专题03 向量数量积的运算及应用（暑假复习讲义）新高二数学人教B版

专题03 向量数量积的运算及应用 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型一：数量积的定义与运算 题型二：向量模长的计算 题型三：向量夹角的求解与应用 题型四：投影与投影向量的计算 题型五：向量数量积的坐标运算 题型六：数量积的最值与范围问题 题型七：数量积的新定义创新问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 向量数量积的定义与坐标运算 2. 向量的模长、夹角计算 3.向量垂直、平行的判定 4.投影向量与投影的计算 5. 向量数量积的几何意义应用 1. 基础运算：利用定义或坐标形式计算数量积、向量模长与夹角，常结合向量坐标的线性运算考查。 2. 位置关系判定：利用数量积为0判定垂直，结合坐标成比例判定平行，常与参数求解结合考查。 3. 投影相关问题：根据数量积的几何意义计算投影向量或投影值，考查对数量积本质的理解。 “向量数量积运算及应用” 是平面向量专题的核心内容，是连接代数运算与几何直观的重要桥梁，也是后续学习立体几何、解析几何、复数等内容的基础。本专题涉及的数量积定义、坐标运算、几何意义及应用，是培养学生数形结合、转化化归与运算求解能力的重要载体。 试题从单一数量积的计算，向向量与几何、函数、跨学科情境的综合应用转型，着重考查学生的运算求解能力、逻辑推理能力及运用向量解决实际问题的能力。向量数量积的几何意义、垂直与平行的判定、几何应用是高频综合考点，体现向量知识的工具性与内在联系。 知识点一 向量的夹角 （1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角. 显然,当时,与同向;当时,与反向. （2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作. 即时即练 已知单位向量，满足，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【解析】依题意， ，即 ， 所以，故． 知识点二 数量积定义及投影向量 1、向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 2、向量的投影向量 （1）如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. （2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. （3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有 在上的投影向量为 即时即练 已知，，若与的夹角为，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】计算：由，得，因此； 计算：根据向量数量积的定义，； 计算：由数量积运算律得 ； 计算投影向量：根据投影向量公式，向量在上的投影向量为，代入得所求投影向量为. 知识点三 数量积的性质及运算律 1、向量数量积的性质 设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则 （1）；（2）；（3）； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （4）；（5）或 2、数量积运算的运算律 （1）；（2）；（3） 即时即练 （多选题）已知平面向量，，，下列说法正确的有（    ） A．若，，则 B．，则 C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，当时，满足，，但不一定成立，故选项A错误； 对于B，由，则， 即， 所以，即，故选项B正确； 对于C，，故选项C正确； 对于D，因为是常数，则表示与共线的向量； 同理表示与共线的向量，所以与关系不确定，故选项D错误． 知识点四 数量积的坐标运算 设向量, （1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 （2）向量垂直: （3）向量的模:设,则 （4）两点间的距离公式:若,则 （5）向量的夹角: 即时即练 （多选题）已知点，，，，则（    ） A．三点共线 B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，，，又为公共点，所以三点共线，故A正确. 对于B，，，所以，故B错误. 对于C，，所以，即，故C正确. 对于D，，，所以，故D正确. 题型一：数量积的定义与运算 【典例1-1】（2026·高一·宁夏石嘴山·阶段检测）下列有关向量的说法正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．若和都是单位向量，则 C． D．若，则且 【答案】D 【解析】对于A，零向量有方向，其方向是任意的，A错误； 对于B，和都是单位向量，则和的长度相等，方向不确定，因此和不一定相等，B错误； 对于C，是实数，是与共线的向量，同理是与共线的向量， 而向量与可能不共线，C错误； 对于D，由，得且方向相同，从而有，D正确. 【典例1-2】（2026·四川自贡·模拟预测）已知向量满足，则的值为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【解析】因为，所以， 化简得：，所以，则：. 【变式1-1】（2026·高一·广东佛山·期中）已知向量在向量上的投影向量为，，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【解析】因为向量在向量上的投影向量为， 所以. 【变式1-2】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知中，，且E为中点，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【解析】， 已知中，， ， E为中点， ，故， ． 【变式1-3】（2026·河南·模拟预测）已知等边的边长为2，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以分别为的三等分点， 因此， ， 所以 . 题型二：向量模长的计算 【典例2-1】（2026·河南·三模）已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， 由题意得，解得， 则. 【典例2-2】（2026·湖北·三模）已知单位向量，，满足，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】由题意可知：， 因为，即， 则， 即，可得， 则，所以. 【变式2-1】（2026·高一·陕西榆林·期中）已知单位向量，满足，则（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】D 【解析】由，得， 即，，所以， 所以． 【变式2-2】（2026·福建莆田·模拟预测）已知向量满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】由， ，得． ． 故． 题型三：向量夹角的求解与应用 【典例3-1】（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）已知与的夹角为. (1)求； (2)求及； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【解析】（1）由与的夹角为，得. （2）由（1）得， . （3）由向量与的夹角为锐角，得，且向量与不共线， 则，即，解得且， 所以实数的取值范围是. 【典例3-2】（2026·高一·江西·阶段检测）如图，在中，，，．点D，E分别为边AC上的三等分点，点M满足，设，． (1)用，分别表示向量，； (2)求； (3)求的大小． 【解析】（1）因为，所以，， 因为点D，E分别为边AC上的三等分点，所以，， 所以，． （2）由可知，的夹角为， 所以， 由（1）知，， 所以. （3）由图形可知，的大小等于与的夹角， 由（1）（2）可得，， ， 所以， 又，则，故． 【变式3-1】（2026·高一·上海·期中）已知向量与的夹角为，求： (1)； (2)与的夹角的余弦值． 【解析】（1）由向量与的夹角为， 则； 由； （2）由， 则， . 【变式3-2】（2026·高一·四川广安·阶段检测）如图，在梯形中，为线段中点，记 (1)用表示向量； (2)求与夹角的余弦值. 【解析】（1）因为，为线段中点，且， 则； （2）由于，可得，又有， 所以. 由，可得， 且，故. 题型四：投影与投影向量的计算 【典例4-1】（2026·广东广州·三模）已知平面向量与与满足，，且在方向上的投影向量为，则__________． 【答案】 【解析】因为在方向上的投影向量为，即， 所以，则， 故. 【典例4-2】（2026·高一·浙江·阶段检测）若平面向量，，则在上的投影向量为________．（用表示） 【答案】 【解析】根据投影向量定义知：在上的投影向量为. 【变式4-1】（2026·高一·陕西榆林·期中）已知向量与的夹角为，若，则在上的投影向量的模为__________. 【答案】 【解析】向量在上投影向量的模为，其中为与的夹角， 已知，，代入计算： . 【变式4-2】（2026·高一·重庆·期中）已知向量满足，，向量在向量上的投影向量的坐标为，则________ 【答案】或 【解析】设，因为，所以，，     因为向量在向量上的投影向量的坐标为， 所以向量在向量上的投影向量为，即， 因为，所以，将代入解得， 所以或. 题型五：向量数量积的坐标运算 【典例5-1】（2026·高一·广西河池·期中）在中，已知点，，，则（     ）． A． B． C．18 D．12 【答案】C 【解析】在中，， 已知点，，， 则， 则. 【典例5-2】（2026·安徽芜湖·模拟预测）梯形满足为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图所示，由题意，以为原点，分别为轴正方向建立直角坐标系，设， 则有，，，，由于为的中点，所以， 得，， 所以，故B正确. 【变式5-1】（2026·高一·河南漯河·期中）已知在矩形ABCD中，，分别为的中点，则（ ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【解析】如图，以A为坐标原点O，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 则. ∵分别为的中点， ∴， ， . 【变式5-2】（2026·高一·江西南昌·期中）已知向量，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】，，则， 所以. 题型六：数量积的最值与范围问题 【典例6-1】（2026·高一·广西百色·期中）已知为边长为的等边三角形，设点为边的中点，点在边上（包括端点），则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点，连接，由题意为等边三角形，故以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为等边的边长为，所以， 又点为边的中点，所以， 设，则， 所以， 设， 由二次函数开口向上，对称轴为， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 【典例6-2】（2026·高一·湖南邵阳·期中）如图，正方形的边长为2，分别为边 上的动点，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】法一： 建立以A为坐标原点，为轴，为轴的平面直角坐标系， 则，设， 所以，则， 又， 则有， 令，，则， 左右同时平方得， 则，整理得， 所以，又，所以， 则，即， 解得，或（舍去）， 又，且， 所以，即， 综上所述. 法二：设，则∠BCP＝， ∵正方形ABCD的边长为2，， ∴. ∴， ∵，则， ∴， ∴. 【变式6-1】（2026·高一·河南·阶段检测）在矩形中，，，点为线段（包含端点）上一动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以为原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，设，当且时，过作轴于点，则， 所以（当或4时也成立），则，，， 所以， 当时，取得最小值-5；当或4时，取得最大值0. 故的取值范围为. 【变式6-2】（2026·高一·河南南阳·阶段检测）蜂巢是大自然精妙构造的典范，蜜蜂建造的蜂巢正面呈正六边形结构，这种结构不仅能最大限度节省蜂蜡材料，还能增强蜂巢的稳固性，是数学与自然完美结合的杰作.某生物模型实验室复刻了一个边长为2的正六边形蜂巢结构，研究人员在正六边形内部任意取一点P记录蜜蜂的活动轨迹.设向量为蜂巢边AB的方向向量，为从顶点A到记录点P的位移向量，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，以正六边形的顶点为坐标原点， 所在直线为轴， 所以直线为轴，建立平面直角坐标系： 则，， 设，则， 则， 所以. 【变式6-3】（2026·高一·河南新乡·阶段检测）在中，，，，点在边上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得， 又，，可得， ∴，故， 以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立如图所示的坐标系， ∴，设， ∴， ∴， 设，显然其在上单调递减，在上单调递增， 所以其最小值为，最大值为， 则的取值范围是. 题型七：数量积的新定义创新问题 【典例7-1】（2026·高一·贵州安顺·期中）定义：若不相等的两个向量满足条件：且均为整数，则称向量互为“等模整向量”，则与向量互为“等模整向量”的向量个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】设与互为“等模整向量”的向量， 则，所以，令，则，则（舍去）， 令，则，则或， 令，则，则， 故与向量互为“等模整向量”的向量个数有3个． 【典例7-2】（2026·河南驻马店·三模）定义变换，变换可以将平面向量逆时针旋转角得到向量，其中，．若将向量按照的变换得到向量；将按照的变换得到向量，则与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，， ， , . 【变式7-1】（2026·高一·广东茂名·期中）如图，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与Ox、Oy正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值. 【解析】（1）由题意可知，、的夹角为， ∴ ∵，则， ∴ ∴. （2）由，，得：，， ∴ 则， ∵与的夹角为， ∴ 解得. （3）依题意设、，且，， ∵为的中点， ∴ ∵为中点，同理可得： ∴ 由题意可知，，， ∴ 在中依据余弦定理得： 代入上式得： 在中，由正弦定理： 设，则，且， ∴， ，其中为锐角，且， ∵，则， 故当时，取最大值， ∴ 【变式7-2】（2026·高一·北京·期中）设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“⨂”：．试求解下列问题： (1)已知向量满足，，，求的值； (2)（i）若，用坐标表示； （ii）在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； (3)已知向量，求的最小值． 【解析】（1）由，可得， 则. （2）（i）由，可得， 因为，故， 故. （ii）由，，可得，， 故. （3）由，结合（2）的结论可知： ， 当且仅当，等号成立，结合，故时取等号， 因此的最小值为9. 【变式7-3】（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）如图1，设，是平面内相交成角的两条射线，，分别为，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系．在仿射坐标系中，若，记． (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)若， ，且，的夹角为，求； (3)如图2，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，，，，，连接，相交于T点，求的余弦值． 【解析】（1）因为，所以， 则， 所以． （2）由，，即，， 得，， ． 因为，的夹角为，则，解得． （3），. ，． ，． ， ，， ． 1．（2026·山东威海·二模）已知向量的夹角为，，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【解析】由题意可知：向量的夹角为，， 则， 所以. 2．（2026·高一·四川南充·期中）已知向量满足与的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为向量满足与的夹角为， 所以. 3．（2026·北京·三模）如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点是线段的中点，所以向量， 所以，又向量方向相反，且， 所以． 4．（2026·高一·重庆·期中）已知非零向量，，若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 又，所以，所以， 因为， 所以，解得， 又 ， 所以，所以. 5．（2026·高一·吉林·期中）如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得， 所以. 由可得. 因为为CD上一点，所以设， 则 . 因为， 所以，解得， 所以， 所以 (当且仅当，即时等号成立). 所以的最小值是. 6．（2026·安徽合肥·二模）不共线的两个单位向量，满足，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】，两边平方得， 即， 又，为单位向量且不共线，故， 解得，（舍去）； 若，则， 解得. 7．（2026·重庆江津·三模）在平行四边形ABCD中， E为线段BC的中点， 则 （    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【解析】因，则. 又，， 则 8．（2026·高一·天津和平·期中）已知，与的夹角为，是与向量方向相同的单位向量，则在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，， 则， ， 则在向量上的投影向量为. 9．（2026·高一·四川达州·阶段检测）如图1，“六芒星”是由两个边长为3的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行．如图2，点，是“六芒星”的两个顶点，动点在“六芒星”内（包含边界），则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，作， 则， 由，为在上的投影， 故当点与点或点重合时，取最大值， 即， 又，所以， 由对称性可知. 所以的取值范围是． 10．（2026·高一·广东广州·期中）若平面向量共起点时两两夹角相等，且，则（ ） A． B．6 C．3或6 D．或6 【答案】D 【解析】因为平面向量，，共起点时两两夹角相等，所以夹角有两种情况， 即，，两两夹角为或， 当夹角为时，； 当夹角为时，， 则 . 综上所述：或. 11．（2026·高一·重庆沙坪坝·期中）已知直角三角形的斜边，点是边上的两个三等分点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】如图所示， 以直角三角形的边所在直线为轴，中点为坐标原点， 建立平面直角坐标系，得、、、， 则动点是在以原点为圆心，半径为的圆上（不含点、）. 设. ，. ， ， ， . . 因为，所以， 得，， 所以，的取值范围为. 12．向量法求角：涉及三角形内角的余弦值，优先考虑用向量的数量积公式，避免复杂的几何辅助线. 易错归纳：1.忽略点的限制条件：点与、不能重合，不然就无法构成三角形，因此设参数方程时，变量的范围是开区间，容易误写成闭区间. 13．值域方向错误：在求的范围时，未注意分母的单调性，导致最终结果写错. 14．（2026·河南·模拟预测）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，如图所示.记较小的锐角为，大正方形的边长为，小正方形EFGH的边长为，点是GC的中点，若，，则______． 【答案】5 【解析】在中，，， 所以， 因为，，所以（*）， 两边平方得，即， 因为是锐角，所以，， 所以（**）， 将（*）式与（**）式联立解得，， 所以，，因为点是的中点， 所以，因为， 所以 ． 15．（2026·高一·云南楚雄·期中）在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】如图所示，以为原点，以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则 设，则， 所以， ， 当且仅当时，取得最小值. 16．（2026·河北邢台·三模）已知向量满足，且，则_______________. 【答案】 【解析】∵ ，对等式两边同时平方得. 展开得①， ∵， ∴， 展开得， 整理得②， 将①中的代入②，得， 即，解得， ∴ 17．（2026·高一·天津静海·阶段检测）中，为边中点，，，，则______（用，表示），若，，则_______ 【答案】 ； . 【解析】由题意，可得， 又，所以， 又为边中点，所以，所以， 所以， 又，，所以. 因为，即，所以， 即，两边同乘得①， 又，， 所以，即， 即，两边同乘得②， 由②得③，代入①得， 即④， 又， 所以， 将③代入，得， 将④代入，得. 18．（2026·高一·广东广州·期中）若正方形的边长为，，分别为，的中点，为线段上的动点（含端点），则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】如图，以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 因为分别为的中点，所以. 又为线段上的动点（含端点），故可设. 所以， 所以. 由知之间的关系为，所以， 将代入可得 ， 又，故，故， 所以的取值范围为. 19．（2026·高一·福建莆田·阶段检测）在中,,若为锐角,则实数的取值范围是____． 【答案】 【解析】三点组成三角形，则，即：， 据此可得：，且：， 则满足题意时有：， 即，解得：. 综上可得，实数的取值范围是或. 20．（2026·高一·江西新余·期中）如图，已知满足，，、、…是线段上的等分点，且满足. (1)当时，求的值； (2)当时，若为线段上的动点，求的最小值. 【解析】（1）因为，所以， 解得，因为，所以，则为等边三角形， 取BC中点O，连接AO，则， 所以. （2）当时， ， 设，则， 又， 所以 ， 所以当时，有最小值. 21．（2026·高一·河南·阶段检测）设向量，满足，． (1)已知向量与的夹角为． ①求； ②求的最小值． (2)若对任意的x，不等式恒成立，求向量与夹角的余弦值． 【解析】（1），，向量与的夹角为，则， 则， 故； ②因， ， 当时，取得最小值3，即的最小值为. （2）设向量与的夹角为，则， ， ，即； 也即， 可得， 整理得. 即对任意的，不等式恒成立. 则， 因为对于任意的，都有， 解得，即向量与夹角的余弦值为. 22．（2026·高一·河南·阶段检测）已知平面向量，，且． (1)求在上的投影向量的坐标； (2)若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以，解得， 所以，，，， 所以在上的投影向量为 所以在上的投影向量的坐标为． （2），， 因为向量与的夹角是钝角，则，且与不平行， 所以，解得， 又与不平行，则，所以， 所以实数的取值范围为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 向量数量积的运算及应用 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型一：数量积的定义与运算 题型二：向量模长的计算 题型三：向量夹角的求解与应用 题型四：投影与投影向量的计算 题型五：向量数量积的坐标运算 题型六：数量积的最值与范围问题 题型七：数量积的新定义创新问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 向量数量积的定义与坐标运算 2. 向量的模长、夹角计算 3.向量垂直、平行的判定 4.投影向量与投影的计算 5. 向量数量积的几何意义应用 1. 基础运算：利用定义或坐标形式计算数量积、向量模长与夹角，常结合向量坐标的线性运算考查。 2. 位置关系判定：利用数量积为0判定垂直，结合坐标成比例判定平行，常与参数求解结合考查。 3. 投影相关问题：根据数量积的几何意义计算投影向量或投影值，考查对数量积本质的理解。 “向量数量积运算及应用” 是平面向量专题的核心内容，是连接代数运算与几何直观的重要桥梁，也是后续学习立体几何、解析几何、复数等内容的基础。本专题涉及的数量积定义、坐标运算、几何意义及应用，是培养学生数形结合、转化化归与运算求解能力的重要载体。 试题从单一数量积的计算，向向量与几何、函数、跨学科情境的综合应用转型，着重考查学生的运算求解能力、逻辑推理能力及运用向量解决实际问题的能力。向量数量积的几何意义、垂直与平行的判定、几何应用是高频综合考点，体现向量知识的工具性与内在联系。 知识点一 向量的夹角 （1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角. 显然,当时,与同向;当时,与反向. （2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作. 即时即练 已知单位向量，满足，则（   ） A． B．0 C． D． 知识点二 数量积定义及投影向量 1、向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 2、向量的投影向量 （1）如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. （2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. （3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有 在上的投影向量为 即时即练 已知，，若与的夹角为，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 知识点三 数量积的性质及运算律 1、向量数量积的性质 设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则 （1）；（2）；（3）； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （4）；（5）或 2、数量积运算的运算律 （1）；（2）；（3） 即时即练 （多选题）已知平面向量，，，下列说法正确的有（    ） A．若，，则 B．，则 C． D． 知识点四 数量积的坐标运算 设向量, （1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 （2）向量垂直: （3）向量的模:设,则 （4）两点间的距离公式:若,则 （5）向量的夹角: 即时即练 （多选题）已知点，，，，则（    ） A．三点共线 B． C． D． 题型一：数量积的定义与运算 【典例1-1】（2026·高一·宁夏石嘴山·阶段检测）下列有关向量的说法正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．若和都是单位向量，则 C． D．若，则且 【典例1-2】（2026·四川自贡·模拟预测）已知向量满足，则的值为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【变式1-1】（2026·高一·广东佛山·期中）已知向量在向量上的投影向量为，，则（    ） A． B．4 C． D．8 【变式1-2】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知中，，且E为中点，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【变式1-3】（2026·河南·模拟预测）已知等边的边长为2，且，，则（   ） A． B． C． D． 题型二：向量模长的计算 【典例2-1】（2026·河南·三模）已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·湖北·三模）已知单位向量，，满足，则（    ） A． B． C． D．2 【变式2-1】（2026·高一·陕西榆林·期中）已知单位向量，满足，则（   ） A． B．4 C． D．3 【变式2-2】（2026·福建莆田·模拟预测）已知向量满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 题型三：向量夹角的求解与应用 【典例3-1】（2026·高一·天津滨海新区·阶段检测）已知与的夹角为. (1)求； (2)求及； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【典例3-2】（2026·高一·江西·阶段检测）如图，在中，，，．点D，E分别为边AC上的三等分点，点M满足，设，． (1)用，分别表示向量，； (2)求； (3)求的大小． 【变式3-1】（2026·高一·上海·期中）已知向量与的夹角为，求： (1)； (2)与的夹角的余弦值． 【变式3-2】（2026·高一·四川广安·阶段检测）如图，在梯形中，为线段中点，记 (1)用表示向量； (2)求与夹角的余弦值. 题型四：投影与投影向量的计算 【典例4-1】（2026·广东广州·三模）已知平面向量与与满足，，且在方向上的投影向量为，则__________． 【典例4-2】（2026·高一·浙江·阶段检测）若平面向量，，则在上的投影向量为________．（用表示） 【变式4-1】（2026·高一·陕西榆林·期中）已知向量与的夹角为，若，则在上的投影向量的模为__________. 【变式4-2】（2026·高一·重庆·期中）已知向量满足，，向量在向量上的投影向量的坐标为，则________ 题型五：向量数量积的坐标运算 【典例5-1】（2026·高一·广西河池·期中）在中，已知点，，，则（     ）． A． B． C．18 D．12 【典例5-2】（2026·安徽芜湖·模拟预测）梯形满足为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·高一·河南漯河·期中）已知在矩形ABCD中，，分别为的中点，则（ ） A． B． C．0 D． 【变式5-2】（2026·高一·江西南昌·期中）已知向量，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型六：数量积的最值与范围问题 【典例6-1】（2026·高一·广西百色·期中）已知为边长为的等边三角形，设点为边的中点，点在边上（包括端点），则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2026·高一·湖南邵阳·期中）如图，正方形的边长为2，分别为边 上的动点，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·高一·河南·阶段检测）在矩形中，，，点为线段（包含端点）上一动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·高一·河南南阳·阶段检测）蜂巢是大自然精妙构造的典范，蜜蜂建造的蜂巢正面呈正六边形结构，这种结构不仅能最大限度节省蜂蜡材料，还能增强蜂巢的稳固性，是数学与自然完美结合的杰作.某生物模型实验室复刻了一个边长为2的正六边形蜂巢结构，研究人员在正六边形内部任意取一点P记录蜜蜂的活动轨迹.设向量为蜂巢边AB的方向向量，为从顶点A到记录点P的位移向量，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·高一·河南新乡·阶段检测）在中，，，，点在边上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七：数量积的新定义创新问题 【典例7-1】（2026·高一·贵州安顺·期中）定义：若不相等的两个向量满足条件：且均为整数，则称向量互为“等模整向量”，则与向量互为“等模整向量”的向量个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例7-2】（2026·河南驻马店·三模）定义变换，变换可以将平面向量逆时针旋转角得到向量，其中，．若将向量按照的变换得到向量；将按照的变换得到向量，则与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026·高一·广东茂名·期中）如图，设Ox、Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与Ox、Oy正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值. 【变式7-2】（2026·高一·北京·期中）设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“⨂”：．试求解下列问题： (1)已知向量满足，，，求的值； (2)（i）若，用坐标表示； （ii）在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； (3)已知向量，求的最小值． 【变式7-3】（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）如图1，设，是平面内相交成角的两条射线，，分别为，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系．在仿射坐标系中，若，记． (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)若， ，且，的夹角为，求； (3)如图2，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，，，，，连接，相交于T点，求的余弦值． 1．（2026·山东威海·二模）已知向量的夹角为，，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（2026·高一·四川南充·期中）已知向量满足与的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2026·北京·三模）如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·重庆·期中）已知非零向量，，若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·吉林·期中）如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（     ）    A． B． C． D． 6．（2026·安徽合肥·二模）不共线的两个单位向量，满足，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 7．（2026·重庆江津·三模）在平行四边形ABCD中， E为线段BC的中点， 则 （    ） A．9 B．11 C．13 D．15 8．（2026·高一·天津和平·期中）已知，与的夹角为，是与向量方向相同的单位向量，则在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·高一·四川达州·阶段检测）如图1，“六芒星”是由两个边长为3的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行．如图2，点，是“六芒星”的两个顶点，动点在“六芒星”内（包含边界），则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．（2026·高一·广东广州·期中）若平面向量共起点时两两夹角相等，且，则（ ） A． B．6 C．3或6 D．或6 11．（2026·高一·重庆沙坪坝·期中）已知直角三角形的斜边，点是边上的两个三等分点，则的取值范围是______. 14．（2026·河南·模拟预测）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，如图所示.记较小的锐角为，大正方形的边长为，小正方形EFGH的边长为，点是GC的中点，若，，则______． 15．（2026·高一·云南楚雄·期中）在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值为__________. 16．（2026·河北邢台·三模）已知向量满足，且，则_______________. 17．（2026·高一·天津静海·阶段检测）中，为边中点，，，，则______（用，表示），若，，则_______ 18．（2026·高一·广东广州·期中）若正方形的边长为，，分别为，的中点，为线段上的动点（含端点），则的取值范围为___________． 19．（2026·高一·福建莆田·阶段检测）在中,,若为锐角,则实数的取值范围是____． 20．（2026·高一·江西新余·期中）如图，已知满足，，、、…是线段上的等分点，且满足. (1)当时，求的值； (2)当时，若为线段上的动点，求的最小值. 21．（2026·高一·河南·阶段检测）设向量，满足，． (1)已知向量与的夹角为． ①求； ②求的最小值． (2)若对任意的x，不等式恒成立，求向量与夹角的余弦值． 22．（2026·高一·河南·阶段检测）已知平面向量，，且． (1)求在上的投影向量的坐标； (2)若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $