河北省2025-2026学年高一下学期数学期末自编模拟卷02

**基本信息** 以鹳雀楼测量、满意度调查等真实情境为载体，覆盖必修二第六章至第九章核心内容，通过分层题型实现基础巩固与能力提升，适配高一期末检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数运算、立体几何判定、随机抽样、向量模长|单选基础题（如复数、抽样）与多选辨析题（如正四棱锥性质）结合| |填空题|3题/15分|频率分布分位数、三角形面积、异面直线成角|分位数计算（61%分位数）与空间几何量（点面距离）综合| |解答题|5题/77分|向量综合、统计案例、立体几何探究、解三角形|17题立体几何三问递进（证明、线面平行、探究性问题），16题统计结合方差计算|

河北省2026年高一数学下学期期末模拟卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修二 第六章—第九章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 2．某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析，先将全体900名学生编号为001，002，003，…，900，从中抽取60个样本，并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为（    ） 95226000　49840128　66175168　39682927　43772366　27096623 92580956　43890890　06482834　59741458　29778149　64608925 A．175 B．866 C．751 D．615 3．已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知向量，满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 5．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（    ） A． B． C． D． 6．已知8个样本数据，，，…，的平均数为4，其中，则这8个数据的方差为（    ） A．18 B．20 C．24 D．28 7．已知的内角，，所对的边分别为，，，且，三角形面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 8．圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为，则下列说法不正确的是（     ） A．母线长为 B．表面积为 C．高为 D．体积为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．对应的点在第四象限 B． C．的共轭复数为 D．的虚部为1 10．在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，，，则符合条件的有两个 D．若，则是锐角三角形 11．在正四棱锥中，若侧面与底面所成的角为，底面正方形的边长为，则下列说法正确的是（     ） A．正四棱锥外接球的表面积是 B．正四棱锥内切球的体积是 C．正四棱锥的体积为 D．正四棱锥外接球的半径与内切球的半径之比为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某校组织了“人工智能知识”测试，现随机抽取了100名学生的测试成绩（单位：分），这100名学生的成绩都分布在区间内，绘制成如图所示的频率分布直方图. 则这100名学生成绩的61%分位数为______. 13．的内角A，B，C的对边分别为a，b，．已知 ， ，则的面积为______． 14．如图，在三棱锥中，，，，为的中点，是棱上的中点，则异面直线与所成角的正弦值为______，点到平面的距离为______．    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知向量，且与的夹角为． (1)求的值； (2)求的值； (3)若与垂直，求的值． 16．某公司为了解客户对其旗下某产品的满意程度，随机抽取了200名客户进行满意度调查，并将评分（满分100分）按，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值，并估计这200名客户的满意度评分的平均数（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)已知样本中在内的评分的平均数为64.5，方差为14，在内的评分的平均数是74.5，方差是9，求落在内的评分的平均数与方差． 17．如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为的中点，平面平面. (1)证明：； (2)求证：平面； (3)直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. 18．已知的内角，，的对边分别为，，，为钝角，且，． (1)证明：． (2)求． (3)若的中线，求的面积． 19．如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，且，，为的中点． (1)证明：平面； (2)过，，作四棱锥的截面，请写出作法和理由，并求截面的面积； (3)求二面角大小的正切值． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省2026年高一数学下学期期末模拟卷02 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修二 第六章—第九章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】复数， 所以. 2．某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析，先将全体900名学生编号为001，002，003，…，900，从中抽取60个样本，并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为（    ） 95226000　49840128　66175168　39682927　43772366　27096623 92580956　43890890　06482834　59741458　29778149　64608925 A．175 B．866 C．751 D．615 【答案】A 【详解】从随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，前5个数据依次是260，004，012，866，175，所以得到的第5个样本的编号为175. 3．已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，由，可得，故A正确； 对于B，垂直于同一条直线的两个平面平行，故B正确； 对于C，根据面面垂直的性质定理可知C正确； 对于D，若，则或与相交，故D错误． 4．已知向量，满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由向量的垂直结合向量数量积的运算公式即可求解. 【详解】由题意得，即， 且，即， ，解得，. 5．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得、、，再利用正弦定理计算即可得解. 【详解】，， ，则， 由正弦定理可得， 即， 则. 6．已知8个样本数据，，，…，的平均数为4，其中，则这8个数据的方差为（    ） A．18 B．20 C．24 D．28 【答案】B 【详解】因8个样本数据，，，…，的平均数为4，记为， 则可得， 又， 则 ． 7．已知的内角，，所对的边分别为，，，且，三角形面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形面积公式和余弦定理即可求解. 【详解】根据三角形面积公式 ，代入已知，； ，解得：， 根据余弦定理 ，代入， ​， 对式子变形： ，代入， 得： ，即 ，所以， 三角形周长为. 8．圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为，则下列说法不正确的是（     ） A．母线长为 B．表面积为 C．高为 D．体积为 【答案】D 【分析】根据扇环圆心角与上下底面周长的关系求出母线长，再依次计算圆台的高、表面积、体积，逐一判断选项正误即可. 【详解】设圆台母线长为 ，下底面半径为，上底面半径为，高为,侧面展开扇环的内侧半径为 ， 则外侧半径为 ，已知扇环圆心角为 ，那么 A：上底面周长 ， 由弧长公式得 ，解得 ； 下底面周长 ，同理 ， 代入 得 ，解得 ，故A正确； B：圆台侧面积 ，上底面积 ，下底面积 ， 总表面积 ，故B正确； C：圆台的高、母线、上下底面半径差构成直角三角形，故 高 ，故C正确； D：由圆台体积公式 ， 代入数据得 ，故D错误；      二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．对应的点在第四象限 B． C．的共轭复数为 D．的虚部为1 【答案】BCD 【分析】利用复数的几何意义即可判断. 【详解】对于A选项，因为， 所以复数 z 对应的点为，在第一象限，故 A 错误； ，故B正确； ，故C正确； ，的虚部为1，故D正确. 10．在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，，，则符合条件的有两个 D．若，则是锐角三角形 【答案】ACD 【详解】三角形中，大角对大边，若，则，由正弦定理， 则，即，故A正确； 由正弦定理， 已知，则， 由余弦定理，说明是锐角，无法确定是否是锐角， 故三角形不一定是锐角三角形，故B错误； 已知，，，则， ， ，， 可能是大于的锐角或钝角，即符合条件的有两个，C正确； ， ，由大角对大边可知为最大角， 要证是锐角三角形，只需证， 由三角形的性质知， ， ，令，则，， ， 即， ， ，故是锐角三角形，故D正确． 11．在正四棱锥中，若侧面与底面所成的角为，底面正方形的边长为，则下列说法正确的是（     ） A．正四棱锥外接球的表面积是 B．正四棱锥内切球的体积是 C．正四棱锥的体积为 D．正四棱锥外接球的半径与内切球的半径之比为 【答案】BD 【分析】取中点，连接，过作底面于点，易得为侧面与底面所成的角，由此求出正四棱锥的高与斜高的长，借助于，求出其外接球的半径计算判断A；再由等体积求出其内接球的半径计算判断B；再利用棱锥的体积公式判断C,D即可. 【详解】如图，取中点，连接，过作底面于点， 则为底面的中心，连接，在正四棱锥中，易得， 则为侧面与底面所成的角，故，在中，， 所以，斜高， 对于A，设外接球的球心为，半径为，则，， 在中，有，解得， 则正四棱锥外接球的表面积为，故A错误； 对于C，正四棱锥的体积为，故C错误； 对于B，设正四棱锥内切球的半径为， 由，解得， 则正四棱锥内切球的体积，故B正确； 对于D，由选项AB可知，，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某校组织了“人工智能知识”测试，现随机抽取了100名学生的测试成绩（单位：分），这100名学生的成绩都分布在区间内，绘制成如图所示的频率分布直方图. 则这100名学生成绩的61%分位数为______. 【答案】82 【分析】由百分位数求解即可. 【详解】设这100名学生成绩的61%分位数为x， 因为前4组频率之和为， 前5组频率之和为， 所以这100名学生成绩的61%分位数落在第5组内， 所以，解得，所以这200名学生成绩的61%分位数为82. 13．的内角A，B，C的对边分别为a，b，．已知 ， ，则的面积为______． 【答案】 【分析】利用正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式求得正确答案. 【详解】依题意，， 由正弦定理得， 所以， 由于， 所以为钝角，故， 所以， 所以. 14．如图，在三棱锥中，，，，为的中点，是棱上的中点，则异面直线与所成角的正弦值为______，点到平面的距离为______．    【答案】 【分析】由及底面几何性质证得平面，利用中位线平移异面直线求解线线角，通过证明面面垂直找到点到平面的垂线段，进而求得点到平面的距离. 【详解】 在三棱锥中，因为，， 所以为等腰直角三角形，且. 因为为的中点，所以. 又， 所以点在平面上的射影为的外心，即点， 所以平面. 在中，. 对于异面直线与所成角： 因为分别为的中点， 所以，且. 所以（或其补角）即为异面直线与所成的角. 因为平面，平面， 所以. 在中，. 所以. 即异面直线与所成角的正弦值为. 对于点到平面的距离： 取的中点，连接. 因为分别为的中点，所以. 又，所以. 因为，为中点， 所以. 又，平面， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面，且交线为. 在平面内，过点作于点，则平面. 线段的长度即为点到平面的距离. 在中，，， . 由等面积法可得， 即. 因为为的中点，点在平面上， 所以点到平面的距离为点到平面距离的倍， 即.    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知向量，且与的夹角为． (1)求的值； (2)求的值； (3)若与垂直，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量，且与的夹角为，利用数量积的定义求解； （2）由求解； （3）根据与垂直，由求解. 【详解】（1）因为向量，且与的夹角为， 所以； （2）因为向量，且， 所以， ； （3）因为与垂直， 所以， ， 解得. 16．某公司为了解客户对其旗下某产品的满意程度，随机抽取了200名客户进行满意度调查，并将评分（满分100分）按，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值，并估计这200名客户的满意度评分的平均数（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)已知样本中在内的评分的平均数为64.5，方差为14，在内的评分的平均数是74.5，方差是9，求落在内的评分的平均数与方差． 【答案】(1)，74.5． (2)平均数为70.5，方差为35 【详解】（1）根据题意，，解得． ， 估计这200名客户的满意度评分的平均数为74.5． （2）由频率分布直方图可知评分在，的频率比为， 则样本中在内的评分的平均数为， 样本中在内的评分的方差为 17．如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为的中点，平面平面. (1)证明：； (2)求证：平面； (3)直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)因为平面平面， 所以平面， 又平面平面平面，所以. (2)取中点，连接， 则在中，， 又在中，， 则， 即四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面. (3)存在，为中点；当为中点时，平面平面. 证明如下：取的中点为，连接， 则在中，， 又平面平面，则平面， 同理可证，平面， 又平面 ， 所以平面平面. 【分析】（1）先证明线面平行，再用线面平行的性质定理证明线线平行. （2）通过构造辅助线，在平面找到与平行的线，利用线面平行的判定定理可证明. （3）构造中点，面面平行的判定定理证明平面平面，可确定的位置. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 18．已知的内角，，的对边分别为，，，为钝角，且，． (1)证明：． (2)求． (3)若的中线，求的面积． 【答案】(1)，， . ，均为的内角，且为钝角，则为锐角，得； . (2) (3) 【分析】（1）由和，得到；根据为钝角，则为锐角，确定的范围，进而得到； （2）根据，得到，代入，整理得；根据为钝角，，确定的大小； （3）根据中线长定理，得到，再结合余弦定理求出各边长度，最后利用三角形面积公式计算面积. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，，则， ， ， 为钝角， ，即； 或，解得或， 当时，，符合题意， 当时，，此时，不符合题意， 综上所述，. （3）由（2）得，， ， ， ， ， 为的中线， ，得， 由正弦定理得， 得， ， ， ，解得，. ， ，， ， 的面积为. 19．如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，且，，为的中点． (1)证明：平面； (2)过，，作四棱锥的截面，请写出作法和理由，并求截面的面积； (3)求二面角大小的正切值． 【答案】(1)因为平面，平面，所以. 又，，所以. 因为，平面，所以平面， 又平面，所以. 因为，为的中点，所以. 又，平面，所以平面 (2) 如图，过E作，交于F，连接，则截面为四边形， 理由如下： 因为，，所以，所以，，，四点共面， 从而过，，的截面为四边形. 截面面积为； (3) 【分析】（1）由，，结合线面垂直的判定证明即可； （2）作，得出，从而得出截面，再由梯形的面积公式得出截面面积； （3）过作于，过作于，连接，进而可证为二面角的平面角，计算求解即可. 【详解】（1）略. （2）由（1）知平面，所以， 又，，，所以四边形为直角梯形， 其面积. （3）过作于，过作于，连接. 因为平面，平面，所以平面平面， 又平面平面，所以平面， 又平面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角. 因为四边形是直角梯形，且， 所以四边形为矩形，所以，， 在直角三角形中，，由勾股定理得， 所以， 因为，所以， 在直角三角形中，，所以， 在直角三角形中，，所以， 所以二面角大小的正切值为． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $