第十七章  因式分解-2026-2027学年八年级数学上册基本功（人教版）

第17章因式分解 17.1用提公因式法分解因式 知识点1因式分解的概念 1.如图，各式从左到右的变形中，是因式分解的有() a2-b2=(a+b)(a-b);(a+3)(a-3)=a2-9;a2-4a-5=a(a-4)-5; a2-4a-5=(a-2)2-9 a2-b2-(a+b)a-b): (a+3)(a-3)=a2-9: A.1个 B.2个 a2-4a-5=a(a-4)-5: a2-4a-5=(a-22-9. C.3个 D.4个 2.【2025沧州期中】若x2+mx+4=(x-2)2,则下列结论正确的是() A.等式从左到右的变形是乘法公式，m=4 B.等式从左到右的变形是因式分解，m=4 C.等式从左到右的变形是乘法公式，m=一4 D.等式从左到右的变形是因式分解，m=-4 知识点2用提公因式法分解因式 3.将3ab2(x-y)3-9ab(x-y)2因式分解，应提取的公因式是() A.3ab(x-y)2 B.3ab2(x-y) C.9ab(x-y)3 D.3ab(x-y)3 4.把b2(x-3)+b(3-x)因式分解的结果应为() A.(x-3)(b2+b)B.b(x-3)(b+1) C.(x-3)(b2-b)D.b(x-3)(b-1) 5.【2026渭南期末】写出一个各项的公因式为b的多项式： (答案不唯一) 6.【2025鞍山期末】把下列各式因式分解： (1)4x2y3+8x2y2z-12xy2z (2)a(b-c)+c-b 61/88 第17章因式分解 (3)a(x-3)+2b(x-3) (4)4q(1-p)3+2(p-1)2 知识点3提公因式法分解因式的应用 7.如图，长、宽分别为a,b的长方形的周长为16，面积为12，则ab+ab的值为() A.48 B.64 C.80 D.96 8.【2026聊城质检】 (1)计算(-2)2024+(-2)2025的结果是 (2)计算：7.6×202.5+4.3×202.5-19×20.25= 9.已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可分解因式为(3x+a)(x+b),其中a,b均为整 数，则a+3b的值为 10.【2026郑州期末】在学习中，小明发现，当n=1,2,3时，n2-6n的值都是负数。于 是小明猜想：当n为任意正整数时，n2一6n的值都是负数。 (1)小明的猜想正确吗？请举例说明。 (2)如果小明的猜想不正确，那么当n取哪些正整数时，n2一6不是负数？ 62/88 第17章因式分解 17.2用平方差公式分解因式 知识点1用平方差公式分解因式 1.【2026张掖期末】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是() A.a2+(-b)2 B.5m2-20mm C.(-x)2+(-y)2 D.-x2+9 2.小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数， 并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x口一4y2(“口”表示漏抄的指数)， 则这个指数可能的结果共有() A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 3.【2026南通质检】分解因式：8x2-2 4.【2025长治质检】有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆。例如：对多项式a4-b4 因式分解的结果是(a-b)(a+b)(a2+b),若取a=8,b=8,则各个因式的值是a-b=0, a+b=16,a2+b2=128,把这些值从小到大排列得到016128，于是就可以把“016128”作 为一个六位数的密码。对于多项式4x3-xy2,若取x=21,y=19,请你写出一个用上述方 法产生的密码： 5.【2025西安期中】分解因式：(x-y)4-1= 6.分解因式：(1)(3x+y)2-(x-3y)2 (2)x+2)x-2)-5 63/88 第17章因式分解 知识点2平方差公式分解因式的应用 7.已知416一1可以被10到20之间的某两个整数整除，则这两个数是() A.12,14 B.13,15 C.14,16 D.15,17 8已知，清足方程组（十二，则36y的值为一 9.已知实数a,b满足a2=2b+7,b2=2a+7,且a≠b,则a十b的值为 10.【2026静安质检】因式分解：m3-m2n-4m+4n 易错点因式分解时因分解不彻底而出错 11.在实数范围内分解因式：a4一16b4,丽华的解法如下： 解：原式=(a2+4b2)(a2-4b2)。 请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，把正确的解题过程写出来。 64/88 第17章因式分解 17.3用完全平方公式分解因式 知识点1完全平方式 1、下列是完全平方式的有()(1)a2+2a+4;(2)a2+2a-1;(3)a2+2a+1; (4)-a2+2a+1;(5)-a2-2a-1;(6)4a2+4a+1 A.2个B.3个 C.4个D.5个 2、【2026岳阳期中】若4x2-(m+2)x+9是完全平方式，则m的值是() A.-8 B.10 C.10或-14 D.10或-8 知识点2用完全平方公式分解因式 3、【2026天水期中】下列多项式中能用完全平方公式分解因式的是() A.x2+2x+y2 B.4x2-4x+1 C.x2+4xy +y2 D.x2-4x-4 4、【2025重庆期中】将多项式(x2+y2)(x2+y2-8)+16进行因式分解的结果是() A.(x2+y2-4)2 B.(x-y)2 C.(x2-y2-4)2 D.(x2+y2+4)2 1 5、因式分解：2a2-2a+2 6、分解因式： (1)-2x2+32x-128 (2)(x2+4)2-16x2 (3)(x2-1)2-6(x2-1)+9 65/88 第17章因式分解 知识点3完全平方公式分解因式的应用 7、不论a,b为任何实数，a2+b2-6a+10b+35的值都是（) A.非负数 B.正数 C.负数 D.非正数 8、【2026岳阳调研】已知(x-y)2-2x+2y+1=0,则x-y= 9、已知m,n满足mn=4,m-n=-1,则2m3n-4m2n2+2mn3= 10、【2026无锡质检】(1)已知有理数a,b满足(a+2)2=-b2+6b-9,求a的值。 (2)先观察下列计算过程，再解答问题。 99×99+199=992+2×99+1=(99+1)2=1002=104。 问题：①计算：999×999+1999= ②求99999×99999+199999的值。 11、有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2,同时B区就会自动减去3a, 且均显示化简后的结果.已知A、B两区初始显示的分别是25和-16，如图.例如：从初始 状态按一次按键后，A、B两区分别显示25+a2,-16-3a. (1)从初始状态按两次按键后，分别求A、B两区显示的结果； (②)从初始状态按四次按键后，计算A、B两区显示的代数式的和，请判断这个和能为负数 吗？说明理由。 A区 B区 25 -16 66/88第17章因式分解 17.1用提公因式法分解因式 知识点1因式分解的概念 1.如图，各式从左到右的变形中，是因式分解的有() a2-b2=(a+b)(a-b);(a+3)(a-3)=a2-9;a2-4a-5=a(a-4)-5; a2-4a-5=(a-2)2-9 a2-b2=(a+b)(a-b: A.1个 (a+3)(a-3)=a2-9: B.2个 a2-4a-5=a(a-4)-5; a2-4a-5=(a-2)2-9. C.3个 D.4个 答案：A 解析：a2-b2=(a+b)(a-b)是因式分解；(a+3)(a-3)=a2-9是整式的乘法，不是因 式分解；a2-4a-5=a(a-4)-5,等式的右边不是几个整式的乘积的形式，不是因式分解； a2一4a一5=(a-2)2-9,等式的右边不是几个整式的乘积的形式，不是因式分解。所以是 因式分解的有1个。 2.【2025沧州期中】若x2+mx+4=(x-2)2,则下列结论正确的是() A.等式从左到右的变形是乘法公式，m=4 B.等式从左到右的变形是因式分解，m=4 C.等式从左到右的变形是乘法公式，m=一4 D.等式从左到右的变形是因式分解，m=一4 答案：D 解析：等式从左到右的变形是因式分解。x2+mx+4=(x-2)2,即x2+mx+4=x2-4x+4, 所以m=-4。 知识点2用提公因式法分解因式 3.将3ab2(x-y)3-9ab(x-y)因式分解，应提取的公因式是() A.3ab(x-y)2 B.3ab2(x-y) C.9ab(x-y)3 D.3ab(x-y)3 答案：A 解析：将3ab(x-y)3-9ab(x-y)因式分解，应提取的公因式是3ab(x-y)2。 108/152 第17章因式分解 4.把b2(x-3)+b(3-x)因式分解的结果应为() A.(x-3)(b2+b) B.b(x-3)(b+1) C.(x-3)(b2-b) D.b(x-3)(b-1) 答案：D 解析：b2(x-3)+b(3-x)=b2(x-3)-b(x-3)=b(x-3)(b-1)。 5. 【2026渭南期末】写出一个各项的公因式为b的多项式： (答案不唯一) 答案：b2-4b 6. 【2025鞍山期末】把下列各式因式分解： (1)4x2y3+8x2y2z-12xy2z (2)a(b-c)+c-b (3)a(x-3)+2b(x-3) (4)4q(1-p)3+2(p-1)2 答案： (1)4x2y3+8x2y2z-12xy2z=4xy2(xy+2xz-3z) (2)a(b-c)+c-b=a(b-c)-(b-c)=(b-c)(a-1) (3)a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b) (4)4q(1-p)3+2(p-1)2=4q(1-p)3+2(1-p)2=2(1-p)2[2q(1-p)+1]=2(1- p)2(2q-2pq+1) 易错警示：提取公因式时要检查系数、字母（或含字母的式子）及其指数是否提取完全。 知识点3提公因式法分解因式的应用 7.如图，长、宽分别为a,b的长方形的周长为16，面积为12，则ab+ab2的值为() A.48 B.64 C.80 D.96 答案：D 解析：长、宽分别为a,b的长方形的周长为16，面积为12，a十b=1 2 =8,ab=12。 a2b+ab2=ab(a+b)=12×8=96。 109/152 第17章因式分解 8.【2026聊城质检】 (1)计算(-2)2024+（-2)2025的结果是 (2)计算：7.6×202.5+4.3×202.5-19×20.25= 答案：(1)原式=(-2)2024×(-1)=-22024 (2)原式=202.5×(7.6+4.3-1.9)=202.5×10=2025 9.已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可分解因式为(3x+a)(x+b),其中a,b均为整 数，则a+3b的值为 答案：-31 解析：(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)=(3x-7)(2x-21-x+13)=(3x-7)(x-8)。 (2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可分解因式为(3x+a)(x+b),(3x-7)(x-8)= (3x+a)(x+b),则a=-7,b=-8,故a+3b=-7+3×(-8)=-31。 10.【2026郑州期末】在学习中，小明发现，当n=1,2,3时，n2-6n的值都是负数。于 是小明猜想：当n为任意正整数时，n2一6n的值都是负数。 (1)小明的猜想正确吗？请举例说明。 (2)如果小明的猜想不正确，那么当n取哪些正整数时，n2一6m不是负数？ 答案： (1)小明的猜想不正确。例如：n=7时，n2-6n=72-6×7=49-42=7>0,所以小明 的猜想不正确。 (2)n2-6m=n(n-6),当n≤0或n≥6时，n2-6n≥0，当n取大于或等于6的正整 数时，n2-6n不是负数。 110/152 第17章因式分解 17.2用平方差公式分解因式 知识点1用平方差公式分解因式 1.【2026张掖期末】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是() A.a2+(-b)2 B.5m2-20mm C.(-x)2+(-y)2 D.-x2+9 答案：D 解析：A选项，a2+(-b)2=α2+b2,两项符号相同，不能用平方差公式分解因式，故A选 项不符合题意； B选项，5m2一-20n中两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故B选项不符合 题意； C选项，(-x)2+(-y)2=x2+y,两项符号相同，不能用平方差公式分解因式，故C选 项不符合题意； D选项，一x2+9=一x2+32,两项符号相反且都是平方项，能用平方差公式分解因式，故D 选项符合题意。 故选D。 2.小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数， 并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x口一4y2(“口”表示漏抄的指数)， 则这个指数可能的结果共有() A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 答案：D 解析：该指数可能是2,4,6,8,10。故选D。 3.【2026南通质检】分解因式：8x2-2= 答案：2(2x+1)(2x-1) 解析：8x2-2=2(4x2-1)=2[(2x)2-12]=2(2x+1)(2x-1)。 111/152 第17章因式分解 4.【2025长治质检】有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆。例如：对多项式a4-b4 因式分解的结果是(a-b)(a+b)(a2+b2),若取a=8,b=8,则各个因式的值是a-b=0, a+b=16,a2+b2=128,把这些值从小到大排列得到016128，于是就可以把“016128”作 为一个六位数的密码。对于多项式4x3-xy2,若取x=21,y=19,请你写出一个用上述方 法产生的密码： 答案：212361 解析：4x3-xy2=x(4x2-y2)=x(2x-y)(2x+y),若取x=21,y=19,则x=21,2x-y= 42-19=23,2x+y=42+19=61,把这些值从小到大排列得到212361。 5.【2025西安期中】分解因式：(x-y)4-1= 答案：(x2-2xy+y2+1)(x-y+1)(x-y-1) 解析：(x-y)4-1=[(x-y)2]2-12=[(x-y)2+1[(x-y)2-1]=(x2-2xy+y2+ 1)(x-y+1)(x-y-1)。 6.分解因式：(1)(3x+y)2-(x-3y)2 (2)(x+2)(x-2)-5 答案：(1)=(3x+y+x-3y)(3x+y-x+3y)=(4x-2y)(2x+4y)=4(2x-y)(x+2y)。 (2)=x2-4-5=x2-9=(x+3)(x-3)。 知识点2平方差公式分解因式的应用 7.已知416-1可以被10到20之间的某两个整数整除，则这两个数是（) A.12,14 B.13,15 C.14,16 D.15,17 答案：D 解析：原式=(48+1)(48-1)=(48+1)(44+1)(42+1)(42-1)=(48+1)(44+1)×17× 15,这两个数是15和17。故选D。 ®已知，满足方程组{+3二专，则4-36y的值为 -。 答案：-80 解析：4x2-36y2=4(x2-9y2)=4(x-3y)(x+3y)=4×4×(-5)=-80。 112/152 第17章因式分解 9.已知实数a,b满足a2=2b+7,b2=2a+7,且a≠b,则a+b的值为一。 答案：-2 解析：已知a2=2b+7,b2=2a+7,将两式相减可得a2-b2=(2b+7)-(2a+7), 去括号得a2-b2=2b+7-2a-7,合并同类项得a2-b2=2b-2a, 则(a+b)(a-b)=-2(a-b). 因为a≠b,所以a-b≠0，所以等式(a+b)(a-b)=-2(a-b)两边同时除以(a-b),可得 a+b=-2。 10.【2026静安质检】因式分解：m3-m2n-4m+4n 答案：(m-n)(m+2)(m-2) 解析：原式=m2(m-n)-4(m-n)=(m-n)(m2-4)=(m-n)(m+2)(m-2)。 易错点因式分解时因分解不彻底而出错 11.在实数范围内分解因式：a4-16b4,丽华的解法如下： 解：原式=(a2+4b2)(a2-4b2)。 请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，把正确的解题过程写出来。 答案：不正确；正确结果为(a2+4b2)(a+2b)(a-2b) 解析：丽华因式分解的结果不正确。正确的解题过程如下： 原式=(a2+4b2)(a2-4b2)=(a2+4b2)(a+2b)(a-2b)。 113/152 第17章因式分解 17.3用完全平方公式分解因式 知识点1完全平方式 1、下列是完全平方式的有()(1)a2+2a+4;(2)a2+2a-1;(3)a2+2a+1; (4)-a2+2a+1;(5)-a2-2a-1;(6)4a2+4a+1 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 答案：B 解析：(1)(2)(4)不是完全平方式；(3)(6)是完全平方式；(5)-a2-2a-1=-(a2+2a+ 1)=-(a+1)2,是完全平方式。故选B。 2、【2026岳阳期中】若4x2-(m+2)x+9是完全平方式，则m的值是（) A.-8 B.10 C.10或-14 D.10或-8 答案：C 解析：：4x2-(m+2)x+9是完全平方式，4x2-(m+2)x+9=(2x)2±2×2x×3+32, .-(m+2)=±2×2×3=±12，解得m=10或m=-14, m的值是10或-14。故选C。 知识点2用完全平方公式分解因式 3、【2026天水期中】下列多项式中能用完全平方公式分解因式的是() A.x2+2x+y2 B.4x2-4x+1 C.x2+4xy +y2 D.x2-4x-4 答案：B 解析：A选项，x2+2x+y不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； B选项，4x2-4x+1=(2x-1)2,能用完全平方公式分解因式，符合题意； C选项，x2+4xy+y2不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； D选项，x2-4x-4不能用完全平方公式分解因式，不符合题意。故选B。 4、【2025重庆期中】将多项式(x2+y2)(x2+y2-8)+16进行因式分解的结果是() A.(x2+y2-4)2 B.(x-y)2 C.(x2-y2-4)2 D.(x2+y2+4)2 答案：A 解析：(x2+y2)(x2+y2-8)+16=(x2+y2)2-8(x2+y2)+16=(x2+y2-4)2,故选A。 114/152 第17章因式分解 5、因式分解：2a2-2a+2 1 答案：2(a-22 解析：原式-2c2-a+=2a2。 6、分解因式： (1)-2x2+32x-128 (2)(x2+4)2-16x2 (3)(x2-1)2-6(x2-1)+9 答案：(1)原式==-2(x2-16x+64)=-2(x-8)2。 (2)原式=(x2+4+4x)(x2+4-4x)=(x+2)2(x-2)2。 (3)原式=(x2-1-3)2=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2。 知识点3完全平方公式分解因式的应用 7、不论a,b为任何实数，a2+b2-6a+10b+35的值都是（) A.非负数 B.正数 C.负数 D.非正数 答案：B 解析：a2+b2-6a+10b+35=(a-3)2+(b+5)2+1>0,故选B。 8、【2026岳阳调研】已知(x-y)2-2x+2y+1=0,则x-y= 答案：1 解析：：(x-y)2-2x+2y+1=(x-y)2-2(x-y)+1=(x-y-1)2=0, x-y-1=0,x-y=1。 9、已知m,n满足mm=4,m-n=-1,则2m3n-4m2n2+2mn3= 答案：8 解析：2m3n-4mn2+2mn3=2mn(m2-2mn+n2)=2mn(m-n)2。 :mn=4,m-n=-1,2mn(m-n)2=2×4×(-1)2=8。 115/152 第17章因式分解 10、【2026无锡质检】 (1)已知有理数a,b满足(a+2)2=-b2+6b-9,求a的值。 (2)先观察下列计算过程，再解答问题。 99×99+199=992+2×99+1=(99+1)2=1002=104。 问题： ①计算：999×999+1999= ②求99999×99999+199999的值。 答案：(1)-8 解析：(a+2)2=-b2+6b-9,(a+2)2+b2-6b+9=0, (a+2)2+(b-3)2=0。(a+2)2≥0，(b-3)2≥0， ÷.(a+2)2=0,(b-3)2=0,.a+2=0,b-3=0, a=-2,b=3,ab=(-2)3=-8。 (2)①原式=9992+2×999+1=(999+1)2=10002=106。 ②原式=999992+2×99999+1=(99999+1)2=1000002=(105)2=1010。 11、有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2,同时B区就会自动减去3a, 且均显示化简后的结果.已知A、B两区初始显示的分别是25和-16，如图.例如：从初始 状态按-一次按键后，A、B两区分别显示25+a2,-16-3a. A区 B区 25 -16 (1)从初始状态按两次按键后，分别求A、B两区显示的结果； (2)从初始状态按四次按键后，计算A、B两区显示的代数式的和，请判断这个和能为负数 吗？说明理由。 答案： (1)A区：25+2a2;B区：-16-6a 解析：按两次按键，A区加2a2,B区减6a,故A区25+2a,B区-16-6a。 (2)和不能为负数 解析：四次按键后A区：25+4a2,B区：-16-12a, 和为25+4a2-16-12a=4a2-12a+9=(2a-3)2≥0，故和不能为负数。 116/152