求的值． 解：与互为相反数，  ，        ，                                  ，     ，                          当时，；              当时，． 代数式的值为或． 总结：利用相反数两式和为0列方程，化简求出未知数或x2，分情况代入式子求值，注意分母不能为0. 设计意图：融合三角形三边关系、相反数知识，实现方程综合应用，培养检验取值的严谨习惯，深化直接开平方法的灵活运用能力. · 课堂练习 【教材练习】 解下列方程: (1) x2－9=0； (2) 2x2－8=0； (3) 9x2－5=3； (4) (x+6)2－9=0； (5) 3(x－1)2－6=0； (6) x2－4x+4=5. 解：(1)移项，得 x2=9. 直接开平方，得x= 3 即x1=3，x2=－3. (2)移项，得 2x2=8. 系数化为1，得 x2=4 直接开平方，得x= 2 即x1=2，x2=－2. (3)移项，得 9x2=8. 系数化为1，得 x2= 直接开平方，得x= 即 x1=，x2=－. (4)移项，得 (x+6)2=9. 直接开平方，得x+6= 3 x+6=3，或x+6=－3 即 x1=－3，x2=－9. (5)移项，得 3(x－1)2=6. (x－1)2=2 直接开平方，得x－1= x－1= ，或x－1= 即 x1=，x2=. (6) (x－2)2=5. 直接开平方，得 x－2= x－2=，或x－2= 即 x1=2+，x2=2－. 师生活动：学生独立完成六道课堂练习，挑选几名学生板演解题过程；教师巡视批改，针对移项、系数化1、整体开方漏正负号等共性错误集中点评订正，梳理解题通用步骤. 设计意图：分层巩固直接开平方法各类题型，熟练配方变形与整体开方操作，排查易错漏洞，夯实降次转化解题思路，提升运算规范性与准确率. 【限时训练】 1.方程的解是(    ) A. ， B. C. D. ， 【答案】B  2.已知一元二次方程的两根为，，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  3.已知一直角三角形的木板，三边的平方和为，则斜边长为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：设直角三角形的两直角边分别为，，斜边为， 根据勾股定理得：， ， ，即， 则． 故选A． 4.解下列方程： ． 【答案】解：， ， 1，； ， ， ， ，．  5.如果是关于的方程的根，求关于的方程的解． 【答案】解：是关于的方程根， ， 解得． 则由得：，即． 解得． 师生活动：学生独立完成当堂检测题，教师巡视观察答题情况，选取学生作答展示；集体核对答案，针对方程代根求值、几何综合题型集中点拨思路，订正符号、漏根等典型错误. 设计意图：分层检测本课知识掌握程度，融合几何、方程代根综合题型，查漏补缺，巩固直接开平方法运算逻辑，提升综合解题与严谨审题能力. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.什么是直接开平方法？ 3.方程x2=p的根有哪几种情况？ 4.利用直接开平方法解一元二次方程的方法是什么？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：正方形面积问题中的直接开平方法应用探究 任务：1.情境问题：一个正方形边长为x，边长增加 3 后，新正方形面积为 25，先列方程，再用直接开平方法求解原边长； 2.自编一道同类型正方形面积增减的实际应用题，列出对应一元二次方程并完整解方程； 3.结合两道应用题总结：什么样的实际面积问题适合用直接开平方法，同时分析(ax+b)2=p中p取值对方程实数根的影响； 4.标注解题时最容易漏掉的步骤. 要求：列式贴合生活实际，解方程步骤书写规范，探究总结表述通顺，整体篇幅 200 字左右，独立完成. 学科网（北京）股份有限公司 $