专题一 二次根式中常见的化简求值技巧&数学活动 怎样摆放所需栅栏最少（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（华东师大版·新教材）

专题一二次根式中常见的化简求值技巧【回归教材】 类型1直接代入求值 类型2挖掘隐含条件求值 名师点拨：直接代入求值时，先观察式子的特点，若 (一)巧用二次根式的双重非负性求值 能运用乘法公式或运算律，可简化计算步骤，避免繁 2.若√x一1+√x十y=0,则x2025+y2026的 琐运算. 值为 1.(1)(常州中考)先化简，再求值：x(.x+2)+ A.-1 B.0 C.1 D.2 (x-1)2,其中x=√3； 3.若a满足|2025-a|十√a-2026=a,则 a-20252的值为 () A.0 B.1 C.2025D.2026 4.已知y=√2x-6+√6-2x+4,求(x y)2o27的值. (2)当x=√5-1时，求代数式(x-1)(x+3) 的值； (二)巧用√a=|a化简求值 5.已知0<m<10,则化简√(m-10)的结果是 () A.m-10 B.m+10 C.-m+10 D.-m-10 6.实数a在数轴上的位置如图所示，化简 (3)已知a=√2+1，求代数式(3-2√2)a2十 1a-1+√(a-2)产的值为： (1一√2)a的值. 7.若a,b,c是△ABC的三边，则化简√(c一a一b)产 √(a十b十c)的结果是 类型3整体代入求值 (一)先化简，再整体代入求值 8.若x-y=√2+1，xy=√2，则代数式(x一1)· (y+1)的值为 () A.22+2 B.22-2 C.2√2 D.2 9第20章二次根式 (二)活用乘法公式变形后，再整体代入求值 （三)活用（√a)2=a变形后，再整体代入求值 名师点拨：(1)完全平方公式(a士b)2=a2士2ab千b 11.类比探究新趋势请阅读下列材料： 及其常见的变形： 问题：已知x=√5+2，求代数式x2一4x一7 ①a2±2ab+b=(a±b)2; 的值。 ②a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 小明根据二次根式的性质：（√a)2=a,想到 (2)平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的用途：常用 来分母有理化（消除分母中的根号）；其常见的变 了以下解题方法： 形：a2-b2=(a+b)(a-b). ,x=√5+2，.x-2=√5. 9.(教材P15复习题T6变式)（开封期中）已知 两边平方，得(x一2)2=(5)2. x=/5+3√2，y=√5-3√2. .x2-4x+4=5 (1)x+y= :xy= .x2-4x=1. (2)求代数式x2-xy+y2的值. 把x2一4x作为整体代入，得x2一4x一7 1一7=一6，即把已知条件适当变形，再整 体代入解决问题. 仿照上述方法解答下列问题： (1)【一题多解】已知x=√10-3，求代数式 x2十6x一8的值； (2已知=5求代数式r+3x的值 10.已知x= +厄y52求代数式x2+ 1 1 3.xy+y2的值. 九年级数学华师版上册10 数学活动 怎样摆放所需栅栏最少 【活动主题】在面积固定的前提下，如何设计实验田的形状，才能让围栏总长度最短？ 【情境创设】某学校拟在西区划定总面积为am的区域，打造智慧农场种植基地.怎样设计形状， 才能使围栏长度最短、最省材料？ 【提出问题】若实验田是单一的正三角形、等腰直角三角形、正方形、正六边形或圆形，则所需围 栏长度各是多少？ 【解决问题】单一形状围栏计算如下表，补充相关计算结果： 形状 面积S 用含a的式子表示x/r(不化简) 围栏长度L(近似值) a 4a 3x≈4.559√a x459 x 2-a x- 2.x+√2.x≈ a 4x=4√a 6x≈ √a πr2=a 2πr≈ a 【观察发现】单一图形：面积相等时，图形越接近圆，周长越 (填“长”或“短”) 【进阶提问】若把智慧农场种植基地打造成两块全等的正三角形、正方形或圆形（如图），总面积依 然为am,此时围栏的长度跟上述单一图形对比，又会如何变化？ 【解决问题】组合形状围栏计算（结合单一图形面积公式快速推理，结果保留三位小数）： 金等正三角形（边长为）：由题意，得2×8y2=a→围栏长度L=5≈5,373a 全等正方形（边长为y):由题意，得2y2=a→围栏长度L=7y≈4.949√a; 全等圆形（半径为r):由题意，得=a→围栏长度L=πr≈ a. 【结论】组合图形：将单一图形分割为全等图形后，总围栏长度必然增加，因新增了内部边界. 【思维拓展】更多材料节省的思路 共享边界法：将多个种植区拼接，利用共用围栏减少材料消耗； 借力天然边界：利用围墙、河流等天然屏障作为部分围栏，进一步节省成本 【思考与应用】结合前面的探究发现，你还能想到哪些更省材料的摆放方案吗？ 11第20章三次根式参考答案 第20章二次根式 20.1认识二次根式 基础过关 1.B2.C3.D4.D5.x≥16.1（或2）7.解：(1)被开方数x十5≥0，即x≥-5. .当x≥-5时，二次根式√x十5有意义.(2)被开方数-2x≥0，即x≤0..当x≤0 时，二次根式√一2x有意义.(3)：x≥0，x2十6≥6.x取任意实数，二次根式 √2干6均有意义.（④)被开方数2x—6≥0，且2x-6≠0，即>3.当x>3时，二次根 1 式√2x—6有意义.8.C9.D10.B1山.解：1)原式=23.(2)原式=-12.(3)原 式=52，(4)原式=0,6.(6)原式=-3.(6)原式=6a,12.A 能力提升 弥 3.C14.B【变式题】-215.316解：按照V二解题，则。吕≥0，且a-5≠0， 帐 即a≥0a-5>0或a≤0,4-5<0，解得a>5或4<0.按照后解题，则a≥0，a-5 a-5 >0,解得α>5.故小敏说得不对，结果不一样 思维拓展 2026 17.解：(1)2025 2026 2025 (2)由 3≥0得x=3y心2.1二义=号 13 -x≥0， y-1 y- 地 1.(3)由/mm-10≥0， 得mn=10,.n=7-m..m十n=7.(m-n)2=(m十n)2 20-2mn≥0， 4n=72 -4×10=9,∴.m-n=士3. 20.2 二次根式的乘除 20.2.1二次根式的乘法 20.2.2积的算术平方根 基础过关 物 1.B2.D3.24.2√55.解：(1)原式=√5×20=√100=10.(2)原式 √合×108=V所=6.8)原式=5√号×10=5V压=-2a,4)原式=号X8x西= 子×6=2 6.C7.B8.0≤x≤29.解：(1)原式=√/400×3=√400X√5=03. (2)原式=√49×√21=7X11=77.(3)原式=√·√·√F·√=3·x·√·y= 3xy.10.C 能力提升 线1.B12.D13.1)22)-414a√F万15.解：1)原式=号×(-9)× √厚×45=-6×√停×15x3=-45.(2)原式=√停×2×(-)=2× (-号)×√号×3X10=-6.(3)原式=6x10X3=V×V×5=4×10X √3=40√5.(4)原式=- 号×(-0xV·y=2yE 思维拓展 16.解：(1)7×9(2)第n个等式为√/(4m十1)2-(4n)=(2n-1)(2n十1).证明如下： √/(4n2+1)2-(4n)产=√/(4n+1-4n)(4n2+1+4n)）=√(2n-1)'(2n+1)z= √/(2n-1)F·√/(2n十1)=(2n-1)(2n十1). 20.2.3二次根式的除法 基础过关 1.1w5②号景 号2之B3解：(1)原式=√胃 2 =√7.(2)原式= 49 厚-5-8.原式=-√2÷-=-4（原式-√×要 17 64.A5解：D原式一-(2)原式=方 25 -严=平(4原式-厘-2 √4 2 J121 11 .6.D7.1(答案不唯一)8.解：(1)原 式8得.原式-V258服式-V停-婴-复4w原 E×105 3x206而x元09.1 能力提升 10D1E12,解，1)原式=-号√震=-号×得=-1(2)原式=宁×4× 号√6X12×=35=18.13.解：设矩形地毯的长与宽分别为3xdm,2xdm由 题意，得3x·2x=2200,6x2=2200,解得x=103愿（负值已舍去）.3x=10/33. 3 ∴.矩形地毯的长是10√33dm.1033>50,.矩形地毯的长大于正方形规定区域的 边长. 思维拓展 1是好调位同学的解张都正确2：而-V厚-名信-√ 49 √四-而=品（答案不唯-） W100 20.3二次根式的加减 基础过关 1.A2.C3.A4.B5.(1)0(2)2√76.解：(1)原式=2√2+42-√2=52. （2原式=月+5-25=-25.7.B8.B9.210.解：1)原式=3厄-22 3 3 √2.(2)原式=2-√3+2√3-（√3）2=-1+√5.(3)原式=7+2√2I+3=10十2√2I. 11解：他的解法不正确，正确解答过程为：原式=√瓜÷（停）=V得 12√7. 能力提升 12.A13.A14.A15.解：(1)原式=18-√2+√⑧=3√2-√2+2√2=4√2.(2)原 式=5-3-(2+1-2√2)=2-3十2√2=2√2-1. 思维拓展 16.解：(1)m2+3m22n(2)28613(答案不唯一)(3)由(1)可得：a=m2+ 3n2,b=2m,:a十4√3=(m十nW5)2,.2n=4,且m,n为正整数，m=2,n=1或m =1,n=2,当m=2,n=1时，a=m2+3n2=22+3×12=7:当m=1,n=2时，a=m2+ 3n2=1十3×2=13.综上所述，a的值为7或13. 专题一二次根式中常见的化简求值技巧【回归教材】 1.解：(1)原式=x2+2x十x2-2x十1=2x2十1，当x=√3时，原式=2×(W3)2+1=7. (2)当x=√5-1时，原式=(W5-1-1)(5-1+3)=(5-2)(5+2)=5-4=1. (3)当a=√2+1时，原式=(3-2√2)（√2十1）2+(1-√2)（√2十1）=(3-2wJ2)(2十2√2 +1)十(1-√W2)(1十√2)=(3-2√2)(3十2√2)十(1-√2)(1十√2)=9-8十1-2=0. 2D3D4解由题意程29之0解得x=3.y=0十0十44（一0 =(3-4)221=(-1)207=-1.5.C6.17.-2c8.C9.解：(1)25-13 (2)x2-xy十y=(x十y)2-3xy=(25)°-3×(-13)=20+39=59.10.解：x十 √3-√2 W3+√2 厅后反5+5-历5+V25-万-5+6+E 1 25.5+元×5-5+5- =1,.x2+3xy十y2=(x+y)2+xy 50 =(2√5)2十1=12十1=13.11.解：(1)x=√10-3，.x十3=√/10.两边平方，得 (x十3)2=（√/10）2，即x2+6.x十9=10.x2+6x=1..x2+6x-8=1-8=-7.另解： 还可采取类型3（二）的方法，将代数式x2十6.x一8变形为(x十3)2一17，再将x十3= 整体代人求值，(2②)”=，2=5-12+1=后.两边平方，得(2r 1)2=(5)2,即4x2+4x+1=5..4x2+4x=4,即x2+x=1.∴x2+3x=x2+x+(2x +1)-1=5. 数学活动怎样摆放所需栅栏最少 隔淡同恩V匹么燃-“石√品品2√侣56【限案发现阳 /2a 【解决问题】2π245.013 第20章章末复习 思维导图 √a(a≥0)分母所有因数（或因式）的幂的指数都小于2aa0一a√ab ,最简二次根式 考点整合 1.B2.B3.B4.解：(1)小亮(2)a=-a(a<0)(3)当a=2时，√a-6a+9 |1-al=√/(a-3)+|1-a=a-3+|1-a=3-a十a-1=2.5.D6.D7.B 8.C9.C10.号厄-25（答案不唯-）11.解：(1)原式=36+V6-26=26 (2)原式=(W7)2-(√5)2-4=7-3-4=0.(3)原式=4十2十2√2+2-√2=8十√2 (4)原式=(2-√6+√3)(W2-√6-√3)=(W2-√6)2-(5)2=2-4√5+6-3=5 4√3.12.解：x=23-1,.x十1=25..原式=(x+1)2-4=(2V3)2-4=8. 13.解：(1)：DE=MF,DM=EF,∴.种植青菜部分的周长等于长方形空地ABCD的周 长为2(AB十BC)=2(√32十√18)=2(4√2+3√2)=14√2(m).∴.种植青菜部分的周 长是14√2m.(2)种植香菜部分的面积为(W3-1)(W3+1)=(W3)-1=2(m).种植青 菜部分的面积为（√/32X√/18）-2=(4√2×3√2)-2=22(m).22-2=20(m),.种 植青菜和香菜部分的面积差为20m. 聚焦课标 14.解：(1)√厅（答案不唯-）7-5（答案不唯一）(2)①，1 2+√ 2-√5(2-3)(2+3) 5-√5 3=2士®5565+6-万号 4-3 后558r 2 √2-1 -厄-1+万+ 1 5-√2 (W2+1)(W2-1)2-1 =-E=5-反，同 3-2 理： 1 √2024-√/2023 √2024-√2023 /2024+√2023（√2024+√/2023）（√2024-/2023） 2024-2023 1 =√/2024-/2023， /2025-√/2024 √2025+/2024（√/2025+√/2024）(/2025-√/2024) 202-2024=√2025-/2024，∴原式=(W2-1)+(W5-@)+(W4-/)+… 2025-2024 +(√/2024-√2023)+（√2025-√2024）=√2025-1=45-1=44. 第21章一元二次方程 21.1认识一元二次方程 基础过关 1.C2.A3.a≠3 【变式题】14.x2-6x十3=0-635.B6.57.A 能力提升 8.C9.C10.一111,112.解：(1)设其中一条直角边的长为xcm,则另一条直角 边为(14-x)cm.根据题意，得号x(14-x)=24.化成一般形式为x-14红十48=0. (2)设这个群里有x名好友.根据题意，得x(x一1)=132.化成一般形式为x2-x一132=0. 一 51