25.1 一元二次方程的概念（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级全一册数学（人教版·新教材 广西专版）

参考答案 第二十五章一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 名师导学 ①一整式2≠常数项②相等 【例1】解：去括号，得5x2一10x=4x2-3x.移项、合并同类项，得x2-7x=0.它的二次 项系数是1，一次项系数是一7，常数项是0. 【例2】A【例3】2 1.D2.C 3.解：(1)移项，得一元二次方程的一般形式为3x2一7=0.它的二次项系数是3，一次项 系数是0，常数项是一7.(2)移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为2x2一4x 十5=0.它的二次项系数是2，一次项系数是一4，常数项是5.(3)去括号，得2x2十x一 4x一2=x2十2.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为x2一3x一4=0.它的 二次项系数是1，一次项系数是一3，常数项是一4. 4.B5.56.-47.C8.B9.C10.2034 11.解：(1)根据题意，得(x十5)(x十2)=54.化成一般形式为x2+7x-44=0.(2)设较 短直角边的长为xcm.根据题意，得x2十(x十2)2=(x十4)2.化为一般形式为x2一4x -12=0. 12.解：(1)是.理由如下：a=2,b=-1,c=-4,.3a+2b十c=3×2+2×(-1)十 (-4)=0.∴.方程2x2-x-4=0是“波浪方程”.(2)把x=-1代入ax2-2x十c=0,得 a+2+c=0.,此方程为“波浪方程”，.3a+2×(一2)十c=0,即3a一4+c=0.联立 (a十2+c=0, 解得0=3， 3a-4+c=0 lc=-5. 这个“波浪方程”为3x2-2x一5=0. 25.2降次一解一元二次方程 25.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 名师导学 ①√p-√p0②--匝 m 【例1山懈：整理，得2-织由此可得2=士名=子=一子(2移项，得（红 -5)2=9.由此可得x-5=士3.∴.x-5=3,或x-5=-3..x1=8,x2=2.(3)整理， 得(x-1)2=18.由此可得x-1=士32..x-1=3V2,或x-1=-3V2..x1=1十 3√2，x2=1-3√2. 【例2】8 1.C2.C【变式题5（答案不唯一，c≥0即可） 3解：（①）整理，得2=一号”-是<0，∴原方程无实数根.(2)整理，得上=6.由此 可得x=士√6，即x1=√6，x2=一√6. 4.D5.x1=6,x2=0 3x2=8 10 6.解：(1)由方程可得3x-1=士9..3x-1=9,或3x-1=-9,.x1= 31 (2)整理，得(2-=最由此可得2-=士子∴2-2=子，或2-x=- 4= 5 11 4x2=4 7.C8.C9.-25【变式题】m1=2,x2=-2 10.解：1整理，得(2x+102-空由此可得2z+1=土号.2z+1=号，或2x+1= 一1 号∴五=是=-子(2)整理，得92=7，即父=子由此可得x=士写，即 3 ,4=3)整理得(+5=3，由此可得+5=士V3.x+5=3,或+5 =-√5.x1=-5十√5，x2=-5-√5. 11.解：(1)53(2)原方程变形，得[(x+2)-4幻[(x十2)十4幻=4，.(x十2)2-42= 4..(x十2)2=20.两边开平方，得x十2=士2√5.1=-2+2√5，x2=-2-2√5. 第2课时用配方法解一元二次方程 名师导学 ①(a士b)2②一半 【例1】解：(1)移项，得x2+2x=1.配方，得x2+2x+12=1十12，即(x+1)2=2.由此可 得x十1=士√2.x1=一1十√2，x2=-1一√2.(2)移项，得4x2-7x=-2.二次项系数 化为1，得2-子=合配方，得2-子+（合）=-合+（名），即(-)】 品由此得得x一名-士零=亚。平 8 【例2】C 1.D2193(2②空号383.A 4.解：(1)移项，得x2十10x=-8.配方，得x2+10x十52=-8十52，即(x十5)2=17.由 此可得x十5=±√/17..x1=-5+√17，x2=-5-√17.(2)配方，得x2-3x+ (》广=子+()》，(》°=宁由此可得x是=±号=8法2 =3-② 2 5.B 6,解：1移项、二次项系数化为1，得2-号x=子配方，得x-号x+(兮）=寻十 (兮)》，即(x一号）-由此可得x-号=士专=1，=-是(2)移项、 次项系数化为1，得x2-8x=-4.配方，得x2-8x十42=-4十4，即(x-4)2=12.由 此可得x-4=士2√3..=4十2√3，x2=4-2√3.(3)移项、二次项系数化为1，得x -x=-号配方，得2-x+(合)》'=-号+（合），即(x-)》”=-立-< 0,∴原方程无实数根. 72.D8-9 9.解：(1)移项，得x2-2√3x=3.配方，得x2-2√3x+(W3)2=3十3，即(x-√3)2=6. 由此可得x一3=±√6.x1=√3+√6，x2=√3-√6.(2)整理，得x2+3x=1.配方，得 r+z+(号)-1+()》，即(+号)》-是由此可得x计是-士四 -3+压，=二3，区.(3)整理，得3x+2z=-1.二次项系数化为1，得x+ 2 号x=-子配方，得+号x+(兮)°=-了+（号），即(+号)》°=-号：-号 <0,原方程无实数根. 10.解：1=5=号(2②)(3)二次项系数化为1，得2-2=-1.配方， a 得2-x+()}‘-1+(号）》，即(x-)》-”由此可得x-号=士号 +12 ∴五=5，=弓·经检验，函=5，=号都是原方程的解.(1)中猜想结论正确。 2 专题一配方法的四种常见运用 1.证明：原式=(4x2-8x+4)+5=4(x2-2x+1)+5=4(x-1)2+5.4(x-1)2≥0， .4(x-1)2十5≥5..代数式4x2-8x十9的值恒为正数. 2.解：(1)1(2)原式=m2+6m+9+m2-4n+4+7=(m+3)2+(n-2)2+7.:(m+ 3)2≥0，(n-2)2≥0，∴.(m+3)2+(n-2)2+7≥7..m2+n2+6m-4n+20的最小值 为7. 3.獬：x2一1-(2x-3)=x2-2x+2=(x一1)2+1..(x-1)2≥0，.(x-1)2+1>0. x2-1-(2x-3)>0..x2-1>2x-3. 4.1 5.解：.a2-8a+b-6b+c2-6c+34=0,.(a2-8a+16)+(b2-6b+9)+(c2-6c+ 9)=0..(a-4)2+(b-3)2+(c-3)2=0.(a-4)2≥0，(b-3)2≥0，(c-3)2≥0，.a -4=0,b-3=0,c-3=0,解得a=4,b=c=3.∴.△ABC是等腰三角形. 6.解：原式=x-4xy十4y-y=(x-2y)2-y2=(x-2y十y)(x-2y-y)=(x-y)(x-3y). 25.2.2公式法 第1课时一元二次方程的根的判别式 1.C2.A3.C4.-2(答案不唯-，m<-号即可） 5.解：(1)，a=1,b=-3W2,c=4,∴.△=b-4ac=(-3V2)2-4×1×4=2>0..方程 有两个不相等的实数根.(2)原方程可化为x2+5x十10=0.，a=1,b=5,c=10,.△= b-4ac=52-4×1×10=-15<0..方程没有实数根. 6.D7.B【变式题】D8.5或6 9.(1)解：由题意，得△=[-(2m十1)]2-4×1×(4m-2)=4m2-12m+9.(2)证明：由 (1),得△=4m-12m+9=(2m-3)2≥0，.无论m取何值，这个方程总有实数根. 第2课时用公式法解一元二次方程 名师导学 ①≥ -b±√6-4ac 2a 【例1】解：(1)a=1,b=-2,c=3,.△=b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8<0.∴.方程 无实数根.(2)，a=2,b=7,c=0,.△=b-4ac=72-4×2×0=49>0.∴.方程有两个 不相等的实数根.六x=b土=c-二7装支厘-二7生7.a=0,=一子. 7 2a 2×2 4 【例2】B 1.D2.B 3.解：(1)a=号，6=-2，c=3,∴4=2-4ac=(-2)2-4X号×3=0.∴方程有两个 相等的实数根小名-6=一名=X是=3.(2)方程化为-25十10=0.：2 2×3 =1,b=-2√5，c=10,∴.△=b-4ac=(-2√5)2-4×1×10=-20<0..方程无实数根. 4.解：(1)一用公式法解方程前没有将方程化为一般形式(2)原方程可化为x2一5x -1=0.a=1,b=-5,c=-1,.△=b2-4ac=(-5)2-4×1×(-1)=29>0.'.方 程有两个不相等的实数根.x=二b士4ac-5±)y四.-5+，2四， 2a 2 2 ,x2= 5-√29 2 5.C6.B7.x1=W3,x2=-1 8.解：方程化为2x2+2x-1=0.:a=2,b=2,c=-1,.△=b2-4ac=22-4×2× （-1)=12>0.·方程有两个不相等的实数根.·x=二b士-4c=-2士23 2a 4 -1+5,=12因 2. 2 9.(1)证明：，△=[-(k+1)]2-4×1×(2k一2)=(k-3)2≥0，.此方程总有两个实数 3第二十 25.1 ·名师导学 >◆预习新知 同新知梳理 ①一般地，如果方程中只含有 个 未知数，且含有未知数的式子都是 ,未知数的最高次数是 这样的方程叫作一元二次方程.它的 一般形式是ax2十bx十c=0(a,b,c是 常数，且a0),其中a,b,c分别 是二次项系数、一次项系数、 ②使一元二次方程左右两边的 未知数的值，就是这个一元二次方程 的解（根） ☑例题引路 【例1】将一元二次方程5x(x-2) 4x2-3x化成一般形式，并写出它的二 次项系数、一次项系数和常数项. 【名师点拨】去括号时不要漏乘，移项时 不要忘记变号 【学生解答】 【例2】把长为2m的绳子分成两段，使 较长一段长的平方等于较短一段的长 与原绳长的积.设较长一段的长为xm, 根据题意，可列方程为 () A.x2=2(2-x) B.x2=2(2+x) C.(2-x)2=2x D.x2=2-x 【名师点拔】找准等量关系：较长一段长 的平方=较短一段的长X原绳长。 【学生解答】 易错典例 【例3】若关于x的一元二次方程(m+ 2)x2十4x十m2=4有一个根为0，则m 的值为」 【易错剖析】将根代入原方程求m的值 时，注意二次项系数不能为0. 【学生解答】 1数学九年级全一册(R) 五章一元二次方程 一元二次方程的概念 基础过关 ●●逐点击破 知识点1一元二次方程的概念及一般形式 1.(2025一2026·南宁期中)下列方程中，是一元二次方程 的是 ( ) A.x-1=0 B.x-y=0 C.x2-1=0 D.x2-1=0 2.(2025一2026·柳州期中)将方程x2一2x=4化成一般 形式后，二次项系数为1，则常数项是 ( A.4 B.2 C.-4 D.-2 3.(教材P4习题T1变式)将下列方程化成一元二次方程 的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常 数项： (1)3x2=7; (2)2x2-2x+5=2x; (3)(x-2)(2x+1)=x2+2. 知识点2一元二次方程的解（根） 4.(教材P4习题T3变式)下列各数是方程x2-x=12的根 的是 () A.3 B.4 C.5 D.10 5.(2025·绵阳中考)若关于x的一元二次方程x2-6x十 a=0的一个根为1，则a的值为 6.已知x=2是一元二次方程x2十mx十n=0的一个根， 则2m十n的值是 知识点3根据实际问题列一元二次方程 7.人文特色情境化小亮做的一张家乡宣传海 报如图所示，海报的长比宽多10cm,面积为 375cm.设该海报的长为xcm,则可列方 程为 A.x(x+10)=375 B.2x+2(x+10)=375 C.x(x-10)=375 D.2x+2(x-10)=375 口能力提升 ◆·整合运用 8.(易错题)若关于x的一元二次方程(a十1)x2十 2x十a=1的常数项为0，则a的值为( A.±1 B.1 C.-1 D.0 9.数学文化新趋势(2025-一2026·防城港防城 区期中)《九章算术》中记载：今有户不知高 广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二 尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：如图， 今有门，不知其高宽，今有竿，不知其长短. 将这根竿子横放，竿比门宽长出4尺；将这 根竿子竖放，竿比门高长出2尺；将这根竿 子斜着放，竿与门对角线恰好相等.问门的 对角线长为多少尺.若设门的对角线长为x 尺，则可列方程为 ( A.(x-2)2+(x-4)2=2x2 B.(x-2)2+42=x2 C.(x-4)2+(x-2)2=x2 D.（x-4)2+x2=(x-2)2 10.整体思想新理念若x=2是关于x的一元 二次方程ax2一bx+2=0的解，则代数式 2035+2a一b的值是 11.(教材P4习题T2变式)根据下列问题，列 出方程，并将其化成一般形式： (1)把一张面积为54cm2的长方形纸片的一 边剪去5cm,另一边剪去2cm,恰好变成 一个正方形，求这个正方形的边长x; (2)一个直角三角形的三边长是三个连续 偶数，求这个直角三角形的三边长 思维拓展 。。》强化素养 12.新定义新趋势已知关于x的一元二次方程 ax2十bx十c=0(a≠0)，如果a,b,c满足 3a+2b+c=0,我们就称这个一元二次方程 为“波浪方程”。 (1)判断方程2x2一x一4=0是否为“波浪 方程”，并说明理由； (2)已知关于x的“波浪方程”ax2一2x十 c=0的一个根为一1，求这个“波浪方程”. 第二十五章一元二次方程2