专题05 多面体与旋转体的外接球及内切球（暑假复习讲义）新高二数学人教B版

专题05 多面体与旋转体的外接球及内切球 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型一：长（正）方体与墙角模型外接球 题型二：对棱相等与共斜边模型外接球 题型三：各类柱体的外接球问题 题型四：线面垂直型几何体外接球 题型五：正棱锥与圆锥的外接球问题 题型六：面面垂直型几何体外接球 题型七：已知二面角的几何体外接球 题型八：空间几何体的内切球问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 常考考点 命题风向 1. 球的基本性质（球心、半径、截面圆性质） 2. 多面体的外接球（长方体、正方体、直棱柱、棱锥的外接球） 3. 多面体的内切球（等体积法求内切球半径） 4. 外接球与内切球的综合应用 5. 球与几何体的切接问题（相切、相接位置关系） 6. 动态几何中的外接球 / 内切球最值问题 1. 外接球半径计算：利用长方体 / 正方体的体对角线为外接球直径、直棱柱外接球球心在上下底面中心连线中点、棱锥外接球找外心等模型，结合勾股定理求解半径，常与方程思想、空间向量结合。 2. 内切球半径计算：核心为等体积法，适用于可求体积和表面积的多面体，重点考查对几何体体积与表面积的综合计算能力。 3. 常见模型的识别与应用：在复杂几何体（如组合体、斜棱柱、不规则棱锥）中，识别并转化为 “墙角模型”“汉堡模型”“对棱相等模型” 等外接球模型，排除干扰图形的影响，快速定位球心。 4. 切接问题的位置关系分析：分析球与几何体的棱、面、顶点的相切 / 相接条件，结合截面圆性质（球心到截面距离、截面圆半径、球半径的关系）建立等式求解。 5. 最值问题的综合考查：在动态几何体（如动点、翻折问题）中，分析外接球半径的变化规律，结合函数、不等式或空间几何性质求最值，考查空间想象与综合分析能力。 6. 跨情境与创新题型：结合实际场景（如容器设计、立体几何模型）或创新载体（如折叠体、组合体）考查外接球 / 内切球的应用，体现几何直观与建模能力。 考情解码：“几何体的外接球与内切球” 是高中立体几何的核心考点，是后续学习空间向量、空间几何综合问题的重要基础，在高考数学中占据关键地位。本专题涉及的球的性质、常见模型、半径计算方法，是培养学生空间想象、逻辑推理与规范运算能力的重要载体。 知识点一 长方体及墙角模型 1.长（正）方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半，即 2.满足以下图形特征可补成长方体 图形特征 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直 三棱锥的四个面均是直角三角形 图示 即时即练（2026·高二·云南昭通·开学考试）在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设长方体外接球的半径为． 因为，所以，该长方体外接球的体积． 知识点二 对棱相等模型及共斜边模型 1.若三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图，则外接球直径公式为（其中为三组对棱的长度） 2.若三棱锥中，有两个直角三角形有公共的斜边，则斜边的中点即外接球的球心，该斜边球的直径 即时即练（2026·高一·安徽阜阳·期中）在三棱锥中,,,,则三棱锥的外接球的表面积为（） A．28π B．27π C．19π D．29π 【答案】D 【解析】如图,根据题意补全为长方体，三个长度为三个对面的对角线的长，设长、宽、高分别为, 则，所以， 所以，所以三棱锥的外接球的表面积为. 知识点三 柱体模型及线面垂直模型 1.柱体模型：外接球半径公式：（为柱体的高，为底面（外接）圆的半径）； 2.线面垂直模型一般可补成柱体模型进行求解 即时即练（2026·高一·福建莆田·期中）已知直三棱柱的各顶点都在以为球心的球面上，且，，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，由正弦定理得所在的截面圆的半径为， 则直三棱柱的外接球的半径为， 则直三棱柱的外接球的体积为. 知识点四 正锥体模型 正锥体模型解题步骤：①取底面的外心，则三点共线；②先算出圆的半径（利用正弦定理），再算出锥体的高；③在利用勾股定理：，解出. 即时即练（2026·黑龙江大庆·一模）已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，正三棱锥，作平面于点，则为正三角形的中心， 取的中点，连接，设外接球心为，则在上，连接. 由已知的边长为6，由于，即二面角的平面角，则. 因为，所以， 所以，. 设外接球的半径为，则，， 又，， 所以，解得. 故正三棱锥外接球的表面积. 故选：C. 知识点五 面面垂直模型及二面角模型 ①若两个平面垂直，则分别找出两垂直多边形的外接圆圆心，然后分别作过圆心的垂直线，交点即球心 ②若已知两个平面的夹角，多是可以借助外心垂线相交法来计算解决：①等边三角形中心（即外心）做面垂线，必过球心；②直角三角形斜边中点（即外心）做面垂线，必过球心； 注意：外心垂线夹角与二面角相等或者互补. 即时即练（2026·河北秦皇岛·三模）如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 因为是等腰直角三角形，，， 则的外接圆半径， 因为侧面是等边三角形，设其外接圆半径为， 由正弦定理可得，解得， 设外接圆圆心为，外接圆的圆心为， 因为平面平面， 过作平面的垂线，过作平面的垂线， 两垂线的交点即为四面体外接球的球心， 设球心到平面的距离为，则等于的外接圆的圆心到的距离， 在等边三角形中，到的距离为，即， 所以外接球的半径， 所以. 故选：C 知识点六 内切球模型 内切球球心到多面体各面的距离均相等，故可用等体积法：(为几何体的体积，为多面体的表面积，为内切球的半径) 即时即练已知圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，则底面面积和圆锥侧面积之比为_____． 【答案】 【解析】如图，设母线长为，底面半径为，母线与底面所成角为，内切球半径，连接， 则，可得，故， ，，， ，故， 则，解得， 由圆锥表面积公式得： ， ， ， 由球的表面积公式得， 圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，即， ， 由同角三角函数的基本关系结合二倍角公式可得：， 整理得， 即， 化简得，解得， 设底面积为，侧面积为，则． 题型一：长（正）方体与墙角模型外接球 【典例1-1】（2026·高二·云南文山·期末）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由长方体的体积为16可得： ，即， 长方体外接球的半径为， 所以， 当且仅当“”时取等，所以， 当，长方体外接球表面积的最小值为. 故选：C. 【典例1-2】（2026·高一·湖南·期中）若长方体的长、宽、高分别为1，1，2，则该长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知长方体的对角线长为. 所以外接球半径为， 体积为. 故选：A. 【变式1-1】（2026·高一·四川成都·期中）若长方体的长、宽、高分别为，则长方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知得长方体的对角线长为，所以外接球半径为， 球的表面积为， 故选：A． 【变式1-2】（2026·高一·北京·期中）已知正方体棱长为2，则这个正方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为正方体棱长为2，体对角线为外接球的直径， 所以外接球半径， 所以正方体外接球的表面积为， 故选：C. 题型二：对棱相等与共斜边模型外接球 【典例2-1】（2026·宁夏银川·模拟预测）已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将三棱锥补成长方体，如图， 设长方体的长、宽、高分别为， 由于三棱锥的棱长满足，，， 根据长方体面对角线的性质，可得，即， 所以长方体的体对角线长为，因此三棱锥的外接球直径，所以， 所以外接球的表面积. 故选：A 【典例2-2】（2026·高三·四川成都·开学考试）已知四面体满足，，，且该四面体的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将四面体放入长方体中，如图， 则四面体的外接球，即为长方体的外接球， 设长方体中，则， 三式相加得，故， 所以四面体的外接球半径为， 故四面体的外接球表面积为. 故选：B 【变式2-1】（2026·四川凉山·二模）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示， 所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得. 所以四面体外接球表面积是. 故答案为：B. 【变式2-2】（2026·高一·河南郑州·期末）三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，且，，，则球O的表面积为（    ） A．16π B．32π C． D． 【答案】C 【解析】，， ，平面，平面， 作出的外接圆圆心，设其外接圆半径为，， 则， 则根据正弦定理有，则， 在图中作出外接球球心，设外接球半径为， 则，平面，因为，则为中点，则， 平面，平面，则， 同理，则四边形为矩形，则， 在中，由勾股定理得，即， 则球O的表面积为. 故选：C. 题型三：各类柱体的外接球问题 【典例3-1】（2026·高一·河北保定·阶段检测）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，，则，所以， 将直三棱柱补成长方体，如下图所示： 所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即直径为， 因此，该直三棱柱的外接球的表面积为． 【典例3-2】（2026·高三·安徽·阶段检测）在底面边长为2的正三棱柱中，D，E分别是和的中点，若，则该三棱柱外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设侧棱长为，则 ， 由，得（负值舍去）． 底面三角形外接圆半径为， 设外接球半径为，则，所以外接球的表面积为． 故选：D． 【变式3-1】（2026·高一·宁夏银川·期中）直三棱柱中，，，，则直三棱柱外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据正弦定理，在中，解得. 直三棱柱外接球的球心在上下底面三角形外心连线的中点，满足勾股定理， 代入，，则. 球的表面积公式为. 【变式3-2】（2026·高二·贵州·学业考试）已知正三棱柱的各棱长均为，则该正三棱柱的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设上、下两个底面的中心分别为、，连接， 因为所有棱长为的正三棱柱的六个顶点都在同一球面上， 所以正三棱柱外接球的球心为的中点， 连接，在等边中，， 在直角中，， 所以正三棱柱外接球的半径， 所以球的表面积为. 故选：C. 题型四：线面垂直型几何体外接球 【典例4-1】（2026·高二·贵州遵义·期中）四面体中，平面，，，，则该四面体的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，圆为的外接圆，过作直线平面， 又平面，则，连接，与球交于点，连接，与直线的交点为球心，则，则， 在中，由正弦定理得，即， 所以该四面体的外接球的半径, 所以外接球的表面积. 故选：C. 【典例4-2】（2026·高一·重庆·期末）四面体中，平面，则该四面体的外接球体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，其外接圆半径为，由正弦定理知：，故 故，故外接球的半径，则其体积为, 故选：C 【变式4-1】（2026·河北保定·一模）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球表面积（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，，， 所以，所以. 设外接圆半径为，则. 又平面，且，设三棱锥的外接球半径为， 则. 所以三棱锥的外接球表面积为：. 故选：D 【变式4-2】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若三棱锥（以为顶点）的侧面积为6，则球的表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知平面，，所以三棱锥的外接球，即为以为同一顶点出发的三条棱的长方体的外接球， 所以外接球半径，其中， 令，，则三棱锥（以为顶点）的侧面积为， 所以， 所以， 又因为，即， 所以，所以， 又因为，所以，当且仅当时，， 所以当，即时，， 此时球的表面积的取得最小值为. 故选：B. 【变式4-3】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，所以， 设的外接圆半径为， 则，所以， 平面，且， 设三棱锥外接球半径为， 则，即， 所以三棱锥外接球的表面积为． 故选：B． 题型五：正棱锥与圆锥的外接球问题 【典例5-1】（2026·高一·北京海淀·期末）已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，正三棱锥，满足，且三个侧面两两垂直， 可以把正三棱锥放置在一个棱长为的正方体内， 可得正三棱锥的外接球即为此正方体的外接球， 设正三棱锥的外接球的半径为，则，即， 所以正三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 【典例5-2】（2026·山东聊城·模拟预测）已知正四棱锥外接球的表面积为，则正四棱锥的体积为（    ） A．12 B．24 C．48 D．56 【答案】C 【解析】如图，设四棱锥的顶点在底面上的射影为， 则为四棱锥的高． 四棱锥为正四棱锥， 点为底面正方形的中心，且平面． 由正四棱锥的对称性可知，球心在直线上， ． 设球的半径为 球的表面积为，解得． 又，即． 当球心在高上时，， 底面的面积为 正四棱锥的体积． 当球心不在高上时，， 正四棱锥的体积． 故C正确． 【变式5-1】（2026·江苏南京·一模）已知圆锥的轴截面是直角三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，则该圆锥与球的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设该圆锥的底面半径为，因为该圆锥的轴截面为直角三角形， 所以该圆锥的高为，则该圆锥的体积． 设球的半径为R，则， 解得，则球的体积为． 所以该圆锥与球的体积之比为. 【变式5-2】（2026·贵州六盘水·一模）如图所示的容器由两个共底面的圆锥组成，已知两个圆锥的高之和为10，底面半径为4，且两个圆锥的顶点和底面圆周在同一个球的球面上.在该容器内放置一个球，则这个球的表面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知，该容器外接球的半径为5，且外接球的球心为两圆锥顶点连线的中点. 因为圆锥的底面半径为,所以外接球的球心到底面的距离为，则两个圆锥的高分别为和. 所以这两个圆锥对应的母线分别为和. 该容器内放置的球的半径的最大值即为该容器轴截面的内切圆半径，设为. 则，解得. 此时，这个球的表面积最大，最大值为. 题型六：面面垂直型几何体外接球 【典例6-1】（2026·高二·陕西西安·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设中点为，连接， 因为是以为斜边的等腰直角三角形，， 所以，， 过点作， 因为平面平面，平面平面，平面，平面 所以平面，平面， 所以三棱锥的外接球的球心在上，设外接球的半径为， 则由得，由得， 又因为， 所以为等腰直角三角形， 设球心为，中点为，连接， 则， 所以， 即，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C 【典例6-2】（2026·高二·江苏南京·开学考试）平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为平面平面，且平面平面， 而平面 ，得平面，而平面， 得，而，平面， 得平面， 而平面，得 由题意，四面体顶点在同一个球面上，和都是直角三角形， 所以的中点就是球心，又，球的半径为：， 所以球的表面积为：. 故选：B. 【变式6-1】（2026·山东泰安·二模）已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记球心为，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，的中点为. 因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 由球的性质可知，平面， 所以，同理，所以四边形为矩形， 因为，所以，， 所以， 所以外接球的表面积为. 故选：B 【变式6-2】（2026·高三·广东深圳·阶段检测）在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取中点，连接 ，故， 由于平面平面，且交线为，平面， 故平面， 又，，故为等腰直角三角形，故， 因此外接球的球心在上， 设球半径为，则， 解得， 故表面积为， 故选：A 题型七：已知二面角的几何体外接球 【典例7-1】（2026·湖南湘潭·三模）如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，设外接圆的圆心为， 因为都是等腰三角形，，， 所以，是的中点． 设三棱锥外接球的球心为，连接，，则平面． 过点作交的延长线于点． 设在平面内的射影为，连接， 因为二面角的大小为, 所以． 因为是等腰三角形，且， 所以， 所以 ． 过点作的平行线，与的延长线交于点，连接， 则,4，， ． 设，则由，可得， 解得， 故三棱锥外接球的表面积为． 【典例7-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图1，过作垂足为，取的中点，连接， ∵，∴，， 又，，则，， 中，， 过作，且=，连接，则， ∴，， 根据题意可得为二面角的平面角， 即，则， 由题意可得，则，则， 如图2，∵，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心， 则三棱锥的外接球的球心在直线上，连接 ，则 ∴△的外接圆半径，则 设三棱锥的外接球的半径为，则 即，解得 则表面积为. 【变式7-1】（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）在平行四边形ABCD中，，现将沿折起，使二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以和均是腰长为的等腰直角三角形， 将其补充为如图1所示的长方形，将沿折起，则是二面角的平面角， 折起后得到如图2所示的上下底面是边长为的等边三角形的直三棱柱， 且该三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球， 设外接圆的半径为，则，所以， 又三棱柱的高为，所以三棱柱外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积为. 【变式7-2】（2026·安徽合肥·三模）将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】翻折后所得图形如下图所示，易知BD的中点O为球心， 故该四面体的外接球体积， 又，平面AOC，， 所以平面AOC， 二面角的大小为，， , 故所求体积之比为， 故选：D． 题型八：空间几何体的内切球问题 【典例8-1】（2026·高一·山东济宁·期中）如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4中、4小共9个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体ABCD的表面积，则9个球的表面积之和为______. 【答案】 【解析】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于， 连接，则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，，，， 由正四面体ABCD的表面积为，即，解得， 由，解得， 由图知最大球内切于高的正四面体，最大球半径， 因此最大球的表面积为； 中等球内切于高的正四面体，中等球半径， 因此中等球的表面积为； 最小球内切于高的正四面体，最小球半径， 因此最小球的表面积为， 所以九个球的表面积为． 【典例8-2】如图，三棱锥中，，，已知平面平面，且，三棱锥的内切球同时与平面也相切，则______． 【答案】 【解析】设点到平面的距离为，三棱锥的内切球的半径为，， 取中点，连接， ， ，， ， ， 三棱锥的内切球同时与平面相切，且， 平面平面， ， 由， 得， ， ，解得， ， 四点共球，直径为， ， ，故． 【变式8-1】（2026·广西北海·一模）若一个半径为1的实心球O放置于一个正方体形盒子内，且与该正方体内切，若在该盒子内再放入一个球，则球的表面积的最大值是______． 【答案】 【解析】设正方体为，又一个半径为1的实心球O与该正方体内切，所以正方体的棱长为， 当球与正方体的三个面相切且与球O相切时，球的半径能取得最大值 ， 设球的半径为，连接球心与球心，以及球心到与它相切的正方体的三个面的垂足，可构成一个以球心，球心和正方体顶点为顶点的直角三角形， 此时球心与球心的距离为，球心到正方体顶点的距离为，正方体棱长的一半为， 根据上述关系可列出方程：，解得， 所以球的表面积最大值为. 【变式8-2】（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的表面积为______，三棱锥的内切球的体积为______． 【答案】 27 【解析】因为，，，在中，， 所以，又平面，所以， 因为平面，，，平面，所以，，， 故，又，，所以平面， 又平面，所以，所以，，，均为直角三角形， 设三棱锥的内切球的球心为，半径为，则， 即， 解得，故三棱锥的内切球的体积为． 【变式8-3】正三棱锥的高为1，底面边长为，内有一个球与它的四个面都相切，则内切球的表面积为______________，体积为______________． 【答案】 【解析】∵正三棱锥的高为1，底面边长为， ， 设内切球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥． 又正三棱锥的斜高为， ， ． ， 体积． 故答案为：；. 1．（2026·高一·云南文山·阶段检测）已知A，B，C三点在球O的球面上，且，若球O上的动点D到点A，B，C所在平面的距离的最大值为，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，故为直角三角形，斜边为其外接圆直径， 由勾股定理得， 因此外接圆半径. 设球心到平面的距离为，根据球的截面性质，有， 球上动点到平面的最大距离为，由题意得，即， 将、代入截面性质公式得， 展开整理得，解得. 则球的体积. 2．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知平面，平面， 因此, 又因为，可得两两互相垂直， 将四面体补成一个三条棱长度分别为、、的长方体， 四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，外接球的直径等于长方体的体对角线长度， 设外接球的半径为，所以， 进而求得球的表面积. 3．（2026·高一·广东梅州·期中）设某正四面体的内切球的体积为，则该正四面体的棱长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【解析】球的体积公式为， 由题意内切球体积， 代入得： ，整理得： 设正四面体棱长为，高为 如图为正四面体，为的中心， 根据正弦定理知的外接圆半径， 所以， 设是正四面体PABC的内切球球心，内切球半径为， 则根据等体积法得： ． 故 对两边立方得： 将​代入上式，得： 因此该正四面体的棱长为. 4．（2026·高二·浙江金华·阶段检测）已知圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则该圆锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为圆锥的轴截面是面积为的正三角形，所以圆锥底面圆的半径，圆锥的高， 因为，所以圆锥外接球的球心在线段上，如图， 设圆锥外接球的半径为，在中，， 所以，解得， 所以该圆锥的外接球的体积为. 5．（2026·山东聊城·模拟预测）已知三棱锥的顶点均在球的球面上，且球心在棱上，若球的表面积为，则三棱锥的体积最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】设球的半径为， 则有，解得， 又因为球心在棱上， 所以为直径且， 所以为直角三角形，且, 要使棱锥的体积最大， 则的面积最大，且点到平面的距离也要最大， 当平面时，最大，此时, 又, 当且仅当时，等号成立； 设三棱锥的体积为， 所以， 所以. 6．（2026·高一·天津蓟州·期中）已知三棱锥的所有棱长都是，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为三棱锥的所有棱长都是，所以三棱锥可以看成由一个边长为的正方体截得的， 因此三棱锥的外接球即为正方体的外接球，所以外接球的直径， 故三棱锥的外接球的表面积为. 7．（2026·湖北武汉·三模）表面积为的圆柱内放入一个球，则该球体的体积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆柱的底面圆的半径为，高为， 而圆柱的表面积为，则，即， 要在圆柱内放入一个球，设球的半径为，则，即， 要使球体的体积最大，则应取， 则，即， 则该球体的体积最大值为. 8．（2026·高一·河北唐山·期中）已知正方体的顶点都在球O的表面上，则三棱锥与球O的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设正方体的棱长为a，则正方体的体积为， 三棱锥是正四面体，棱长为， 三棱锥的体积等于正方体的体积减去四个全等的三棱锥的体积，这四个全等的三棱锥是正方体被截去的四个角上的小三棱锥， 每个三棱锥的体积为， 所以三棱锥的体积为：. 因为正方体的顶点都在球O的表面上，所以正方体的体对角线是球O的直径（为球O的半径）， 正方体的体对角线为，则球O的半径， 所以球O的体积为：， 则三棱锥与球O的体积之比为. 9．（2026·高一·海南海口·期中）已知球内切于圆台（即球与圆台的上、下底面及侧面均相切），且圆台上、下底面半径之比为2：5. 设圆台的侧面积为，球的表面积为，则=__________. 【答案】 【解析】设上底半径，下底半径 . 由圆台内切球的轴截面性质知，圆台母线长 ， 圆台的高（为球的半径） 由勾股定理得： ， 因此球半径 ， 所以圆台侧面积， 球的表面积， 所以=. 10．（2026·高一·北京平谷·期中）某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径1的半球.已知该胶囊的体积为，则它的表面积为__________. 【答案】 【解析】设中间圆柱部分的高为，则胶囊的体积，解得， 所以胶囊的表面积为. 11．（2026·高一·黑龙江佳木斯·期中）已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的表面积为________. 【答案】 【解析】作出圆台和内切球的组合体的轴截面，设圆台的内切球的半径为，结合圆的性质，得到圆台的母线长为，结合梯形性质，求得，结合球的表面积公式，即可求解. 12．（2026·高一·贵州毕节·期中）《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______． 【答案】 【解析】取中点，连接，由底面，平面， 得，而，平面， 则平面，又平面，因此，， 该“鳖臑”外接球的球心为，球半径， 所以该“鳖臑”外接球的体积为. 13．（2026·高一·山东临沂·期中）已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为______. 【答案】 【解析】如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为的正四面体， 显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，球的半径， 则该球的表面积为. 14．（2026·高一·山东泰安·期中）“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则该多面体外接球的体积为_______. 【答案】/ 【解析】将“阿基米德多面体”补全为正方体，如下图所示： 不妨取两棱中点为，由题知，所以， 该多面体的外接球即为正方体的棱切球， 所以棱切球的直径为该正方体的面对角线，长度为2， 因此该多面体的外接球的半径为1，所以其体积. 15．（2026·高一·贵州安顺·阶段检测）在三棱锥中，，，，，若，，，都在球的球面上，则球的表面积为_______． 【答案】 【解析】在三棱锥中，， 则，，两两垂直， 三棱锥与以，，为棱的长方体有相同的外接球， 因此球的半径，所以球的表面积为． 16．（2026·高一·广西南宁·期中）已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为______________． 【答案】 【解析】由题意，直三棱柱，，所以直三棱柱可以补成以、、为棱的长方体， 则球O为该长方体的外接球，设球O的半径为R，则， 所以球O的表面积为． 17．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期中）若底面边长为，高为的正三棱柱所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为________. 【答案】 【解析】如图： 因为是边长为的正三角形，所以外接圆的直径， 因为正三棱柱所有顶点都在球的表面上，所以球心在上下底面中心连线的中点处，. 所以，球的表面积为. 18．（2026·广东珠海·模拟预测）在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为______． 【答案】 【解析】 设底面正的外接圆圆心为，外接圆半径为， 已知是正三角形，边长， 则其外接圆半径为， 平面， 三棱锥的外接球球心在过且垂直于平面的直线上， 且球心到平面的距离， 外接球半径为：， 由球的表面积公式得． 19．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知在直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为______. 【答案】 【解析】设底面三角形外接圆圆心，则，即， 设该三棱柱外接球球心为，则且， 由底面，且底面，故， 即， 则该三棱柱外接球的体积为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 多面体与旋转体的外接球及内切球 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型一：长（正）方体与墙角模型外接球 题型二：对棱相等与共斜边模型外接球 题型三：各类柱体的外接球问题 题型四：线面垂直型几何体外接球 题型五：正棱锥与圆锥的外接球问题 题型六：面面垂直型几何体外接球 题型七：已知二面角的几何体外接球 题型八：空间几何体的内切球问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 常考考点 命题风向 1. 球的基本性质（球心、半径、截面圆性质） 2. 多面体的外接球（长方体、正方体、直棱柱、棱锥的外接球） 3. 多面体的内切球（等体积法求内切球半径） 4. 外接球与内切球的综合应用 5. 球与几何体的切接问题（相切、相接位置关系） 6. 动态几何中的外接球 / 内切球最值问题 1. 外接球半径计算：利用长方体 / 正方体的体对角线为外接球直径、直棱柱外接球球心在上下底面中心连线中点、棱锥外接球找外心等模型，结合勾股定理求解半径，常与方程思想、空间向量结合。 2. 内切球半径计算：核心为等体积法，适用于可求体积和表面积的多面体，重点考查对几何体体积与表面积的综合计算能力。 3. 常见模型的识别与应用：在复杂几何体（如组合体、斜棱柱、不规则棱锥）中，识别并转化为 “墙角模型”“汉堡模型”“对棱相等模型” 等外接球模型，排除干扰图形的影响，快速定位球心。 4. 切接问题的位置关系分析：分析球与几何体的棱、面、顶点的相切 / 相接条件，结合截面圆性质（球心到截面距离、截面圆半径、球半径的关系）建立等式求解。 5. 最值问题的综合考查：在动态几何体（如动点、翻折问题）中，分析外接球半径的变化规律，结合函数、不等式或空间几何性质求最值，考查空间想象与综合分析能力。 6. 跨情境与创新题型：结合实际场景（如容器设计、立体几何模型）或创新载体（如折叠体、组合体）考查外接球 / 内切球的应用，体现几何直观与建模能力。 考情解码：“几何体的外接球与内切球” 是高中立体几何的核心考点，是后续学习空间向量、空间几何综合问题的重要基础，在高考数学中占据关键地位。本专题涉及的球的性质、常见模型、半径计算方法，是培养学生空间想象、逻辑推理与规范运算能力的重要载体。 知识点一 长方体及墙角模型 1.长（正）方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半，即 2.满足以下图形特征可补成长方体 图形特征 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直 三棱锥的四个面均是直角三角形 图示 即时即练（2026·高二·云南昭通·开学考试）在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 知识点二 对棱相等模型及共斜边模型 1.若三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图，则外接球直径公式为（其中为三组对棱的长度） 2.若三棱锥中，有两个直角三角形有公共的斜边，则斜边的中点即外接球的球心，该斜边球的直径 即时即练（2026·高一·安徽阜阳·期中）在三棱锥中,,,,则三棱锥的外接球的表面积为（） A．28π B．27π C．19π D．29π 知识点三 柱体模型及线面垂直模型 1.柱体模型：外接球半径公式：（为柱体的高，为底面（外接）圆的半径）； 2.线面垂直模型一般可补成柱体模型进行求解 即时即练（2026·高一·福建莆田·期中）已知直三棱柱的各顶点都在以为球心的球面上，且，，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 知识点四 正锥体模型 正锥体模型解题步骤：①取底面的外心，则三点共线；②先算出圆的半径（利用正弦定理），再算出锥体的高；③在利用勾股定理：，解出. 即时即练（2026·黑龙江大庆·一模）已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 知识点五 面面垂直模型及二面角模型 ①若两个平面垂直，则分别找出两垂直多边形的外接圆圆心，然后分别作过圆心的垂直线，交点即球心 ②若已知两个平面的夹角，多是可以借助外心垂线相交法来计算解决：①等边三角形中心（即外心）做面垂线，必过球心；②直角三角形斜边中点（即外心）做面垂线，必过球心； 注意：外心垂线夹角与二面角相等或者互补. 即时即练（2026·河北秦皇岛·三模）如图，在四面体中，平面平面，侧面是等边三角形，底面是等腰直角三角形，，则四面体的外接球的体积是（   ） A． B． C． D． 知识点六 内切球模型 内切球球心到多面体各面的距离均相等，故可用等体积法：(为几何体的体积，为多面体的表面积，为内切球的半径) 即时即练已知圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，则底面面积和圆锥侧面积之比为_____． 题型一：长（正）方体与墙角模型外接球 【典例1-1】（2026·高二·云南文山·期末）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2026·高一·湖南·期中）若长方体的长、宽、高分别为1，1，2，则该长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高一·四川成都·期中）若长方体的长、宽、高分别为，则长方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高一·北京·期中）已知正方体棱长为2，则这个正方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型二：对棱相等与共斜边模型外接球 【典例2-1】（2026·宁夏银川·模拟预测）已知三棱锥中，且 AB = CD =，BC = AD = ，AC = BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·高三·四川成都·开学考试）已知四面体满足，，，且该四面体的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·四川凉山·二模）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高一·河南郑州·期末）三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，且，，，则球O的表面积为（    ） A．16π B．32π C． D． 题型三：各类柱体的外接球问题 【典例3-1】（2026·高一·河北保定·阶段检测）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·高三·安徽·阶段检测）在底面边长为2的正三棱柱中，D，E分别是和的中点，若，则该三棱柱外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高一·宁夏银川·期中）直三棱柱中，，，，则直三棱柱外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高二·贵州·学业考试）已知正三棱柱的各棱长均为，则该正三棱柱的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 题型四：线面垂直型几何体外接球 【典例4-1】（2026·高二·贵州遵义·期中）四面体中，平面，，，，则该四面体的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2026·高一·重庆·期末）四面体中，平面，则该四面体的外接球体积为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·河北保定·一模）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球表面积（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若三棱锥（以为顶点）的侧面积为6，则球的表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型五：正棱锥与圆锥的外接球问题 【典例5-1】（2026·高一·北京海淀·期末）已知侧棱长为2的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面两两垂直，则这个球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2026·山东聊城·模拟预测）已知正四棱锥外接球的表面积为，则正四棱锥的体积为（    ） A．12 B．24 C．48 D．56 【变式5-1】（2026·江苏南京·一模）已知圆锥的轴截面是直角三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，则该圆锥与球的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·贵州六盘水·一模）如图所示的容器由两个共底面的圆锥组成，已知两个圆锥的高之和为10，底面半径为4，且两个圆锥的顶点和底面圆周在同一个球的球面上.在该容器内放置一个球，则这个球的表面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型六：面面垂直型几何体外接球 【典例6-1】（2026·高二·陕西西安·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2026·高二·江苏南京·开学考试）平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·山东泰安·二模）已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·高三·广东深圳·阶段检测）在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 题型七：已知二面角的几何体外接球 【典例7-1】（2026·湖南湘潭·三模）如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）在平行四边形ABCD中，，现将沿折起，使二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·安徽合肥·三模）将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 题型八：空间几何体的内切球问题 【典例8-1】（2026·高一·山东济宁·期中）如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4中、4小共9个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体ABCD的表面积，则9个球的表面积之和为______. 【典例8-2】如图，三棱锥中，，，已知平面平面，且，三棱锥的内切球同时与平面也相切，则______． 【变式8-1】（2026·广西北海·一模）若一个半径为1的实心球O放置于一个正方体形盒子内，且与该正方体内切，若在该盒子内再放入一个球，则球的表面积的最大值是______． 【变式8-2】（2026·高一·江苏连云港·阶段检测）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的表面积为______，三棱锥的内切球的体积为______． 【变式8-3】正三棱锥的高为1，底面边长为，内有一个球与它的四个面都相切，则内切球的表面积为______________，体积为______________． 1．（2026·高一·云南文山·阶段检测）已知A，B，C三点在球O的球面上，且，若球O上的动点D到点A，B，C所在平面的距离的最大值为，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·广东梅州·期中）设某正四面体的内切球的体积为，则该正四面体的棱长为（    ） A．2 B． C．3 D． 4．（2026·高二·浙江金华·阶段检测）已知圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则该圆锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山东聊城·模拟预测）已知三棱锥的顶点均在球的球面上，且球心在棱上，若球的表面积为，则三棱锥的体积最大值为（   ） A． B．2 C． D． 6．（2026·高一·天津蓟州·期中）已知三棱锥的所有棱长都是，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 7．（2026·湖北武汉·三模）表面积为的圆柱内放入一个球，则该球体的体积最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·河北唐山·期中）已知正方体的顶点都在球O的表面上，则三棱锥与球O的体积之比为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·高一·海南海口·期中）已知球内切于圆台（即球与圆台的上、下底面及侧面均相切），且圆台上、下底面半径之比为2：5. 设圆台的侧面积为，球的表面积为，则=__________. 10．（2026·高一·北京平谷·期中）某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径1的半球.已知该胶囊的体积为，则它的表面积为__________. 11．（2026·高一·黑龙江佳木斯·期中）已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的表面积为________. 12．（2026·高一·贵州毕节·期中）《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______． 13．（2026·高一·山东临沂·期中）已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为______. 14．（2026·高一·山东泰安·期中）“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则该多面体外接球的体积为_______. 15．（2026·高一·贵州安顺·阶段检测）在三棱锥中，，，，，若，，，都在球的球面上，则球的表面积为_______． 16．（2026·高一·广西南宁·期中）已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为______________． 17．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期中）若底面边长为，高为的正三棱柱所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为________. 18．（2026·广东珠海·模拟预测）在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为______． 19．（2026·高一·重庆·阶段检测）已知在直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为______. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $