期中综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（华东师大版·新教材）

A(-2,-1),P(-m,-n).(2)如图，△AB,C即为所求.A2(-4,-2),P2(-2m,-2m) I9.I)证明：“荒-器-能△ABC△ADE ·∠BAC=∠DAE.∴.∠BAC-∠DAF=∠DAE-∠DAF,即∠BAD=∠CAE. (2)解：由(1)知△ABCD△ADE,.∠ABC=∠ADE.:'∠ABC=∠ABE+∠EBC, ∠ADE=∠ABE+∠BAD,∴.∠EBC=∠BAD=21°.20.(1)证明：DC=AC, ∠ACB的平分线CF交AD于点F,∴.F为AD的中点.：E为AB的中点，∴EF为 △ABD的中位线.∴EF∥BC.(2)解：EF为△ABD的中位线，∴EF=BD,EF∥ BD.∴△AEFD△ABD.∴.SAAFF:SAABD=1:4,.SAAEF:S四边形BDFE=1:3.四边 形BDFE的面积为6，.S△A5F=2.∴.S△ABD=S△AEF十S四边形mDFE=2十6=8.21，证 明：(1)：四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD,AD∥BC.∠DEC=∠BCE CE=DE·BC,-△DBC∽△BCB∠PCE=∠BC:AD/BC, ∠AEB=∠EBC.∠AEB=∠FCE.:AB∥CD,.∠ABE=∠F..△ABE∽ △EFC.(2)由I)知，∠FCE=∠FBC.又：∠F=∠F.△CEFO△BCE.器= 票四边形ABCD是平行四边形BC=AD.器器CE·CF=EF·AD 22.解：(1)AB⊥BE,CO⊥OE,AB∥CO.∴.△DOE∽△ABE,△COF△ABF 器器-器脚=配启=品片AB=B=4m答路灯的商 度AB为4m.(2)由(1)，得AB=BE=4m,BF=BE+EF=4十 H 4=8(m),BO=BE-OE=4-1=3(m),如图②，将路灯AB的A 高度升高至BH,由题意，得NF=2m..BN=BF-NF=8-2 =6(m)..ON BN-BO=6-3=3 (m).BH /CO,B O M ÷△cONO△HBN.△DOM△HM∴品-器= 图② 器即品=号=OQHB=5m,OM=是mAH=BH-AB=i-4 =1(m).答：需将路灯AB的高度升高1m,此时光线照亮地面的最近端位置离点O的 距离是子m.23.(1)证明：∠A=∠B=∠DPC=90,∠APD+∠BPC=90, ∠APD+∠ADP=90°.∠BPC=∠ADP.∴△DAP∽△PBC.(2)解：∠DPB是 △APD的外角，∴.∠DPB=∠A十∠PDA,即∠DPC十∠CPB=∠A十∠PDA.:∠A =∠DC∠PDA=∠CPBX:∠A=∠.ADAPAPC.PEC:PD =4,PC=8,BC=6专-AP=3.(3)解：AP的长为4或9【解折J:AC BC,.∠A=∠B.,∠CPB是△APC的外角，.∠CPB=∠A+∠PCA,即∠CPE十 ∠EPB=∠A+∠PCA,:∠A=∠CPE,.∠ACP=∠BPE.又：∠A=∠B, △ACP∽△BPE.①当CP=CE时，∠CPE=∠CEP.:∠CEP>∠B,∠CPE=∠A =∠B,.CP=CE不成立.②当PC=PE时，△ACP≌△BPE,则PB=AC=8.∴AP =AB-PB=12-8=4.③当EC=EP时，∠CPE=∠ECP.,∠B=∠CPE,∴∠ECP =∠RC=PB△AC△BnE部-品-器即品-2E=ge: :PB-号.AP=AB一PB=12-号-号综上所述，当△CPE是等腰三角形时，AP 的长为4或婴 期中综合评价 1.B2.B3.D4.D5.A6.C7.B8.A9.B10.B【解析】由题意，得AB+ AC=2/13,S△ABD=3.AB=AC,.AB=AC=√/13.AD⊥BC,∠ADB=90°，BC= 2BD.AD2+BD2=AB=13.SaBD=3,.号AD·BD=3.AD·BD=6 -76 ∴.(AD+BD)2=AD+2BD·AD十BD=13+2X6=25..AD+BD=5(负值已舍 去).，AD十BD2=AB2,.BD2+(5-BD)2=13..BD=2或3.当BD=2时，AD= 5-BD=3(舍去)；当BD=3时，AD=5-BD=2.BC=2BD=6,故选B.11.x> -112.(2,3)13.-114.815.(03)或(4,0)或（子，0）【解析】分三种情况进 行讨论：①当PC∥OA时，△BPC∽△BOA.C是AB的中点，∴.P是OB的中点， 点P的坐标为(0,3)；②当PC∥OB时，△ACP△ABO.:C是AB的中点，∴.P是 OA的中点，∴.点P的坐标为(4,0)；③当PC⊥AB时，∠ACP=∠AOB=90°，如答图， ∠CP=∠0AB.△APC△AB06-铝：A8,0 B(0,6),∴.OA=8,OB=6..AB=√OA2+OB=10.C是AB的 中点AC=5.毫-铝AP-50p=0A-AP=8-空- 0 A 子点P的坐标为（子0）综上所述，点P的坐标为(0,3）或 答图 (4,0)或（子，0：16解：1）原式=V8了-2√合×30+8+3十46=4-26十 8十3十4√6=15十2√6.(2)原方程可以变形为2x(x-3)十(x-3)=0.方程左边分解 因式，得(x-3)(2x十1)=0所以x-3=0或2x十1=0.得x=3=-号.17.解： 由图可得b<a<0<c,且|b>a>c,∴.b十c<0,a-c<0,b-a<0.∴.原式= √/(b十c)r+a-c+√(b-a)r=|b+c|+|a-c+|b-a=-b-c+c-a十a-b= 一2b.18.解：(1)如图，△OAB即为所求.(2)如图，△O2A2B2即为所求.(3)如图， △OA1B与△O2A2B2是位似图形，点M(2,一2)是位似中心. 19.解：(1)：x=2-,y=2十√5，∴.x十y=2-√3+2 十V3=4,xy=(2-√3)(2十√3)=4-3=1，.x2+y2-3.xy=(x+y)2-5xy=4-5×1 =11.(2):x=2-5,且x的小数部分是a,∴a=2-√3.：y=2十√3，且y的整数部 分是b,∴.b=3.ax-by=(2-3)(2-√5)-3(2+√5)=4-4√5+3-6-3√5= 1-73.20.(1)证明：·△=[-(k十3)]-4×1×3k=k-6k十9=(k-3)2≥0， 无论k取何值，方程总有实数根.(2)解：设直角三角形的两条直角边长分别为a,b, 则a十b=k十3>0，ab=3k>0,∴.k>0.:a2+b2=5,∴.(a十b)2-2ab=25,即(k十3) -2×3k=25,解得k=±4.k>0,∴.k=4.21.(1)证明：：∠ADB十∠AED=180°， ∠AED十∠AEC=180,∠ADB=∠AEC:AE·BD=AD·CE2-2 △DABD△EAC.(2)解：，△DABD△EAC,∴.∠ACE=∠ABD.∠AOC= ∠OB△AC0△DB0,品-8器÷品0D=号2.解：任务1： 0.016m=160cm.设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为xcm.由题意，得 (分×26-x）(22-2x)=160.整理，得x-24x十63=0.解得1=3，=21（不符合 题意，舍去).答：矩形硬纸板剪去的正方形的边长为3cm.任务2：设降价m元，则下调 后每个手办的售价为(65-m)元.由题意，得(65-m-30)(30十3m)=1500.整理，得 m-25m十150=0.解得m1=15,m2=10.:要尽可能减少库存，∴.m=15..65-m= 50.答：下调后每个手办的售价为50元.23.解：(1)当0<t≤3时，CP=6-2t:当3< t≤8时，CP=2t-6.(2)由题意，得CQ=t.当0<t≤3时，PQ∥BD,则△CPQ 77 △CBD器-器即。=名解得4=票当3<8时，PQ/AC则∠OPc ∠ACB.四边形ABCD是矩形，.∠ABC=∠BCD=90°.∠QCP=90°=∠ABC. ∴△QCP心△ABC六品-器即。=青，解得4=华综上所述t的值为器政 等(3)：M为DQ的中点，DQ=CD-CQ=8-,QM=号DQ=}(8-0.CM CQ+QM=1计号(8-)=生.：∠PCM=∠ABC=90,∴分两种情况讨论：①当 t+8 △PC△AC时如答图D÷兴-器即言-5。”，每得=子®当△MCP t+8 △ABC时如答图②宽答即号=子，解得1=器踪上所述1的值为子 答图① 答图② 第23章综合评价 1.B2.C3.B4.C5.D6.A7.C8.A9.A10.C【解析】过点P作PQ⊥ x轴于点Q..OP∥AB,.△OCP∽△BCA..CP:AC=OC:BC=1:2.'∠AOC= ∠AQP=90°，.CO∥PQ..OQ:AO=CP:AC=1:2.:P(1,1),.PQ=OQ=1. A0=2am∠0Ap器子故选C1.号12.1313号14号 15.5E或2【解析】：c0s∠ABC=号∴设AB=13k,BC=12k,易得AC=5k= 5,k=1.AB=13,BC=12.①如答图①，当∠DPB=90时，则∠DPC=90°，由折叠 的性质可得∠APC=∠DPA=子∠DPC=45,:∠ACB=90,△ACP是等腰直角 三角形..CP=AC=5..AP=√Cp+AC=√5+5=5√2.②如答图②，当 ∠PDB=90°时，由折叠的性质可得CP=DP,AD=AC=5,∠ADP=∠C=90°， ∴.∠ADP+∠BDP=180°.A,D,B三点共线.由勾股定理，得AB=√AC+BC= √52+12=13，∴.BD=AB-AD=13-5=8.设CP=x,则BP=12-x.由勾股定理， 得PD十BD2=BP2十8=12-.解得x=号CP=号：AP 3 √AC+CD=√F十()-5压综上所述，当△PBD为直角三角形时，线段 3 AP的长为52或5Y. 16.解：(1)原 3 答图① 答图② 式=2x合+号+（号）-1+号+合=2.(2在R△ABC中，：∠C=90a=25, 6=2c=后于6=4mA=2-9mB=名=子∠A=60,∠B=30 17.解：：在Rt△BDC中，∠C=90°，∠BDC=45,BD=10E,∴.BC=BD·sin∠BDC =10.:在R△AC中，∠C-90,AB=20sinA-指-子18.解：A0=3dm时 镜框不稳周，理由如下：在R△A0B中，n∠A0=铝=子”s如60=号，号< 78期中综合评价 宝 (时间：100分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其 中只有一个是正确的) 题号 2 3 5 10 答案 1.点M(一3,9)关于x轴对称的点的坐标为 A.(3,9) B.(-3,-9) C.(3,-9) D.(-3,9) 2.下列二次根式是最简二次根式的是 ( A.√12 B.√10 C.2 D.√0.3 3.小明的风筝支架示意图如图所示，已知点B,C分别在射线 AD,AE上，且BC∥DE,AB:AD=3:7,AE=56cm,则CE h 的长是 ( 批 A.16.8cm B.22.4cm C.24 cm D.32 cm OA B E (第3题图) (第6题图) (第8题图) 4.下列各式计算正确的是 A.√3+2=√5 B.2√3+2=4√3 C.√10÷2=√5 D.3√5×√6=9√2 5.若关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有两个不相等 的实数根，则k的取值范围是 A.>号且k1 B.k72 1 C.k≥号且≠1 n经 6.如图，在四边形ABCD中，∠D=∠BAC,则添加下列条件后， 仍不能判定△ADC和△BAC相似的是 ( A.CA平分∠BCD B.∠DAC=∠B c瓷 D器光 7.已知√/2x一6+√6一2x+y=3,则√2xy的值为 A.2√3 B.32 C.12 D.18 8.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是 以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为点A,B,E在 x轴上.若正方形BEFG的边长为6，则点C的坐标为( ) A.(3,2) B.(3,1) C.(2,2) D.(4,2) 19 9.某商品原来每件售价400元，经过连续两次降价后每件仍能获 利56元.若每件商品的进价为200元，则平均每次降价的百分 率为 ( A.10% B.20% C.25% D.60% 10.如图①，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D(BD>AD), 动点P从点B出发，沿折线BA→AC方向运动，运动到点C 停止.设点P的运动路程为x,△BPD的面积为y,y与x之 间的函数图象如图②所示，则BC的长为 ) 23x 图① 图② A.3 B.6 C.8 D.9 二、填空题（每小题3分，共15分） 山，若代数式斤有意义，则实数x的取值范固足 12.某游乐园一角的平面示意图如图所示，若跷跷板的坐标为（一2， 2),碰碰车的坐标为(1，一1)，则摩天轮的坐标为 摩天轮 北 跷跷板 跳跳床 大的 碰碰车 (第12题图) （第14题图) (第15题图) 13.已知x1,x2是关于x的方程x2十bx一2c=0的两个实数根， 且x1十x2=-3,1x2=2,则的值是 14.如图，点D,E,F分别位于△ABC的三边上，且DE∥BC, EF∥AB.若△ADE的面积为2，△CEF的面积为8，则四边 形BFED的面积为 15.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(8,0)和点B(0,6),C 是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB,所得 的三角形与△AOB相似，则点P的坐标是 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(10分)1)i计算：s÷-2√后×30+(2+)： 20 (2)解方程：2x(x-3)十x=3. 17.(9分)已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示，化简 √(b+c)2+|a-c|+√b2-2ab+a2. b a 18.(9分)如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为 O(0,0),A(2,1),B(1,-2). (1)以原点O为位似中心，在y轴的左侧将△OAB放大为原 来的2倍，得到△OA1B1,画出△OA1B. (2)画出将△OAB向右平移3个单位长度，再向下平移3个 单位长度后得到的△O2A2B2. (3)△OA1B1与△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标 出位似中心M,并写出点M的坐标 A —21 19.(9分)已知x=2-√3，y=2+√3. (1)求x2+y2-3xy的值； (2)若x的小数部分是a,y的整数部分是b,求ax一by的值. 20.(9分)已知关于x的方程x2一(k十3)x十3k=0. (1)求证：无论k取何值，方程总有实数根； (2)若斜边为5的直角三角形的两条直角边长分别为方程的 两根，求k的值 21.(9分)如图，D是△ABC外一点，连结AD,BD,CD,AB与 CD交于点O,E是OC上一点.已知AE·BD=AD·CE, ∠ADB+∠AED=180°. (1)求证：△DAB∽△EAC: (2)若AC=3.5,BD=1.4,OA=3,求OD的长. —22 22.(10分)根据以下素材，探索完成任务： 背景 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吃”手办盲盒进行销售 盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是 0.016m,如图，该长方体盒子可用矩形 底面 26 cm 硬纸板在四个角分别剪去2个同样大小 素材1 的长方形和2个同样大小的正方形，然后 折叠成一个有盖的盒子制成.已知矩形硬 22 cm 纸板的长、宽分别为26cm,22cm. 已知一个“哪吃”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发 现：当该款手办的售价定为65元/个时，平均每天售出30个； 素材2 售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使 平均每天的销售利润为1500元. 问题解决 任务1根据素材1，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长； 根据素材2，为了推广该款“哪吃”手办，且尽可能减少库存，求 任务2 下调后每个手办的售价. —23 23.(10分)如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,动点P从点 B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BC方向运动，动 点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段CD运 动.点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停 止运动，设运动时间为ts(t>0). (1)用含t的代数式表示线段CP的长； (2)当PQ与矩形的对角线平行时，求t的值； (3)若点P在BC上，M为DQ的中点，当t为何值时，以M,P,C 为顶点的三角形与△ABC相似？ -24