精品解析：河北衡水中学2025-2026学年高一下学期期末综合素质评价数学试题

2025-2026学年度高一年级下学期期末综合素质评价 数学学科 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数满足，则 （ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】首先化简复数，再代入模的公式. 【详解】由条件可知，， 所以. 2. 在 中， 是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图可得：. 3. 一个正方体的展开图如图所示，若将它还原为正方体，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将正方体的展开图还原，即可根据正方体的性质逐一求解. 【详解】以所在平面作为下底面还原，还原成如图所示的正方体， 由图可得 与异面，A错误． 显然B正确． 与异面，C错误． 连接，则为等边三角形，D错误． 4. 某校高一有500名学生，为了培养学生良好的数学素养，学校要求高一学生从《九章算术》《数书九章》《缀术》《海岛算经》中选一本阅读，其中有200人选《九章算术》，150人选《数书九章》，100人选《缀术》，50人选《海岛算经》．若按选书种类进行分层，用分层随机抽样的方法抽取50名学生分享读后感，则选《九章算术》和《数书九章》的学生抽取的人数共有（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样的方法，列式计算，即可求解． 【详解】选《九章算术》和《数书九章》的学生抽取的人数共有． 故选：C． 5. 已知 的内角的对边分别为，若，则 是（    ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理结合已知得，解方程得到，确定选项. 【详解】由正弦定理，又已知， 所以，所以， 因为，所以，， 又，所以，同理可得， 所以 是等腰直角三角形. 6. 如图，点C在圆锥PO的底面圆O上，AB是直径，AB=8，∠BAC=30°，圆锥的母线与底面成的角为60°，则点A到平面PBC的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面夹角分析可得圆锥的母线，利用等体积法求点到面的距离. 【详解】因为AB是直径，则，且AB=8，∠BAC=30°， 可得， 又因为底面圆O，则圆锥的母线与底面成的角为， 可知为等边三角形，所以圆锥的母线， 设点A到平面PBC的距离为h， 利用等体积法，即， 解得，即点A到平面PBC的距离为. 故选：C. 7. 三棱柱中，是棱的中点， 是棱上一点，，若 平面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接交于点 ，连接 ，利用线面平行的性质定理及平行线分线段成比例定理求解. 【详解】如图，连接，设，连接 . 因为平面，平面平面，平面， 所以. 在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，即. 所以与相似， 则，又在中，由可得. 所以，即. 8. 在体积为的三棱锥中，，，平面平面 ，，，若点，， ， 都在球 的表面上，则球 的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点 ，由直角三角形性质可得，则点 就是球心，再利用线面垂直的性质定理可得平面，从而可结合三棱锥体积公式计算即可得. 【详解】如图，取的中点 ，连接 ，，因为，， 所以，因此点 就是球心，又， 故是等腰直角三角形，所以， 因为平面平面 ，平面平面， 且平面 ，所以平面， 设球 半径为，则，，则，， 所以三棱锥的体积， 所以，所以球 的表面积为. 故选：A. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 为了关注学生的健康成长，某校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则样本中（ ） A. 身高在A层次中的女生人数比男生多 B. 身高在B层次中的人数最多 C. 身高在D层次的女生，占女生人数的比例超过15% D. 身高在E层次中的男生有3人 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合已知和两个统计图表，对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】对于A，样本中女生人数为人，则样本中男生人数为60人， 样本中A层次身高的男生人数为人，女生人数为4人， 所以，样本中A层次身高的女生少于男生，A错误； 对于B，因为男生中B层次的比例最大，女生中B层次的人数最多， 所以样本中B层次身高人数最多，B正确； 对于C，样本中D层次身高的女生有8人，占女生人数的比例为，C正确； 对于D，样本中E层次身高的男生有人，D正确. 故选：BCD 10. 在 中，，，，则（ ） A. B. 的面积为 C. 外接圆直径是 D. 内切圆半径是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用余弦定理计算来判断 B利用三角形的面积公式计算即可； C利用正弦定理计算即可； D利用即可求出 内切圆半径. 【详解】解：， 由于在 中，则， 故，A正确； ，B错误； 设 外接圆半径为，，C正确； 设 内切圆半径为 ，则， 即，解得，D正确. 故选：ACD. 11. 如图，点 是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 存在点 使得 B. 若点 满足，则动点 的轨迹长度为 C. 若点 满足平面时，动点 的轨迹是正六边形 D. 当点 在侧面，且满足时，二面角的最大角的正切值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据各选项的条件，分别确定动点 的轨迹，判断轨迹的形状，求轨迹周长，求二面角，并借助线面、面面平行或垂直的判定定理和性质定理的应用进行判断即可. 【详解】设正方体棱长为，为中点， 对A：如图： 在正方体中，对角线 平面， 若取动点 落在的边上，则平面， 由线面垂直性质得： ，所以存在满足条件的点 ，故A正确； 对B：如图 建立空间直角坐标系：， ， 设，， ，所以，即， 在正方体表面，满足该式的动点轨迹为矩形（分别为中点）， 矩形邻边长：， 轨迹周长，故B错误； 对C：如图： 依次取：为中点， 为中点， 为 中点，为中点，为中点， 顺次连接，得六边形， 由中位线定理：， 所以平面，平面， 又是平面内的两条相交直线， 所以平面平面， 若 在六边形边上，则平面，所以平面， 即动点 的轨迹为六边形， 因为正方体棱长为，所以， 该六边形六条边长全部相等，每个内角均为， 六边形是正六边形， 所以动点 的轨迹是正六边形，故C正确； 对D：如图： 由以上坐标系知，且正方体棱长为，侧面内所有点横坐标恒为， 设，其中 设，代入距离公式： ，即， 在侧面矩形内，该方程表示以为圆心、半径的一段圆弧， 因为，，平面， 所以平面， 又因为平面平面，平面，平面 ， 根据二面角平面角定义，即为二面角的平面角， 在矩形内，过 作 延长线，垂足为， 中，， 越大，二面角越大，即最大化， 因为，则当 取圆弧上切点时， ，， 所以， 即二面角最大角的正切值为，故D正确. 第II卷（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，若，则__________. 【答案】2 【解析】 【详解】因为，所以 ，解得. 13. 三棱锥 中，分别为的中点，记三棱锥的体积为， 的体积为，则____________ 【答案】 【解析】 【详解】由已知设点 到平面距离为，则点 到平面距离为， 所以， 考点：几何体的体积. 14. 如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在 点有一微型无人机（视为一点）.点在母线 上，无人机先在空中以直线航迹从点 飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为 .则的最小值为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】采用化曲为直的方法，将曲面 展成与平面共面的扇形，再有两点之间线段最短求出飞行路径的最短值，适当采取建系的方法可以大幅度减少计算量. 【详解】由题可知， 故该圆锥侧面展开图的圆心角，则连接 可得， 又由题知，如图建立平面直角坐标系 则，由两点之间线段最短可得， 所以， 故答案为： 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 某校从全校随机抽取名学生参加奥运知识竞赛，并根据这名学生的竞赛成绩（总分为100分）绘制频率分布直方图（如图所示），其中分数在内的学生有6名. （1）求 （2）求 （3）样本中分数在内的学生有几名 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率直方图中所有小矩形面积之和为1列式计算求解； （2）结合频率直方图，根据抽样比计算即可； （3）结合频率直方图，根据抽样比计算即可. 【小问1详解】 由题意可得， 解得； 【小问2详解】 由题意可知样本中分数在的频率为， 因为样本中分数在内的学生有6名，所以全校随机抽取的人数； 【小问3详解】 样本中分数在的频率为， 所以样本中分数在内的学生有名. 16. 小明设计了一款无盖鱼缸，如图，它是由两个完全一样的长方体通过一个半径为0.1米，长度为0.3米的圆柱形玻璃管水平连通的. （1）小明至少需要多少平方米的玻璃（不考虑损耗）？ （2）小明欲将鱼缸注水至的高度，需要多少立方米的水？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用棱柱、圆柱的表面积公式列式求解. （2）利用柱体体积公式列式求解. 【小问1详解】 依题意，所用玻璃面积是一个长方体的侧面积加上其下底面积，再减去圆柱底面积的差的2倍，然后加上圆柱的侧面积， 因此所求面积为 ， 所以需要平方米的玻璃. 【小问2详解】 由圆柱体距离鱼缸底部 ，得注水至0.3米时，圆柱体刚好注至一半的体积， ， 所以需要立方米的水. 17. 在△ABC中， ，，，点D在边BC上，且． （1）求的值； （2）求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理，代入三条边的长度，直接求解即可； （2）由（1）所求的值，利用同角三角函数求出的值，再根据正弦定理代入求值即可. 【小问1详解】 解：在△ABC中，， 因为 ，，，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知，，所以， 在中，，由正弦定理可得，即， 解得. 18. 如图1，在等腰梯形 中， ， ，将 沿边翻折，使点 翻折到点 ，连接 ，得到三棱锥 ，如图2，其中 . （1）证明： 平面 ； （2）求三棱锥 的体积； （3）试问在侧棱 上是否存在一点，使得二面角 的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）如图1，在梯形 中，取边的中点，连接. 因为 ，所以 ， 所以四边形 是平行四边形，所以 ， 因为，所以 ，所以 ， 因为 ，且 ，所以， 所以 ， 因为 平面 平面PAC，且 ， 所以 平面 （2） （3）侧棱 上不存在点，使得二面角 的余弦值为. 【解析】 【分析】（1）先在等腰梯形中构造平行四边形，借助直角三角形斜边中线逆定理证得 ；翻折前后边长不变，结合 的长度条件，用勾股定理逆定理证得 ；再依据线面垂直判定定理，证得 平面 ； （2）先根据面面垂直的性质定理确定三棱锥 的高线，算出高线长度与底面 面积，再利用棱锥体积 （底面积乘以高除以3）的公式求解体积即可； （3）先根据几何法作垂线构造二面角的平面角，引入参数表示动点对应的线段长度，结合相似三角形表示出平面角两条直角边长；再由已知二面角余弦值算出正切值，列方程求解参数，最后结合侧棱 长度约束参数取值范围，判断点是否存在. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图2，取棱的中点，连接， 由（1）可知 平面 ，且 平面 ，则平面平面 ， 因为 ，且为线段的中点，所以 ， 因为平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 则为三棱锥 的高， 因为，所以，则 故三棱锥 的体积. 【小问3详解】 假设存在满足条件的点. 如图2，作，垂足为，作 ，垂足为 . 由（2）可知平面平面 ，又，且平面 平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 ， 因为 ，且 平面 ， ，所以平面 . 因为 平面 ，所以 ， 则 为二面角 的平面角. 由翻折知 ， ，且， 在 中，由余弦定理： ， 又，故， 设，在 中： ， 因为 ，且 ， 所以， ， 所以 ，则，故， 由题意可得， 所以， 因为 平面 ，且 平面 ，所以 ， 所以，则，解得，故. 因为侧棱线段 总长， ， 所以点落在 的延长线上，线段 上不存在满足条件的点， 所以假设不成立，即不存在点，使得二面角 的余弦值为. 19. 在三棱锥 中，，三棱锥 的各顶点均在表面积为的球 的球面上，且四点共面． （1）证明：平面 平面 ； （2）当 时，求球心 到平面的距离； （3）求直线与平面 所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1） 设球 的半径为，则，解得， 设 的外接圆半径为 ，则， 因为四点共面，可知 的外接圆圆心为 ， 取的中点，连接， 可知 为等边三角形，则，， 又因为，则， 且 ，则，则， 因为，平面，则平面， 且 平面 ，所以平面 平面 . （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，结合勾股定理可证平面，进而可得面面垂直； （2）分析可知平面 ，利用等体积法求点到面的距离； （3）过点 作，分析可知直线与平面 所成角为，结合基本不等式求其最值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若 ，则，， 因为平面 平面 ，平面平面，平面， 所以平面 ，且平面 ，则， 在中，由余弦定理可得 ， 即，则， 在中，由余弦定理可得， 可知为钝角，且， 则， 设球心 到平面的距离为， 因为，则，解得， 所以球心 到平面的距离为. 【小问3详解】 过点 作，垂足为， 因为平面 平面 ，平面平面，平面， 所以平面 ，且平面 ，则， 可知直线与平面 所成角为， 设，则， 在 中，由余弦定理可得 ， 即则， 则， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线与平面 所成角的正弦值的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高一年级下学期期末综合素质评价 数学学科 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数满足，则 （ ） A. B. C. 4 D. 8 2. 在中， 是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，，则（ ） A. B. C. D. 3. 一个正方体的展开图如图所示，若将它还原为正方体，则（ ） A. B. C. D. 4. 某校高一有500名学生，为了培养学生良好的数学素养，学校要求高一学生从《九章算术》《数书九章》《缀术》《海岛算经》中选一本阅读，其中有200人选《九章算术》，150人选《数书九章》，100人选《缀术》，50人选《海岛算经》．若按选书种类进行分层，用分层随机抽样的方法抽取50名学生分享读后感，则选《九章算术》和《数书九章》的学生抽取的人数共有（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 50 5. 已知的内角的对边分别为，若，则是（    ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 6. 如图，点C在圆锥PO的底面圆O上，AB是直径，AB=8，∠BAC=30°，圆锥的母线与底面成的角为60°，则点A到平面PBC的距离为（　　） A. B. C. D. 7. 三棱柱中，是棱的中点， 是棱上一点，，若 平面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在体积为的三棱锥中，，，平面平面 ，，，若点， ， ， 都在球 的表面上，则球 的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 为了关注学生的健康成长，某校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则样本中（ ） A. 身高在A层次中的女生人数比男生多 B. 身高在B层次中的人数最多 C. 身高在D层次的女生，占女生人数的比例超过15% D. 身高在E层次中的男生有3人 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为 C. 外接圆直径是 D. 内切圆半径是 11. 如图，点 是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 存在点 使得 B. 若点 满足，则动点 的轨迹长度为 C. 若点 满足平面时，动点 的轨迹是正六边形 D. 当点 在侧面，且满足时，二面角的最大角的正切值为2 第II卷（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，若，则__________. 13. 三棱锥 中，分别为的中点，记三棱锥的体积为， 的体积为，则____________ 14. 如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在 点有一微型无人机（视为一点）.点在母线 上，无人机先在空中以直线航迹从点 飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为 .则的最小值为_______________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 某校从全校随机抽取 名学生参加奥运知识竞赛，并根据这 名学生的竞赛成绩（总分为100分）绘制频率分布直方图（如图所示），其中分数在内的学生有6名. （1）求 （2）求 （3）样本中分数在内的学生有几名 16. 小明设计了一款无盖鱼缸，如图，它是由两个完全一样的长方体通过一个半径为0.1米，长度为0.3米的圆柱形玻璃管水平连通的. （1）小明至少需要多少平方米的玻璃（不考虑损耗）？ （2）小明欲将鱼缸注水至的高度，需要多少立方米的水？ 17. 在△ABC中， ，，，点D在边BC上，且． （1）求的值； （2）求线段的长． 18. 如图1，在等腰梯形 中， ， ，将 沿边翻折，使点 翻折到点 ，连接 ，得到三棱锥 ，如图2，其中 . （1）证明： 平面 ； （2）求三棱锥 的体积； （3）试问在侧棱 上是否存在一点，使得二面角 的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 19. 在三棱锥 中，，三棱锥 的各顶点均在表面积为的球 的球面上，且四点共面． （1）证明：平面 平面 ； （2）当 时，求球心 到平面的距离； （3）求直线与平面 所成角的正弦值的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $