22.1 成比例线段&22.2 相似图形（随堂反馈）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（华东师大版·新教材）

第22章图形的相似 22.1成比例线段 22.1.1成比例线段 知识梳理 ①具有 的图形称为相似图形. ②对于给定的四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长 度之比，如 ,那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，此时也称这 四条线段成比例， ③比例的基本性质：如果号=行，那么ad=bc;如果adl=bc,那么 ④将一条线段AB分成两条线段AP和PB(AP>PB),使AP=AB·PB.我们称 为 AB和PB的比例中项，点 为线段AB的黄金分割点，将线段 黄金分割. 当堂练习 1.下列各组长度的线段中，是成比例线段的是 ( A.3,6,8,9 B.3,5,6,9 C.3,6,7,9 D.3,6,9,18 2.若3a=4b,则%的值为 ( A R号 c D. 4 3.已知四条线段a,b,c,d,其中a=6cm,b=4cm,c=12cm. (1)若a,b,c,d是成比例线段，则线段d的长是 cm; (2)若d,a,b,c是成比例线段，则线段d的长是 cm. 4.二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴 琴头 琴轴= 弦长的黄金分割点处(“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短)，奏出来的 千斤 音调最和谐悦耳.如图，一把二胡的弦长为80cm,求“千斤”下面一截琴弦 弓杆 弓毛 长为 cm.(保留根号) 琴筒 5.已知线段a,b的长满足2a=3b. 琴托琴皮 1求2。的值： (2)当线段m是a,b的比例中项，且a=6时，求m的值， ·14· 22.1.2平行线分线段成比例 知识梳理 ①两条直线被一组 所截，所得的对应线段成比例.（简称平行线分线段成比例） ②平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 当堂练习 1如图，在△ABC中，DE∥BC若品-是 AE EC 的值为 A号 c D. 58 D B4 (第1题图) (第2题图)》 (第3题图) 2.如图，DE∥BC,则下列比例式错误的是 ( ) A.BD-BC AD DE AD AE B.BD-EC c部 D"怨 3.如图，AB/CD/EF,Ar与BE相交于点G,AG=2,GD=1,DF=5,则哈S的值为 4.如图，在△ABC中，点D,E,F分别在AB,AC,BC上，DE∥BC,DF∥AC,AD=3cm, BD=6cm,DE=2cm,求BF的长. 5.如图，AB∥CD∥EF,BF=20. (1)若AC=6,BD=8,求CE的长. (2)若AC:CE=1:3,求DF的长. ·15· 22.2相似图形 知识梳理 ①相似多边形的对应边 ,对应角 ②两个边数相同的多边形，如果各边 ,各角 ,就称这两个多边 形相似. 3两个相似多边形 称为它们的相似比. 当堂练习 1.如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是 A.周长 B.面积 C.每个内角的度数 D.每条边的长度 2.下列图形中，一定相似的是 A.所有矩形 B.所有等腰三角形 C.所有等边三角形 D.所有菱形 3.在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,下列四个矩形中，与矩形ABCD相似的是 ( 2.5 2 2 A B C D 4.如图，已知两个四边形相似，则α的度数为 ,x的值为 y的值为 1209 8 90 ∠509 5.小明家有一个相框，长、宽分别为20cm,10cm,小明想做一个与该相框形状完全相同 的矩形相框，手中只有一根30cm长的相框料，想以这根相框料为一边，那么新的相框 的另一边长为多少？（已知两矩形相似） ·16·21.2一元二次方程的解法 21.2.1直接开平方法和因式分解法 第1课时直接开平方法 当堂练习 1.D2.C3.m≥-44.9x=-35.解：(1)移项，得x=3.直接开平方，得x= 士5即=厅，x=一瓜，(2)方程两边都除以9，得=票。直接开平方，得x 士号即=号=一号(8)原方程可以变形为一5=36，直接开平方，得一5 =士6，=1，=-1.(4)方程两边都除以9，得(x十1)2=9直接开平方，得x十1 1 第2课时因式分解法 当堂练习 1,C2.B3.54.解：(1)方程左边分解因式，得x(5x十3)=0..x=0或5x十3=0， 得=0，函=-子.(2)原方程可以变形为x(x-5)十8(x一5)=0，方程左边分解因 式，得(x-5)(x十8)=0.∴.x-5=0或x十8=0，得x1=5,x2=-8.(3)整理，得x2 4x-12=0.方程左边分解因式，得(x-6)(x十2)=0.∴.x-6=0或x十2=0，得x1= 6,x2=-2.(4)方程左边分解因式，得(x-3)(x一3-9)=0，即(x-3)(x-12)=0..x-3 =0或x-12=0,得1=3，x2=12. 21.2.2配方法 知识梳理 ②非负常数 当堂练习 1.A2.C3.A4.(1)号(2)935.-236.解：1)移项，得2十12x=-27. 配方，得x2+2·x·6十62=-27十6，即(x十6)2=9.直接开平方，得x十6=士3. =一9,2=一3.(2)移项，得3x2-6x=5.两边都除以3，得x-2x=号.配方，得 父-22…1十1=号十15，即(-1》=号直接开平方，得x一1=士25=1十 3 3 w=1-26 26 3 21.2.3公式法 知识梳理 0x=b生B4ac(6-4ac≥0) 2a 当堂练习 1.B2.C3.B4.解：(1)方程左边分解因式，得x(x-3)=0.x=0或x-3=0,即 x1=0,x2=3.(2)将方程化为一般形式，得2x2一7x十3=0.这里a=2,b=-7,c=3, -4ac=（-72-4X2X3=25>0,.x=-b生店4ac-75至=7生5，即 2a 2×2 4 之x=3.(3)原方程可化为3(x-2)2=36.两边都除以3，得(x-2)2=12.直接开 平方，得x-2=士2√3..x1=2十2√3，x2=2-2.(4)将方程化为一般形式，得4x +20x+25=0.这里a=4,b=20,c=25.b2-4ae=20-4×4×25=0.∴.x= 0即一号 21.2.4一元二次方程根的判别式 知识梳理 ①△②不相等相等没有 当堂练习 1.B2.B3.-8没有4合 5.解：(1)原方程可变形为3x2-2x-1=0.△= (一2)2一4×3×(-1)=16>0，∴.方程有两个不相等的实数根.(2)原方程可变形为 91 x2十4x十4=0.：△=42-4×1×4=0，.方程有两个相等的实数根.6.解：由题意， 得△=（一6）2-4k×9=36-36k,且k≠0.(1)由题意，得△=36-36k>0,且k≠0，解得 k<1且k≠0.(2)由题意，得△=36-36k=0,且k≠0，解得k=1.(3)由题意，得△= 36-36k<0,且k≠0，解得k>1. 21.2.5一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 当堂练习 1.D2.D3.14.-15.解：(1)原方程可化为x2-6x十5=0，x十x2=6, 5 1m=5.(2)原方程可化为7x-5=0x1十=0,1x=-号，6.解：)由题意， 得△=22-4×1×(a-1)≥0，解得a≤2.(2)由题意，得x1十x2=-2,x1x2=a-1, 2x1十22-x1x2=2(x1十x2)-x1x2=5,.2X(-2)-(a-1)=5,解得a=-8. 21.3实践与探索 第1课时利用一元二次方程解决几何问题 当堂练习 1.D2.C3.14.85.解：(1)(100一2x)(50-2x)(2)根据题意，得 (100-2x)(50-2x)=3600.整理，得x2-75x十350=0.解得x1=5,x2=70(不符合题 意，舍去).答：正方形观光休息亭的边长为5m. 第2课时利用一元二次方程解决平均变化率、利润问题 当堂练习 1.B2.B3.20%4.八5.解：(1)401800(2)设每件商品降价x元.由题意， 得(250-x-200)(30十2x)=2100.整理，得x2-35x十300=0.解得x1=20,x2=15. :为了让顾客得到更多的实惠，x=20.答：当每件商品降价20元时，商场通过销售 这种商品每天盈利可达到2100元. 第22章图形的相似 22.1成比例线段 22.1.1成比例线段 知识梳理 ①相同形状 8号=行（或a:h=c:山0片=言0 AP P AB 当堂练习 1.D2.D3.824.(40V5-40)5.解：(1)2a=3b,.2a-b=36b=2. b b (2):线段m是a,b的比例中项，m2=ab.:2a=3ba=6,b=2X6=4.m2=4X 3 6=24.m>0,.m=2√6. 22.1.2平行线分线段成比例 知识梳理 ①平行线 当堂练习 1.C2.A3.号4解：DE/BC,DF/AC∴四边形DpCF是平行四边形.FC-DE =2emDF∥AC既=0即要=号BP=1em5解：I:AB/CD/ 2 6 8 EF.AG-BRAC=6.BD=8.BF=20,=20.AE=15.CE=A AC=3.(2:AB/CDEF瓷-票-8=÷BF=205=是 .DF=15. 22.2相似图形 知识梳理 ①成比例相等②对应成比例对应相等③对应边的比 当堂练习 1.C2.C3.A4.100° 碧 24 5.解：设新的相框的另一边长为xcm,当所求的 一 92 边与20cm的边是对应边时，根据题意，得20：10=x：30,解得x=60.当所求的边与 10cm的边是对应边时，根据题意，得20：10=30：x,解得x=15.·新的相框的另一 边长为60cm或15cm. 22.3相似三角形 22.3.1相似三角形 知识梳理 ①成比例相等②c∽③相似 当堂练习 1.B2.C3.C4.55.解：.AD=6,CD=18,.AC=AD十CD=24.又.△ADE∽ △AC长0跟晋-京B=景∴AE=8AB=18.6解：AB/DE, 8 4 3 ADEC.=BC.AC=4 cm,BC=3 cm,CE=6 em, ..CD=8 cm..'.AD=AC+CD=4+8=12(cm). 22.3.2相似三角形的判定 第1课时相似三角形的判定定理1 知识梳理 相等 当堂练习 1.B2.B3.∠B=∠D(答案不唯一)4.解：∠C=∠D,∠APC=∠BPD, △AnC△BnD.÷把-8邵.即9=是：BD=5E明：DE/AC. .∠BED=∠C.EF∥AB,∴∠B=∠FEC.△BDE∽△EFC. 第2课时相似三角形的判定定理2,3 知识梳理 ①成比例夹角②成比例 当堂练习 1.D2.C3.1.54.证明：，AD=5,BD=3,AE=4,CE=6,.AB=AD十BD=8 AC=AEcE=10.∴荒=合-子光品=÷∴指把又：∠A=∠A △ADE△ACB.5.解：△ABC∽△DEF.理由如下：由题意，得AB=√+2= √5，BC=5,AC=√+32=√/10，DE=1,EF=√1+2=√5，DF=√1+1严=√2， 提-6祭-后后品爱-6提-祭茶△A8c△ER 22.3.3相似三角形的性质 知识梳理 ①相似比 ②相似比的平方③相似比 当堂练习 1.B2.A3.3:44.125.解：：四边形ABCD为平行四边形，.AD=BC,AD∥ BC..△AFD∽△EFB.又BE:EC=3:1,.BE:BC=3:4..BE:AD=3:4. SAAFD= S△EFB (常)广=（台）广-9Sw=5sam=32m. 22.3.4相似三角形的应用 第1课时相似三角形的实际应用 当堂练习 1C2B3解：准结MN“崇=品=品长=品=品装-能又 ZA=∠A,△ABCO△ANM祭-架=a:C=45mMN 3000m.答：M,N两地之间直线隧道的长为3000m.4.解：(1)△ABC∽△ADE.理 由如下：：BC⊥AE,DE⊥AE,.BC∥DE..△ABC∽△ADE.(2)由(1)知△ABC 船品，即2：DE=16.2m管：吉塔DE的商度为16.2m △ADE,AC=BC 第2课时等积式、比例式的证明与应用 知识梳理 ®中线号子 93