基本功专练(1)解一元二次方程（周测小卷）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（华东师大版·新教材）

的宽度为ym,则中间小路的宽度为2ym.由题意，得(30-y-y-2y)(20-y-y)=468, 整理，得2y-35y十33=0，解得y=16.5,y2=1.当y=16.5时，20-y-y=20-16.5 16.5=-13<0,不符合题意，舍去；当y=1时，30-y-y-2y=26,20-y-y=18,符合 题意.答：四周小路的宽度为1m.23.(1)解：10(6,0)(2)证明：：点D与点A关 于y轴对称，.∠CDE=∠CAO.:四边形ABCO为矩形，∴.BC∥AO.∴.∠ACB= ∠CAO.:∠CEF=∠ACB,·∠CDE=∠CEF,∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE 十∠DCE,∴·∠AEF=∠DCE.∴.△AEF∽△DCE.(3)解：当△EFC为等腰三角形时， 分三种情况讨论：①当CE=EF时，.'△AEF∽△DCE,.△AEF≌△DCE..AE= CD.点D与点A关于y轴对称，.CD=AC=10.AE=10.四边形ABCO为矩 形，.AO=BC=6..OE=AE-OA=10一6=4..点E的坐标为(4,0)：②当EF=FC 时，过点F作FM⊥CE于点M,则M为CE的中点，∴.CE=2ME=2EF·cos∠CEF =2Eas∠ACB=号ER,△AEF△E器-品即距SAG 空0E=AE-0A=要-5=子六点E的坐标为（子0）：③当CE=CF时，∠CFE =∠CEF.:∠CEF=∠ACB=∠CAO,∴.∠CFE=∠CAO,此时点E与点D重合，这 与已知条件矛盾，此种情况不存在，综上所述，当△EFC为等腰三角形时，点E的坐标 为4.0)或（子0） 期末综合评价（二） 1.B2D3.B4A5.D6.C7.D8A9.D10.D1.212.013.号 14.号15.4或g【解析】：四边形ABCD是矩形，∴∠B=9C.am∠ACB=授-6 BC6√3 -,∴∠ACB=30,AC=2AB=12cm分两种情况讨论：①如答图①，当∠APQ 90时，此时∠AQP=30°，∴.AQ=2AP,即12一t=2t,解得t=4:②如答图②，当∠AQP= 90时，此时∠APQ=30°，若0<t6,则AP=2AQ,.t=2(12-t),解得t=8(舍去)：若t>6, 侧点P与点B重合，∴AQ=方AB,即12-1=3解得1=9综上所述，当△AQ是直角三角 D B(P) 形时，t的值为4或9.C 答图① 答图② 16.解：(1)原式=2√3 -√6÷2+1-2V5+3=2√5-√5+4-2√3=4-√3.(2)由题意，得△=b-4ac=22 4X1×(-3m)>0,解得m>-子.17.解：1)③方程右边没有加1(2)移项，得 2x十4红=1.二次项系数化为1，得x+2x=分配方，得x十2x十1=号十1，即 （x+1-多由此可得x十1=士.=-1十5， 2 x2=-1-6 21 18.解：(1)如 图，△ABC1即为所求.(2)如图，△A2B,C2即为所求.(3)点P1的坐标(-2a,-2b). 4 19.解：(1)4 （2)画树状图如下： 0i23456789i0x 82 由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中 分给二人相邻座位的结果有6种，·分给小明的爸妈二人相邻座位的概率为0一0： 63 20.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC,AB∥CD.∴.∠ADE= ∠DEC,∠B+∠C=180°.：∠AFE=∠B,∠AFE+∠AFD=180°，∴.∠AFD=∠C .△ADFC∽△DEC.(2)解：四边形ABCD是平行四边形，.DC=AB=6√3.由(1) a△ADF△DEc,提瓷脚亮得DE=比知AD/C.AE CAEA血AE=丽=4后如B=器-名得-四 21.解：(1)设第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为x,根据题意，得 50(1十x)2=72.解得x1=-2.2(不符合题意，舍去)，x2=0.2=20%.答：第二、三周该 口味月饼销售量的周平均增长率为20%.(2)设该口味月饼每盒降价y元，则每盒的销 售利润为(150-y-10)元，周销售量为(72+器)盒.根据题意，得(150-y 10)(72+0)=2340.整理，得>+190y-420=0.解得n=一210不符合题意，舍去) =20,答：当该口味月饼每盒降价20元时，该店铺第四周销售这种口味月饼可获利 2340元.22.解：(1)14,4(2)过点G作GH⊥AB于点H,则∠GHB=∠B= ∠GFB=90°，.四边形HBFG为矩形，.HG=BF,设AH=xm,在Rt△AGH中， ∠AGH=45°，∴，GH=AH=xm,.BD=(x十14.4)m.根据平面镜成像可知，∠CDE =∠ADB..n∠CDE=m∠ADB,卿需-品号-解得r=,2 经检验，x=37.2是原分式方程的解.AB=AH十BH=37.2十1.5=38.7(m).答：安 阳文蜂塔AB的高度为38,7m23.解：1)①号②号(2)部的大小无变化，证明 如下：根据旋转的性质，得∠ACB十∠ACD=∠ECD十∠ACD,故∠BCD=∠ACE,又 畏能子△C△ACE部器品=三能的大小无变化 (3)线段BD的长为8②T-12或8√T+12.【解析】当A,D,E三点共线时，如答图 5 ①，根据勾股定理，得AD=√AC-CD=√I0-4=2√2I,故AE=AD十DE= 2VI+3,由（②）得，△BCD△AE,能-器能-是BD=告AE= 8②工十12，当A,E,D三点共线时，如答图@，根据勾股定理，得AD=√AC一CD 5 m-F=2V万，故AE=AD-DE=2V厅-3由(2)得△BCD△ACE铝 -器部-BD=告AE=8何2，综上所述，线段D的长为8何卫 5 5 或8V2+12 5 答图① 答图② 83 周测小卷答案 阶段微测试（一） 1.A2.C3.C4.A5.D6.B7.3(答案不唯-)8.279.2√2π10.2 11.解：(1)原式=2√5-2√5-5=-5.(2)原式=√÷√3=√3.(3)原式=3-1-4十2=0. 原式-(6厅-29+4)÷25=285÷2后-兰12.解：1)二括号前面 为负号，去括号没有变号 2 号-2疗+=反.1以解：根据题意，得行0：解得x=3.将=3代入 2 3-x≥0， √x-3十√/3-x+4,得y=4.∴.√/2十y=√32十4=√/25=5.14.解：由数轴可得 c-a>0,a-b<0,b-c<0,.原式=a-b-(c-a)十b-c|=-a+b-c十a-b十c =0.15.解：x=3十5，y=3-V5,∴.x十y=6,x-y=2V5,xy=4.(1)x2-y2= (x+y)(x-y)=6X25=125.(2)义+=+父=x士D-2y=6=2X4=7. 4 基本功专练（一）解一元二次方程 1解：)移项，得4x=25方程两边都除以4，得=空直接开平方，得x=士号.即 1=号=-子2)移项，得2十6r=1.配方，得2十2·r…3十=1十3，即 5 (x十3)2=10.直接开平方，得x十3=士√10..x1=10-3,x2=-√10-3.(3)将方 程化为一般形式，得9x2十7x十2=0.这里a=9,b=7,c=2.,b2-4ac=72-4×9×2 =一230，.原方程无实数根.(4)将方程化为一般形式，得5x2一4x一1=0.这里a= 5,b=-4,c=-1.:B-4ac=(-4)2-4X5×(-1)=36>0,.x=b±=4ac 2a 二（二议吉医-信，即五=1=专⑤方程左边分解因武：得一1十21 2X5 -2)=0,即(x十1)(x-3)=0..x十1=0或x-3=0,得x1=-1,x2=3.(6)移项，得 4r-8x=1.两边都除以4，得-2x=子.配方，得-2·x1十1=子十1，即 任一1=平直接开平方得一1=士9=1号4=19（原方程可以 变形为(x-2)2-2(x一2)=0.方程左边分解因式，得(x一2)(x一2-2)=0，即 (x-2)(x-4)=0.∴.x-2=0或x-4=0,得x1=2,x2=4.(8)整理，得(x-3)2= (6-2),直接开平方，得x一3=5-2x或x-3=2x一5，=号=2.(9)整理， 得y2-5y-6=0.方程左边分解因式，得(y-6)(y+1)=0.∴·y-6=0或y十1=0，得 y=6,y2=-1.(10)方程左边分解因式，得(x十5-1)(x十5-3)=0，即(x十4)(x十2) =0..x十4=0或x十2=0，得x1=-4,x2=-2.2.解：(1)一二(2)习题1：原方 程可以变形为3x(x-6)-（x一6)=0.方程左边分解因式，得(x一6)(3x一x十6)=0， 即(x-6)(2x十6)=0，x-6=0或2x十6=0.得x1=6,x2=-3.习题2：将原方程化 为一般形式，得x2-6.x十8=0.这里a=1,b=-6,c=8.-4ac=(-6)2-4×1×8 =40=二上公亚-号-6号，即=4=23解：方程有两个 2a 不等的实数根，∴.A=一4c>0,即b>4c.∴.选择②③均可.选择②，则这个方程为x2 十3十1=0，解得=二35，x=-3,5选择@，则这个方程为x十3x-1=0, 2 解得1=二3十压，=二3，压.（②③任选一个作答即可）4.解：1)由题意，得 2 原方程为2x2-5.x-3=0.这里a=2,b=-5,c=-3.6-4ac=(-5)2-4×2× 《一3》=0>0x=-b生证-5吃-学即=一言=82)：关 2a 2×2 于x的一元二次方程2x2-5x-m=0有两个不等的实数根，.（一5）2-4×2×(-m) >0,解得m>一 .5.解：(1)由题意，得x(x-1)-3×4=0,解得x1=4,x2=一3. (2)由题意，得x(mx十1)-m(2x-1)=0.整理，得m.x2十(1-2m)x十m=0.,此方程 84 有两个实数根，∴4=(1-2m)-4m·m≥0且m≠0，解得m<且m≠0. 阶段微测试（二） 1.A2.B3.C4.C5.D6.C7.08.没有9.-210.411.解：(1)移项，得 3(2x-1)2=27.方程两边都除以3，得(2x-1)2=9.直接开平方，得2x-1=士3，即x1 =2,x2=-1.(2)这里a=2,b=-7,c=4.:b2-4ac=(-7)2-4×2×4=17>0, x=生4@c=生厘=生亚，即=士亚，=7二亚.(3)方程 2a 2×2 4 4 4 左边分解因式，得(3x十2+2x)(3x+2-2x)=0,即(5x十2)(x十2)=0..5x十2=0或 x十2=0，得4=-子=-2.12.解：由题意知m≠04=6-4c=[-(3m-1D 4m(2m-1)=1,解得m1=0(舍去)，m2=2..原方程为2x2-5x十3=0，解得x1=1, =号.13.解：(1)配方法二(2)公式法：这里a=1,6=8=-9.8-4ac=8 -4X1×(-9=10>0,.x=二YB4ac=-80西=二810.即1=1， 2a 2×1 2 =一9.因式分解法：方程左边分解因式，得(x-1)(x十9)=0..x一1=0或x十9=0. 得x1=1,x2=-9.(选取其中一种方法即可)14.解：(1)由题意，得△=-4ac= (-4)-4(m十2)>0，解得m<2.(2):m<2,.m的最大整数值为1.当m=1时，方程 为x2-4x十3=0，解得x1=1,x2=3.15.解：(1)3(2)是一元二次方程.由题意，得 (t十2)2-(t十2)(2t十1)=0.整理，得t十t-2=0.∴.(t十2)￥(2t十1)=0是一元二次 方程.解方程P十t-2=0,得t1=-2,=1.(3)不是.理由如下：由题意，得(x十2)2一 (x十2)=3.整理，得x2+3x-1=0.这里a=1,b=3,c=-1.:-4ac=32-4×1× （-1D=13>0,x=生店@c=-3志=-3压方程(x十2》*1=3的 2a 2×1 2 根不是x=3巨 2 阶段微测试（三） 1.D2.A3.D4.A5.A6.C7.-38.49.一610.611.解：(1)移项，得 之2-2x=5两边都除以宁，得-4红=10，配方，得-2·c·2十2=10十2，即 (x-2)=14.直接开平方，得x-2=士√14.x1=2十√14，x2=2-√/14.(2)将方程 化为一般形式，得x2-8x-20=0.这里a=1,b=-8,c=-20.:b2-4ac=(-8)2-4 X1X(-20)=144>0,x=-b生4a_8厘=8告12.即x1=10,- 2a 2×1 2 -2.(3)方程左边分解因式，得(x-3)(x一3十4x)=0,即(x-3)(5x-3)=0..x一3= 0或5x-3=0,得x=3,x=号.(4)将方程化为一般形式，得3r2十5x-12=0.这里a= 3,b=5,c=-12.-4ac=52-4X3×(-12)=169>0,x=-b±YB=4a 2a 二5@-5.13.即x1=号x=-3.12.解：1)3x（60-)（2》根据题 2X3 6 意，得(30十3.x)(60-x)=3600.整理，得x2-50.x十600=0.解得x1=20,x2=30.:要 更有利于减少库存，.x=30.答：每件商品应降价30元.13.(1)证明：，△=(2m十 1)2一4×1×(m一2)=4m2十9>0，∴.无论m取何值，此方程总有两个不等的实数根. (2)解：由(1)得，当=0时，判别式的值最小.把m=0代入方程，得x2十x一2=0，解 得x1=一2，x2=1.14.解：(1)设P,Q两点的运动时间为ts(0<t3.5).根据题意， 得AQ=tcm,BP=2tcm,则BQ=(5-)cm.当S△me=4时，号(5-)×21=4.整理， 得-5t+4=0.解得t=1,t2=4(舍去)..1s后，△PBQ的面积等于4cm2, (2)△PBQ的面积不能等于7cm2.理由如下：由(1)知，当△PBQ的面积等于7cm2时， 2(5-)X21=7.整理，得-51+7=0.：△=(-5)2-4X1X7=-3<0,该方程 无实数根.∴.△PBQ的面积不能等于7cm. 阶段微测试（四） 1D2.A3.B4A5D6C7.25-28号9.135°101.2或3 -85 11.解：(1)48° 号(2)：四边形ABCD四边形ABC'D,0=光=品， AB BC CD 即号=C-0BC=12,CD=15、12解：AB=BC能=2，会C=8k/ ,架-0-2GF=号AG=2mAF=AG+6F=6cmah8器 DF =AC=3.∴EF=DF=；cm13.(1)解：对对错(2)证明：小星的证明： BC 3 ∠ACP=∠B,∠A=∠A,“△ACPn△ABC,小红的证明：北=S,∠A=∠A, .△ACP△ABC.14.(1)证明：：∠BCE=∠ACD,.∠BCE+∠ACE=∠ACDH ∠ACE,即∠ACB=∠DCE.又∠A=∠D,∴.△ABC∽△DEC.(2)解：△ABC △c器-()-是竖青：c=8亮-专∴c-18 15.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，.AB∥CD,∠A=∠BCD..∠FDG=∠AFD. 由折叠的性质，得∠DFG=∠BCD,∴.∠DFG=∠A,∴.△DFG△FAD.(2)解：由折 叠的性质，得DF=CD=5:△DFGn△FAD.S-既即G-号∴DG=号 3 CG-DG-CD-AB-5,AF-3.BF-AB-AF-2.CG/BFCGE 10 △BFE-器=了=号C=5BE=2BC=吕 基本功专练（二）与相似的性质和判定有关的计算与证明 1.证明：：∠BDC+∠ADC=180°，∠BDC+∠BCA=180°，.∠ADC=∠BCA. 又：∠A=∠A,∴△ADC∽△ACB.2.证明：：BD平分∠ABC,.∠DBE= ∠CBD.BD=BC·BES- .∴△BCDp△BDE.3.证明：根据勾股定理， 得AB=V公T=反.：BD=1,C=5能=怎，器=得能=器 又∠ABD=∠CBA,△ABD∽△CBA.4.证明：选择①∠E=∠A.DE∥BC, ÷∠EDB=∠ABC又：∠E=∠A,△EDB△ABC选择@R-肥.：DE/ BC.∠EDB=∠ABC,RE肥.△EDBO△ABC,(任选一个即可)5证明： CD平分∠ACB,∠BCD=∠ACD.:DE∥AC,∴.∠EDC=∠ACD..∠EDC= ∠BCD.DE=C.:DE∥AC△DBEO△ABC÷器-R÷器-e 6.(1)证明：：DE∥BC,DF∥AC,.∠ADE=∠B,∠A=∠BDF,∴.△ADE∽△DBF (@屏：渭-是小品号△ADE△DBF,黑-（品）=合 /AD2 2 4 AD 4 =号SAmF=4.DE∥BC,“.△ADE∽△ABC,.A元】=25.SaAc S△ABC 2克SADe=25.7.(I)证明：AF1DE,AG1BC,∠AFE=∠AGC=90.∠AED =90-∠EAF.∠C=90°-∠GAC.∠EAF=∠GAC,∴.∠AED=∠C.又：∠DAE =∠BACi△ADB△ABC.(2)解：号8.(1)证明：四边形ABCD是正方形. ∴.∠B=90,AD∥BC..∠AMB=∠EAF.:EF⊥AM,.∠AFE=90..∠B= ∠AFE..△ABMD△EFA.(2)解：在Rt△ABM中，AB=8,BM=6,.AM= AB于BF=-10.:F是AM的中点AF=AM=5.:△ABMD△EFA fA =兴即号-品AE=号 3 阶段微测试（五） 1.A2.B3.D4.C5.D6.B7.28.(2,-1)9.0.910.(3,300)或 (3,120°)11.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求.(2)如图，△A2B2C2即为所求，点B2 的坐标为(10,4). y 12.解：(1)如图所示 86 北(2)点B在点C南偏西45°方向，距离点C5√2km处.13.解：设 DK交EM于点O.由题意，得MK=GM=45m,BC=DE=0.75m,AC=AB+BC= 2.25mBD=CE=3m:AC/DE,△0DE0△0AC÷瓷-.即O2 2装：0E=15a:DEK△0D8△0KM器-器即0成-9 .OM=9m..EM=OE+OM=10.5m.答：河宽EM为10.5m.14.证明：(1)：BE 平分∠ABC,.∠ABE=∠CBE.'∠BAC=90°，AD⊥BC,∴.∠ABC+∠BAD=90, ∠ABC+∠ACB=90°，∴.∠BAD=∠ACB,即∠BAM=∠ECB..△ABMD△CBE. ÷2￥BM:(E=AM,BE,(2):∠BAD=∠ACB,∠ADB=∠BAC=90 ∴△ADB△CAB小部-AB=BD·C:∠BAC=∠ADC=90,∠CA= ∠ACD△ACO△ADC∴S-CAC=CD·CAg-D:BC-80 AC=CD·B元=CD ADBC..FFC,EF∥AD.△CFB△CDA需需：BD=CF,器 器器船。 阶段微测试（六） 1.c2.c3.D4.D5.C6.C7,60°8.59.410.0 10 11.解：(1)原式= 4x号-×号=2-1=1.2)原式=高+=-源、12.解：过点A作 2+3=+_75 AH1BC于点H,在RAACH中，casC-是子AC=2CH=号AC=号 ∴AH=VAC-CF=号：在R△ABH中，∠B=30AB=2AH=913.解： 过点A作AC⊥BD,垂足为C.由题意，得CD=AE=3m,AC=12m,AB=20m.在 Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=√JAB-AC=16m..BD=BC+CD=16十3= 19(m)..发生火灾的住户窗口距离地面19m.14.解：(1)：∠ACB=90°，D是边AB 的中点，.AD=CD=BD..∠DCA=∠A=36°..∠BCD=∠ACB-∠DCA=54, (2)由(1)知CD=BD,∠DCA=∠A,∴.∠DCA=30°.∴.∠DCB=∠ACB-∠DCA= 60.△DCB是等边三角形.：DE⊥AC,∠DEC=90.∴DE=号CD.BC= CD=2DE.又：DE+DC=6,DE=2.CE=am25C=2E.15,解：1D在 DE R△AnC中，anB=二=是∴设AC=3C=4,:ACe+BC=AB()+ (4x)2=5,解得x=1(负值已舍去).∴.AC=3,BC=4.BD=1,.CD=BC-BD=3. .AD=√CD+AC=3√2.(2)过点D作DE⊥AB于点E.在Rt△BED中，tanB= 招E-设DE=3,则BE=4y.BE+DE=BD,(3)+(4y)=1P,解得 甘负价已余去以DE=号小如器后品 基本功专练（三）解直角三角形的应用 1.解：过点B作BE⊥AD于点E,则∠AEB=90°.：在Rt△AEB中，∠BAD=72°，AB =200cm,.BE=AB·sin∠BAD≈190cm.答：遮阳棚前端B到墙面AD的距离约为 190cm.2.解：.'在Rt△ABC中，AB=2m,∠ABC=43°，.AC=AB·sin∠ABC≈ AC 1.36m.:在Ri△ADC中，∠ADC=31,CD=tan ZADC≈2.3m答：斜坡AD底端 D与平台的距离CD约为2.3m3.解：过点P作PC⊥AB于点C,则∠ACP=∠BCP 87基本功专练（一）解一元二次方程 (时间：40分钟满分：100分) 1.(60分)用适当的方法解下列方程： (6)4x2-5x=1+3x; (1)4x2-25=0; (2)x2+6x-1=0; (7)(x-2)2=2x-4; (3)9x2+2=-7x; (8)x2-6x+9=(5-2x)2; (4)5.x2-3x=x+1; (9)(y-2)(y-3)=12; (5)(x-1)2-4=0; (10)(x+5)2-4(x+5)+3=0. ·3· 2.(9分)复习课上，老师展示了两道解方程 4.(10分)已知关于x的一元二次方程2x2一 的题目，如表所示： 5x-m=0(m为常数)， 习题1 习题2 (1)当m=3时，求该方程的实数根； x(x-4)=2(x-4). (2)若该方程有两个不等的实数根，求m 3x(x-6)=(x-6)2. 整理，得x2-6x=一8. 第一步 的取值范围。 3x=x一6.第一步 这里a=1,b=一6，c=一8.第二步 3x-x=-6. 第二步：b2-4ac=68>0,第三步 x=一3.第三步 方程有两个不相等的实数根， 即x=3十√7，=3-√7.第四步 (1)两道题的解法都不正确，习题1出错在 第 步，习题2出错在第 步； (2)从以上两道习题中任选一题，写出解 答过程 5.(12分)规定：对于任意实数a,b,c,d有 [a,b]￥[c,d]=a-bd,其中等式右边是 乘法和减法运算.如：[3,2][5,1]=3× 5-2×1=13. (1)已知[x,3]￥[x-1,4]的值为0，求x 的值； (2)若关于x的方程[x,2x-1]￥[m.x+ 1,m]=0有两个实数根，求m的取值 范围 3.(9分)已知关于x的一元二次方程x2十 bx十c=0,在下列关于b,c的四组值中选 择其中一组，使这个方程有两个不等的实 数根，并解这个方程， ①b=2,c=1; ②b=3,c=1; ③b=3,c=-1; ④b=2,c=2.