20.3 二次根式的加减（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（华东师大版·新教材）

20.3二次 【基础过关 ·逐点击破 知识点1同类二次根式 1.(信阳期中)下列二次根式中，能与√2合并的是 A.√32 B.√6 C./27 D.√3 2.下列各组二次根式中，是同类二次根式的是 ( ) A.√12与√24 B.√/18与√24 C.√8与√/18 n号与得 知识点2二次根式的加减 3.计算4√5-3√5的结果是 ( A.√5 B.2√5 C.35D.4√5 4.(周口期中)化简√27-√12的结果是( A.√15 B.√3 C.33D.5√5 5.计算： (1)(自贡中考)8-3√2=； (2)6丽-1V月 6.计算： (1)(周口期中)8+√/32-√2； (25+月 -√12. 知识点3二次根式的混合运算 7.计算2×√3 1 一√⑧：√2的结果是( A.2 B.0 C.-2D.-√2 7第20章二次根式 根式的加减 8.估计√2×（√⑧+10）的值应在 () A.7和8之间 B.8和9之间 C.9和10之间 D.10和11之间 9.(南京中考)计算（√+√2）（√12-√8）的结果 是· 10.计算： (1)w6×√3-√8； (2)(1+√3)(2-√3)； (3)(7+√3)2. ?易错点 错用运算法则进行运算 山小明计苏团（信停时起忘分配你。 解答的过程如下： 解：原式=÷-2÷=37 3 4 4√7=-7. 他的解法正确吗？若不正确，请写出正确 的解答过程. T能力提升 ·》>整合运用 12.如果最简二次根式√a+2与√12能够合并， 那么a的值为 ( ) A.1 B.2 C.4 D.10 13.如图，矩形ABCD内有两个小正方形的面 积分别是18和2，则图中阴影部分的面 积为 A.4 B.9 18 C.6 D.4√2 14.如图，有三张大小、形状、纸质完全相同的 卡片A,B,C,卡片正面分别写有一个算式. 现将卡片背面朝上，小康从中随机抽取两 张.若小康所抽取的两张卡片上的算式结 果都是无理数，则它们的和为 ) (1-☐2+52-58--2列 卡片A 卡片B 卡片C A.4 B.6 C.8 D.10 15.(南阳期中)计算： (12×厚而=5+8， (2)(5-√)(5+√3)-(2-1). 口思维拓展 ◆。强化素养 16.阅读理解新趋势阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含 根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如3十2√2=(1十√2)2.善于思考的小明进 行了以下探索：a+b√2=(m十n√2)2（其中 a,b,m,n均为整数).则有a+b√2=m2十 2n2+2mn√2..a=m2十2n2,b=2mm.这样 小明就找到了一种把类似a十b√2的式子 化为平方式的方法！ 请你仿照小明的方法探索并解答下列问题： (1)当a,b,m,n均为整数时，若a+b√3 (m十n√3)2，用含m,n的式子分别表示 a,b,得a= ,b= (2)利用所探索的结论，找一组正整数a,b, m,n填空： √3= ( 十 √3)2； (3)若a十4√3=(m十n√3)2，且a,m,n均 为正整数，求a的值. 九年级数学华师版上册8参考答案 第20章二次根式 20.1认识二次根式 基础过关 1.B2.C3.D4.D5.x≥16.1（或2）7.解：(1)被开方数x十5≥0，即x≥-5. .当x≥-5时，二次根式√x十5有意义.(2)被开方数-2x≥0，即x≤0..当x≤0 时，二次根式√一2x有意义.(3)：x≥0，x2十6≥6.x取任意实数，二次根式 √2干6均有意义.（④)被开方数2x—6≥0，且2x-6≠0，即>3.当x>3时，二次根 1 式√2x—6有意义.8.C9.D10.B1山.解：1)原式=23.(2)原式=-12.(3)原 式=52，(4)原式=0,6.(6)原式=-3.(6)原式=6a,12.A 能力提升 弥 3.C14.B【变式题】-215.316解：按照V二解题，则。吕≥0，且a-5≠0， 帐 即a≥0a-5>0或a≤0,4-5<0，解得a>5或4<0.按照后解题，则a≥0，a-5 a-5 >0,解得α>5.故小敏说得不对，结果不一样 思维拓展 2026 17.解：(1)2025 2026 2025 (2)由 3≥0得x=3y心2.1二义=号 13 -x≥0， y-1 y- 地 1.(3)由/mm-10≥0， 得mn=10,.n=7-m..m十n=7.(m-n)2=(m十n)2 20-2mn≥0， 4n=72 -4×10=9,∴.m-n=士3. 20.2 二次根式的乘除 20.2.1二次根式的乘法 20.2.2积的算术平方根 基础过关 物 1.B2.D3.24.2√55.解：(1)原式=√5×20=√100=10.(2)原式 √合×108=V所=6.8)原式=5√号×10=5V压=-2a,4)原式=号X8x西= 子×6=2 6.C7.B8.0≤x≤29.解：(1)原式=√/400×3=√400X√5=03. (2)原式=√49×√21=7X11=77.(3)原式=√·√·√F·√=3·x·√·y= 3xy.10.C 能力提升 线1.B12.D13.1)22)-414a√F万15.解：1)原式=号×(-9)× √厚×45=-6×√停×15x3=-45.(2)原式=√停×2×(-)=2× (-号)×√号×3X10=-6.(3)原式=6x10X3=V×V×5=4×10X √3=40√5.(4)原式=- 号×(-0xV·y=2yE 思维拓展 16.解：(1)7×9(2)第n个等式为√/(4m十1)2-(4n)=(2n-1)(2n十1).证明如下： √/(4n2+1)2-(4n)产=√/(4n+1-4n)(4n2+1+4n)）=√(2n-1)'(2n+1)z= √/(2n-1)F·√/(2n十1)=(2n-1)(2n十1). 20.2.3二次根式的除法 基础过关 1.1w5②号景 号2之B3解：(1)原式=√胃 2 =√7.(2)原式= 49 厚-5-8.原式=-√2÷-=-4（原式-√×要 17 64.A5解：D原式一-(2)原式=方 25 -严=平(4原式-厘-2 √4 2 J121 11 .6.D7.1(答案不唯一)8.解：(1)原 式8得.原式-V258服式-V停-婴-复4w原 E×105 3x206而x元09.1 能力提升 10D1E12,解，1)原式=-号√震=-号×得=-1(2)原式=宁×4× 号√6X12×=35=18.13.解：设矩形地毯的长与宽分别为3xdm,2xdm由 题意，得3x·2x=2200,6x2=2200,解得x=103愿（负值已舍去）.3x=10/33. 3 ∴.矩形地毯的长是10√33dm.1033>50,.矩形地毯的长大于正方形规定区域的 边长. 思维拓展 1是好调位同学的解张都正确2：而-V厚-名信-√ 49 √四-而=品（答案不唯-） W100 20.3二次根式的加减 基础过关 1.A2.C3.A4.B5.(1)0(2)2√76.解：(1)原式=2√2+42-√2=52. （2原式=月+5-25=-25.7.B8.B9.210.解：1)原式=3厄-22 3 3 √2.(2)原式=2-√3+2√3-（√3）2=-1+√5.(3)原式=7+2√2I+3=10十2√2I. 11解：他的解法不正确，正确解答过程为：原式=√瓜÷（停）=V得 12√7. 能力提升 12.A13.A14.A15.解：(1)原式=18-√2+√⑧=3√2-√2+2√2=4√2.(2)原 式=5-3-(2+1-2√2)=2-3十2√2=2√2-1. 思维拓展 16.解：(1)m2+3m22n(2)28613(答案不唯一)(3)由(1)可得：a=m2+ 3n2,b=2m,:a十4√3=(m十nW5)2,.2n=4,且m,n为正整数，m=2,n=1或m =1,n=2,当m=2,n=1时，a=m2+3n2=22+3×12=7:当m=1,n=2时，a=m2+ 3n2=1十3×2=13.综上所述，a的值为7或13. 专题一二次根式中常见的化简求值技巧【回归教材】 1.解：(1)原式=x2+2x十x2-2x十1=2x2十1，当x=√3时，原式=2×(W3)2+1=7. (2)当x=√5-1时，原式=(W5-1-1)(5-1+3)=(5-2)(5+2)=5-4=1. (3)当a=√2+1时，原式=(3-2√2)（√2十1）2+(1-√2)（√2十1）=(3-2wJ2)(2十2√2 +1)十(1-√W2)(1十√2)=(3-2√2)(3十2√2)十(1-√2)(1十√2)=9-8十1-2=0. 2D3D4解由题意程29之0解得x=3.y=0十0十44（一0 =(3-4)221=(-1)207=-1.5.C6.17.-2c8.C9.解：(1)25-13 (2)x2-xy十y=(x十y)2-3xy=(25)°-3×(-13)=20+39=59.10.解：x十 √3-√2 W3+√2 厅后反5+5-历5+V25-万-5+6+E 1 25.5+元×5-5+5- =1,.x2+3xy十y2=(x+y)2+xy 50 =(2√5)2十1=12十1=13.11.解：(1)x=√10-3，.x十3=√/10.两边平方，得 (x十3)2=（√/10）2，即x2+6.x十9=10.x2+6x=1..x2+6x-8=1-8=-7.另解： 还可采取类型3（二）的方法，将代数式x2十6.x一8变形为(x十3)2一17，再将x十3= 整体代人求值，(2②)”=，2=5-12+1=后.两边平方，得(2r 1)2=(5)2,即4x2+4x+1=5..4x2+4x=4,即x2+x=1.∴x2+3x=x2+x+(2x +1)-1=5. 数学活动怎样摆放所需栅栏最少 隔淡同恩V匹么燃-“石√品品2√侣56【限案发现阳 /2a 【解决问题】2π245.013 第20章章末复习 思维导图 √a(a≥0)分母所有因数（或因式）的幂的指数都小于2aa0一a√ab ,最简二次根式 考点整合 1.B2.B3.B4.解：(1)小亮(2)a=-a(a<0)(3)当a=2时，√a-6a+9 |1-al=√/(a-3)+|1-a=a-3+|1-a=3-a十a-1=2.5.D6.D7.B 8.C9.C10.号厄-25（答案不唯-）11.解：(1)原式=36+V6-26=26 (2)原式=(W7)2-(√5)2-4=7-3-4=0.(3)原式=4十2十2√2+2-√2=8十√2 (4)原式=(2-√6+√3)(W2-√6-√3)=(W2-√6)2-(5)2=2-4√5+6-3=5 4√3.12.解：x=23-1,.x十1=25..原式=(x+1)2-4=(2V3)2-4=8. 13.解：(1)：DE=MF,DM=EF,∴.种植青菜部分的周长等于长方形空地ABCD的周 长为2(AB十BC)=2(√32十√18)=2(4√2+3√2)=14√2(m).∴.种植青菜部分的周 长是14√2m.(2)种植香菜部分的面积为(W3-1)(W3+1)=(W3)-1=2(m).种植青 菜部分的面积为（√/32X√/18）-2=(4√2×3√2)-2=22(m).22-2=20(m),.种 植青菜和香菜部分的面积差为20m. 聚焦课标 14.解：(1)√厅（答案不唯-）7-5（答案不唯一）(2)①，1 2+√ 2-√5(2-3)(2+3) 5-√5 3=2士®5565+6-万号 4-3 后558r 2 √2-1 -厄-1+万+ 1 5-√2 (W2+1)(W2-1)2-1 =-E=5-反，同 3-2 理： 1 √2024-√/2023 √2024-√2023 /2024+√2023（√2024+√/2023）（√2024-/2023） 2024-2023 1 =√/2024-/2023， /2025-√/2024 √2025+/2024（√/2025+√/2024）(/2025-√/2024) 202-2024=√2025-/2024，∴原式=(W2-1)+(W5-@)+(W4-/)+… 2025-2024 +(√/2024-√2023)+（√2025-√2024）=√2025-1=45-1=44. 第21章一元二次方程 21.1认识一元二次方程 基础过关 1.C2.A3.a≠3 【变式题】14.x2-6x十3=0-635.B6.57.A 能力提升 8.C9.C10.一111,112.解：(1)设其中一条直角边的长为xcm,则另一条直角 边为(14-x)cm.根据题意，得号x(14-x)=24.化成一般形式为x-14红十48=0. (2)设这个群里有x名好友.根据题意，得x(x一1)=132.化成一般形式为x2-x一132=0. 一 51