专题04 解三角形的最值范围与图形类问题（暑假复习讲义）新高二数学人教B版

专题04 解三角形的最值范围与图形类问题 内容导航 01复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02知识重构→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03题型突破→汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型一：角度的最值与范围问题 题型二：面积与周长的最值范围问题 题型三：边长和差比的最值范围问题 题型四：多边形中的基础解三角形问题 题型五：多边形中的联立解三角形问题 题型六：三角形角平分线相关问题 题型七：三角形中线相关问题 题型八：三角形重心性质及应用问题 04综合通关→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.正弦定理、余弦定理的综合应用 2.三角形边长、角度的最值与范围问题 3.三角形面积的最值与范围问题 4.三角形中周长的最值与范围问题 5.三角形的图形类综合问题（含外接圆、内切圆） 1.边角互化与基本量求解：利用正弦、余弦定理实现边角互化，求解三角形的边长、角度等基本量，常与三角恒等变换结合考查。 2.边长与角度的最值/范围：利用余弦定理结合基本不等式、正弦定理结合三角函数值域，求解边长、角的取值范围，是本专题核心考点。 3.面积与周长的最值/范围：通过面积公式、周长公式转化为函数或不等式问题，常与三角函数、二次函数性质结合考查。 4.外接圆与内切圆相关问题：结合正弦定理求外接圆半径，利用内切圆性质、面积公式求解相关量，常与最值问题结合。 5.图形类综合问题：在复杂三角形、多边形背景中，利用正余弦定理分析图形结构，求解角度、边长、面积，考查几何直观与转化能力。 考情解码：“解三角形的最值范围与图形类问题”是高中数学解三角形专题的核心拓展内容，是衔接三角恒等变换、函数、不等式与几何的重要载体，在高考解答题中占据关键地位。本专题涉及的正余弦定理综合应用、边角关系转化、图形分析等内容，是培养学生逻辑推理、运算求解与数形结合能力的重要载体。 试题从单一的三角形基本量求解，向多条件约束下的最值/范围探究、复杂图形背景下的综合分析转型，着重考查学生的转化化归能力、几何直观能力以及运用解三角形知识解决综合问题的能力。利用正余弦定理结合基本不等式或三角函数求最值、外接圆/内切圆相关图形问题是高频综合考点，常与后续立体几何、解析几何等知识结合，体现几何知识的内在联系。 知识点一解三角形的最值范围 1.基本不等式法 利用基本不等式求最值范围，主要结合余弦定理，可求周长及面积的题目，若要求解周长的范围时，还需利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）” 2.三角函数法 先利用正弦定理将边转化成角，然后利用或者题干中角的关系，可将所求式子中的角统一成一个角，需要注意题干中对角有没有限制要求，利用角的范围求出范围 即时即练 在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 知识点二图形类问题 1.多边形解三角形 将多边形分割成多个三角形，若有一个三角形可用正余弦定理求解六要素，则要根据所求边或角所在的三角形合理求解边角；若没有一个三角形可求解六要素，则需要根据条件选择边角要素（要挑选有关系的边角或者两三角形的的公共边或公共角）进行假设，然后利用正余弦定理构造方程进行求解 2.角平分线与中线问题 1.角平分线 若是的角平分线，则有：①等面积法；② 2.中线 若是的中线，则 方法一：向量法； 方法二：（双余弦定理法）在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得，② 因为，所以，所以①+②式即可 即时即练 已知的内角、、的对边分别为、、，且，角B为钝角． (1)求； (2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题． 若，，为的___________，求的面积． 题型一：角度的最值与范围问题 【典例1-1】（2026·福建泉州·模拟预测）钝角的内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【典例1-2】（2026·高一·重庆·阶段检测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式1-1】（2026·高一·浙江·期中）已知满足：，则角的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高一·广东广州·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围． 题型二：面积与周长的最值范围问题 【典例2-1】（2026·高一·江苏泰州·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且与共线． (1)求C； (2)若，求周长的取值范围； (3)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 【典例2-2】（2026·高一·辽宁大连·期中）在中，角为锐角，的面积为4，且，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高一·黑龙江牡丹江·期中）在锐角△ABC中，, (1)求△ABC的周长的取值范围； (2)求△ABC的面积的取值范围. 【变式2-2】（2026·高一·四川绵阳·期中）阅读下面的两个材料： 材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量术》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即三角形的三条边长分别为，，，则它的面积，其中，这个公式称之为海伦公式； 在中，所对边分别为请回答下面的问题： (1)若的周长为18，且满足，求这个三角形的面积； (2)若的面积为6，其内切圆半径为1，，求、. (3)若，，求面积的最大值. 【变式2-3】（2026·高一·广东深圳·期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2026·高一·广东惠州·阶段检测）在锐角中，角、、所对应的边分别为、、.已知，，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-5】（2026·高一·山东滨州·期中）如图，设的内角所对的边分别为，且．若点是外一点，，则四边形面积的取值范围为___________． 题型三：边长和差比的最值范围问题 【典例3-1】（2026·高一·四川乐山·阶段检测）在中，角所对的边分别为，且.若，则的最大值为______. 【典例3-2】（2026·高一·四川成都·期中）在中，角，，所对的边分别是，，，，且.若角的角平分线交于点，则长度的最大值为（   ） A． B． C． D．3 【变式3-1】（2026·高一·江苏扬州·期中）在边长为2的正三角形的边上分别取两点，沿线段折叠三角形，使顶点正好落在边上，则的长度的最小值为（   ） A． B． C． D．2 【变式3-2】（2026·高一·广西南宁·期中）在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·河南郑州·二模）已知的面积为1，，的中点分别，，且，则的最小值为（     ） A． B．2 C． D． 题型四：多边形中的基础解三角形问题 【典例4-1】（2026·高一·陕西榆林·期中）如图，已知中，，延长至点，连接. (1)求的长； (2)若，求的长. 【典例4-2】（2026·高一·福建龙岩·期中）如图中，，，，的中点为，求 (1)与的长； (2)的余弦值. 【变式4-1】如图，在直角三角形ABC中，AD垂直于斜边BC，且垂足为D．设BD及CD的长度分别为a与b． (1)求斜边上的高AD与中线AE的长； (2)用不等式表示斜边上的高AD与中线AE长度的大小关系． 【变式4-2】（2026·高一·海南省直辖县级单位·期中）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，.      (1)求的度数； (2)求的面积. 题型五：多边形中的联立解三角形问题 【典例5-1】（2026·高一·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，点在线段上．    (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 【典例5-2】（2026·高一·河南新乡·阶段检测）如图，在四边形中，，，，． (1)求边的长度； (2)求四边形的面积； (3)求的值． 【变式5-1】如图，在梯形中，.求的正弦值和BD的长. 【变式5-2】（2026·高一·北京·期末）如图，在四边形中，，，．再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题． (1)求的值； (2)求的大小． ①面积； ②． 题型六：三角形角平分线相关问题 【典例6-1】（2026·高一·福建宁德·期中）在中，角的对边分别是，满足，且. (1)求角的大小； (2)为边上的一点，，且__________，求的面积； （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. ①是角的平分线； ②为线段的中点. (3)若为锐角三角形，求边上高的取值范围. 【典例6-2】（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）在中，角的对边分别为．且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【变式6-1】（2026·高一·湖北咸宁·期中）记的内角的对边分别为，若. (1)求； (2)若，线段是的平分线，交于点，求线段的长. 【变式6-2】（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，. (1)求sin B的值； (2)求c的值. (3)若的平分线交BC于点D，求AD的长. 题型七：三角形中线相关问题 【典例7-1】（2026·高一·吉林长春·阶段检测）已知的内角的对边分别为，且满足． (1)求B的大小； (2)若是的中线，求的最小值． 【典例7-2】（2026·高三·河南信阳·期末）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 【变式7-1】（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角C的大小 (2)若，边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围. 【变式7-2】（2026·高一·安徽滁州·阶段检测）已知是锐角三角形，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)求的取值范围； (3)若，求边上的中线的取值范围. 题型八：三角形重心性质及应用问题 【典例8-1】（2026·高一·内蒙古·阶段检测）在中，． (1)证明：为△ABC的重心． (2)设． ①证明：为定值． ②求的最大值，并求此时AB的长． 【典例8-2】（2026·高三·江苏·开学考试）如图，在△ABC内任取一点P，直线AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB相交于点D、E、F．    (1)试证明： (2)若P为重心，，求的面积． 【变式8-1】（2026·高一·贵州·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若O为的重心，且，证明：是等腰三角形. 【变式8-2】（2026·高一·江苏淮安·期末）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答． 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知______． (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形，且其面积为，点G为重心，点M为线段的中点，点N在线段上，且，线段与线段相交于点P，求的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分． 1．（2026·高一·重庆·期中）钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（    ） A．（0，1） B． C． D． 2．（2026·高一·江苏南京·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，，且的外接圆的半径为1，则周长的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山西太原·二模）在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）（2026·高一·广东广州·期中）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（     ） A． B． C． D．的范围为 5．（多选题）（2026·高一·四川广安·阶段检测）若的内角，，对边分别是，，，，且，则（    ） A．外接圆的半径为 B．的周长的最小值为 C．的面积的最大值为 D．边的中线的最小值为 6．（多选题）（2026·高二·浙江·阶段检测）在中，角、、的对边分别为、、，的面积为，且，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．的周长可以是 D．的外接圆半径可以是 7．（多选题）（2026·高一·湖北荆州·期中）已知中，内角，，所对的边为，，，且，，则下列四个选项中正确的是（   ） A．若，则有两解 B．的最大值为2 C．周长的取值范围为 D．的取值范围为 8．（多选题）（2026·高一·安徽亳州·阶段检测）在中，角所对的边分别为，若，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．角的最大值为 C．若是锐角三角形，且，则是等边三角形 D．若是钝角三角形，则的取值范围是 9．（多选题）（2026·浙江绍兴·模拟预测）设的内角的对边分别为，若，且，则（    ） A． B． C．的面积可以是1 D．的周长可以是3 10．（多选题）（2026·高一·河北邢台·期中）如图，在圆的内接四边形中，，，，则（   ） A． B． C． D．的面积为 11．（多选题）（2026·高一·重庆·期中）在中，内角的对边分别为，已知，则下列说法正确的是（    ） A． B．的外接圆的半径为 C．若的面积为，则的周长为 D．若边上的中线长为，点在上，为的角平分线，则 12．（2026·高一·四川资阳·期中）在中，，D为BC边上一点，且．若AD为的平分线，且为锐角三角形，则边AC的取值范围______． 13．（2026·高一·海南省直辖县级单位·期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则边长的取值范围为___________． 14．如图，P为内一定点，且，，分别在射线OA、OB上运动，则的周长最小值为______． 15．（2026·高一·全国·期末）在中，内角的对边分别是. (1)求的值； (2)若，求周长的最大值. 16．（2026·高一·甘肃天水·期中）已知，，． (1)求函数的解析式； (2)求在上的最大值和最小值． (3)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 17．（2026·四川成都·模拟预测）已知，，． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 18．（2026·高一·河北沧州·期中）如图，在中，，D为边AC上一点，且，．    (1)若． （ⅰ）求； （ⅱ）求的面积； (2)若，求的取值范围． 19．（2026·高一·四川巴中·期中）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足. (1)求证：； (2)若，求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 20．（2026·高一·江苏泰州·期中）的内角的对边分别为，且. (1)已知. ①若是的角平分线，，求的长； ②若，求面积的最大值. (2)若是边的三等分点（靠近点），，求实数的取值范围. 21．（2026·高三·贵州遵义·阶段检测）如图，在四边形中，． (1)求的值； (2)若，且的面积是面积的4倍，求的长． 22．如图，在四边形中，，，平分且与相交于点． (1)若的面积为，求； (2)若，求的面积． 1/2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 解三角形的最值范围与图形类问题 内容导航 01复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02知识重构→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03题型突破→汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型一：角度的最值与范围问题 题型二：面积与周长的最值范围问题 题型三：边长和差比的最值范围问题 题型四：多边形中的基础解三角形问题 题型五：多边形中的联立解三角形问题 题型六：三角形角平分线相关问题 题型七：三角形中线相关问题 题型八：三角形重心性质及应用问题 04综合通关→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.正弦定理、余弦定理的综合应用 2.三角形边长、角度的最值与范围问题 3.三角形面积的最值与范围问题 4.三角形中周长的最值与范围问题 5.三角形的图形类综合问题（含外接圆、内切圆） 1.边角互化与基本量求解：利用正弦、余弦定理实现边角互化，求解三角形的边长、角度等基本量，常与三角恒等变换结合考查。 2.边长与角度的最值/范围：利用余弦定理结合基本不等式、正弦定理结合三角函数值域，求解边长、角的取值范围，是本专题核心考点。 3.面积与周长的最值/范围：通过面积公式、周长公式转化为函数或不等式问题，常与三角函数、二次函数性质结合考查。 4.外接圆与内切圆相关问题：结合正弦定理求外接圆半径，利用内切圆性质、面积公式求解相关量，常与最值问题结合。 5.图形类综合问题：在复杂三角形、多边形背景中，利用正余弦定理分析图形结构，求解角度、边长、面积，考查几何直观与转化能力。 考情解码：“解三角形的最值范围与图形类问题”是高中数学解三角形专题的核心拓展内容，是衔接三角恒等变换、函数、不等式与几何的重要载体，在高考解答题中占据关键地位。本专题涉及的正余弦定理综合应用、边角关系转化、图形分析等内容，是培养学生逻辑推理、运算求解与数形结合能力的重要载体。 试题从单一的三角形基本量求解，向多条件约束下的最值/范围探究、复杂图形背景下的综合分析转型，着重考查学生的转化化归能力、几何直观能力以及运用解三角形知识解决综合问题的能力。利用正余弦定理结合基本不等式或三角函数求最值、外接圆/内切圆相关图形问题是高频综合考点，常与后续立体几何、解析几何等知识结合，体现几何知识的内在联系。 知识点一解三角形的最值范围 1.基本不等式法 利用基本不等式求最值范围，主要结合余弦定理，可求周长及面积的题目，若要求解周长的范围时，还需利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）” 2.三角函数法 先利用正弦定理将边转化成角，然后利用或者题干中角的关系，可将所求式子中的角统一成一个角，需要注意题干中对角有没有限制要求，利用角的范围求出范围 即时即练 在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【解析】（1）略 （2）由，所以， 又，所以， 又，所以， 又由为的平分线， 所以， 所以， 所以， 又由余弦定理得：， 所以，所以； （3）由（1）有，又，所以， 又由正弦定理得： ， 又为锐角三角形，所以， 所以，所以，所以. 知识点二图形类问题 1.多边形解三角形 将多边形分割成多个三角形，若有一个三角形可用正余弦定理求解六要素，则要根据所求边或角所在的三角形合理求解边角；若没有一个三角形可求解六要素，则需要根据条件选择边角要素（要挑选有关系的边角或者两三角形的的公共边或公共角）进行假设，然后利用正余弦定理构造方程进行求解 2.角平分线与中线问题 1.角平分线 若是的角平分线，则有：①等面积法；② 2.中线 若是的中线，则 方法一：向量法； 方法二：（双余弦定理法）在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得，② 因为，所以，所以①+②式即可 即时即练 已知的内角、、的对边分别为、、，且，角B为钝角． (1)求； (2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题． 若，，为的___________，求的面积． 【解析】（1）由正弦定理可得，因为，所以. 因为，所以. （2）若选①，连接并延长交边于点， 因为为的重心，所以为的中点，且， 所以点到的距离等于点到的距离的， 所以，；   若选②，由余弦定理可得， 若为的内心，设的内切圆的半径为， 则，则， 因此，； 若选③，若为的外心，设的外接圆半径为， 由余弦定理可得，则， 在优弧上任取一点，则，则， 因此，． 题型一：角度的最值与范围问题 【典例1-1】（2026·福建泉州·模拟预测）钝角的内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知，则. 即. 所以. 由于， 所以或. 当时，可得，那么，不满足为钝角三角形， 舍去. 当时，则，满足为钝角三角形，此时. 由正弦定理得， ， 由各内角大于0，即，可得，故， 对勾函数在上单调递减，且， 所以，所以的取值范围为. 【典例1-2】（2026·高一·重庆·阶段检测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】由余弦定理，将代入得. 进而. 的最小值为，因此的最大值为. 令，. ， 当时，， 根据对勾函数的性质可得， 故的最大值为， 即的最大值为. 【变式1-1】（2026·高一·浙江·期中）已知满足：，则角的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，即. 所以，当时取等号； 又，故角为锐角，，，当时取等号， 所以角的最大值是. 【变式1-2】（2026·高一·广东广州·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围． 【解析】（1）由已知，得，即， 根据正弦定理，可得，化简得， 由余弦定理，得， 又，所以； （2）根据余弦定理，得，整理得， 又，，，代入整理得，解得， 又为边上的角平分线，所以，， 即， 化简得， 又，，所以，解得； （3）延长交于点，延长交于点， 因为点为的垂心，所以，， 设，则且， 所以，又， 在中，， 在中，，，所以， 在中，，同理可得， 所以 因为，所以， 所以， 所以， 即的取值范围为. 题型二：面积与周长的最值范围问题 【典例2-1】（2026·高一·江苏泰州·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且与共线． (1)求C； (2)若，求周长的取值范围； (3)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 【解析】（1）在中，， ∵与共线，∴， 由正弦定理可得 ∴， ∴， ∵，∴，又，所以； （2）由（1）知，又，由余弦定理， 得， 即，因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，则， 由三角形三边关系知，所以，即， 所以周长的取值范围为； （3）因为角A与角B的角平分线交于点D，，， 所以，设，， 在中，由正弦定理， 所以，即，， 所以 ， 因为，为锐角三角形， 所以，即， 所以，即， 则， 所以面积的取值范围为. 【典例2-2】（2026·高一·辽宁大连·期中）在中，角为锐角，的面积为4，且，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，即. 而， 所以，即. 由于为锐角，所以，， 所以与异号或， 若，即， 又，，则，， 所以，即，此不等式组无解，所以不成立. 同理可得不成立. 所以， 即，所以，，即为直角三角形. 由题意知，，即，所以. 所以的周长， 当且仅当时，等号成立. 所以周长的最小值为. 【变式2-1】（2026·高一·黑龙江牡丹江·期中）在锐角△ABC中，, (1)求△ABC的周长的取值范围； (2)求△ABC的面积的取值范围. 【解析】（1）由和正弦定理，可得， 因， 代入整理得，因，则，故得，则. 又因，由正弦定理，， 则， 于是△ABC的周长为， 因是锐角三角形，则，解得， 则，则， 故△ABC的周长的取值范围是. （2）设△ABC的面积为，则 ， 因，则，故得， 于是△ABC的面积的取值范围是. 【变式2-2】（2026·高一·四川绵阳·期中）阅读下面的两个材料： 材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量术》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即三角形的三条边长分别为，，，则它的面积，其中，这个公式称之为海伦公式； 在中，所对边分别为请回答下面的问题： (1)若的周长为18，且满足，求这个三角形的面积； (2)若的面积为6，其内切圆半径为1，，求、. (3)若，，求面积的最大值. 【解析】（1）由正弦定理得， 又的周长为18，故， 故， ； （2）的内切圆半径为， 则，故，， 又，故， 又，， 故，，则， 联立与，又，解得； （3）， 又，所以， 故， 即， 由正弦定理得 又，故，， ， 当且仅当时，等号成立，故面积最大值为. 【变式2-3】（2026·高一·广东深圳·期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是锐角三角形，所以， 又，所以，所以，由，得， 所以，所以，解得，所以. 由，，，得， ， 所以的周长为． 令，则， 则， 函数在上单调递增， 当时，；当时，， 所以， 所以周长的取值范围为． 【变式2-4】（2026·高一·广东惠州·阶段检测）在锐角中，角、、所对应的边分别为、、.已知，，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由正弦定理可得，得，，又，，， 所以 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，其中， 所以，所以的周长. 【变式2-5】（2026·高一·山东滨州·期中）如图，设的内角所对的边分别为，且．若点是外一点，，则四边形面积的取值范围为___________． 【答案】 【解析】由题意及正弦定理，得，即． 因为，所以． 又因为，则． 因为，所以， 所以， 所以四边形面积的取值范围为． 题型三：边长和差比的最值范围问题 【典例3-1】（2026·高一·四川乐山·阶段检测）在中，角所对的边分别为，且.若，则的最大值为______. 【答案】14 【解析】因为，所以由正弦定理得， 因为，所以，所以， 因为，所以， 由余弦定理得，即， 因，当且仅当时取等号， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 故，当且仅当时取等号， 则b+c的最大值为14. 【典例3-2】（2026·高一·四川成都·期中）在中，角，，所对的边分别是，，，，且.若角的角平分线交于点，则长度的最大值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】在中，由正弦定理可得：. ∵， ∴. 由可得，即. 由，可得. 在中，由余弦定理可得，， 即，当且仅当时，等号成立. ∵，化简可得，， ∴，当且仅当时等号成立. 故长度的最大值为. 【变式3-1】（2026·高一·江苏扬州·期中）在边长为2的正三角形的边上分别取两点，沿线段折叠三角形，使顶点正好落在边上，则的长度的最小值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】显然两点关于折线对称，连接，图(2)中，可得，则有， 设，，再设，则有， 在中，，∴，又， 在中，由正弦定理知，即，∴， ∵，∴，∴当，即时，． 此时取得最小值，则的最小值为． 【变式3-2】（2026·高一·广西南宁·期中）在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知得：，即， 所以，又，所以， 由正弦定理得：， 所以， 所以 又 所以由是锐角三角形得：， ，即的取值范围是． 【变式3-3】（2026·河南郑州·二模）已知的面积为1，，的中点分别，，且，则的最小值为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】取，根据已知条件可知为的重心， 由，设，，则，，，， 由， 又因为， 所以， 由余弦定理可知， 令，则， 即， 因为，所以，即， 因为，所以的最小值为． 题型四：多边形中的基础解三角形问题 【典例4-1】（2026·高一·陕西榆林·期中）如图，已知中，，延长至点，连接. (1)求的长； (2)若，求的长. 【解析】（1）在中，由正弦定理得， 且. 所以. （2）因为，则， 在中，由余弦定理得 【典例4-2】（2026·高一·福建龙岩·期中）如图中，，，，的中点为，求 (1)与的长； (2)的余弦值. 【解析】（1）由正弦定理可得，即， 在中，， 所以是直角三角形，故， （2）因为的中点为，所以， 因为，所以是等边三角形， 所以，，. 【变式4-1】如图，在直角三角形ABC中，AD垂直于斜边BC，且垂足为D．设BD及CD的长度分别为a与b． (1)求斜边上的高AD与中线AE的长； (2)用不等式表示斜边上的高AD与中线AE长度的大小关系． 【解析】（1）因为，， 所以，，， 可得，， 所以，； ； （2）因为，所以， 当且仅当时等号成立， 即， 【变式4-2】（2026·高一·海南省直辖县级单位·期中）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，.      (1)求的度数； (2)求的面积. 【解析】（1）由已知得， ，， 所以 是等腰三角形，， 所以， 所以. （2）由（1）知中，，， 又， 所以. 题型五：多边形中的联立解三角形问题 【典例5-1】（2026·高一·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，点在线段上．    (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即， 因为，则，故，则为锐角， 所以， 因为，则， 在中，由正弦定理得， 所以，解得． （2），则 由，得，. 由余弦定理可得： . 在中，由正弦定理可得， 故， 在中，由正弦定理可得， 故， 因为， 所以． 【典例5-2】（2026·高一·河南新乡·阶段检测）如图，在四边形中，，，，． (1)求边的长度； (2)求四边形的面积； (3)求的值． 【解析】（1）因为， ． ，． 在中，， ． （2）由（1）得，． ． ， ． ． 四边形的面积． （3）在中， ， ． 由正弦定理，得， ． 【变式5-1】如图，在梯形中，.求的正弦值和BD的长. 【解析】在中，， 由正弦定理，可得， 因为，所以，所以， 在中，且 由正弦定理，可得. 【变式5-2】（2026·高一·北京·期末）如图，在四边形中，，，．再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题． (1)求的值； (2)求的大小． ①面积； ②． 【解析】（1）选①：由，得， 由余弦定理可得，得， ，所以； 选②：在中，所以， . （2）选①：因为，所以， 在中，由正弦定理可得，解得， 又因为， 所以满足这样的三角形有两解，所以或； 选②：在中，由正弦定理可得，解得， 因为，则， 在中，解得， 又因为， 故满足这样的三角形有两解，故或． 题型六：三角形角平分线相关问题 【典例6-1】（2026·高一·福建宁德·期中）在中，角的对边分别是，满足，且. (1)求角的大小； (2)为边上的一点，，且__________，求的面积； （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. ①是角的平分线； ②为线段的中点. (3)若为锐角三角形，求边上高的取值范围. 【解析】（1）由可得， ， 故，即， 得，由于，故， . （2）若选①：由平分得：， 又，， ，即． 在中，由余弦定理得， 又，则， 联立，得，解得， ； 若选②：为线段的中点，则， 则， 由（1）知， 所以， 在中，由余弦定理得， 又，则， 联立，得， ． （3）由（1）知，已知， 由正弦定理得， 故， ， 由于为锐角三角形，故，故， 因此，， 则， 故三角形的面积为， 故边上的高为，. 【典例6-2】（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）在中，角的对边分别为．且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【解析】（1）由，得， 所以， 所以，即. 因为，所以. （2）由题可知，化简得. 由余弦定理知，即， 所以，解得. （3）因为的面积为， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以，即， 所以的面积， 当且仅当时，的面积取得最小值，最小值为. 【变式6-1】（2026·高一·湖北咸宁·期中）记的内角的对边分别为，若. (1)求； (2)若，线段是的平分线，交于点，求线段的长. 【解析】（1）因为，所以，即， 由余弦定理得，因为，所以. （2）由（1）得，又，代入解得或（舍）， 如图所示：， 代入数据得， 解得. 【变式6-2】（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，. (1)求sin B的值； (2)求c的值. (3)若的平分线交BC于点D，求AD的长. 【解析】（1）由正弦定理=， 可得，所以sin B=. （2）方法一　根据条件，b<a，∴B为锐角， 由（1）sin B=，所以cos B=， 所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B =×+×=， 由正弦定理=可得c=3. 方法二　由余弦定理， 得(， 整理得， 解得或(舍去)， 所以. （3）， 即，得. 题型七：三角形中线相关问题 【典例7-1】（2026·高一·吉林长春·阶段检测）已知的内角的对边分别为，且满足． (1)求B的大小； (2)若是的中线，求的最小值． 【解析】（1）由正弦定理得， 又， 故， 即， 又，故， 故，， 又，故； （2）因为，为的中线， 所以， 又， 在中，由正弦定理得，即， 故， 故当时，取得最小值，最小值为. 【典例7-2】（2026·高三·河南信阳·期末）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， ， ，，则， ，. （2）因为是中点，所以. 两边平方得 . 所以，即， 又由均值不等式得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. 【变式7-1】（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角C的大小 (2)若，边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围. 【解析】（1）因为，所以由正弦定理得， 因为，所以， 则， 因为，所以， 所以，即， 因为，所以. （2）由余弦定理可得， 又， 则 ， 由正弦定理可得， 所以， 所以 ， 因为锐角，所以，解得，则， 所以， 则， 则， 故中线CD的长度的取值范围为. 【变式7-2】（2026·高一·安徽滁州·阶段检测）已知是锐角三角形，内角的对边分别为，且. (1)求； (2)求的取值范围； (3)若，求边上的中线的取值范围. 【解析】（1）由及正弦定理得， ， 因为，所以， 即， 所以，即， 因为，所以， 因为，所以； （2） ， 因为是锐角三角形，且， 所以，所以， 所以， 所以的取值范围为； （3）由余弦定理得，，即， 由边上的中线为，得， 两边平方得， 由正弦定理可知，， 所以， 所以 ， 由（2）知， 所以， 即，则. 题型八：三角形重心性质及应用问题 【典例8-1】（2026·高一·内蒙古·阶段检测）在中，． (1)证明：为△ABC的重心． (2)设． ①证明：为定值． ②求的最大值，并求此时AB的长． 【解析】（1）证明：设BC的中点为E，则， 因为，所以． 设AC的中点为F，AB的中点为H，同理可得，， 所以A，G，E三点共线，B，G，F三点共线，C，G，H三点共线， 从而G为△ABC三条中线的交点，即G为△ABC的重心． （2）①证明：由（1）知，因为，所以． 因为，所以， 设，则，， 由余弦定理，得， ，则，为定值． ②设，，， 所以， 当，即时，取得最大值，且最大值为， 此时，解得， 此时． 【典例8-2】（2026·高三·江苏·开学考试）如图，在△ABC内任取一点P，直线AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB相交于点D、E、F．    (1)试证明： (2)若P为重心，，求的面积． 【解析】（1）中，则， 中，则， 又则， 所以，得证. （2）由是重心，则为中线，又， 所以， 而，则， 所以，可得，且，所以， 同理，，可得，， 所以，， 则. 【变式8-1】（2026·高一·贵州·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若O为的重心，且，证明：是等腰三角形. 【解析】（1）由正弦边角关系得，则， 所以. （2）由题可得，， 所以， 又及（1）结论，故，而， 所以，则，即， 故，即是等腰三角形. 【变式8-2】（2026·高一·江苏淮安·期末）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答． 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知______． (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形，且其面积为，点G为重心，点M为线段的中点，点N在线段上，且，线段与线段相交于点P，求的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分． 【解析】（1）若选①， 由正弦定理可得 即，又，所以，即， 因为，所以； 若选②，即， 即， 所以，即，所以，即， 因为，所以； （2）依题意，， 所以， 因为、、三点共线，故设， 同理、、三点共线，故设， 所以，解得， 所以， 则， 因为，所以， 又为锐角三角形， 当为锐角，则，即， 即，即，即，所以， 当为锐角，则，即， 即，即，即，即，所以， 综上可得， 又，则 因为，所以，而在上单调递减，所以， 即，即，所以，则. 1．（2026·高一·重庆·期中）钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（    ） A．（0，1） B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，由正弦定理得，， 即，中，故， 由及为钝角三角形可得，， 由正弦定理得， ， 由各内角大于0，即，可得，故， 对勾函数在上单调递减，且， 所以，的取值范围为. 2．（2026·高一·江苏南京·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，，且的外接圆的半径为1，则周长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 则， 因为，所以，则，所以， 又由外接圆半径为1可知，即， 由余弦定理得，则，即， 由基本不等式得， 所以，整理得， 化简得（当且仅当时取等）， 所以周长的最大值为. 3．（2026·山西太原·二模）在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】延长交于，如下图所示： 为的重心，为中点且， ，，； 在中，； 在中，； ，， 即，整理可得：，为锐角； 设为钝角，则，，， ，，解得：， ，， 由余弦定理得：， 又为锐角，，即的取值范围为. 故选：C. 4．（多选题）（2026·高一·广东广州·期中）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（     ） A． B． C． D．的范围为 【答案】AC 【解析】根据， 由正弦定理可知， 整理得， 利用两角和公式可知； 根据三角形内角和可知，， 故上式可化简为， 根据正弦定理可知，故A正确； 假设，则， 因为，故，则，，则， 不符合三角形内角范围，故B错误； 由可得， 故，故C正确； 因为， 由余弦定理可得，故， 因为，故； 由三角形三边关系可知，解得； 故，故的范围为，故D错误． 5．（多选题）（2026·高一·四川广安·阶段检测）若的内角，，对边分别是，，，，且，则（    ） A．外接圆的半径为 B．的周长的最小值为 C．的面积的最大值为 D．边的中线的最小值为 【答案】AC 【解析】A选项，，由正弦定理得：， 即， 所以， 即， 因为，所以，所以，则， 因为，则， 令外接圆的半径为， 所以，即，所以A选项正确； B选项，，即：，则， 因为，，所以， 当且仅当时等号成立，此时的最大值为，所以B选项错误； C选项，，，当且仅当时等号成立， 因为，所以的最大值为，所以C选项正确； D选项，因为为边上的中线， 所以，， 得，因为，所以的最小值为，所以D选项错误. 6．（多选题）（2026·高二·浙江·阶段检测）在中，角、、的对边分别为、、，的面积为，且，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．的周长可以是 D．的外接圆半径可以是 【答案】ABD 【解析】对于A选项，因为，即， 即，整理可得， 又因为，故，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，由余弦定理可得， 所以的周长为 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，即周长的最小值为，C错； 对于D选项，由C选项可知，故， 当且仅当时，等号成立， 设外接圆半径为，由正弦定理可得，可得， 又因为，即，故的外接圆半径可以是，D对. 7．（多选题）（2026·高一·湖北荆州·期中）已知中，内角，，所对的边为，，，且，，则下列四个选项中正确的是（   ） A．若，则有两解 B．的最大值为2 C．周长的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【解析】对于A，由于即，又， 故为锐角，所以，有一解； 对于B，，根据余弦定理可知 即（当且仅当时取等号），，故B正确； 对于C，根据余弦定理可知 即，， 解得，（当且仅当时取等号）， 所以，即，故周长的取值范围为， 所以，选项C正确; 对于D, 由于，所以，， 故的取值范围为，所以选项D正确. 8．（多选题）（2026·高一·安徽亳州·阶段检测）在中，角所对的边分别为，若，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．角的最大值为 C．若是锐角三角形，且，则是等边三角形 D．若是钝角三角形，则的取值范围是 【答案】ABC 【解析】由及正弦定理， 得，所以，故A正确； 由，得 ， 由余弦定理，得 ， 当且仅当时等号成立，因为，所以， 即角的最大值为，故B正确； 由三角形的边的关系，得，即，解得， 在区间内的正整数只有1和2，当时， 是等边三角形，也是锐角三角形； 当时， ，则，为钝角，不符合题意， 综上所述，若是锐角三角形，且，则是等边三角形，故C正确； 当时，，所以， 由是钝角三角形知，所以， 即 ，解得， 当时，，不符合是钝角三角形； 当时，，所以， 由是钝角三角形知，所以，即，解得， 又由三角形的边的关系，得， 所以的取值范围是，故D错误． 9．（多选题）（2026·浙江绍兴·模拟预测）设的内角的对边分别为，若，且，则（    ） A． B． C．的面积可以是1 D．的周长可以是3 【答案】BD 【解析】已知， 由正弦定理可得， ， ， ，，， 即.所以B正确；根据已知条件无法得出，所以A错误； 对于C：，又，，当且仅当时等号成立， ，所以C错误； 对于D：由余弦定理 ，，即，当且仅当等号成立. 此时，，所以的周长范围为. 当，即时，，则存在实数解. 所以D正确. 10．（多选题）（2026·高一·河北邢台·期中）如图，在圆的内接四边形中，，，，则（   ） A． B． C． D．的面积为 【答案】ACD 【解析】对于AB，由于，，， 在中，，即， 在中，，即， 联立两式解得，由于，所以，，故A正确，B错误． 对于C，，故C正确． 对于D，的面积，故D正确． 11．（多选题）（2026·高一·重庆·期中）在中，内角的对边分别为，已知，则下列说法正确的是（    ） A． B．的外接圆的半径为 C．若的面积为，则的周长为 D．若边上的中线长为，点在上，为的角平分线，则 【答案】BCD 【解析】由题意知，结合， 得， 化简得，因为，所以，所以， 又，所以，A错误； ，即的外接圆的半径为，B正确； ，即，解得， 在中由余弦定理可得：，， 因为 ，所以，则的周长为，C正确； 设边上中点为D，则，因为， 两边同时平方可得，化简得， 与余弦定理联立可得，， 两式联立得， 由得， 即， 解得，D正确. 12．（2026·高一·四川资阳·期中）在中，，D为BC边上一点，且．若AD为的平分线，且为锐角三角形，则边AC的取值范围______． 【答案】 【解析】因为为的平分线， 所以可设，则，， 因为为锐角三角形，所以，即,所以. 在中，由正弦定理得，③ 在中，由正弦定理得，④ ④÷③得， 又，所以， 设，又， 所以，所以在上为增函数， 所以． 13．（2026·高一·海南省直辖县级单位·期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则边长的取值范围为___________． 【答案】 【解析】因为，，所以， 由正弦定理可得， ，，， . ， ，，， . 故答案为：. 14．如图，P为内一定点，且，，分别在射线OA、OB上运动，则的周长最小值为______． 【答案】 【解析】分别作点关于的对称点，连接， 易得，，则周长为， 显然，当四点共线时，周长有最小值，最小值为， 因为，所以， 因为，所以， 故，故周长的最小值为. 15．（2026·高一·全国·期末）在中，内角的对边分别是. (1)求的值； (2)若，求周长的最大值. 【解析】（1）因为，由正弦定理得，所以，所以； （2）因为， 所以， ， ， ， 解得， 因为，所以， 所以， 则， 因为， 所以， 所以，所以， 所以，当且仅当时，取等号， 所以周长的最大值为. 16．（2026·高一·甘肃天水·期中）已知，，． (1)求函数的解析式； (2)求在上的最大值和最小值． (3)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 【解析】（1）由， 则. （2）当时，. 则当（即）时，取得的最大值为1； 当（即）时，取得的最小值为. 故的最大值为，最小值为. （3），即， 为的内角，. 故. . 则. 又，由余弦定理， 得，即. 由均值不等式得：， 即，从而， 当且仅当时取等号，此时为等边三角形． 周长最大值：. 17．（2026·四川成都·模拟预测）已知，，． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 【解析】（1）由，， 则， 所以的最小正周期为． （2）由，即，即， 又B为的内角，则，则， 所以，解得， 又，由余弦定理有，得，即， 由均值不等式有，则， 即，即，解得， 当且仅当时取等号，此时为等边三角形， 所以周长的最大值为． 18．（2026·高一·河北沧州·期中）如图，在中，，D为边AC上一点，且，．    (1)若． （ⅰ）求； （ⅱ）求的面积； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）（ⅰ）在中，，，， 由余弦定理得：，即， 所以是等腰三角形，即． 所以，即； （ⅱ），即是等腰三角形，所以， 所以； （2）因为，即，即． 设，则，则， 所以， 又因为，因为， 所以，即， 又因为，令，则， 所以，，因为函数在上单调递增， 所以． 19．（2026·高一·四川巴中·期中）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足. (1)求证：； (2)若，求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【解析】（1）∵ ，由正弦定理（为外接圆半径）， 得，， 代入得，即. ∵ 在中，，∴ ， ∴ 代入上式得， 整理得，即. ∵ 为锐角三角形，∴ ，，∴ ， ∴ 若， 则或 （后者得 ，不符合三角形内角要求，舍去）， ∴ ，得证. （2）为锐角三角形， ∴ ，解得. 由正弦定理，，得. ∵ ，∴ ，，， . ∴ ，，且， ∴ . ∵ ，代入得. 令，∵ ，∴ ，则. 任取， 则. ∵ ，∴ ，又，∴ ， ∴ ，即，∴ 在上单调递增. ∴ 当时，； 当时，， ∴ . （3）三角形面积，由正弦定理，，， ∴ ，又，， ∴ . 代入， ， ∴ . 令，由得，则， ∴ ，， 则. 令，，则， 该二次函数开口向上，对称轴为，故在上单调递增， 当； 当 ∴ ，又，故， 即三角形ABC面积的取值范围为. 20．（2026·高一·江苏泰州·期中）的内角的对边分别为，且. (1)已知. ①若是的角平分线，，求的长； ②若，求面积的最大值. (2)若是边的三等分点（靠近点），，求实数的取值范围. 【解析】（1）， 由正弦定理，可得， 代入得，展开得，整理得. 由余弦定理， ， ① 已知是的角平分线，由角平分线定理得. ，且，，则， 故为等边三角形. 已知，为等边的角平分线、中线和高，故， 代入得，即. 为中点，. ② 当时，，在线段上，且，即. ，， 对等式两边同时平方，得：， 展开得：. 设，，已知，， ，由数量积定义得， 代入得：， 整理得：. 由基本不等式得：，当且仅当时等号成立， ，即， 当时，代入验证得，，等号成立. 的面积， 面积的最大值为. （2）设，，∵ 是边靠近点的三等分点，∴ ， ∴ . ∵ ， ∴ . ∵ ，，且， ∴ ，即. 由余弦定理，∵ ， ∴ ，故. ∵ ，∴ . 令，即，代入得. 设，则. 令，则，代入得. ∵ ，由基本不等式，当且仅当即时取等号， ∴ . 当时，；当时，， ∴ ，故. ∵ ， ∴ ，即. 21．（2026·高三·贵州遵义·阶段检测）如图，在四边形中，． (1)求的值； (2)若，且的面积是面积的4倍，求的长． 【解析】（1）设，则， 由正弦定理可知，，即， 整理得，又因为，， 可解得，即. （2）由（1）可知，，. 由正弦定理可知，，解得， 又，. ，. ， ，， ， 解得. 22．如图，在四边形中，，，平分且与相交于点． (1)若的面积为，求； (2)若，求的面积． 【解析】（1）在中，，且，可得， 在中，， 可得，， 在中，，， 可得，由， 可得，解得， 又由余弦定理得：， 所以，所以. （2）因为， 在中，，，可得，， 所以， 由正弦定理，可得，解得， 所以， 所以. 1/2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $