第17章 因式分解-【重点班提分练】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步知识册（人教版2024）

C.al8÷a3=a5≠a,故该选项不符合题意； D.(-a)2·a4=a,故该选项符合题意 2.Cx=2m+1,.2m=x-1,∴.y=2+4=2+ (22)m=2+22m=2+(2m)2=2+(x-1)2. 1 3. 3=2,9=4,3如地=30÷30=(3)3÷ (92=21 -42=2 4.8由题意，得81×3“=3"，即3+=3m, 4+a=am,:n-a+4 4 =1+一.a,n都是大于 a 1的整数，a<n,∴.符合题意的只有a=2,n= 3,∴.a"=23=8. 5.92.a+b=20,ab=72,.a2+b2=(a+b)2- 2ab=400-144=256,∴.阴影部分的面积= -a-6j=7a2+-0)=×(256 72)=92. 6.±4m2+kmn+4n2是一个完全平方式， ∴.m2+kmn+4n2=(m±2n)2=m2±4mn+4n2, .∴.k=±4. 7.(1)(b+a)2-(b-a)2=4ab. 提示：由题图1可知，大正方形边长为(b+ a),中间小正方形边长为(b-a).,大正方形 的面积-中间小正方形的面积=4个长方形 的面积之和，∴.(b+a)2-(b-a)2=4ab. 解：(2)由(1)可得，(2a+b)2-(2a-b)2=8ab. .'2a-b=7,ab=2, .(2a+b)2-72=8×2, .(2a+b)2=65. (3)设AB=a,AD=b, 由题意得，ab=234,PN=MF=2,PM=NF=3, .GD+QN+ME+BH=2(6-2)=26-4,BE+ MH+GN+DQ=2(a-3)=2a-6. 花圃总周长为52， .2b-4+2a-6=52, ∴.a+b=31. 由(1)可得，(a+b)2-(a-b)2=4ab, .312-(a-b)2=4×234, ∴.(a-b)2=25, 解得a-b=5或a-b=-5. AB>AD, ∴.a-b>0, .a-b=5, .AB-AD的长为5m. 第十七章因式分解 技巧·提升区 技巧提分1分组分解法 1.C2x3-x2+2x-1=(2x3-x2)+(2x-1)=x2· (2x-1)+(2x-1)=（2x-1)(x2+1),由此可知 2x-1是2x3-x2+2x-1的因式，而x2,2x,2x+1 都不是它的因式 2.Bx2-1=(x+1)(x-1),故A选项不符合题 意；x4-x3+x2-1=(x4-x3)+(x2-1)=x3(x-1)+ (x+1)(x-1)=(x-1)(x3+x+1),故B选项符合 题意；x3+1=(x+1)(x2-x+1),故C选项不符 合题意；x4-x3-x2-1=(x4-x2)-（x3+1)= x2(x2-1)-(x+1)(x2-x+1)=x2(x+1)(x-1) (x+1)(x2-x+1)=(x+1)[x2(x-1)-(x2-x+ 1)]=(x+1)(x3-x2-x2+x-1)=(x+1)(x3- 2x2+x-1),故D选项不符合题意. 3.Ba2-2ab+b2-c2=(a2-2ab+b2)-c2= (a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c). 4.(x-3)(x+7)原式=x2-9+4x-12=(x+3)· (x-3)+4(x-3)=(x-3)(x+7). 5.解：(1)ab-2a-2b+4 =(ab-2a)-(2b-4) =a(b-2)-2(b-2) =(a-2)(b-2): (2).·m2+2mn+2n2-6n+9=0, ∴.(m2+2mn+n2)+(n2-6n+9)=0, .(m+n)2+(n-3)2=0, 「m+n=0, m=-3, 解得 1n-3=0,1n=3. 技巧提分2十字相乘法 1.Da2-5a-6=(a-6)(a+1). 2.D把多项式x2+mx+12分解因式后含有 因式x+2,∴.x2+mx+12=（x+2)(x+6)=x2+ 8x+12,∴.m=8. 3.B(x+3)(x-4)=x2-4x+3x-12=x2-x-12,(x+ 1)(x+3)=x2+3x+x+3=x2+4x+3..甲把m看 错分解结果为(x+3)(x-4),乙把n看错分解 结果为(x+1)(x+3),.n=-12,m=4,.x2+ mx+n=x2+4x-12=(x+6)(x-2). 4.(xy+1)(y-3)x2y2-2xy-3=(xy+1)· (xy-3). 满分·冲刺区 压轴满分集训 1.B①t2+2t-15=(t+5)(t-3);②a2+1不能 因式分解；③a2-6a+9=(a-3)2;④x2+5y不 能因式分解；⑤x2-2=(x+√2)(x-√2)； ⑥2x2-6x3=2x2(1-3x).综上可知，在实数范 围内，能因式分解的多项式是①③⑤⑥，共 4个. 2.D将a2=b2+c2代入a2+b2=c2,得b2+c2+ b2=c2,.2b2=0,∴.b=0,∴.a2=c2,.a2-c2 0,.(a+c)(a-c)=0.a+b+c≠0，∴.a+c≠ 0,.a-c=0,∴.a=c≠0..a+b≠0，b+c≠0， b2-4ac=-4a2<0.综上所述，只有结论D符合 题意 3.B根据题意得，x(x+3)+x(x+4)+…+x(x+ n)=x(9x+m),∴.x（x+3+x+4+…+x+ n)=x（9x+m),∴.x[(n-3+1)x+ (n-3+1)(3+n]=x(9x+m),.n-2=9,m= 2 (n-3+1)(3+n) ,∴.n=11,m=63. 4.(x-1)(3x-4)(2x+1)原式=6x3-6x2-5x2+ x+4=6x2(x-1)-(5x2-x-4)=6x2(x-1)-(x 1)(5x+4)=(x-1)(6x2-5x-4)=（x-1)(3x 4)(2x+1). 5.3a= .1 1 99x+2025,6=99x+2024,c=g9x+ 2026,∴.a-b=1,b-c=-2,a-c=-1,.a2+b2+ -ah-bc-c=号(2a2+2+22-2ab-2k 2ac)=2【(a-b)2+(b-c)2+(a-c)21.a- b=1,b-c=-2,a-c=-1,原式=2× 1 [12+(-2)+(-1)]=2×6=3. 6.解：设A=10a+b,则G=10b+a,其中a和b都 是1到9的自然数， 则x+y=20a+2b,xy=(10b+a)2=100b2+ 20ab+a2, .(x+y)2=(20a+2b)2=400a2+80ab+462, (x-y)2=(xy)2-4xy=396a2-39662=22×32× 11(a+b)(a-b). x,y都是自然数，∴.(x-y)2是完全平方数， ∴.(a+b)和(a-b)中必有一个是11的倍数 :a和b都是1到9的自然数， .a+b=11,.a-b也是一个完全平方数， ∴.a=6,b=5, (x-y)2=(2×3×11)2, .x-y=66,x+y=20a+2b=130, 解得x=98,y=32. 第十八章分式 技巧·提升区 技巧提分1分式的恒等变形 1.Ba,b,c是正数，且满足a+b+c=9,∴.a= 9-b-c,6=9-a-c,c=9-a-b,原式=9-b-c b+c 9-a-c+9-ab-9+9+9-3=9x10 一十 一十 c+aa+bb+cc+aa+b 3=7. 2.(1)1-3-1x+2-3 3 1- x+2x+2x+2 x+2 2第十七章 因式分解 知识·学习区 公因式一 多项式pa+pb+pc的各项都有一个公共的因式P, 我们把因式p叫作这个多项式各项的公因式 用提公因式 法分解因式 般地，如果多项式的各项有公因式，可以 提公因式法 把这个公因式提取出来，将多项式写成公因 式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因 因式分解 式的方法叫作提公因式法 用公式法 o形如平方差式一a2-b2=(a+b)(a-b) 分解因式 形如完全平方式一a2±2ab+b2=(a±b)2 技巧·提升区 ⊙扫码批 重点题讲解 技巧提分1分组分解法 模型解读 ©模型分组分解法 分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进 行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组 分别分解因式，然后再对整体作因式分解 分类 分组方法 特点 (1)按字母分组； 四项 二项、二项 (2)按系数分组； (3)符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式，后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 三项、三项 各组之间有公因式 六项 二项、二项、二项 三项、二项、一项 可化为二次三项式 23 重点班提分练数学八年级上册 续表 分组分解法是对多项式进行适当的分组，把多项式 P,名师点睛 转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具 有公因式，或符合公式的特点等，从而达到可以利 用基本方法进行分解因式的目的 模型演练 1.下列式子中，属于2x3-x2+2x-12.下列整式中不含有x+1这个因式的是 的因式的是( ) ) A.x2 B.2x A.x2-1 B.x4-x3+x2-1 C.2x-1 D.2x+1 C.x3+1 D.x4-x3-x2-1 3.应用分组分解法分解因式时，下列 C.a2+（-2ab+b2-c2) 对a2-2ab+b2-c2的分组中正确 D.(a2+b2)+(-2ab-c2) 的是（) 4.多项式x2+4x-21可因式分解为 A.（a2-c2）+(-2ab+b2) B.(a2-2ab+b2）-c2 5.先阅读，再解决问题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法叫作分组分解法. 例如，am+an+bm+bn=（am+an)+（bm+bn)=a（m+n)+b(m+m)= (m+n)(a+b). (1)分解因式：ab-2a-2b+4; (2）若m2+2mn+2n2-6n+9=0,求m和n的值. 24 第十七章)因式分解 ◇技巧提分2十字相乘法 模型解读 ◇模型十字相乘法 十字相乘法 十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉 相乘再相加等于一次项系数 x2+(p+q）x+p9= x2+7x+12= 二次项系数为1 (x+p)(x+g) (x+3)(x+4) 的二次三项式 ax2+bx+c=(mx+p)(nx+q）,其 6x2+19x+10= 二次项系数不为 中a=m·n,c=p·q,b=mg+np (2x+5)(3x+2) 1的二次三项式 m、 n ax2+by+cy2=(mx+py）（nx+gy）, 6x2+7xy-5y2= 含两个字母的二 其中a=m·n,c=p·q,b=mg+p (2x-y)(3x+5y) 次三项式 m 模型演练 1.将a2-5a-6分解因式，正确的结2.若把多项式x2+mx+12分解因式后 果是（) 含有因式x+2,则m的值为( ) A.(a-2)(a+3) B.(a-2)(a-3) A.6 B.-6 C.-8 D.8 C.(a-1)(a+6) D.(a-6)(a+1) 25 重点班提分练数学八年级上册 3.甲、乙两个同学分解因式x2+mx+n A.（x+2)(x-6) 时，甲把m看错，分解结果为(x+3)· B.（x+6)(x-2) (x-4),乙把n看错，分解结果为 C.（x+4)(x-3) (x+1)(x+3),那么多项式x2+ D.(x-1)(x+5) mx+n分解的正确结果是（ 4.分解因式：xy-2y-3= 满分·冲刺区 压轴满分集训 1.下列六个多项式：①2+2t-15; ②a2+1;③a2-6a+9;④x2+5y; 5.已知a= 9x+2025,b= 99x+2024, 1 ⑤x2-2;⑥2x2-6x3.其中，在实数 c=99x+2026,求代数式a2+b+c2 范围内，能因式分解的多项式的个数 ab-bc-ac的值. 为（) A.3 B.4 C.5 D.6 2.已知三个实数a,b,c满足a+b+ c≠0，a2+b2=c2,a2=b2+c2,则下列 结论一定成立的是（) A.a+b=0 B.a+c=0 C.b+c=0 D.b2-4ac<0 3.在数学中为了书写简便，18世纪数学 6.若自然数x,y满足x>y,x+y= 家欧拉就引进了求和符号“Σ”，如 2A,y=G2,若A,G都是两位数， 记名k=1+2+3+…+(n-1)+n, 且互为反序数（数字排列顺序相反的 两个数互为反序数，如12和21)， 名(x+k)=(x+3)+(x+4)++ 求x,y的值. (x+n).已知店[x(x+k)]=9x+ mx,则m的值是( ) A.45 B.63 C.54 D.不确定 4.多项式6x3-11x2+x+4可分解因 式为 26