23.1 测量&23.2 直角三角形的性质（随堂反馈）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（华东师大版·新教材）

当堂练习 1.C2.D3.号4.证明：DE∥BC,EF∥AB,∴四边形DBFE是平行四边形. :DE=BR.:DE/C,△ADEn△ABC-EA把-5证明： AD⊥BC,∠ADB=∠ADC=90.DE⊥AB,.易得△ABD∽△ADE.AP= LAE 厂部∴AD=AE·AB,同理，得AD=AF·AC.“AE·AB=AF·AC. 22.4位似图形 知识梳理 ②相似比 当堂练习 1.C2.C3.B4.D5.解：(1)如图，△AB1C即为所求 1 (2) 22.5图形与坐标 22.5.1用坐标确定位置 当堂练习 1.A2.C3.(一4,4)4.解：建立平面直角坐标系如图所示.广场(0,0)，第一中学 (-1,-2) 酒店（一2,0），商场(-1,2)，第二中学(2,1).（答案不 商场 第工中学 0 酒店广场 一中学 唯一) 22.5.2图形的变换与坐标 知识梳理 (-)(-,-》xy叶)(x,(,名） 当堂练习 1.B2.A3.(-3,-1)4.(4,2)或(-4，-2)5.解： (1)如图，△AB1C即为所求.三个顶点的横坐标不变，纵坐 标为对应点纵坐标加3.(2)如图，△A2B2C2即为所求.三个 顶点的横坐标不变，纵坐标为对应点纵坐标的相反数.(3)如 图，△A:B,C即为所求.点C的坐标不变，点A在点A的基础 上，横坐标减2，纵坐标减2，点B在点B的基础上，横坐标减 1,纵坐标加1.(4)如图，△A1B1C即为所求.点C的坐标不 变，点A,在点A的基础上，横、纵坐标都加4，点B,在点B的基础上，横坐标加2，纵坐 标减2. 第23章解直角三角形 23.1测量 当堂练习 1.C2.483.解：ABLBC.CE_.-AB//CE△ADB△EDC瓷-器 即4B30 -0AB=33m.答：河宽AB为33m4.解：根据题意，得AB⊥CD,BC= 15m,BD=6m.在Rt△ABC中，：AB2十BC2=AC,AB2+152=(25-AB)2. ∴AB=8m.在Rt△ABD中，AD=√AB+BD=10m.答：梯子的长为10m. 23.2直角三角形的性质 知识梳理 ①互余②平方3一半④30 94 当堂练习 1.C2.C3.C4.85.156.解：AB=13,AD=12,BD=5,132=12+5, .△ABD是直角三角形，∠ADB=90°.∴.∠ADC=90°，AC=20,∴.CD= √AC-AD=√/202-12=16.∴.BC=BD+CD=5+16=21. 23.3锐角三角函数 23.3.1锐角三角函数 第1课时锐角三角函数 知识梳理 0名g1 当堂练习 1.C2.A3D495,解：∠C=90,BC=4anA=号即-号.AC= 6A8-a匹-2压器，泰2四 第2课时特殊角的三角函数值 知识梳理 当堂练习 1D2B3直角4解：①原式-5×9-3×（号）-号-号-02)原式-2 2 ×号-号××号+（）--+是-5解：在R△AC市∠C-0 AB=8C=4AC=VaB-=V8-4=4∴msA-A6=专子 ∴.∠A=60° 23.3.2用计算器求锐角三角函数值 1.A2.C3.A4.3.55.解：(1)原式≈-0.6959.(2)原式≈1.7692. 23.4解直角三角形 第1课时解直角三角形及其简单应用 当堂练习 1.A2.C3B4.215.号6.解：1)：∠C=90,c=8,∠A=30,a= 2c=4, b=c·cosA=4V3,∠B=90°-∠A=60°.(2)：∠C=90°，a=5,b=12,c=√a+F =13,anA=号=是∴∠A≈2.6.∴∠B=90-∠A=67.4 第2课时与仰角、俯角有关的解直角三角形的应用 知识梳理 仰角俯角 当堂练习 1.A2.B3.D4.75.解：根据题意，得∠A=a=17°，∠CBD=B=45°.在Rt△ACD 中CD=5m,AD气≈16,1m.在R△BCD中，BD=an无BD=5m, .AB=AD-BD=11.1≈11m.答：最远点与最近点之间的距离AB约为11m. 第3课时与坡度、坡角有关的解直角三角形的应用 知识梳理 0÷gan。大陡 当堂练习 1.A2.C3.54.解：坡CD的坡度是1：1.5，DF=4m,am∠DCF=DF= C℉1.5 CF=1.5DF=5m“发AB的坡度是11，AE=4an∠ABE-分能子-1 ∴.BE=AE=4m.易得四边形AEFD是矩形，.EF=AD=2.5m.∴.BC=BE+EF+ CF=4十2.5十6=12.5(m).答：坝底宽BC是12.5m 95 第24章随机事件及其概率 24.1在重复试验中观察随机现象 第1课时确定事件与随机事件 知识梳理 ①一定一定不会确定事件②无法预先 当堂练习 1.A2.D3.解：(1)(3)(5)是必然事件，(2)(4)是不可能事件，(6)是随机事件 4.解：(1)不同意.理由：因为每次抛掷硬币“正面朝上”是一个随机事件，它不受前面出 现结果的影响，虽然前面3次出现的结果都是“正面朝上”，但第4次可能出现“正面朝 上”或“正面朝下”，所以第4次抛掷硬币落地后“正面朝上”是随机事件，故不同意。 (2)不同意.理由：因为每次买彩票是否中一等奖是一个随机事件，且它不受前面出现 的结果的影响，所以“今后他买彩票中一等奖”是随机事件，故不同意. 第2课时用频率估计随机事件发生的机会的大小 知识梳理 频率 当堂练习 1.D2.33%3.62%4.解：(1)猜测：正面朝上的机会为50%.(2)因为试验次数较 小，事件出现的频率与事件出现的机会有比较大的差距，不能据此估计事件发生的 机会. 24.2随机事件的概率 24.2.1概率及其意义 知识梳理 可能性 当堂练习 1LD2.C3A4专5解，P(指针落在标有6的区城内)=言·(2)P(指针落 在标有9的区域内)=0，(3)P(指针落在标有偶数的区域内)一音-号.（④）P(指针落 在标有偶数或奇数的区域内)=1. 24.2.2频率与概率 当堂练习 1.A2.A3.A4.0.95.解：(1)0.700.70(2)发芽的频率接近0.70，.这种 油菜籽发芽的概率估计值为0.70.理由：在相同条件下进行多次重复试验，某一事件的 发生频率近似等于概率.(3)在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗约 10000×0.70×90%=6300(棵). 24.2.3 列举所有机会均等的结果 当堂练习 1.D2.C 1 4.3 5解：1D (2)列表如下 y B C D A (A,A) (B,A) (C,A) (D,A) B (A,B) (B,B) (C,B) (D,B) C (A,C) (B,C) (C,C) (D,C) D (A,D) (B,D) (C,D) (D,D) 共有16种等可能的结果，其中抽到的都是合格品的结果有9种，∴.P(抽到的都是合格 9 品)=16 96第23章解直角三角形 23.1测量 当堂练习 1.如图，有两棵树，一棵高8m,另一棵高2m,两树相距8m,一只小鸟从一棵树的树梢飞 到另一棵树的树梢，至少飞行 ( ) A.6 m B.8 m C.10m D.18m 42m 8m (第1题图) (第2题图) 2.如图，为了测量油桶内油面的高度，将一根细木棒自油桶小孔插入桶内，测得木棒插入 部分的长为100cm,木棒上沾油部分的长为60cm,桶高为80cm,那么桶内油面的高 度是 cm. 3.如图，为了估计河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A,在近岸取点B,使AB 与河岸BC垂直，在近岸取点C,E,使CE⊥BC,AE与BC交于点D.已测得BD= 30m,CD=10m,EC=11m,求河宽AB. 4.如图，一棵高25m的大树在一次台风中被刮断，树顶落点C到树根B的距离为15m. 科研人员要查看断痕A处的情况，在与树根B距离6的D处竖起一个梯子AD.已 知点D,B,C在同一条直线上，则这个梯子有多长？ ·26· 23.2直角三角形的性质 知识梳理 ①直角三角形的两个锐角 ②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 (勾股定理). ③直角三角形斜边上的中线等于斜边的 ④在直角三角形中，如果一个锐角等于 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半 当堂练习 1.已知直角三角形中30°角所对的直角边为3cm,则斜边的长为 ( A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm 2.直角三角形两条直角边长分别是6和8，则斜边上的中线长为 A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，D为边AC的中点，BD=2,则BC的 长为 ) A.√3 B.2√3 C.2 D.4 D B E (第3题图) (第4题图) (第5题图) 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D,E,F分别为AB,BC,AC的中点.若EF的长 为8，则CD的长为 5.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=30,BC=40,将△ABC折叠，使点B恰好落在 边AC上，与点B'重合，AE为折痕，则EB=· 6.如图，点D是△ABC的BC边上的一点，已知AB=13,AD=12,AC=20,BD=5.求 BC的长. ·27·