精品解析：上海市第二中学2025-2026学年第二学期学习能力诊断模拟数学试卷

2025学年第二学期学习能力诊断模拟卷 高二数学 试卷 （考试时间90分钟 满分120分） 一、填空题（本大题共有12题，每题4分，满分48分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若的二项展开式中，第5项为常数项，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式通项以及已知条件可得出关于的等式，即可得解. 【详解】根据二项式定理，其展开式的第项通项为： ， 当时，第5项为为常数， 则， 解得：. 2. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点恰好是抛物线的焦点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】确定双曲线右焦点，得到，解得答案. 【详解】双曲线的右焦点为，则，. 故答案为：. 3. 米兰冬季奥运会于2026年2月7日至2月23日举行，奖牌榜前10名金牌数如下：18，12，10，10，8，8，8，6，5，5，则这组数据的第80百分位数为__________． 【答案】11 【解析】 【分析】利用百分位数的定义即可求解. 【详解】由题意得：，所以这组数据的第80百分位数为. 4. 直线与直线的夹角大小等于_________. 【答案】 【解析】 【分析】求出两直线的倾斜角，从而得到夹角的大小. 【详解】的斜率为2，倾斜角为， 的斜率为0，倾斜角为，故两直线的夹角为 故答案为： 5. 若,则_______________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】由题意， 又，故. 故答案为：1 6. 若一个各项均为正项的等比数列的前项和为，前项和为，则该等比数列的公比为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的求和公式作商即可得解； 【详解】设等比数列为，其公比为，前项和为， 当时，由，得，所以，不符合题意； 当时，，， 所以，解得，（舍去）． 7. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 【答案】64 【解析】 【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解. 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 8. 已知直线与圆交于两点，则的最小值为____________ 【答案】4 【解析】 【分析】由直线方程可以求得所过定点，当时，的最小，借助勾股定理可以求得. 【详解】因为直线，即， 当且时，方程恒成立， 所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小，如下图所示： 此时. 故答案为： 9. 等差数列的前项和为，，，则______注：． 【答案】 【解析】 【分析】根据，，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式，求得前项和，进一步利用裂项相消法求出数列的和． 【详解】等差数列的前项和为，，， 设等差数列的公差为， 则， 解得，． 所以， 则， 则， ． 故答案为． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式，以及裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题型．裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） 10. 如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，故，， 又，所以 【考点】椭圆离心率 【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出，这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于的一个等量关系，通过解方程得到离心率的值. 11. 如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，用祖暅原理可求得这个旋转体的体积为________． 【答案】 【解析】 【详解】已知双曲线方程为，令等式右边为0可得到渐近线方程： ，即， 将此图形绕轴旋转一周，对于任意一个给定的高度（其中）， 用一个平行于平面的平面去截这个旋转体，截面是一个圆环. 外边界是由双曲线旋转形成的，则可得， 故外圆的半径的平方为. 内边界是由渐近线旋转形成的， 故内圆的半径的平方为. 该截面（圆环）的面积为外圆面积减去内圆面积： . 根据祖暅原理（“幂势既同，则积不容异”），即如果两个几何体夹在两个平行平面之间， 且被平行于这两个平面的任意平面所截得的截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 因为该旋转体在任意高度处的截面面积是一个常数， 则该旋转体的体积等同于一个底面积为，高为的圆柱体的体积， 故所求旋转体的体积为：. 12. 对于两个空间向量与，我们定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，点P是底面内（含边界）的动点，且，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，得出相关向量坐标及点轨迹方程，再计算曼哈顿距离表达式，最后利用线性规划，分析直线截距与点轨迹关系求取值范围. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 又因为正方体棱长为1，因此：， ，， 设，因为在底面内，故， 由题意可得：​，，所以模长平方可得：  ，所以， 即的轨迹是底面内的四分之一单位圆弧， 又因为，， 所以根据曼哈顿距离定义可得： ， 因为，故， 所以去绝对值得：  ，令，其几何意义为直线在轴上的截距， 结合点在上， 当直线过或时，取得最小值1， 当直线与相切时， 根据圆心到直线距离公式，且在第一象限， 可得，即最大值为， 所以的取值范围为. 二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 故选：D. 14. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 【答案】C 【解析】 【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D. 【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误； 对于B，亩产量不低于的频数为， 所以低于的稻田占比为，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误. 故选；C. 15. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【详解】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A. 16. 图1是一款多功能无人机，该机的机架采用对称排列结构，机架的俯视图可看成曲线（其中为正数）的一部分（图2）．若是曲线上的一点，且，过点P的两条互相垂直的直线与曲线的另外两个交点分别为，其中一条直线的斜率为1．若，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由整理可得，所以曲线可由双曲线和双曲线组成，分别将过点斜率为和的直线与双曲线方程联立，解出点坐标，再根据两点的距离公式求解即可. 【详解】由整理可得，所以， 所以曲线可由双曲线和双曲线组成，且这两个双曲线的渐近线斜率均为， 因为是曲线上的一点，且，所以点在第一或第三象限， 根据对称性，不妨设点在双曲线上，且在第一象限，此时， 因为过点P的两条互相垂直的直线与曲线的另外两个交点分别为，其中一条直线的斜率为1， 所以另一条直线的斜率为，点在双曲线上，不妨令，， 过点斜率为的直线方程为， 与联立得，解得， 将代入整理得，所以，即， 过点斜率为的直线方程为， 与联立得，解得， 将代入整理得，所以，即， 所以 ， 解得， 所以， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将曲线转换成熟悉的双曲线方程，再根据点坐标和斜率设出直线方程与双曲线方程联立，解出坐标，进而即可求解. 三、解答题（本大题共有5题，满分56分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 如图，在三棱柱中，平面． （1）证明：平面平面； （2）设，求四棱锥的高． 【答案】（1）证明：因为平面，平面, 所以, 又因为，即， 平面，, 所以平面， 又因为平面, 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】(1)由平面得，又因为，可证平面，从而证得平面平面； (2) 过点作，可证四棱锥的高为,由三角形全等可证，从而证得为中点，设，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图， 过点作，垂足为. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以四棱锥的高为. 因为平面，平面, 所以,, 又因为，为公共边， 所以与全等，所以. 设，则， 所以为中点，, 又因为,所以, 即，解得， 所以， 所以四棱锥的高为． 18. 已知函数的导函数为，数列满足. （1）求过点的曲线的切线方程； （2）若点在的图象上，求的通项公式. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）设出切线的切点，利用导数的几何意义、直线的点斜式方程进行求解即可； （2）利用代入法把点的坐标代入导函数解析式中，结合构造法、等比数列的定义和通项公式进行求解即可. 【小问1详解】 由， 设切点为，所以， 因此过该切点的直线方程为， 把点的坐标代入，得 ，或， 当时，切点为，，此时切线方程为； 当时，切点为，，此时切线方程为， 综上所述：切线方程为，或； 【小问2详解】 因为点在的图象上， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以有. 19. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立． （1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． （2）假设，为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断. 【小问1详解】 甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. 【小问2详解】 若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. 20. 已知函数的定义域为，为其导函数．若任意，，则称为上的“导优函数”． （1）若，判断是否为上的“导优函数”，并说明理由； （2）若，已知为上的“导优函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1）是上的“导优函数”； 证明如下： 由题意知：，则，所以， 因为，所以,且不同时等于0.故，即， 故是上的“导优函数”. （2）. 【解析】 【分析】（1）求导得，再结合“导优函数”的定义，判断在给定区间的正负即可求解. （2）依据“导优函数”的定义得，分离参数后构造分式函数，求导确定单调区间求出最小值，利用恒成立得到. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为，所以. 由为上的“导优函数”， 所以在上恒成立. 所以恒成立. 因为，所以恒成立. 设，则， 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 所以，即实数的取值范围是. 21. 由半个椭圆和两个相同的半圆组成的形如心脏的曲线称为“类心脏曲线”．如图，在平面直角坐标系中，类心脏曲线的两个半圆和的圆心恰好分别是半椭圆的左、右焦点和，且点，分别为的左、右顶点．已知半圆和的半径均为1． （1）求半椭圆的方程和离心率； （2）若直线交曲线C于A，B两点，动点S在曲线C上，求面积的最大值； （3）如图，分别过点，作两条平行线，，分别与，和，交于点M，N和点P，Q，求的最小值． 【答案】（1）， （2）最大值． （3）5 【解析】 【分析】（1）由半圆的半径求解，，即可求解半椭圆的方程与离心率； （2）设点A在x轴下方，点B在x轴上方，直线与椭圆联立，再由点S在半圆上以及可得的面积最大即可求解； （3）由题意知，，再由，由对称性求解所截得弦的长，直线与椭圆联立，由韦达定理的代入求解即可. 【小问1详解】 设半椭圆的方程为（，且）． 由半圆的半径为1，得，， 故，，，，所以，， 所以，解得， 所以半椭圆的方程为， 所以半椭圆的离心率． 【小问2详解】 如图，不妨设点A在x轴下方，点B在x轴上方， 由，得，解得或， 所以，则直线的方程为， 又等于半径1，所以． 显然，当点S在半圆上且时，的面积最大． 因为点到直线的距离， 所以点S到直线的距离， 故， 所以面积的最大值． 【小问3详解】 由题意知，． 因为，所以由对称性可知，为椭圆截直线所得弦的长． 设，且与椭圆交于点和． 由，得，则， 所以，， 所以， 所以当时，取得最小值， 所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期学习能力诊断模拟卷 高二数学 试卷 （考试时间90分钟 满分120分） 一、填空题（本大题共有12题，每题4分，满分48分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若的二项展开式中，第5项为常数项，则__________. 2. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点恰好是抛物线的焦点，则__________. 3. 米兰冬季奥运会于2026年2月7日至2月23日举行，奖牌榜前10名金牌数如下：18，12，10，10，8，8，8，6，5，5，则这组数据的第80百分位数为__________． 4. 直线与直线的夹角大小等于_________. 5. 若,则_______________. 6. 若一个各项均为正项的等比数列的前项和为，前项和为，则该等比数列的公比为______． 7. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 8. 已知直线与圆交于两点，则的最小值为____________ 9. 等差数列的前项和为，，，则______注：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是__________． 11. 如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，用祖暅原理可求得这个旋转体的体积为________． 12. 对于两个空间向量与，我们定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中，点P是底面内（含边界）的动点，且，则的取值范围是______. 二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 14. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 15. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 16. 图1是一款多功能无人机，该机的机架采用对称排列结构，机架的俯视图可看成曲线（其中为正数）的一部分（图2）．若是曲线上的一点，且，过点P的两条互相垂直的直线与曲线的另外两个交点分别为，其中一条直线的斜率为1．若，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 三、解答题（本大题共有5题，满分56分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 如图，在三棱柱中，平面． （1）证明：平面平面； （2）设，求四棱锥的高． 18. 已知函数的导函数为，数列满足. （1）求过点的曲线的切线方程； （2）若点在的图象上，求的通项公式. 19. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立． （1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． （2）假设，为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 20. 已知函数的定义域为，为其导函数．若任意，，则称为上的“导优函数”． （1）若，判断是否为上的“导优函数”，并说明理由； （2）若，已知为上的“导优函数”，求实数的取值范围． 21. 由半个椭圆和两个相同的半圆组成的形如心脏的曲线称为“类心脏曲线”．如图，在平面直角坐标系中，类心脏曲线的两个半圆和的圆心恰好分别是半椭圆的左、右焦点和，且点，分别为的左、右顶点．已知半圆和的半径均为1． （1）求半椭圆的方程和离心率； （2）若直线交曲线C于A，B两点，动点S在曲线C上，求面积的最大值； （3）如图，分别过点，作两条平行线，，分别与，和，交于点M，N和点P，Q，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $