上海市复旦大学附属中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

参考答案 1． 2．1 3． 4． 5． 6．0.1587 7．0.7 8． 9． 10． 11．390 12． 13．B 14．B 15．C 16．A 17．解：（1）极差为． 1分 第75百分位数为． 2分 （2） 4分 将列联表如下补充完整为 男生 女生 总计 健康手机使用 11 14 25 非健康手机使用 9 11 20 总计 20 25 45 提出原假设：认为性别与“健康手机使用”无关，确定显著性水平． 6分 ．因此，接受原假设，即没有95%的把握认为性别与“健康手机使用”有关． 8分 （3）由题，手机使用时长大于16小时的男生有4人，其中位于有0人，手机使用时长大于16小时的女生有4人，其中位于有2人． ． 10分 ，． 12分 故． 14分 18．解：（1）由点为的重心，所以由运算得． 2分 又． 4分 故，且与共点于，故、、三点共线． （2）连结，交于，则，因此以为坐标原点，、、为轴、轴、轴正方向，如图建立空间直角坐标系． 可知、，． 由、、，解得点的坐标为． 10分 因此，，． 设平面的法向量，故，故可取． 12分 设直线与平面所成角为，则． 因此，直线与平面所成角的大小为． 14分 19．解：（1）由为偶函数可得， 即，解得． 4分 当时，，且对于任意的，都有，经此检验可知，当为偶函数时，的值为． 6分 （2），等号当且仅当时成立． 8分 问题转化为不等式对于恒成立，即对于恒成立． 10分 令，由，且，代入可知对于恒成立． 12分 ，由于函数在上严格增，所以当时取最小值为0． 因此，实数的取值范围是． 14分 20．解：（1），，，因此，的分布为． 2分 则，． 所以，． 4分 （2）指的是前个回答均出现了AI幻觉，即． 6分 所以． ，则． 8分 所以，化简即得证． 10分 （3）记表示AI模型5解决第个问题时出现AI幻觉的情况，若解答第个问题时出现AI幻觉，则记，若未出现AI幻觉，则记． 12分 设，由题，，． 14分 所以，，，． 因此，． 16分 解得． 18分 21．解：（1）由题，即求不等式的解集，故． 4分 （2）注意到，即、是的零点，由题可得在上的最大值为，最小值为． ①当时，，在上严格增，即，从而对恒成立，即． ②当时，在上严格增，同理有． 6分 ③当时，在上的表达式为 在中的最大值为，最小值为． 若，则在上严格增，同理有． 若，则，在上的最大值为，且．所以满足要求，即． 8分 若，则，此时恒成立，故不是上的最大值，不满足要求，舍去． 9分 综上所述，实数的取值范围是． 10分 （3）充分性：当是奇函数时，若，则，即，即，所以． 12分 必要性：由实数和的任意性，取，，显然和满足，即、，则必有、． 14分 即有若，则，，由同向相加性，可得，矛盾． 16分 若，则，，即，矛盾．所以．同理可证当时，取，，有． 取，，则，有，即； 取，，则，有，即；由于，故，由同向相加性，可得，即． 18分 因此对于任意实数，均有，即是定义在上的奇函数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 复旦大学附属中学2025学年第二学期 高二年级数学期末考试试卷 考生注意： 1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．若等可能的样本空间，则事件发生的概率________． 2．若，则的最小值为________． 3．的二项展开式中的系数为________． 4．设：，：，若是的必要条件，则正实数的取值范围是________． 5．已知，，，若、和共面，则实数________． 6．已知随机变量服从正态分布，若，则________． 7．已知事件与事件互斥，，，则________． 8．设的二项展开式中各项系数分别为，则从这六个数中不放回地依次任取两个数，在已知抽取的第一个数为正数的情况下，第二个数大于4的概率为____． 9．设集合，若，则实数的取值范围是________． 10．已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，，且等号能成立，则________． 11．若函数的定义域为的一个非空子集，值域为，则这样不同的函数共有________个． 12．已知正四棱锥，，侧棱，若向量满足，则的取值范围是________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．已知和是直线上两个不同的点，是平面的一个法向量，则“”是“”的（ ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分又非必要 14．某小组在探究两个数值变量、之间的线性关系时，随机抽取了8个样本点，由于操作疏忽，在运用最小二乘法求回归方程时只输入了前6组数据，得到的线性回归方程为，其样本中心为．后来检查发现后，输入全部8组数据得到的新的线性回归方程为新的样本中心为，已知，，则以下结论中一定正确的个数是（ ）． ①新的样本中心仍为；②两个数值变量、具有正相关关系；③． A．0 B．1 C．2 D．3 15．已知奇函数的定义域为，且对任何实数，都有，则可以是（ ）． A．4 B．2 C．1 D．-2 16．甲和乙进行一场体育比赛，该比赛由局小比赛组成（，），先赢局的选手获得整场比赛的胜利．假设每局比赛甲获胜的概率为，每局之间的胜负相互独立，且没有平局．则对于以下结论，说法正确的是（ ）． ①若，设甲在没有进行第局时就能获得整场比赛胜利的概率为，则． ②若，设甲获得整场比赛胜利的概率为，则． A．①对②对 B．①错②错 C、①对②错 D．①错②对 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分） 班主任为了解本班每位学生每周平均手机使用时长（单位：小时），在某一学期每周对全班45名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最多的为25.6小时．其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图17-1所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图17-2所示． （1）求该班男生每周平均手机使用时长的极差、第75百分位数； （2）根据相关资料显示，每周平均手机使用时长小于14小时为“健康手机使用”，班主任以此绘制了如下的2×2列联表，依据本班情况，班主任是否有95%的把握认为性别与“健康手机使用”有关？请说明理由； 男生 女生 总计 健康手机使用 11 非健康手机使用 9 总计 20 25 45 （3）班主任从本班每周平均手机使用时长大于16小时的学生中任选2人做跟踪调查．设事件表示“2人中至多1名男生”，事件表示“2人中恰有1名学生的每周平均手机使用时长位于区间”，求和． 参考数据：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知平行六面体，点为的重心． （1）求证：、、三点共线； （2）若平面，，，求直线与平面所成角的大小． 19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分） 已知函数为定义在上的偶函数，其中． （1）求实数的值； （2）设，若任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 在运用人工智能解决问题时，AI模型可能会生成看似合理但实际不正确的信息现象，称为AI幻觉．AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率，现抽取了市面上5个使用率较高的AI模型，其回答单独一个问题的幻觉率如下表所示． AI模型 1 2 3 4 5 幻觉率 0.1 0.15 0.3 0.16 0.4 （1）若以AI幻觉率最低的2个模型（模型1、2）独立地解答同一问题，以此高效避免AI幻觉，记随机变量为这2个模型中没有出现AI幻觉的个数，求； （2）现独立地重复使用AI模型3处理一系列不相关的问题，若第1个问题的解答不出现AI幻觉，则不再问第2个问题；否则继续提问，直至某一个问题的解答不出现AI幻觉为止．记随机变量为停止提问时该模型已经回答的问题数，求证：对于任意正整数和，恒有； （3）在调查研究中发现，使用AI模型5解决一系列相关问题时会出现较为有趣的现象，若第个问题解答出现了AI幻觉，则第个问题解答出现AI幻觉的概率为0.5，若第个问题解答不出现AI幻觉，则第个问题解答出现AI幻觉的概率为0.2，其中，．若运用AI模型5解答5个相关问题（之前没有回答过相关的问题），记随机变量为这5个相关问题中出现AI幻觉的个数，求．（结果精确到0.01） 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知函数的定义域为，对于给定实数和，定义集合． （1）若，求； （2）设，若，求实数的取值范围； （3）设集合，则“对于任意给定实数和，若，均有”的充要条件是“是奇函数”． 学科网（北京）股份有限公司 $