第21章 一元二次方程 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（华东师大版·新教材）

第21章综合评价 害 (时间：100分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其 中只有一个是正确的) 题号 2 3 4 5 7 8 9 10 答案 1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是 A.x++y=3 B.3x+y2=2 C.2.x-x2=3 D.x(x2-3)=0 2.若一元二次方程有一个根是x=0,则这个方程可以是( A.(x+1)(x+2)=0 B.x2-2x+1=0 C.x2-1=0 D.x2+x=0 3.一元二次方程x2一10x一2=0通过配方变形成(x十p)2=q的 形式，则下列选项变形正确的是 A.(x-5)2=27 B.(x+5)2=27 C.(x-5)2=23 D.(x+5)2=23 4.一元二次方程3x2一2x一1=0的实数根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 5.下列方程中，最适合用因式分解法解的是 A.(x-2)(x-3)=1 B.x2-2x-1=0 C.x-2=x2-4 D.x2-3.x+4=0 6.已知方程x2+2025x一-3=0的两根分别是α和3，则代数式 a+B+aB十1的值为 ( ) A.1 B.0 C.-2027 D.-2028 7.一个两位数，个位上的数比十位上的数小4，且个位上的数与 十位上的数的平方和比这个两位数小4.设个位上的数是x,则 所列方程正确的是 A.x2+(x+4)2=10(x-4)+x-4 B.x2+(x+4)2=10x+x+4 C.x2+(x+4)2=10(x+4)+x-4 D.x2+(x-4)2=10x+(x-4)-4 8.菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长为一元二次方 程x2一7x十10=0的一个根，则菱形ABCD的周长为() A.8 B.20 C.8或20 D.10 9.新定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx十c=0有两个实 数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍 根方程”.若x2+(n一6)x一6n=0是“倍根方程”，则n的值为 () A.-12 B.-12或-3C.-3 D.-6或-3 10.欧几里得的《几何原本》记载，关于x的方程x2十ax=b的图 解法是：如图，画Rt△ABC,使∠ACB=90,BC=号，AC=b, 再在斜边AB上截取BD=BC,则该方程的一个正根是() A.AC的长B.CD的长 C.AD的长 D.BC的长 18 D xx-(单位：m) (第10题图) (第14题图) 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.写出一个关于x的一元二次方程，使其一次项系数是一2，你 写出的一元二次方程是 12.若关于x的一元二次方程(x一2)2=n十1没有实数根，则n 的取值范围是 13.若关于x的一元二次方程x2一(a+2)x+2a=0的两个实数 根分别是3，b,则a一b的值是· 14.如图，某市世纪广场有一块矩形绿地长18m,宽15m,在绿地 中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224，则图中x的值 为一· 15.已知关于x的一元二次方程x2十(2k十1)x十一2=0的两个根 分别为x1,x2,且x一2x1十2x2=x1x2,则k的值为 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(10分)(1)解方程：x2-6x十9=(5-2x)2; 8 (2)已知A=2x2+7x-1,B=4x+1,若2A的值比3B的值大 1,求满足条件的x的值. 17.(9分)关于x的一元二次方程(k一1)x2十6x十2一k=0的一 个根是0，求k的值及另一个根. 18.(9分)下面是小明同学灵活应用配方法解方程4x2一12x一 1=0的过程，请认真阅读并完成相应的任务. 解：原方程可化为(2x)2一6×2x一1=0.…第一步 移项，得(2x)2一6X2x=1.…第二步 配方，得(2x)2-6×2.x十32=1.…第三步 ∴.(2x一3)2=1.…第四步 两边开平方，得2x一3=士1.…第五步 .2x-3=1或2x-3=-1.…第六步 ∴.原方程的解为x1=2,x2=1.…第七步 任务一：小明同学的解答过程是从第 步开始出错的， 错误的原因是 任务二：请直接写出该方程的正确解. 任务三：小刚同学说：“小明的解法是错误的，因为用配方法解 一元二次方程时，首先要把二次项系数化为1，再配 方.”你同意小刚同学的说法吗？你得到了什么启示？ 9 19.(9分)芯片目前是全球紧缺的资源，某市政府通过招商引进 “芯屏汽合、集终生智”等优势产业来发展新兴产业.某芯片公 司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片 100万个，第三季度生产芯片144万个.试解决下列问题： (1)求前三季度生产量的平均增长率； (2)按照(1)中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生 产量达到175万个，请通过计算说明该目标能否实现？ 20.(9分)已知关于x的一元二次方程x2一（2k十1)x+2十 2k=0有两个实数根x1,x2. (1)求实数的取值范围. (2)是否存在实数k使得x1x2一x1一x2≥0成立？若存在，求 出k的值；若不存在，请说明理由. 21.(9分)某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟 二十号”模型.已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利 40元.为了扩大销售、增加盈利，该网店准备适当降价，经过 一段时间测算，发现每个模型的售价每降低1元，平均每天可 多售出2个. -10 (1)若每个模型的售价降低4元，平均每天可售出 个 模型. (2)在每个模型的利润不少于25元的前提下，要使该模型平 均每天的销售利润为1200元，每个模型的售价应降低多 少元？ (3)该模型平均每天的销售利润能达到1300元吗？如果能， 请写出降价方案；如果不能，请说明理由. 22.（10分)阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2十bx十c 变形为(x+m)2十n的形式，然后由(x+m)2≥0就可求出多 项式x2十bx十c的最小值. 例：求x2一12x+37的最小值. 解：x2-12x+37=x2-12x+62+1=(x-6)2+1. .(x-6)2≥0，∴.(x-6)2+1≥1. .当x=6时，x2-12x十37有最小值，最小值为1. 根据上述材料，解答下列问题： (1)x2-8x+18=x2-8x+16+ =（x- )2+2; (2)将x2+16x-5变形为(x+m)2+n的形式，并求出x2+ 16x-5的最小值； 11 (3)如图，第一个矩形的长、宽分别为3a十2,2a十5，面积为 S1,第二个矩形的长、宽分别为5a,a十5，面积为S2,试比 较S1与S2的大小，并说明理由. 3a+2 5a 2a+5 S a+5 23.(10分)如图，在矩形ABCD中，AB=5cm,BC=6cm,点P 从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，点Q 从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动.已知点 P,Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动 时间为ts(t>0). (1)BQ的长为cm,PB的长为 cm.（用含t的 代数式表示) (2)当t为何值时，PQ的长为5cm? (3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积为26cm? 若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由. B-O -12数字和不小于1的结果有7种P(小奇赢)=P(小赢)=1-品=：< 后这个游戏不公平.【延伸设问】解：答案不唯一，如小康跟小奇先后抛掷这枚骰 9 子，若掷出的两数之和为奇数，则算小康赢，若为偶数，则算小奇赢。情境3：解：对于 一个普通的正方体骰子，6点出现的概率应为行，小明记录的抛掷次数为200次，中奖 的次数应为33次左右，而实际中奖次数只有5次，于是可以怀疑摆摊人所用的骰子质 量分布不均匀，对游客来说是骗局. 第24章章末复习 考点整合 1.A2.A3.A4.B5.B6.C7.D8B9.210.B11.号12. 18.解：1) (2)分别以卡片A,B,C,D代指卡片“少林寺”“龙门石窟”“云台山”“殷 墟”.根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有16种等可 ABCDABCDABCDABCD 能的结果，其中抽取的卡片正面相同的情况有4种∴P(甲胜出)=音-}，P(乙胜 出)=1一子-子.：甲胜出的概率与乙胜出的概率不相等，“这个游戏不公平。 聚焦课标 14.解：(1)5083.5144°(2)B组的人数为50×30%=15，补全频数分布直方图如 图所示. 、人数（频数） (3)全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人 20 20 0 ABCD成绩/分 数约为1200×2010=720.(4)列表如下 50 甲 乙 丙 丁 甲 (甲，乙)（甲，丙） (甲，丁) (乙，甲) (乙，丙) (乙，丁) 丙 (丙，甲) (丙，乙) (丙，丁) (丁，甲)（丁，乙）（丁，丙） 由表可知，共有12种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有：2种， “P(所选的两位同学恰为甲和丙)=危-合 项目学习测高如此巧妙 情境1：解：由题意，得∠DEF=∠BCD=90°，AC=DM=1.5m,AM=CD=18m. 又：∠BDF=∠CDB.△DEFD△DCB.-8S:EF=Q.2m,DE=0.3m, AM=CD=18m,.0.号=Bg..BC=12m..AB=AC+BC=12+1.5=13.5(m) 答：树高AB为13.5m.情境2：解：(1)A(2)①如图，延长MA,NB,它 们的交点即为路灯O的位置.再连接OC,OD,并延长交地面于点P,Q,则 A心BD PQ即为CD的影子.②过点O作OF⊥MN于F,交AB于点E.由题意，C心 MF NPO 得AB=1.2m,EF=1.2m,MN=2m.AB∥MN,∴.△OAB△OMN. :票-8器即号-O品2,0F=3m答：路灯0与地面的距离为8m OF 情境3：解：由题意知∠FAM=∠BAE=90°，∴.∠EAF=∠BAM=36°.在Rt△EFA 中，∠EFA=90,m∠EAF=.AF=20m,∴EF=1an36·AF≈0.727×20 14.54(m).∴.EG=EF十FG=14.54十1.94=16.48≈16.5(m).答：“摇橹人”的高度约 为16.5m -73 综合评价答案 第20章综合评价 1.B2.C3.C4.A5.B6.B7.C8.A9.A10.A11.512.-4 13.3214.3515.1【解析由题意，得x@8=, 2 一8，“该式为有理数，x的 最小正整数值为1，放答案为1.16，解，1原式=6疗-+4疗=15，(2)原式 =3-4√3+4-√9+√4=3-4√3+4-3+2=6-4√3.17.解：(1)BD(2)原式= 而×方而×后4万=厅-厅+4反=5+3反18解，由题意，得2站14 ≥0且7-b≥0，解得b=7.∴.a=3.∴.√(a-b)=√(3-7)=4.19.解：(1)△ABC 的周长为(5√5+2√10)cm,AB,BC的长分别为√45cm和√40cm,∴.AC=(55+ 2√/10)-√45-√40=5√5+2√/10-3√5-2/10=2W5(cm).(2)△ABC的面积 为(206+45)m,.AC边上的高为2X205+4=(4/30+40cm20.解：1)由 25 题意知h=60m,∴=√=25s).答：从60m高空抛物到落地的时间为 2h 25.(2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人.理由如下：当=3时，3=√6， 解得h=45.∴.这个玩具产生的动能为10×0.2×45=90(J).:90J>65J,.这个玩具 产生的动能会伤害到楼下的行人.21.解：：a=5,=万，E,“a十b=万， 2 ab子a-6-后.1abas-a6a-6-号e÷+号--a0地 ab (7)2-2x2=12.22.解：(1)2(2)√/八a+1)7+√/a-5)7=a+1+a 当a<-1时，原式=（一a-1)十(5-a)=4-2a=10,解得a=-3,符合条件；当-1≤ a≤5时，原式=(a十1)十(5-a)=6≠10（舍去）：当a>5时，原式=(a十1)十(a-5)= 2a-4=10,解得a=7,符合条件.∴.a=-3或a=7.23.解：(1)>>=(2)m十 n≥2√m(m≥0，n≥0).理由如下：当≥0，n≥0时，：（√m-√n)≥0，.（√m)2 2√m·√万+(Wn)2≥0.∴.m-2√mn+n≥0.∴.m十n≥2√m.(3)40 第21章综合评价 1,C2.D3.A4.A5.C6.C7.C8.B9.B10.C【解析】在Rt△ABC中， 由勾股定理，得AC+BC=AB.:AC=,BD=BC=号十（号）=(AD十号) =AD+aAD+(受)AD+aAD=.六AD的长是方程+ar=分的-个正 根.故选C.11.x2-2x十1=0（答案不唯一）12.n<-113.114.115.-2或 一号【解析】抽根与系数的关系，得十=-(2k十1D=一2.“一2十 2x=x1x2,.x1-2x1十2x2-x1x2=0..x1(x1-2)-x2(x1-2)=0.∴.(x1-2)(x1 一x2)=0..x1=2或x1=x2.将x1=2代人原方程，得4十2(2k十1)十-2=0，解得k =6=一2：当=4时，4=0(2k+1)-4发-2》=0，解得=-是.综上所述k的 值为-2或-具、16.解：(1)原方程可以变形为(x-3)-(5-2)=0.方程左边分 解因式，得(x-3十5-2x)(x-3-5十2x)=0,即(2-x)(3x-8)=0..2-x=0或3.x -8=0,得=2，=号，(2)根据题意，得22x十7x-D=3(4十1)十1，整理，得 2x十x一3=0，解得=1函=一号.·满足条件的x的值为1或-号.17.解：将x =0代入(k-1)x2+6x十2-k=0,得k2一k=0,解得k=1或k=0.:k-1≠0，∴.k≠ 1,k=0.原方程为-x2十x=0,解得x1=0,x2=6.综上所述，k的值为0，另一个 根为6.18.解：任务一：三方程的右边漏加了9任务二：1=3十，四， -74 3二√四任务三：我不同意小刚同学的说法，得到的启示：我们要灵活运用配方法来解 2 一元二次方程.19.解：(1)设前三季度生产量的平均增长率为x.根据题意，得 100(1十x)2=144.解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意，舍去).答：前三季度生 产量的平均增长率为20%.(2)第四季度的芯片生产量为144×(1十20%)=172.8（万 个).172.8<175，.该目标不能实现.20.解：(1)原方程有两个实数根，.△= [-(2k+1)]-4(k+2k)≥0，解得k≤寻.(2)不存在.理由如下：由题意，得1十x= 2k+1,x1x2=k2+2k.x1x2-x1-x≥0，.3x1x2-(x1十x2)2≥0，即3(k2十2k) (2k十1)≥0.整理，得-(k一1)2≥0，∴只有当k=1时，上式才能成立.由(1)知，k≤ 1 ,k=1不符合题意.不存在实数k使得x1x2-x-x≥0成立.21.解：(1)28 (2)设每个模型的售价应降低x元.根据题意，得(40-x)(20十2x)=1200.整理，得x 一30x十200=0.解得x1=10,x2=20.当x=10时，40一x=40一10=30>25，符合题 意：当x=20时，40一x=40一20=20一25，不符合题意，舍去.答：每个模型的售价应降 低10元.(3)该模型平均每天的销售利润不能达到1300元.理由如下：假设该模型平 均每天的销售利润能达到1300元，设每个模型的售价应降低y元，则每个模型的销售 利润为(40一y)元，平均每天可售出(20十2y)个模型.根据题意，得(40一y)(20十2y)= 1300.整理，得y2-30y十250=0.：4=(-30)2-4×1×250=-100<0，.原方程没 有实数根.假设不成立，即该模型平均每天的销售利润不能达到1300元。22.解： (1)24(2)x2+16.x-5=x2十16.x+64-64-5=(x+8)2-69.(x+8)2≥0， .(x十8)2-69≥-69.∴.当x=-8时，x2十16.x-5有最小值，最小值为-69.(3)S1> S2.理由如下：由题意，得S1=(2a十5)(3a十2)=6a2+19a十10，S,=5a(a十5)=5a2+ 25a,∴.S-S2=6a2+19a+10-5a2-25a=a2-6a十10=(a-3)2+1,:(a-3)2≥0， .(a-3)2十1>0..S1-S2>0..S1>S2.23.解：(1)2t(5-t)(2)在Rt△PBQ 中，由勾股定理，得PB十BQ=PQ,∴.(5-t)2十(2t)2=52.整理，得t一2t=0.解得 t1=0(不符合题意，舍去)，t2=2.∴.当t=2时，PQ的长为5cm.(3)存在.由题意，得矩 形ABCD的面积为5×6=30(cm).当五边形APQCD的面积为26cm时，△PBQ的 面积为30-26=4(cm),∴号×(6-)×21=4.整理，得P-51十4=0.解得4=4,4 =1.当点Q运动到点C时，两点停止运动，.t6÷2,即t3..t=1..当t=1时 五边形APQCD的面积为26cm2, 第22章综合评价 1.B2.B3.D4.A5.B6.B7.D8.B9.A10.D【解 析】如图，作∠BAC的平分线AP,由图②可知，AB=BC=2X4= 8(cm.∠B=36,.∠BAC=∠C=号(180°-∠B)=72.AP 平分∠BAC,.∠BAP=∠PAC=∠B=36°..AP=BP,∠APC=72°=∠C..AP= AC=BD,∠PAC=∠B∠C=∠C△APC△BAC÷-AP=AB: PC=8(8-AP,AP=45-4=BP.1=8+4,5-4=25+2.1.(2,3》12.4 2 13.(30-105)14115.号或号【解析】在R△ABC中，∠C=90,AC=3,BC= 4,∴AB=√AC十BC=5.由折叠的性质，得DF=CF.分两种情况讨论：①当∠DFB =90时，△BDF是直角三角形.：∠DFB=∠C=90°，∠B=∠B,.△DFB∽△ACB. 器既即号：CF=号：@当∠FD8=9时，△BDF是直角三角形， 3 :∠FDB=∠C=90,∠B=∠B△BDFn△cA.∴5-，即写-CF, 3 5 C=号综上所述，CF的长是号或号.16解：1)：号=号，设a=2,b=5,则 a6=4k+5k=18,∴k=2,∴Q=4.(2):梯形AEFB∽梯形EDCP,.2-C,即 是-需EF=15E17解：：AB/CD,△AE0△CE薨-瓷 是=子又：CD∥ER,器-器=是.2)：CD/E△BEn△D EF 那DF=号BF=号CD=6、18解，I)如图，△AAG即为所求， BF -75