25.1 一元二次方程的概念（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

第二十五章 25.1一元二 基础过关 >>逐点击破 知识点1一元二次方程的概念及一般形式 1.(郑州期中)下列方程中，是一元二次方程的 是 A.x+1=y B21 C.x2=5.x-1 D.3x-2=x 2.将方程x2一2x=4化成一般形式后，二次项 系数为1，则常数项是 () A.4 B.2 C.-4D.-2 3.(教材P4习题T1变式)将下列方程化成一 元二次方程的一般形式，并写出它的二次项 系数、一次项系数和常数项： (1)3x2=7; (2)2x2-2x+5=2x; (3)(x-2)(2x+1)=x2+2. 知识点2一元二次方程的解（根） 4.(教材P4习题T3变式)下列各数是方程x2 x=12的根的是 A.3 B.4 C.5 D.10 1数学九年级上册配R版 元二次方程 次方程的概念 5.(绵阳中考)若关于x的一元二次方程x2一 6.x十a=0的一个根为1，则a的值为， 6.已知x=2是一元二次方程x2十mx十n=0 的一个根，则2m十n的值是 知识点3根据实际问题列一元二次方程 7.小亮做的一张家乡宣传海报如图所示，海报 的长比宽多10cm,面积为375cm2.设该海 报的长为xcm,则可列方程为 ( A.x(x+10)=375 B.2x+2(x+10)=375 C.x(x-10)=375 D.2x+2(x-10)=375 8.根据下面的问题列出方程，并将方程化成一 般形式：元旦联欢会上，某小组同学之间互送 贺卡，每个人都给其他所有人各送一张贺卡， 一共送出了90张贺卡，求该小组的人数. !易错点忽视一元二次方程的二次项系 数不为零而致错 9.若关于x的一元二次方程(m十2)x2十4x十 m2=4有一个根为0，则m的值为 口能力提升 >>◆整合运用 10.一元二次方程2x2-(m+1)x+1=x(x 1)化成一般形式后一次项的系数为一2，则 m的值为 () A.-1B.1 C.-2D.2 11.数学文化新趋势《九章算术》中记载：今有 户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺， 纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意 思是：如图，今有门，不知其高宽，今有竿， 不知其长短.将这根竿子横放，竿比门宽长 出4尺；将这根竿子竖放，竿比门高长出2 尺；将这根竿子斜着放，竿与门对角线恰好 相等.问门的对角线长为多少尺.若设门的 对角线长为x尺，则可列方程为 () A.(x-2)2+(x-4)2=2x2 B.(x-2)2+42=x2 C.(x-4)2+(x-2)2=x2 D.(x-4)2+x2=(x-2)2 12.若非零实数a,b,c满足a一b十c=0,则关于 x的一元二次方程ax2+bx十c=0必有一 个根为 () A.x=1 B.x=-1 C.x=0 D.x=2 13.(教材P4习题T2变式)根据下列问题，列 出方程，并将其化成一般形式： (1)把一张面积为54cm的长方形纸片的一 边剪去5cm,另一边剪去2cm,恰好变成 一个正方形，求这个正方形的边长x; (2)一个直角三角形的三边长是三个连续 偶数，求这个直角三角形的三边长， 14.整体思想新理念已知方程x2一x-1=0的 一个实数根是a. (1)3-2a2+2a的值为 (2)求-a3+2a2+2025的值. 【思维拓展 >强化素养 15.新定义新趋势已知关于x的一元二次方程 a.x2+bx+c=0(a≠0)，如果a,b,c满足 3a十2b十c=0,我们就称这个一元二次方程 为“波浪方程” (1)判断方程2x2一x一4=0是否为“波浪 方程”，并说明理由； (2)已知关于x的“波浪方程”ax2一2x十 c=0的一个根为一1，求这个“波浪方程” 第二十五章一元二次方程2参考答案 第二十五章一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 基础过关 1.C2.C3.解：(1)移项，得一元二次方程的一般形式为3x2一7=0.它的二次项系 数是3，一次项系数是0，常数项是一7.(2)移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形 式为2x2-4x十5=0.它的二次项系数是2，一次项系数是-4，常数项是5.(3)去括号， 得2x2十x一4x-2=x2十2.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为x2-3x 一4=0.它的二次项系数是1，一次项系数是一3，常数项是一4.4.B5.56.一4 7.C8.解：设该小组有x人.根据题意，得x(x一1)=90.将方程化成一般形式为x2 x-90=0.9.2 能力提升 10.D11.C12.B13.解：(1)根据题意，得(x十5)(x十2)=54.化成一般形式为x2 十7x一44=0.(2)设较短直角边的长为xcm.根据题意，得x2十(x十2)2=(x十4)2，化 为一般形式为x2-4x-12=0.14.解：(1)1(2)当x=a时，a2-a-1=0,.a2-a =1.∴.原式=-a3十a2+a2+2025=-a(a2-a)+a2+2025=a2-a+2025=1十 弥2025=2026. 帐 思维拓展 15.解：(1)是.理由如下：a=2,b=-1,c=-4,∴.3a十2b十c=3×2十2×(-1)十 (-4)=0..方程2x2-x-4=0是“波浪方程”.(2)把x=-1代入a.x2-2x十c=0,得a +2十c=0.此方程为“波浪方程”，.3a十2×(-2)十c=0,即3a-4十c=0.联立 1a+2十c=0,解得0=3，。这个“波浪方程”为3x2-2x-5=0. 3a-4+c=0, c=-5. 25.2降次—解一元二次方程 25.2.1配方法 地 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程 基础过关 1.D2.C3.C【变式题】5（答案不唯一，c≥0即可）4.解：(1)移项，并将二次项系 数化为1，得x2= 织由此可得=士子，即1=子=一子(2)移项，并将二次项 系数化为1，得x2=一 号”-是<0，∴原方程无实数根。5D61=6=0 梁 7.解：1)由方程可得3x-1=士9,3x-1=9,或3x-1=-9,即x=19, (2)移项，得(x-5)2=9.由此可得x-5=士3，x-5=3,或x-5=一3，即x1=8,x2= 2.(3)整理，得(x-1)2=18.由此可得x-1=士3√2，x-1=3√2，或x-1=-3√2，即 x1=1十3√2，x2=1-32.8.8 能力提升 9.C10.C11.-25【变式题】m=2,x=-212.解：(1)整理，得(2x十1)= 4 由此可得2x+1=±号，2x+1=号，或2x十1=-号，即4=是，=-子 ·(2)整理， 得8r=7,即产=号由此可得=±9即写=号-复(8)理，得十5> =3.由此可得x十5=±√3，x十5=√3，或x十5=-√5，即x1=-5十√5，x2=-5-√3. 思维拓展 13.解：(1)53(2)原方程变形，得[(x十2)-4][(x十2)十4]=4，∴.(x十2)2-42= 4.∴.(x十2)2=20.两边开平方，得x十2=士2√5.x1=-2十2√5，x2=-2-2√5. 第2课时用配方法解一元二次方程 基础过关 1.D2.(1)93(2)空号(3)是子3.A4解：1)移项，得r+10x=-8, 配方，得x2十10x十52=-8十52，(x十5)2=17.由此可得x十5=士√17，x1=-5 -5-m.2配方，得-3（受）=-子()()= 由此可得x一 3 2 2 .5.B6.解：(1)移项，得5x2-2x 3二次项系数化为1，得父-号=是配方，得-号十（日）=音+() 49 （一局)-品由此可得x一=士告=1=一是(2)移项，得子- -2.二次项系数化为1，得x2-8.x=-4.配方，得x2-8.x十42=-4十4，即(x-4)2= 12.由此可得x-4=士23,1=4十23，x2=4-23.(3)移项，得3x2-3x=-1.二 次项系数化为1，得-x=子配方，得2-x十（合）=一号+（合）： 112 （一号)=一立：立<0原方程无实数根，1C 1 能力提升 8.D9.-10.解：1)移项，得x2-25x=3.配方，得x2-2x十(3)=3十 4 (W3),(x一)2=6.由此可得x一√5=±6，x1=√十√6，x2=√3-√6.(2)整理，得x +3x=1.配方，得+3x+(受)=1+（受）：(+)-是由此可得x+昌 ±压，1=二3士压，x=二3，压.(3)整理，得3x2+2x=-1.二次项系数化为 2 2 1得+号=子配方得+子时(）)广=言+（信）()=号 :一号<0∴原方程无实数根。 思维拓展 山解，通-5日(2)(3)二次项系数化为1，得一=-1配方， a 得一（）=-1叶（）（一号）=尝由可得=± 5,x2= 号经检验=5x=号都是原方程的解。(1)中猜想结论正确。 专题一配方法的四种常见运用 1.证明：原式=(4x2-8.x十4)十5=4(x2-2x十1)十5=4(.x-1)2十5.4(x-1)2≥0， 4(x-1)2+5≥5..代数式4x2-8x十9的值恒为正数.2.解：(1)1(2)原式= (m2+6m十9)+(n2-4n十4)+7=(m+3)2+(n-2)2+7.:(m+3)2≥0，(n-2)2≥ 0,.(m十3)2十(n-2)2+7≥7.m2十n2+6m-4n十20的最小值为7.3.解：x2-1 -(2.x-3)=x2-1-2x+3=x2-2.x十2=(x-1)2+1.(x-1)2≥0，.(x-1)2+1 >0..x2-1-(2x-3)>0..x2-1>2x-3.4.15.解：a2-8a十b2-6b+c2- 6c+34=0,.(a2-8a十16)+(b2-6b+9)十(c2-6c十9)=0..(a-4)2+(b-3)2+ (c-3)2=0.:(a-4)≥0，(b-3)≥0，(c-3)2≥0，a-4=0,b-3=0,c-3=0,解 得a=4,b=c=3..△ABC是等腰三角形.6.解：原式=x2-4xy十4y2-y2= (x-2y)2-y2=(x-2y+y)(x-2y-y)=(x-y)(x-3y). 25.2.2公式法 第1课时一元二次方程的根的判别式 基础过关 1.C2.A3.C4-2(答案不唯-m<-号即可）5，解：1：a=1,b=-3厄， c=4,∴△=b一4ac=(-3√2)2一4×1×4=2>0.∴.方程有两个不相等的实数根. (2)原方程可化为x2十5x十10=0.：a=1,b=5,c=10,.△=b-4ac=52-4×1×10 =一15<0..方程没有实数根， 能力提升 6.D7.B【变式题】D8.5或69.(1)解：由题意，得△=[-(2m十1)]-4×1× (4m-2)=4m2-12m十9.(2)证明：由(1)，得△=4m2-12m十9=(2m-3)2≥0，.无 论m取何值，这个方程总有实数根. 第2课时用公式法解一元二次方程 基础过关 1.D2.B3.2x2-9x+8=02-98179+厘9-☑ 4 4 4.解：(1)：a =号=-2c=34=公-4ac=(一2)-4X号×3=0.方程有两个相等的实数根 b -2=3.2):a=2,b=7,c=0,∴.4=6-4ac=7-4×2X0= 49>0.方程有两个不相等的实数根x=二b生Y@c=二7型=二7生1，即m 2×2 4 =0,x2= 7 ,(3)方程化为x2-25x十10=0，此时a=1,b=-25,c=10,A=b 50 一4ac=(-2√5)2-4×1×10=-20<0.方程无实数根.5.解：(1)一用公式法解 方程前没有将方程化为一般形式(2)原方程可化为x2一5x一1=0，此时a=1,b= 一5，c=一1，.△=6一4ac=(-5)2-4×1×(一1)=29>0.方程有两个不相等的实数 根x=-b生4ac=二（-5)去2四_5±√2四，即=5+厘，，=5-√2四】 2a 2×1 2 2 能力提升 6.C7.B8.x1=√3，x2=-19.解：方程化为2x2十2x-1=0,此时a=2,b=2,c= -1,∴.△=b2-4ac=22-4×2×(-1)=12>0.方程有两个不相等的实数根x= 二b生4ac-二2厘-1E,即1=二15，=-125.10.1)i证 2X2 2 2 2 明：：△=[-(k十1)]2-4×1×(2k-2)=k2-6k十9=(k-3)≥0，.此方程总有两个 实数根.(2)解：由1)，得x=+)±，3D,“1=k-1,=2.由题意，得0< 2 k-1<1,解得1<k<2. 思维拓展 a+= 11.解：(1)：∠ACB=90°，BC=号，AC=b,.AB=BC+AC=√ ,.:BD=号AD=AB-BD=合方L,(2)方程化为r十ax- 2 2 0,A=d-4X1X(-b)=a+4优..x=二a±会于h.:1=二a+公于 2 2 x,=二a一于AD的长是方程的正根.遗憾之处：图解法不能表示方程的负 2 根.（合理即可） 25.2.3因式分解法 基础过关 1.D2.C3.(x-2)2x1=x2=24.解：(1)左边分解因式，得x(4x-11)=0.于是 x=0,或4x-11=0,即=0，=1.(2)移项，得(5x十4)-x(5x十4)=0.左边分解 4 因式，得(6x十01-)=0.于是5x十4=0，或1-x=0,即=-合=1.(3)移 项、合并同类项，得9x2-4=0.左边分解因式，得(3x十2)(3x-2)=0.于是3x十2=0， 或3r-2=-0,即x=一号，=号.5D6,解：1)配方，得x-2x+1=3十1 (x-1)2=4.由此可得x-1=士2，x1=3,x2=-1.(2)方程化为3.x2一7x十2=0，此时 a=3,b=-7,c=2,.△=b2-4ac=(-7)2-4×3×2=25>0.方程有两个不相等的实 数根x=二生ac-二《结医-7告5，即1=2，=子7.未考虑 2a 2×3 x-7=0x=7 能力提升 8.D9.2010.解：(1)①B②等式的基本性质(2).a=3,b=-6,c=1,∴.△=b2 一4ac=(一6)-4×3×1=24>0.方程有两个不相等的实数根x=一b±Y-4ac= 云)±85生5，即=1+y6 2×3 =1-.(3)移项，得3一2》-（-4)= 3 0,3(x-2)-(x十2)(x-2)=0.左边分解因式，得(x-2)[3(x-2)-(x十2)]=0， (x-2)(2x-8)=0.于是x-2=0,或2x-8=0,即x1=2,x2=4. 思维拓展 11.解：(1)①②(2)解方程x2-2x=0,得x1=0,x2=2.当相同的根是x=0时，把x =0代入x2十x十m一1=0，得m一1=0，解得m=1;当相同的根是x=2时，把x=2代 入x2十x十m-1=0,得4十2十m一1=0，解得m=-5.综上所述，m的值为1或一5. (3),关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)同时满足a一b十c=0和9a十3b十 c=0,∴.该方程的两个根是=-1，x2=3.方程(x-n)(x十3)=0的两个根是x1= n,x2=-3,且与方程ax十bx十c=0(a≠0)为“同伴方程”，∴.n=-1或3. 专题二一元二次方程的特殊解法【培养阅读理解能力】 1.解：(1)左边分解因式，得(x十1)(x十4)=0.于是x十1=0，或x十4=0，即x1=-1, x2=-4.(2)左边分解因式，得(x-1)(x-2)=0.于是x-1=0,或x-2=0,即x1=1, x2=2.(3)左边分解因式，得(x十1)(x一6)=0.于是x十1=0，或x一6=0，即x1=一1， x2=6.(4)左边分解因式，得(2x一3)(x十2)=0.于是2x一3=0，或x十2=0，即x1= 号=-2、2解：8y+号号 3 5 乙(2)设x十2x=y,则原方程可变形为、十y -2.整理，得y2十2y十1=0.解得M=y2=-1.∴.x2+2x=-1,解得m1=x2=-1.经 检验，x=一1是原方程的根..原方程的根为x=一1. 51