22.3.3 相似三角形的性质&22.3.4 相似三角形的应用（随堂反馈）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（华东师大版·新教材）

21.2一元二次方程的解法 21.2.1直接开平方法和因式分解法 第1课时直接开平方法 当堂练习 1.D2.C3.m≥-44.9x=-35.解：(1)移项，得x=3.直接开平方，得x= 士5即=厅，x=一瓜，(2)方程两边都除以9，得=票。直接开平方，得x 士号即=号=一号(8)原方程可以变形为一5=36，直接开平方，得一5 =士6，=1，=-1.(4)方程两边都除以9，得(x十1)2=9直接开平方，得x十1 1 第2课时因式分解法 当堂练习 1,C2.B3.54.解：(1)方程左边分解因式，得x(5x十3)=0..x=0或5x十3=0， 得=0，函=-子.(2)原方程可以变形为x(x-5)十8(x一5)=0，方程左边分解因 式，得(x-5)(x十8)=0.∴.x-5=0或x十8=0，得x1=5,x2=-8.(3)整理，得x2 4x-12=0.方程左边分解因式，得(x-6)(x十2)=0.∴.x-6=0或x十2=0，得x1= 6,x2=-2.(4)方程左边分解因式，得(x-3)(x一3-9)=0，即(x-3)(x-12)=0..x-3 =0或x-12=0,得1=3，x2=12. 21.2.2配方法 知识梳理 ②非负常数 当堂练习 1.A2.C3.A4.(1)号(2)935.-236.解：1)移项，得2十12x=-27. 配方，得x2+2·x·6十62=-27十6，即(x十6)2=9.直接开平方，得x十6=士3. =一9,2=一3.(2)移项，得3x2-6x=5.两边都除以3，得x-2x=号.配方，得 父-22…1十1=号十15，即(-1》=号直接开平方，得x一1=士25=1十 3 3 w=1-26 26 3 21.2.3公式法 知识梳理 0x=b生B4ac(6-4ac≥0) 2a 当堂练习 1.B2.C3.B4.解：(1)方程左边分解因式，得x(x-3)=0.x=0或x-3=0,即 x1=0,x2=3.(2)将方程化为一般形式，得2x2一7x十3=0.这里a=2,b=-7,c=3, -4ac=（-72-4X2X3=25>0,.x=-b生店4ac-75至=7生5，即 2a 2×2 4 之x=3.(3)原方程可化为3(x-2)2=36.两边都除以3，得(x-2)2=12.直接开 平方，得x-2=士2√3..x1=2十2√3，x2=2-2.(4)将方程化为一般形式，得4x +20x+25=0.这里a=4,b=20,c=25.b2-4ae=20-4×4×25=0.∴.x= 0即一号 21.2.4一元二次方程根的判别式 知识梳理 ①△②不相等相等没有 当堂练习 1.B2.B3.-8没有4合 5.解：(1)原方程可变形为3x2-2x-1=0.△= (一2)2一4×3×(-1)=16>0，∴.方程有两个不相等的实数根.(2)原方程可变形为 91 x2十4x十4=0.：△=42-4×1×4=0，.方程有两个相等的实数根.6.解：由题意， 得△=（一6）2-4k×9=36-36k,且k≠0.(1)由题意，得△=36-36k>0,且k≠0，解得 k<1且k≠0.(2)由题意，得△=36-36k=0,且k≠0，解得k=1.(3)由题意，得△= 36-36k<0,且k≠0，解得k>1. 21.2.5一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 当堂练习 1.D2.D3.14.-15.解：(1)原方程可化为x2-6x十5=0，x十x2=6, 5 1m=5.(2)原方程可化为7x-5=0x1十=0,1x=-号，6.解：)由题意， 得△=22-4×1×(a-1)≥0，解得a≤2.(2)由题意，得x1十x2=-2,x1x2=a-1, 2x1十22-x1x2=2(x1十x2)-x1x2=5,.2X(-2)-(a-1)=5,解得a=-8. 21.3实践与探索 第1课时利用一元二次方程解决几何问题 当堂练习 1.D2.C3.14.85.解：(1)(100一2x)(50-2x)(2)根据题意，得 (100-2x)(50-2x)=3600.整理，得x2-75x十350=0.解得x1=5,x2=70(不符合题 意，舍去).答：正方形观光休息亭的边长为5m. 第2课时利用一元二次方程解决平均变化率、利润问题 当堂练习 1.B2.B3.20%4.八5.解：(1)401800(2)设每件商品降价x元.由题意， 得(250-x-200)(30十2x)=2100.整理，得x2-35x十300=0.解得x1=20,x2=15. :为了让顾客得到更多的实惠，x=20.答：当每件商品降价20元时，商场通过销售 这种商品每天盈利可达到2100元. 第22章图形的相似 22.1成比例线段 22.1.1成比例线段 知识梳理 ①相同形状 8号=行（或a:h=c:山0片=言0 AP P AB 当堂练习 1.D2.D3.824.(40V5-40)5.解：(1)2a=3b,.2a-b=36b=2. b b (2):线段m是a,b的比例中项，m2=ab.:2a=3ba=6,b=2X6=4.m2=4X 3 6=24.m>0,.m=2√6. 22.1.2平行线分线段成比例 知识梳理 ①平行线 当堂练习 1.C2.A3.号4解：DE/BC,DF/AC∴四边形DpCF是平行四边形.FC-DE =2emDF∥AC既=0即要=号BP=1em5解：I:AB/CD/ 2 6 8 EF.AG-BRAC=6.BD=8.BF=20,=20.AE=15.CE=A AC=3.(2:AB/CDEF瓷-票-8=÷BF=205=是 .DF=15. 22.2相似图形 知识梳理 ①成比例相等②对应成比例对应相等③对应边的比 当堂练习 1.C2.C3.A4.100° 碧 24 5.解：设新的相框的另一边长为xcm,当所求的 一 92 边与20cm的边是对应边时，根据题意，得20：10=x：30,解得x=60.当所求的边与 10cm的边是对应边时，根据题意，得20：10=30：x,解得x=15.·新的相框的另一 边长为60cm或15cm. 22.3相似三角形 22.3.1相似三角形 知识梳理 ①成比例相等②c∽③相似 当堂练习 1.B2.C3.C4.55.解：.AD=6,CD=18,.AC=AD十CD=24.又.△ADE∽ △AC长0跟晋-京B=景∴AE=8AB=18.6解：AB/DE, 8 4 3 ADEC.=BC.AC=4 cm,BC=3 cm,CE=6 em, ..CD=8 cm..'.AD=AC+CD=4+8=12(cm). 22.3.2相似三角形的判定 第1课时相似三角形的判定定理1 知识梳理 相等 当堂练习 1.B2.B3.∠B=∠D(答案不唯一)4.解：∠C=∠D,∠APC=∠BPD, △AnC△BnD.÷把-8邵.即9=是：BD=5E明：DE/AC. .∠BED=∠C.EF∥AB,∴∠B=∠FEC.△BDE∽△EFC. 第2课时相似三角形的判定定理2,3 知识梳理 ①成比例夹角②成比例 当堂练习 1.D2.C3.1.54.证明：，AD=5,BD=3,AE=4,CE=6,.AB=AD十BD=8 AC=AEcE=10.∴荒=合-子光品=÷∴指把又：∠A=∠A △ADE△ACB.5.解：△ABC∽△DEF.理由如下：由题意，得AB=√+2= √5，BC=5,AC=√+32=√/10，DE=1,EF=√1+2=√5，DF=√1+1严=√2， 提-6祭-后后品爱-6提-祭茶△A8c△ER 22.3.3相似三角形的性质 知识梳理 ①相似比 ②相似比的平方③相似比 当堂练习 1.B2.A3.3:44.125.解：：四边形ABCD为平行四边形，.AD=BC,AD∥ BC..△AFD∽△EFB.又BE:EC=3:1,.BE:BC=3:4..BE:AD=3:4. SAAFD= S△EFB (常)广=（台）广-9Sw=5sam=32m. 22.3.4相似三角形的应用 第1课时相似三角形的实际应用 当堂练习 1C2B3解：准结MN“崇=品=品长=品=品装-能又 ZA=∠A,△ABCO△ANM祭-架=a:C=45mMN 3000m.答：M,N两地之间直线隧道的长为3000m.4.解：(1)△ABC∽△ADE.理 由如下：：BC⊥AE,DE⊥AE,.BC∥DE..△ABC∽△ADE.(2)由(1)知△ABC 船品，即2：DE=16.2m管：吉塔DE的商度为16.2m △ADE,AC=BC 第2课时等积式、比例式的证明与应用 知识梳理 ®中线号子 93 当堂练习 1.C2.D3.号4.证明：DE∥BC,EF∥AB,∴四边形DBFE是平行四边形. :DE=BR.:DE/C,△ADEn△ABC-EA把-5证明： AD⊥BC,∠ADB=∠ADC=90.DE⊥AB,.易得△ABD∽△ADE.AP= LAE 厂部∴AD=AE·AB,同理，得AD=AF·AC.“AE·AB=AF·AC. 22.4位似图形 知识梳理 ②相似比 当堂练习 1.C2.C3.B4.D5.解：(1)如图，△AB1C即为所求 1 (2) 22.5图形与坐标 22.5.1用坐标确定位置 当堂练习 1.A2.C3.(一4,4)4.解：建立平面直角坐标系如图所示.广场(0,0)，第一中学 (-1,-2) 酒店（一2,0），商场(-1,2)，第二中学(2,1).（答案不 商场 第工中学 0 酒店广场 一中学 唯一) 22.5.2图形的变换与坐标 知识梳理 (-)(-,-》xy叶)(x,(,名） 当堂练习 1.B2.A3.(-3,-1)4.(4,2)或(-4，-2)5.解： (1)如图，△AB1C即为所求.三个顶点的横坐标不变，纵坐 标为对应点纵坐标加3.(2)如图，△A2B2C2即为所求.三个 顶点的横坐标不变，纵坐标为对应点纵坐标的相反数.(3)如 图，△A:B,C即为所求.点C的坐标不变，点A在点A的基础 上，横坐标减2，纵坐标减2，点B在点B的基础上，横坐标减 1,纵坐标加1.(4)如图，△A1B1C即为所求.点C的坐标不 变，点A,在点A的基础上，横、纵坐标都加4，点B,在点B的基础上，横坐标加2，纵坐 标减2. 第23章解直角三角形 23.1测量 当堂练习 1.C2.483.解：ABLBC.CE_.-AB//CE△ADB△EDC瓷-器 即4B30 -0AB=33m.答：河宽AB为33m4.解：根据题意，得AB⊥CD,BC= 15m,BD=6m.在Rt△ABC中，：AB2十BC2=AC,AB2+152=(25-AB)2. ∴AB=8m.在Rt△ABD中，AD=√AB+BD=10m.答：梯子的长为10m. 23.2直角三角形的性质 知识梳理 ①互余②平方3一半④30 94 当堂练习 1.C2.C3.C4.85.156.解：AB=13,AD=12,BD=5,132=12+5, .△ABD是直角三角形，∠ADB=90°.∴.∠ADC=90°，AC=20,∴.CD= √AC-AD=√/202-12=16.∴.BC=BD+CD=5+16=21. 23.3锐角三角函数 23.3.1锐角三角函数 第1课时锐角三角函数 知识梳理 0名g1 当堂练习 1.C2.A3D495,解：∠C=90,BC=4anA=号即-号.AC= 6A8-a匹-2压器，泰2四 第2课时特殊角的三角函数值 知识梳理 当堂练习 1D2B3直角4解：①原式-5×9-3×（号）-号-号-02)原式-2 2 ×号-号××号+（）--+是-5解：在R△AC市∠C-0 AB=8C=4AC=VaB-=V8-4=4∴msA-A6=专子 ∴.∠A=60° 23.3.2用计算器求锐角三角函数值 1.A2.C3.A4.3.55.解：(1)原式≈-0.6959.(2)原式≈1.7692. 23.4解直角三角形 第1课时解直角三角形及其简单应用 当堂练习 1.A2.C3B4.215.号6.解：1)：∠C=90,c=8,∠A=30,a= 2c=4, b=c·cosA=4V3,∠B=90°-∠A=60°.(2)：∠C=90°，a=5,b=12,c=√a+F =13,anA=号=是∴∠A≈2.6.∴∠B=90-∠A=67.4 第2课时与仰角、俯角有关的解直角三角形的应用 知识梳理 仰角俯角 当堂练习 1.A2.B3.D4.75.解：根据题意，得∠A=a=17°，∠CBD=B=45°.在Rt△ACD 中CD=5m,AD气≈16,1m.在R△BCD中，BD=an无BD=5m, .AB=AD-BD=11.1≈11m.答：最远点与最近点之间的距离AB约为11m. 第3课时与坡度、坡角有关的解直角三角形的应用 知识梳理 0÷gan。大陡 当堂练习 1.A2.C3.54.解：坡CD的坡度是1：1.5，DF=4m,am∠DCF=DF= C℉1.5 CF=1.5DF=5m“发AB的坡度是11，AE=4an∠ABE-分能子-1 ∴.BE=AE=4m.易得四边形AEFD是矩形，.EF=AD=2.5m.∴.BC=BE+EF+ CF=4十2.5十6=12.5(m).答：坝底宽BC是12.5m 95 第24章随机事件及其概率 24.1在重复试验中观察随机现象 第1课时确定事件与随机事件 知识梳理 ①一定一定不会确定事件②无法预先 当堂练习 1.A2.D3.解：(1)(3)(5)是必然事件，(2)(4)是不可能事件，(6)是随机事件 4.解：(1)不同意.理由：因为每次抛掷硬币“正面朝上”是一个随机事件，它不受前面出 现结果的影响，虽然前面3次出现的结果都是“正面朝上”，但第4次可能出现“正面朝 上”或“正面朝下”，所以第4次抛掷硬币落地后“正面朝上”是随机事件，故不同意。 (2)不同意.理由：因为每次买彩票是否中一等奖是一个随机事件，且它不受前面出现 的结果的影响，所以“今后他买彩票中一等奖”是随机事件，故不同意. 第2课时用频率估计随机事件发生的机会的大小 知识梳理 频率 当堂练习 1.D2.33%3.62%4.解：(1)猜测：正面朝上的机会为50%.(2)因为试验次数较 小，事件出现的频率与事件出现的机会有比较大的差距，不能据此估计事件发生的 机会. 24.2随机事件的概率 24.2.1概率及其意义 知识梳理 可能性 当堂练习 1LD2.C3A4专5解，P(指针落在标有6的区城内)=言·(2)P(指针落 在标有9的区域内)=0，(3)P(指针落在标有偶数的区域内)一音-号.（④）P(指针落 在标有偶数或奇数的区域内)=1. 24.2.2频率与概率 当堂练习 1.A2.A3.A4.0.95.解：(1)0.700.70(2)发芽的频率接近0.70，.这种 油菜籽发芽的概率估计值为0.70.理由：在相同条件下进行多次重复试验，某一事件的 发生频率近似等于概率.(3)在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗约 10000×0.70×90%=6300(棵). 24.2.3 列举所有机会均等的结果 当堂练习 1.D2.C 1 4.3 5解：1D (2)列表如下 y B C D A (A,A) (B,A) (C,A) (D,A) B (A,B) (B,B) (C,B) (D,B) C (A,C) (B,C) (C,C) (D,C) D (A,D) (B,D) (C,D) (D,D) 共有16种等可能的结果，其中抽到的都是合格品的结果有9种，∴.P(抽到的都是合格 9 品)=16 9622.3.3相似三角形的性质 知识梳理 ①相似三角形对应边上的高的比等于 ②相似三角形的面积的比等于 相似三角形对应角的平分线、对应边上的中线、周长的比等于 当堂练习 1.若两个相似三角形对应边的比为1：3，则它们的周长之比为 ) A.1:3 B.1:3 C.1:6 D.1:9 2.如图，△ABCP△A'BC',AD和A'D'分别是△ABC和△A'BC的高.若AD=2, A'D'=3,则△ABC与△A'BC'的面积比为 ( ) A.4:9 B.9:4 C.2:3 D.3:2 B' D C B'D'C' (第2题图) (第3题图) 3.如图，△ABCn△A'BC,相似比为，AD,AD'分别是边BC,B'C'上的中线，则AD: A'D'=. 4.若△ABC△A'B'C',AB=16cm,A'B'=4cm,AD平分∠BAC,A'D'平分∠BA'C',A'D'= 3cm,则AD的长为cm. 5.如图，在□ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于点F.已知BE:EC=3：1,S△FB= 18cm,求△AFD的面积. ·20· 22.3.4相似三角形的应用 第1课时相似三角形的实际应用 当堂练习 1.如图，为了测量一池塘的宽DE,在岸边找到一点C,测得CD=30m,在DC的延长线 上找一点A,测得AC=5m,过点A作AB∥DE,交EC的延长线于点B,测得AB= 6m,则池塘的宽DE为 ( A.25m B.30m C.36m D.40m D E 30 40 50 AB D A (第1题图) (第2题图) 2.我们可用“斜尺”测量管道的内径（如图）.若玻璃管的内径DE正对“30”刻度线，已知 AB的长为5mm,DE∥AB,则玻璃管内径DE的长为 ( A.2.5 mm B.3 mm C.3.5 mm D.4 mm 3.如图，某高铁在修建时需将位于山两侧的M,N两地间打通一条直线隧道，工程人员 为了计算M,N两地之间的直线距离，选择了在测量点A,B,C进行测量，点B,C分别 在AM,AN上.现测得AM=1200m,AN=2000m,AB=30m,BC=45m,AC= 18m,求M,N两地之间直线隧道的长. 4.如图，小明欲测量一座垂直于地面的古塔DE的高度，他直立站在该塔的影子AE上 前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他与该塔的距离 CE=32m.已知小明的身高BC=1.8m,他的影长AC=4m. (1)△ABC与△ADE是否相似？请说明理由. (2)求古塔DE的高度. ·21· 第2课时等积式、比例式的证明与应用 知识梳理 ①利用相似三角形可以证明几条线段之间的乘积关系. ②三角形三条边上的 交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连 线的长是对应中线长的 当堂练习 1.如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上，且DE∥BC,以下结论正确的是 A.AB:AD=DE:BC B.AD:DB=DE:BC C.AD:DB-AE:EC D.AE:AC-AD:DB B B E (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CDI AB于点D,下列结论中，错误的是() A.AC2=AD·ABB.BC=BD·BA C.CD=AD·DBD.CD=AC·BC 3.三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心.如图，AE,CF分别是△ABC 的边BC,AB的中线，点G是△AnC的重心，则器 4知图，点DF分别在△AC的边AB.AC,C上，且DE/,F/A求证部瓷 D B 5.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证：AE·AB= AF·AC. ·22·