21.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（沪科版·新教材）

参考答案 第21章二次函数与反比例函数 21.1二次函数 1.A2.D3.全体实数5-54.C5.y=x(x-1)6.(1)20x2二次(2)2x2十80x二次7.B8.是会 9.s=zx(26-）0<x<26 10.解：(1)由题意，得y=(20+x)(14+x)-20×14=x2+34x.∴.y与x之间的函数关系式是y=x2+34x.(2)把y=72代入y= x2十34x,得72=x2十34x,解得x1=一36（舍去），x2=2..要使绿地面积增加72m,长与宽都要增加2m. 21.2二次函数的图象和性质 1.二次函数y=ax2的图象和性质 第1课时二次函数y=x2的图象和性质 1.解：941149描点并连线如图所示. -4-2024x 2.B3.C4.(1)25(2)y轴减小(3)小05.B6.B7.1 8.解：把x=一1代人y=x2,得y=1..点A的坐标为(-1,1).：AB∥x轴，点B在二次函数y=x2的图象上，.点B与点A关于 y轴对称点B的坐标为(1,1D.AB=2.Sam=号AB·以=子X2X1=1 第2课时二次函数y=ax2的图象和性质 1.A2.A3.C4.B 5.解：(1)y=6x2.(2)当x<0时，y随x的增大而减小.(3)当x=0时，y有最小值，最小值是0. 6.D7.m>18.a>b>c>d 9.解：(1)由题意，得m2+4m十5=2，且m十2≠0，解得m=-1或-3.(2)当m=-1时，y=x2;当m=-3时，y=-x2,.当m= 一3时，抛物线有最高点，最高点的坐标为(0,0).此时，当x<0时，y随x的增大而增大 2.二次函数y=ax2十bx十c的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十k的图象和性质 1.C2.A3.D4.y1<y 5解：1)龙A(-2,一50代人ya+1,得4a+1=-5,懈得a=-会这个二次函数的表达式为y=-号r+1.(@)-要 (3)下降y<1 6.C7.A【变式题32 8解：设平移后的图象的函数表达式为y-子2+么把（③，一3）代人，得-3-子×8十，解得及=一6把=次函数y=了+的 图象向下平移6个单位长度，得到的图象经过点(3，一3). 9.y=x2-810.D11.D12.6 13.解：(1)由题意，得 0>0,解得a=3.(（2由(1)，得二次函数的表达式为y=3+5.:3>0,-1≤≤2当x=0时y有 a2-4=5, 最小值，最小值为5：当x=2时，y有最大值，最大值为3×22+5=17. 一1 14.解：(1D任意实数(2)①子是@®8如图所示.(3)B(4④< -2 2 第2课时二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 1.A2.D3.y1>y2 4.解：函数图象如图所示.抛物线y=x2的对称轴是y轴，顶点坐标是(0,0).抛物线y=(x十2)2的对称轴是直线x=一2，顶点坐 标是（一2,0）.抛物线y=(x一2)2的对称轴是直线x=2,顶点坐标是(2,0). v=x y=(x+2) v(x-2) -6-4-20246x 5解：()由题意，得h=一2.：驰物线的函数表达式为y-a(x十2.把(1，一3)代人，得一3=9a,解得a=一子抛物线的函数 表达式为y=-子(x+2.(2):a=-号<0抛物线开口向下.：对称轴为直线x=一2，心当<-2时，y随x的增大 1 而增大. 6.D7.2-48.≤39.B10y=(红-4211.1或6 12.解：(1)在y=x+1中，令y=0,则x十1=0，解得x=一1..点A的坐标为（一1,0）..平移后的抛物线1的函数表达式为y= 一2(x十1)2.(2)抛物线y=一2(x十1)2的对称轴为直线x=一1，且开口向下，.当x>一1时，y随x的增大而减小..y1=y2 >y9. 13.解：：直线l∥x轴，∴.A,B两点的纵坐标相同.设点A的纵坐标为m,则m=(x-h)2,解得x=h士√m.∴.A(h-√m,m),B(h十 Vm,m）.:AB=3,∴(h十m-(h-Vm=3,解得m=是.“点M在x轴上，点M到直线1的距离为号 14.解：(1)把P(m,a)代入y=a(x-1)2,得a=a(m-1)2.:a≠0，∴.(m-1)2=1,解得m=2或m=0.又：点P在第一象限内， ∴.m=2.(2),a=3,.抛物线的函数表达式为y=3(x-1)2.,m=2,a=3,∴点P的坐标为(2,3).令y=3,得3=3(x-1)2,解得 x=2或x=0.点Q的坐标为(0,3).0Q-3.∴560-20Q·-合×3X2=3. 第3课时二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质 1.A2.C3D4.D5.1(答案不唯一) 6.解：(1)开口向下，对称轴为直线x=4,顶点坐标为(4,4)，函数图象如图所示.(2)答案不唯一，如：①当x=4时，函数取得最大值， y最大做=4；②当x<4时，y随x的增大而增大. 3 123456x 7.A 8,解：1)由题意，得新抛物线的函数表达式为y=号(x十m)2+2把(-一1,40代人，得4=（一1十m)十2，解得m=3,m=-1 (合去).新抛物线的函数表达式为y=子（红十3）+2.(2)当x=0时，y=号×(0十3)+2=号，：新抛物线与y轴交点的坐标 为(o,）. 9.A10.C11.8 12.解：()把A(-3,0)代人y=a(x+1)2+2,得0=4a+2,解得a=-之.(2-16(3)由(1)，得抛物线的函数表达式为y= -宁（x+1D+2∴平移后的抛物线的函数表达式为y=一合(x十3)+2+A把(-1,3)代人，得3=-号×（一1+3）r+2+A,解 得h=3. 13.解：1)由题意，得抛物线的函数表达式为y=a(红-2)十1.把0,0)代人，得4a十1=0，解得a=一子.∴抛物线的函数表达式 为)=一子（红-2+1.(2）-2<m<6《③)由题意，得1w=8=3点M的纵坐标是-3.令y=-3,则-3=一子（红一2+ 1,解得x=6,x2=-2.点M的坐标为(6，-3)或(-2，-3). 第4课时二次函数y=ax2十bx十c的图象和性质 1.B2.A3.A4.D 5解：二次函数图象的对称轴为直线-2×3-2，解得612y-3+12z+6将A1,2)代人，得2-3X1+12 ×1十c,解得c=-13..二次函数的表达式为y=3x2+12x-13. 6.解：(1)y=一x2+2x十3=一(x一1)2+4，.函数图象的顶点坐标为(1,4).这个函数的图象如图所示.(2)一1<x<3 (3)-5<y≤4 543-2 245x 7.D 8.解：，y=x2-4x一4=(x一2)2一8，.平移后得到的图象对应的二次函数的表达式为y=(x一2-3)2-8+2=x2一10x十19..a =-10,b=19 9.B10.A11.A12.y=一x2十x十2（答案不唯一） 13.解：1)：抛物线y=-2+6x十c经过点A(-1,0),B(5,0),对称轴为直线x=一5=2.-今2=2，解得=4.∴y 2 一x2+4x+c.把A(-1,0)代人，得0=-1一4十c,解得c=5.(2)由(1)，得抛物线的函数表达式为y=一x2+4x十5=一(x-2)2+ 9.点P的坐标为(2,9》.SAm=合AB·p=合×[5-（-1]X9=27. 14.(1)解：点(t,c)在该二次函数的图象上，.c=2-4t十c,.2一4t=0,解得i=0,t2=4.即t的值为0或4.(2)证明：：y=x2 3 一4x十c=(x一2)2十c一4，∴.抛物线开口向上，顶点坐标为(2，c一4)，对称轴为直线x=2.a=1>0,∴.离对称轴越远，函数值越 大.，-2≤x≤4，∴.当x=一2时，函数有最大值，最大值为（一2）2-4×（一2）+c=12十c,当x=2时，函数有最小值，最小值为c 4..n=c-4,m=12+c..mn+64=(12+c)(c-4)+64=c2+8c+16=(c+4)2≥0..mn+64≥0. 3.二次函数表达式的确定 第1课时二次函数表达式的确定 1.A2.y=-2x2-12x-133.y=x2+2x-3 a-b+c=-5, a=2, 4.解：设这个二次函数的表达式为y=ax2十bx十c.把（一1，-5），(0，一4)，(1,1)代人，得c=一4， 解得b=3,.这个二 a+b+c=1, (c=-4. 次函数的表达式为y=2x2+3x一4. 5.A6.D7.y=-2(x-1)2+2(答案不唯一) 8.解：，当x=3时，有最大值-1，.该二次函数图象的顶点坐标为(3，一1).设该二次函数的表达式为y=a(x一3)2一1.把(4， -3)代人，得一3=a·(4-3)2-1,解得a=-2.∴.该二次函数的表达式为y=-2(x-3)2-1. 9.D10.B a-b十9=0， a=-3, 11.解：(1)把A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+9,得 解得 .二次函数的表达式为y=一3x2+6x十9. 9a十3b+9=0,b=6. (2)设向左平移后得到点P1,向右平移后得到点P2.由题意，得点P1(一m,),P2(2m,n)均在该二次函数图象上.，函数图象的对 6 曲为直线x=二2×-31，心m十m-1,解得m=2.D(-2,m.把P(-2,n)代人y=一3x2+6x+9,得n= 2 (-2)2十6×(-2)+9=-15. 〔-1-b+c=0, b=2, 12.解：(1)把A(-1,0),B(3,0)代入y=-x+bx十c,得 解得 .抛物线的函数表达式为y=一x2十2x十3. -9+3b+c=0,(c=3. (2)在y=一x2+2x十3中，当x=0时，y=3,∴点C的坐标为(0,3).设直线BC的函数表达式为y=kx十n.把B(3,0),C(0,3)代 3k+n=0,k=-1, 人，得 解得 .直线BC的函数表达式为y=一x+3.设D(m,一m2+2m十3)，且0<m<3,则M(m,-m十3). n=3, n=3. DM=一m+2m+3-(一m十3)=-(m一号)广+是.”-1<0,0<m<3,∴当m=2时，DM省有最大值，最大值为是 第2课时二次函数与一次函数的综合 1.A2.y=-2(x+1)(x-3) 3.解：：抛物线与x轴的交点是(1,0)，(5,0)，∴.可设y=a(x一1)(x一5).由题意，得抛物线y=a(x-1)(x一5)与y轴的交点是 (0,5).将(0,5)代人，得5=a(0-1)×(0-5),解得a=1..抛物线的函数表达式为y=(x-1)(x-5)=x2-6x十5. 4.B5.B6.y=-x2+3x+4 7.解：(1)把B(-2,4)代入y=ax2,得4a=4,解得a=1.∴.二次函数的表达式为y=x2.把A(1,m)代入y=x2,得m=1,.A(1, k=-1, 1).把A(1,1),B(-2,4)代入y=kx十b,得 1=十b,解得 .一次函数的表达式为y=一x十2.(2)当x=0时，y=一x 4=-2k+b, b=2. +2=2,C0,2.0C=2.Saam=5ae+Sx=200.za+20c.1za=3. 8C9310=2+z或y=-弓+号女 11.解：(1)：y=x2+4x十c=(x十2)2十c-4,.抛物线的顶点P的坐标为(-2，c-4),把(-2，c-4)代入y=3x十5，得-6+5=c —42.二次函数y=ax2十 第1课时 二次函数y 【基础过关 ◆◆·逐点击破 知识点1二次函数y=ax2十k的图象和性质 1.二次函数y=x2+1的大致图象是( 卡业4 2.(合肥庐阳区期中)抛物线y=一3x2+2的 顶点坐标是 ( ) A.(0,2) B.（-3,2) C.(2,0) D.(0,-2) 3.(芜湖期末)下列函数中，当x<0时，y随x 的增大而减小的是 () A.y=2x+2 B.y=-x2 C.y=-x2+2 D.y=2x2+2 4.若点(x1,y1),(x2,y2)在二次函数y= 女+1的图象上，且<<0，则与 y2的大小关系为 .（用“<”连接) 5.已知二次函数y=ax2十1的图象经过点 A(-2,-5). (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点B(3,m)在此抛物线上，则m的值为 (3)当x>0时，该抛物线从左到右 (填“上升”或“下降”)，y的取值范围是 4数学九年级上册(HK) bx十c的图象和性质 =ax2十k的图象和性质 知识点2抛物线y=ax2十k与y=a.x2的关系 6.在同一平面直角坐标系中，对于抛物线y= 一2x2,y=一2x2+1,下列说法不正确的是 () A.开口方向相同B.形状相同 C.都经过原点 D.对称轴都是y轴 7.（亳州谯城区期中)将抛物线y=x2向上平 移3个单位长度，所得抛物线的函数表达 式是 ) A.y=x2+3 B.y=x2-3 C.y=(x+3)2 D.y=(x-3)2 【变式题】将抛物线y=3x2向上平移k个单 位长度，得到的抛物线为y=ax2十2，则a的 值为，k的值为， 8.在平面直角坐标系中，将二次函数y=号x2 的图象进行上下平移，得到的图象经过点 (3,一3)，求平移的方向和距离. 易错点混淆平移坐标轴与平移图象而致错 9.已知二次函数y=x2一4的图 y 象如图所示，现将x轴向上平 移4个单位长度，在新坐标系 中，此图象对应的函数表达式为 【能力提升 ◆>N整合运用 10.若抛物线y=(a+3)x2一8不经过第一象 限，则a的值可能是 () A.2 B.1 C.-2 D.-4 11.在同一平面直角坐标系中，一次函数y= 一mx十n2与二次函数y=x2+m的图象可 能是 来头名 12.如图，在平面直角坐标系中， 抛物线y=a.x2+3与y轴交 于点A,过点A与x轴平行 的直线交抛物线y=子x于点B,C,则BC 的长为 13.已知二次函数y=ax2十a2-4有最小值5. (1)求a的值； (2)若一1≤x≤2，求y的最大值和最小值， 口思维拓展 >>,强化素养 14.实践探究新趋势某数学兴趣小组对函数 y=|x2一1的图象与性质进行探究的过程 如下，请你补充完整。 (1)函数y=|x2一1|的自变量x的取值范 围是 (2)①列表：将表格补充完整； …-2-1 0 1 3 2 -2… 3。 1 0 43… ②描点： ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点， 请把图象补充完整； (3)下列关于该函数的说法错误的是； A.函数图象是轴对称图形 B.当x>0时，函数值y随x的增大而 增大 C.函数值y都是非负数 D.若函数图象经过点(m,a)与（一m, b),则a=b (4)若点（x1,y1)与(x2,y2)在该函数图象 上，且|x2|<|x1|<1,则y1与y2的大 小关系是 .（用“<”连接) 第21章二次函数与反比例函数5 第2课时 二次函数y 基础过关 ♪》>逐点击破 知识点1二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 1.在平面直角坐标系中，抛物线y=3(x一3)2 的开口方向是 () A.向上B.向下C.向左 D.向右 2.对于二次函数y=一2(x一4)2的图象，下列 说法不正确的是 () A.函数图象不经过第一、二象限 B.对称轴是直线x=4 C.最大值是0 D.与y轴不相交 3.已知A(一3，y1),B(3,y2)两点在二次函数 y=一2(x十2)2的图象上，则y1,y2的大小 关系为 .（用“>”连接) 4.(教材P16练习T1变式)在同一平面直角坐 标系中，画出函数y=x2,y=(x十2)2，y= (x一2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标. y 16 14 8 6 4 -6-4-20246x 6数学九年级上册(HK) a(x一h)2的图象和性质 5.(教材P17练习T4变式)抛物线y=a(x一h)2 的对称轴是直线x=一2，且过点(1，一3). (1)求抛物线的函数表达式； (2)当x为何值时，y随x的增大而增大？ 知识点2抛物线y=a(x一h)2与y=a.x2的关系 6.抛物线y=一5(x一1)2是由抛物线y= -5x2 () A.向上平移1个单位长度得到的 B.向下平移1个单位长度得到的 C.向左平移1个单位长度得到的 D.向右平移1个单位长度得到的 7.已知抛物线y=a(x一h)2向右平移3个单 位长度后得到的抛物线是y=2(x十1)2，则 a的值为，h的值为 易错点对二次函数增减性与对称轴的关系 理解不清而致错 8.已知二次函数y=3(x一h)2,当x>3时，y随 x的增大而增大，则五的值应满足 能力提升 ◆>N整合运用 9.若二次函数y=3(x一3)2的图象如图所示， 则坐标原点可能是 A.点P B.点Q C.点M D.点N 10.已知二次函数的图象经过点P(2,2),顶点 为坐标原点，将该图象向右平移，当它再次 经过点P时，所得抛物线的函数表达式为 11.分类讨论新理念已知二次函数y=一（x )2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤ x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为 -1,则h的值为 12.已知直线y=x十1与x轴交于点A,抛物 线y=一2x2平移后的顶点与点A重合. (1)求平移后的抛物线1的函数表达式； (2)若点B(-号)，C-7,),D(2%) 在抛物线1上，试比较，2，y的大小。 13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= (x一h)2与x轴只有一个交点M,与平行于 x轴的直线l交于A,B两点.若AB=3,求 点M到直线l的距离. 【思维拓展 ◆◆·强化素养 14.已知P(m,a)是抛物线y=a(x一1)2上一 点，且在第一象限内， (1)求m的值； (2)过点P作PQ∥x轴，交抛物线y=a(x 1)2于另一点Q.若a=3,求△OPQ的 面积. 第21章二次函数与反比例函数7 第3课时二次函数y=a 基础过关 ●··逐点击破 知识点1 二次函数y=a(x一h)2十k的图象 和性质 1.抛物线y=(x一1)2十3的对称轴是（) A.直线x=1 B.直线x=3 C.直线x=-1 D.直线x=-3 2.(滁州琅琊区期末)二次函数y=(x十1)2一2 图象的顶点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.二次函数y=一2(x+1)2+3的最大值是 ) A.-1 B.1 C.2 D.3 4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象 所对应的函数表达式可能为 A.y= By=合(x+1 Cy=--1w-1 D.y=- 2(x+1)2-1 5.已知二次函数y=4(x-a)2+2,当x>1时， y随x的增大而增大.符合条件的a的值可 以是 .(填一个即可) 6.半开放性题新趋势已知二次函数y=一（x 4)2+4. (1)写出函数图象的开口方向、对称轴和顶 点坐标，并画出图象； 8数学九年级上册(HK) (x一h)2十k的图象和性质 (2)观察图象，还可以得到该二次函数的哪 些性质？（写出两条即可） 知识点2抛物线y=a(x-h)2十k与y=ax2 的关系 7.(宣城期末)抛物线y=一2x2经过平移后得 到y=一2(x十2)2一3的图象，则平移的方 法是 ( A.向左平移2个单位长度，再向下平移3个 单位长度 B.向左平移2个单位长度，再向上平移3个 单位长度 C.向右平移2个单位长度，再向下平移3个 单位长度 D.向右平移2个单位长度，再向上平移3个 单位长度 8.将抛物线y=2x先向上平移2个单位长 度，再向左平移m(m>0)个单位长度，所得 到的新抛物线经过点（一1,4）. (1)求新抛物线的函数表达式； (2)求新抛物线与y轴交点的坐标. 能力提升 >N整合运用 9.(六安金安区月考)已知抛物线y=(x一h)2十 4经过(-3，m)和(5，m)两点，则h的值为 A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 10.(威海中考)已知点(-2，y1),(3,y2),(7, y3都在二次函数y=一(x一2)2+c的图象 上，则y1,y2,y3的大小关系是( ) A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y2>y1>y3 D.y3>y2>y 11.转化思想新理念如图，在平面 直角坐标系中，抛物线y1=x 经过平移得到抛物线y2=(x 2)2一4，其对称轴与两抛物线 所围成的阴影部分的面积为 12.抛物线y=a(x十1)2十2的一部分如图所 示，已知A(一3,0)，解答下列问题： (1)求a的值； (2)当一2≤x≤5时，y的最小值为 (3)若将该抛物线先向左平移2个单位长 度，再向上平移h个单位长度，得到的 抛物线经过点（一1,3），求h的值， 口思维拓展 >>,强化素养 13.(教材P27习题T15变式)如图，已知抛物 线y=a(x-h)2十k(a≠0)经过原点O,与 x轴的另一个交点为点B,顶点为A(2,1). (1)求抛物线的函数表达式； (2)若P(m,n)是此抛物线上一点，且n> 一3，则m的取值范围是 (3)若抛物线上有一点M,使△BOM的面 积是△AOB的面积的3倍，求点M的 坐标. 第21章二次函数与反比例函数9 第4课时二次函数y= 基础过关 >♪◆逐点击破 知识点1二次函数y=a.x2+bx十c的图象和 性质 1.将二次函数y=x2-2x+4化为y=a(x h)2十k的形式正确的是 ( A.y=(x-1)2+2B.y=(x-1)2+3 C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-2)2+4 2.抛物线y=2x2-4x十5的顶点坐标为（) A.(1,3) B.(-1,3) C.(1,-3) D.(-1,-3) 3.二次函数y=一x2一2x十3的大致图象是 1升 4.关于二次函数y=2x2+4x一1，下列说法正 确的是 A.图象与y轴的交点坐标为(0,1) B.图象的对称轴在y轴的右侧 C.当x<0时，y随x的增大而减小 D.y的最小值为一3 5.(合肥期末)已知二次函数y=3x2十bx十c 的图象经过点A(1,2),对称轴为直线x= 一2，求该二次函数的表达式。 10数学九年级上册(HK) x2十bx十c的图象和性质 6.已知二次函数y=一x2十2x十3. (1)求函数图象的顶点坐标，并在如图所示的 平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (2)当函数值y为正数时，自变量x的取值 范围是 (3)当一2<x<2时，函数值y的取值范围是 5432 2 45x 知识点2二次函数y=ax2十bx十c图象的平移 7.抛物线)=一2十x十1经平移后，不可能 得到的抛物线是 () A.y=-t By=22-4 Cy=-72+2x-3D.y=-2+z+1 8.已知二次函数y=x2一4x一4，将函数图象先 向上平移2个单位长度，再向右平移3个单 位长度，得到的图象对应的二次函数的表达 式为y=x2十ax十b,求a,b的值 【能力提升 ◆>N整合运用 9.将抛物线y=一x2一2x十3先向右平移1个 单位长度，再向下平移2个单位长度得到的 抛物线必定经过点 A.(-2,2) B.(-1,1) C.(0,6) D.(1,-3) 10.(福建中考)已知点A(-2,y1),B(1,y2)在 抛物线y=3x2+bx十1上，若3<b<4,则 下列判断正确的是 A.1<y1<y2 B.y1<1<y2 C.1<y2<y1 D.y2<1<y 11.(教材P24练习T1变式)一次函数y=ax十b 和二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直 角坐标系中的图象可能为 4:女 12.半开放性题新趋势（广东中考）已知二次函 数y=一x2十bx十c的图象经过点(c,0),但 不经过原点，则该二次函数的表达式可以 是 .(写出一个即可) 13.如图，已知抛物线y=一x2十bx十c经过点 A(一1,0)，B(5,0),顶点为P (1)求该抛物线的对称轴及b,c的值； (2)求△ABP的面积. 【思维拓展 ◆强化素养 14.代数推理新趋势（界首期末）已知二次函数 的表达式为y=x2-4x十c. (1)若点(t,c)在该二次函数的图象上，求t 的值； (2)当一2≤x≤4时，函数有最大值m和最 小值n,求证：mn十64≥0. 第21章二次函数与反比例函数11