15.3 等腰三角形 同步精练 2025--2026学年人教版八年级数学上册

人教版八年级上册数学同步精练：15.3等腰三角形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求。 1.如图，在中，，，，于点，是的中点，则长为(    ) A. B. C. D. 第1题 第2题 2.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 3.如图，在中，，，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 第3题 第4题 4.如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于，，作直线，为的中点，为直线上任意一点．若，面积为，则长度的最小值为(    ) A. B. C. D. 5.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=6cm，则AC等于() A. 6cm B. 5cm C. 4cm D. 3cm 6.等腰三角形的一个内角为，则另外两个内角的度数分别是(    ) A. ， B. ，或， C. ， D. ，或， 7.如图，直线，是等边三角形，顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 第7题 第8题 8.如图，等边钢架的立柱于点，长现将钢架立柱缩短成，则新钢架减少用钢(    ) A. B. C. D. 9.如图，为等边三角形，，、相交于点，于，，的长是(    ) A. B. C. D. 第9题 第10题 10.如图，等边三角形中，、分别在、边上，且，与交于点，于点下列结论：；；是等腰三角形；，其中正确的结论是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。 11.如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，则的最小值是          ． 第11题 第12题 12. 三个等边三角形的位置如图所示，若，则          ． 13.如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，，过点作，交的延长线于点，，则          ． 第13题 第14题 14.如图，在中，，，，则的度数为          ． 15.定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”若等腰是“倍长三角形”，底边的长为，则腰的长为          ． 16.定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”若等腰三角形是“倍长三角形”，底边的长为，则腰的长为          ． 17.如图，中，，，，于点，垂直平分，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为          ． 三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题分 如图，在四边形中，，点是上一点，且，． 求证：； 若，，，求的长． 19.本小题分 如图，在和中，，． 求证：； 若，试判断的形状，并说明理由． (2) 如图点在边上，若，求证：． 20.本小题分 如图，在中，是的垂直平分线，与边交于点，点在上，且，连接． 求证：； 延长，与交于点，若， 求证：是的中点； 连接，若，则与的数量关系是__． 21.本小题分 如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由点向点运动与，不重合，是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动点不与点重合，过点作于点，连接交于点． 若设，则 ______， ______；用含的式子表示 时，求的长； 在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 22.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边三角形，为轴正半轴上的一个动点，连结，以线段为边在第四象限内作等边三角形，直线交轴于点． 求证：≌． 点的位置是否会随点位置的变化而变化？若不变，请求出点的坐标；若变化，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：，， ， 是的中点，， ， 为等边三角形， ， ， 故选：． 利用三角形的内角和定理可得，由直角三角形斜边的中线性质定理可得，利用等边三角形的性质可得结果． 本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握定理是解答此题的关键． 2.【答案】  【解析】解：， ，， ， ， ， ， ． 故选：． 本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键． 根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，，根据三角形的外角性质即可求出的度数，进而求出的度数． 3.【答案】  【解析】解：，， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：． 根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，再求出，然后求出，从而得到，根据等角对等边可得，从而得解． 本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：由作法得垂直平分， ， ， 连接、，如图， 当且仅当点在上时取等号， 的最小值为， ，点为的中点， ， ， ， 长度的最小值为． 故选：． 由基本作图得到得垂直平分，则，所以，连接、，如图，利用两点之间线段最短可判断的最小值为，再利用等腰三角形的性质得到，然后利用三角形面积公式计算出即可． 本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了等腰三角形的性质． 5.【答案】D 【解析】解：∵ 在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°， ∴∠BAC=90°−15°=75°， ∵DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=6cm， ∴BE=AE=6cm， ∴∠EAB=∠B=15°， ∴∠EAC=75°−15°=60°， ∵∠C=90°， ∴∠AEC=30°， ∴AC=12AE=12×6cm=3cm， 故选：D. 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 已知给出了一个内角是，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还需用三角形内角和定理去验证每种情况是不是都成立． 【解答】 解：分情况讨论： 若等腰三角形的顶角为时，另外两个内角； 若等腰三角形的底角为时，它的另外一个底角为，顶角为． 故选：． 7.【答案】  【解析】略 8.【答案】  【解析】略 9.【答案】  【解析】解：为等边三角形， ，； 又， 在和中， ， ≌； ，； ； ， ，则； ， 在中，； 又， ． 故选：． 由已知条件，先证明≌得，可得，，则可求的长． 本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及含的角的直角三角形的性质；巧妙借助三角形全等和直角三角形中的性质求解是正确解答本题的关键． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等边三角形和全等三角形的判定与性质，并准确识图是解题的关键． 根据等边三角形的性质可得，，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判定正确；根据全等三角形对应角相等可得，求出，然后利用三角形的内角和定理求出，判定正确；求出，，判定不是等腰三角形；求出，再求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，然后判断． 【解答】 解：在等边中，，， 在和中， ≌， ，故正确； ， ， 在中，，故正确； ，， ，， 不是等腰三角形，故错误； ，， ， ， ，故错误， 综上所述，正确的有． 故选：． 11.【答案】  【解析】解：如图，是等边三角形， ，， ， ≌ ， 又， ， ， ， 点的运动轨迹是为圆心，为半径的弧上运动， 连接交于，当点与重合时，的值最小，最小值． 故答案为． 首先证明，推出点的运动轨迹是为圆心，为半径的弧上运动，连接交于，当点与重合时，的值最小． 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆的有关性质等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题． 12.【答案】  【解析】略 13.【答案】  【解析】解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为． 14.【答案】  【解析】略 15.【答案】  【解析】解：等腰是“倍长三角形”， 或， 若，则三边分别是，，，符合题意， 腰的长为； 若，则，三边分别是，，， ， 此时不能构成三角形，这种情况不存在； 综上所述，腰的长是， 故答案为：． 由等腰是“倍长三角形”，可知或，若，可得的长为；若，因，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案． 本题考查三角形三边关系，涉及新定义，解题的关键是分类思想的应用及掌握三角形任意两边的和大于第三边． 16.【答案】  【解析】解：等腰是“倍长三角形”， 或， 若，则三边分别是，，，符合题意， 腰的长为； 若，则，三边分别是，，， ， 此时不能构成三角形，这种情况不存在； 综上所述，腰的长是， 故答案为：． 由等腰是“倍长三角形”，可知或，若，可得的长为；若，因，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案． 本题考查三角形三边关系，涉及新定义，解题的关键是分类思想的应用及掌握三角形任意两边的和大于第三边． 17.【答案】  【解析】解：，，，于点， ， ， 垂直平分， 点，关于直线对称， 与的交点即为点， 如图，连接，此时， ，的最小值， 即的最小值为， 故答案为：． 根据三角形的面积公式即可得到，由垂直平分，得到点，关于对称，于是得到的长度的最小值，即可得到结论． 本题考查了轴对称最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 18.【答案】【小题】 证明：如图，在上取一点，使得，，，是的一个外角，，，，∽，，； 【小题】 解，，，，由知，，，  又，∽，，即，．   【解析】 略  略 19.【答案】【小题】 解：证明：，，，，，即．． 是等腰三角形．理由如下：由知，．，，是等腰三角形． 【小题】 证明：，，，，，则，．，，，则，．   【解析】 略  略 20.【答案】【小题】 证明：是的垂直平分线， ， ， ， ； 【小题】 证明：延长，与交于点， ，， 是的中点； 解：，理由如下： 如图，连接， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是的中点， ． 故答案为：．   【解析】  根据线段垂直平分线的性质即可解决问题；   根据等腰三角形三线合一性质即可解决问题； 证明是等腰直角三角形，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题． 21.【答案】解：，； 是边长为的等边三角形， ， 设，则，， ， 故答案为：，； ，， 是直角三角形， ， ， 即， 解得， ； 当点、运动时，线段的长度不会改变，， 理由如下：如图，过点作的平行线交于点， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 又， ≌， ， ， 当点、运动时，线段的长度不会改变，．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 22.【答案】【小题】 证明：，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， 【小题】 不变．点的坐标为．   【解析】 略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $