第十三章  三角形-2026-2027学年八年级数学上册基本功（人教版）

第13章三角形 13.1三角形的概念 知识点1三角形的有关概念 1.【2026抚顺质检】下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是() 2. 【2026山西大同期中】如图，图中有个三角形；其中以AB为边的三角形有 _;以LACB为内角的三角形有 -;在△B0C中，OC的对角 是 ∠OCB的对边是 知识点2三角形的分类 3. 【2026沈阳期末】小明学习了“三角形“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特 殊化的过程，于是他整理了如图所示的内容，那么与图中相对应的选项不适合填入的是（) ,等腰三角形G 三角形 等腰直角三角形 BL直角三角形D A.三条边相等 B.有一个角是直角 C.一个角为直角 D.两条直角边相等 4.如图，已知LCAE=∠ACD=90°，∠ADE<∠E<∠ACD,请写出图中的锐角三角形、直角 三角形和钝角三角形。 3/88 第13章三角形 13.2三角形的边 知识点1三角形的三边关系 1.满足下列条件的三条线段α，b,c能组成三角形的是（) A.a:b:c=1:2:3 B.a+b=4,a+b+c=9 C.a=3,b=4,c=5 D.a=3t,b=2t,c=t 2.【2026福建宁德质检】把一根细木条按箭头所指的位置剪成3段（细木条中的每一份长度 相等)，下面的剪法中，用剪后得到的3根细木条能围成等腰三角形的是（) D 3.【2026深圳质检】如图，将四根长度分别为3cm,5cm, A 5 cm 7cm,8cm的木条钉成一个四边形木架，扭动它，形状会发生改变， 7 cm D 3 cm 在变化过程中，点B和点D之间的距离可能是() 8 cm C A.1cm B.4cm C.9cm D.12cm 4.2026北京亦庄半程马拉松暨人形机器人半程马拉松于4月19日鸣枪开跑，某人形机器人 的结构部件中需要用到三角形来维持稳定性。设现在市面上的某款机器人中用到的三角形部件 的三边长为a,b,c,则(a-b+c)(a-b-c)0(填“>"m<”或“=")。 5.【2026武汉质检】如图，点P是△ABC内一点，连接BP并延长交AC于点D。 (1)试探究AB+BC+CA与2BD的大小关系； (2)试探究AB+AC与PB+PC的大小关系。 4/88 第13章三角形 知识点2三角形的稳定性 6. 【2026和田期中】用木条钉成木架，然后扭动它，形状会改变的是() 必艾过口 7.如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD,E,F,G,H分别是四条边的中点，为了使它更 加稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在() A.A,G两点处 B.G,H两点处 C.B,F两点处 D.E,G两点处 易错点忽略三角形三边关系而致错 8.若等腰三角形两边长分别为4,9，则其周长为一。 5/88 第13章三角形 13.3三角形的中线、角平分线、高 知识点1三角形的中线 1、如图，有一个厚薄均匀的三角形硬纸板，在硬纸板上选一点，并钻一个小孔，穿过小孔系 一条线将硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，则这一点可能是() A.N点 B.M点 C.P点D.Q点 2、【2026泉州期末】在综合实践课上，同学们进行折纸活动，根据下列折纸的示意图（其中C 是点C的对应点)，其中线段AD一定是△ABC的中线的是（) B(C)D B.B C 3、【2026菏泽期末】如图，在△ABC中（)，AC=2BC,BC边上的中线AD把△ABC的周长 分成60cm和40cm两部分，求边AC和AB的长。 知识点2三角形的角平分线 4、【2025周口期末】若AD是△ABC的角平分线（如图所示），则下列结论不正确的是（) A.AD平分∠BAC B.∠BAD=∠CAD C.BD=CD D.∠BAC=2∠BAD A D 6/88 第13章三角形 5、【2025沈阳期中】三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的（) A.内部 B.外部 C.一边上 D.不确定 知识点3三角形的高 6、用一块含30°角的直角三角板画△ABC的边BC上的高，则下列三角板摆放位置正确的是() 7、【2026唐山质检】如图所示，AC1BC于C,CD1AB于D,图中可以作为三角形“高”的 线段有() A.3条 B.4条 C.5条 D.6条 8、【2025北京期中】在△ABC中，∠B=45°，三角形的高AD与高BE所在直线交于点H,点H 在△ABC的外部，以下对∠C的描述正确的是（) A.∠C是锐角 B.∠C是直角 C.C是钝角D.∠C是锐角或钝角 9、如图，在△ABC中，AD1BC,CE⊥AB,垂足分别为点D和点E,AD与CE交于点O, 连接B0并延长交AC于点F,若AB=5,BC=4,AC=6,则CE:AD:BF= 7/88 第13章三角形 13.4三角形的内角 知识点1三角形内角和定理 1、【2026深圳期末】有一个缺角的△ABC残片，量得∠A=53°，∠B=62°，则此三角形残缺 的部分为() A 0 2、【2025松原期中】在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:6,则此三角形是（) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 3、【2026万州期末】如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时， 测量得∠1=70°，∠2=140°，则∠A的度数为() A.25° B.30° C.35° D.40° 第3题图 第4题图B E 4、【2026莆田期中】如图，在△ABC中，∠C=40°，∠ABC=60°。若BF是△ABC的高，AE 是角平分线，相交于点O,则∠AOF的度数为一。 5、【2025南昌质检】【模型理解】 图(1)DA 图(2) (1)如图(1)，AB和CD交于点O,求证：∠A+∠C=∠B+LD; 【模型应用】 (2)如图(2)，AE、CE分别平分∠BAD、∠BCD,交BC、AD于点F、G,求证：∠B+∠D=2LE。 8/88 第13章三角形 知识点2三角形内角和定理与平行线的综合 6、【2025周口期中】如图所示，以下描述错误的是（) A.点B位于点A北偏西20方向 B.点A位于点C北偏东40°方向 C.点C位于点B北偏西63方向 D.∠ABC=53° A 北 东 40° C67° 209 B 7、【2026常州质检】如图，一束平行于主光轴（图中的虚线）的光线经凸透镜折射后，其折 射光线与一束经过光心0的光线相交于点P,F为焦点。若∠1=150°，∠2=25°，则L3的度数 为 9/88 第13章三角形 13.5直角三角形的性质与判定 知识点1直角三角形的性质 1、【2025大庆期中】如图，有一个直角三角形纸板破损了一个角， 559 如果把它补成完整的三角形纸板，需要补的角的度数是() A.45° B.35° C.55° D.25° 2、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=2LB,则∠A=() A.60° B.30° C.45° D.90° 3、【2026海淀期末】如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD, 若∠BCD=36°，则∠A的度数为() A.36 B.44° C.27° D.54° B 第3题图4 第4题图B c 4、【2026丽江期末】如图，在△ABC中，∠A=90°，CD是△ABC的角平分线，过点B作 CD的垂线，交CD的延长线于点E。若∠ABE=16°，则∠ABC的度数为。 5、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC。 (1)若∠C=40°，求LADB的度数。 (2)在图中画出△ABC的边BC上的高AE,与BD交于点F。试说明： ①LBAE=LC; ②∠AFD=LADF。 10/88 第13章三角形 知识点2直角三角形的判定 6、【2026南阳期末】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=∠BCD,则△BDC是() A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 7、【2026东营质检】在下列条件： (1)LA+∠B=∠C;(2)LA:∠B:∠C=1:2:3;(3)∠A=∠B=2LC;(4)∠A=90°-∠B; (5)LA=∠B=∠C。中，能确定△ABC为直角三角形的条件有个。 8、【2026武汉期中】如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AB边上一点， CE交AD于点M,且∠DCM=∠MAE,求证：△AEM是直角三角形。 D 易错点忽略用分类讨论思想确定直角三角形的直角导致漏解 9、【2026沙坪坝质检】在△ABC中，∠A=15°，∠C=65°，点D在AC边上，连接BD, 若△ABD为直角三角形，则∠DBC的度数为 11/88 第13章三角形 13.6三角形的外角 知识点1三角形的外角 1、如图，点B,G,C在直线FE上，点D在线段AC上，则下列是△ADB的外角的是() A.∠FBA B.∠DBC C.∠CDB D.∠BDG 知识点2三角形的外角的性质 2、【2026沧州期末】下面是投影屏上出示的抢答题，则横线上的符号代表的内容正确的是() 如图，∠BEC=∠B+∠C。求证：AB I CD。 A 证明：延长BE交※于点F,则⊙=∠EFC+∠C。 D :∠BEC=∠B+∠C,·∠B=▲，AB II CD(□相等，两直线平行)。 A.※代表AB B.⊙代表LFEC C.▲代表∠EFC D.☐代表同位角 3、【2026常州期末】将三角形纸片ABC与量角器按如图所示方式放置，∠1，∠2，∠3是△ABC 的外角，则计算∠1+∠2的结果为() A.225 B.270 C.300° D.315 90° 80 第3题图 B 第4题图 4、如图，点C是∠BAD内一点，连接CB,CD,∠A=80°，∠B=10°，∠D=40°，则∠BCD的 度数是() A.110° B.120° C.130° D.150° 12/88 第13章三角形 5、【2026衡阳期末】如图，∠M0N=90°，点A,B分别在射线0M,ON上移动，BC平分∠0BA, 交OM于点E,AD平分LBAM,AD的反向延长线与BC交于点C。关于结论I、IⅡ，下列判断正 确的是() 结论I:若∠BAD=65°，则∠ABC=40°； 结论IⅡ：无论点A,B在射线OM、射线0N(均不与点O重合)上怎样移动，∠C的度数都不变。 A.只有结论I正确 B.只有结论Ⅱ正确 C.结论I、Ⅱ都正确 D.结论、Ⅱ都不正确 M D 0 00 第5题图 B N 第6题图 B 6、在△ABC中，∠ABC=30°，∠BAC=100°，BD平分∠ABC交AC于点D,点P为边AC上一点， PO1BD,垂足为O,则∠APO的度数为 7、回归教材用两种方法证明“三角形的外角和等于360”。如图，∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC 的三个外角。求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°。 证法1：：∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外角， ∴.∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)。 ·∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°。 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2。 E B人2 13/88第13章三角形 13.1三角形的概念 知识点1三角形的有关概念 1.【2026抚顺质检】下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（) 答案：C 解析：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，所以选项C 符合题意。故选C。 2.【2026山西大同期中】如图，图中有个三角形；其中以AB为边的三角形有 以∠ACB为内角的三角形有 ;在△BOC中，OC的对角 是 ∠OCB的对边是 答案：8； △ABO,△ABC,△ABD; △BOC,△ABC;∠OBC; OB 解析：题图中有8个三角形，分别为△AB0,△ABC,△ABD,△AD0,△ADC,△OCD,△OBC, △BCD;其中以AB为边的三角形有△ABO,△ABC,△ABD;以∠ACB为内角的三角形有△BOC, △ABC;在△BOC中，OC的对角是∠OBC,∠OCB的对边是OB。 知识点2三角形的分类 3. 【2026沈阳期末】小明同学在学习了“三角形“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是 逐步特殊化的过程，于是他整理了如图所示的内容，那么与图中相对应的选项不适合填入的是 () ()等腰三角形 1(C 三角形 等腰直角三角形 直角三角形D A.三条边相等 B.有一个角是直角 C.一个角为直角 D.两条直角边相等 答案：A 3/152 第13章三角形 解析：A选项，三条边相等的三角形是等边三角形，而等腰三角形只需两条边相等；B选项， 有一个角是直角的三角形是直角三角形；C选项，如果等腰三角形的一个角为直角，那么这样 的等腰三角形是等腰直角三角形；D选项，两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形。 故选A。 4.如图，已知LCAE=∠ACD=90°，∠ADE<∠E<∠ACD,请写出图中的锐角三角形、直角 三角形和钝角三角形。 B 答案：锐角三角形：△AED;直角三角形：△ACD;钝角三角形：△ABC,△BDC 解析：根据锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的定义，结合已知角度关系可直接判断。 4/152 第13章三角形 13.2三角形的边 知识点1三角形的三边关系 1.满足下列条件的三条线段α，b,c能组成三角形的是（) A.a:b:c=1:2:3 B.a+b=4,a+b+c=9 C.a=3,b=4,c=5 D.a=3t,b=2t,c=t 答案：C 解析：根据三角形的三边关系可知，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 A.设a,b,c分别为k,2k,3k,则有k+2k=3k,故不能组成三角形； B.将a+b=4代入a+b+c=9,得c=5,4<5,即a+b<c,故不能组成三角形； C.符合三角形的三边关系，故能组成三角形； D.3t=2t+t,故不能组成三角形。 2.【2026福建宁德质检】把一根细木条按箭头所指的位置剪成3段（细木条中的每一份长度 相等)，下面的剪法中，用剪后得到的3根细木条能围成等腰三角形的是() B 答案：B 解析：设细木条中的每一份长度为1。 选项A中，剪后得到的3根细木条的长度分别为8,2,2,2+2=4<8，不能围成三角 形； 选项B中，剪后得到的3根细木条的长度分别为2,5,5,2+5=7>5，能围成等腰 角形； 选项C中，剪后得到的3根细木条的长度分别为3,3,6,3+3=6，不能围成三角形； 选项D中，剪后得到的3根细木条的长度分别为3,4,5,3+4=7>5，能围成三角形， 但不是等腰三角形。 故选B。 5/152 第13章三角形 3.【2026深圳质检】如图，将四根长度分别为3cm,5cm,7cm,8cm的木条钉成一个四边 形木架，扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B和点D之间的距离可能是() A.1cm B.4cm C.9cm D.12cm 5 cm 7 cm D 3 cm 8cm R 答案：C 解析：连接BD。 在△ABD中，7cm-5cm<BD<7cm+5cm,即2cm<BD<12cm; 在△BCD中，8cm-3cm<BD<8cm+3cm,即5cm<BD<11cm; 所以5cm<BD<11cm。故选C。 4.2026北京亦庄半程马拉松暨人形机器人半程马拉松于4月19日鸣枪开跑，某人形机器人 的结构部件中需要用到三角形来维持稳定性。设现在市面上的某款机器人中用到的三角形部件 的三边长为a,b,c,则(a-b+c)(a-b-c)_0(填“>"<”或“-”)。 答案：< 解析：a,b,c是三角形的三边长，·a+c>b,b+c>a, .a-b+c>0,a-b-c<0, .(a-b+c)(a-b-c)<0,故答案为<。 5.【2026武汉质检】如图，点P是△ABC内一点，连接BP并延长交AC于点D。 (1)试探究AB+BC+CA与2BD的大小关系； 答案：AB+BC+CA>2BD 解析：·根据三角形三边关系可得AB+AD>BD,BC+CD>BD, .AB+AD+BC+CD>2BD,.AB+BC+CA>2BD. (2)试探究AB+AC与PB+PC的大小关系。 6/152 第13章三角形 答案：AB+AC>PB+PC 解析：：根据三角形三边关系可得AB+AD>BD,PD+CD>PC, ..AB+AD+PD+CD>BD+PC,.AB+AC>PB+PC. 知识点2三角形的稳定性 6. 【2026和田期中】用木条钉成木架，然后扭动它，形状会改变的是() 凶￥村壮 答案：D 解析：用木条钉成木架，然后扭动它，形状会改变的是四边形，故选D。 7.如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD,E,F,G,H分别是四条边的中点，为了使它更 加稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（) A.A,G两点处 B.G,H两点处 C.B,F两点处 D.E,G两点处 答案：D 解析：由题意可知，为了使窗框稳固，需要在窗框上钉一根木条。根据三角形具有稳定性，若 这根木条钉在E,G两点处时，不能构成三角形，所以不应该钉在E,G两点处。故选D。 易错点忽略三角形三边关系而致错 8.若等腰三角形两边长分别为4,9，则其周长为 。 答案：22 解析：①若4是腰长，则底边长是9，但是4+4<9，故不能构成三角形，舍去； ②若4是底边长，则腰长是9,4+9>9，符合三角形三边关系，成立。 故等腰三角形的周长为4+9+9=22。 7/152 第13章三角形 13.3三角形的中线、角平分线、高 知识点1三角形的中线 1、如图，有一个厚薄均匀的三角形硬纸板，在硬纸板上选一点，并钻一个小孔，穿过小孔系 一条线将硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，则这一点可能是() A.N点 B.M点 C.P点D.Q点 0 答案：A 解析：：三角形硬纸板处于平衡状态，这个点为三角形的重心。由题图可知点N最可能为 该三角形的重心。故选A。 2、【2026泉州期末】在综合实践课上，同学们进行折纸活动，根据下列折纸的示意图（其中C 是点C的对应点)，其中线段AD一定是△ABC的中线的是（) A.B(C)D B.B C 答案：A 解析：选项A中，由折叠的性质得到BD=CD,因此AD一定是△ABC的中线；选项B中， 由折叠的性质得到DC=CD,因此AD不是△ABC的中线；选项C中，由折叠的性质得到 ∠CAD=∠CAD,因此AD是△ABC的角平分线，不一定是△ABC的中线；选项D中，由折叠 的性质得到CE=AE,但BD和CD不一定相等，因此不一定是△ABC的中线，故选A。 3、【2026菏泽期末】如图，在△ABC中（AC>AB),AC=2BC,BC边上的中线AD把△ABC 的周长分成60cm和40cm两部分，求边AC和AB的长。 C 8/152 第13章三角形 答案：AC=48cm,AB=28cm 解析：：AD是BC边上的中线，·BD=CD。设BD=CD=X,AB=y,则AC=4x。 AC>AB,AC+CD=60,AB+BD=40, 即4x+x=60,x+y=40,解得x=12,y=28,·AC=48cm,AB=28cm。 知识点2三角形的角平分线 4、【2025周口期末】若AD是△ABC的角平分线（如图所示），则下列结论不正确的是（) A.AD平分∠BAC B.∠BAD=∠CAD C.BD=CD D.∠BAC=2LBAD A B D 答案：C 解析：：AD是△ABC的角平分线，·AD平分LBAC,·LBAD=LCAD,∠BAC=2LBAD, 故选项A、B、D正确；不能得到BD=CD,故选项C错误。故选C。 5、【2025沈阳期中】三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的() A.内部 B.外部 C.一边上D.不确定 答案：A 解析：如图，三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的内部。故选A。 锐角三角形 直角三角形队 钝角三角形 知识点3三角形的高 6、用一块含30°角的直角三角板画△ABC的边BC上的高，则下列三角板摆放位置正确的是（) 答案：D 9/152 第13章三角形 解析：选项A画的是AC边上的高，故不符合题意；选项B、C画的不是任何边上的高，故不 符合题意；选项D画的是BC边上的高，故符合题意。故选D。 7、【2026唐山质检】如图所示，AC1BC于C,CD1AB于D,图中可以作为三角形“高”的 线段有() A.3条 B.4条 C.5条 D.6条 D 答案：C 解析：可以作为△ACD的高的线段有AD,CD;可以作为△BCD的高的线段有BD,CD；可以 作为△ABC的高的线段有BC,AC,CD。 综上所述，可以作为三角形“高”的线段有AD,CD,BD,BC,AC,共5条。 8、【2025北京期中】在△ABC中，∠B=45°，三角形的高AD与高BE所在直线交于点H,点H 在△ABC的外部，以下对LC的描述正确的是（) A.∠C是锐角 B.∠C是直角 C.LC是钝角 D.∠C是锐角或钝角 答案：D 解析：：三角形的高AD与高BE所在直线交于点H,点H在△ABC的外部， ·.△ABC是钝角三角形。 :∠B=45°，·∠A与LC一个是锐角，一个是钝角，具体哪个角是钝角无法确定，故选D。 9、如图，在△ABC中，AD1BC,CE⊥AB,垂足分别为点D和点E,AD与CE交于点O, 连接BO并延长交AC于点F,若AB=5,BC=4,AC=6,则CE:AD:BF= 10/152 第13章三角形 答案：12：15：10 解析：在△ABC中，AD1BC,CE1AB,AD与CE交于点O,BO的延长线交AC于点F, BFAC,ABCE-8CAD-AC.BF. ~hB=5,BC=4,AC=6,x5×CE-x4x4D-×6×BR, 1 1 CEAD:BF=12:15:10。故答案为12：15：10。 11/152 第13章三角形 13.4三角形的内角 知识点1三角形内角和定理 1、【2026深圳期末】有一个缺角的△ABC残片，量得LA=53°，∠B=62°，则此三角形残缺 的部分为() 65 A B. 答案：B 解析：∠A=53°，∠B=62°，∠C=180°-∠A-∠B=65°，故选B。 2、【2025松原期中】在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:6,则此三角形是（) A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.无法判断 答案：C 解析：LA:∠B:∠C=1:2:6,设∠A=x,LB=2x,LC=6x。 :∠A+∠B+∠C=180°，即x+2x+6x=180°，解得x=20°， ·.最大角为∠C=120°，·此三角形是钝角三角形，故选C。 3、【2026万州期末】如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时， 测量得∠1=70°，∠2=140°，则∠A的度数为（) A.25° B.30° C.35°D.40° D E 答案：B 解析：∠1=70°，∠2=140°， .∠B+∠C=360°-∠1-∠2=360°-70°-140°=150°， ∠A=180°-（∠B+∠C)=180°-150°=30°。故选B。 12/152 第13章三角形 4、【2026莆田期中】如图，在△ABC中，∠C=40°，∠ABC=60°。若BF是△ABC的高，AE 是角平分线，相交于点O,则∠AOF的度数为一。 答案：50° 解析：在△ABC中，∠C=40°，∠ABC=60°， ∠BAC=180°-40°-60°=80°。 :AE平分∠BAC,·∠EAC=40°。 :BF是△ABC的高，·∠AFO=90°。 ·.∠A0F=180°-∠EAC-∠AF0=50°，故答案为50°。 5、【2025南昌质检】【模型理解】 D 图(1)D2 图(2) (1)如图(1)，AB和CD交于点0，求证：∠A+∠C=∠B+∠D; 证明：在△A0C中，∠A+∠C+∠A0C=180°； 在△B0D中，∠B+∠D+∠B0D=180°。∠AOC=∠BOD,·∠A+∠C=∠B+∠D。 【模型应用】 (2)如图(2)，AE、CE分别平分LBAD、∠BCD,交BC、AD于点F、G,求证：LB+∠D=2LE。 证明：由(1)模型可得，在△ABF和△CDF中，∠B+∠BAF=∠D+∠DCF; 在△AEG和△CFG中，∠D+∠DCE=∠E+∠EAD。 ·L∠B+∠BAF+∠D+∠DCE=∠D+∠DCF+2LE+LEAD。 :AE、CE分别平分LBAD、LBCD,LDCE=∠DCF,∠BAF=∠EAD,÷∠B+∠D=2LE。 13/152 第13章三角形 知识点2三角形内角和定理与平行线的综合 6、【2025周口期中】如图所示，以下描述错误的是() A.点B位于点A北偏西20方向 B.点A位于点C北偏东40°方向 C.点C位于点B北偏西63°方向 D.∠ABC=53° A 北 →东 409 C67 209 B 答案：C 解析：由题意得AD I BE,∠ABE=∠BAD=20°，·∠CAB=40°+20°=60°。 :∠ACB=67°，∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=53°， ·∠CBE=∠ABC+∠ABE=73°。 A选项，点B位于点A北偏西20°方向，故A不符合题意； B选项，点A位于点C北偏东40方向，故B不符合题意； C选项，点C位于点B北偏西73°方向，故C符合题意； D选项，∠ABC=53°，故D不符合题意。故选C。 7、【2026常州质检】如图，一束平行于主光轴（图中的虚线）的光线经凸透镜折射后，其折 射光线与一束经过光心0的光线相交于点P,F为焦点。若∠1=150°，∠2=25°，则L3的度数 为 答案：55 解析：：光线平行于主光轴，∠1+∠PF0=180°。∠1=150°，∠PF0=30°。 :∠P0F=∠2=25°，÷∠3=180°-∠0PF=∠P0F+∠PF0=55°。 14/152 第13章三角形 13.5直角三角形的性质与判定 知识点1直角三角形的性质 1、【2025大庆期中】如图，有一个直角三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角 形纸板，需要补的角的度数是（) A.45° B.35° C.55° D.25° 答案：B 解析：·直角三角形的两锐角互余，需要补的角的度数为90°-55°=35°，故选B。 2、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=2LB,则∠A=() A.60° B.30° C.45° D.90° 答案：A 解析：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°。∠A=2LB,3LB=90°，∠B=30°， ∠A=60°。故选A。 3、【2026海淀期末】如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB,BD L CD,∠A=∠ABD, 若∠BCD=36°，则∠A的度数为() A.36° B.44° C.27° D.54° B 答案：C 解析：CD平分LACB,∠ACB=2LBCD=2X36°=72°。：BD1CD,·∠BDC=90°， .∠CBD=90°-∠DCB=90°-36°=54°。在△BAC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，即 ∠A+∠ABD+∠DBC+∠ACB=180°，·∠A+∠A+54°+72°=180°，·∠A=27°。故选C。 15/152 第13章三角形 4、【2026丽江期末】如图，在△ABC中，∠A=90°，CD是△ABC的角平分线，过点B作 CD的垂线，交CD的延长线于点E。若LABE=16°，则LABC的度数为一。 答案：58° 解析：由题意得LE=90°，∠ADC=∠BDE。:LA=90°，90°-∠ADC=90°-∠BDE, .∠ACD=LABE=16°。又CD是△ABC的角平分线，∠ACB=2∠ACD=2×16°=32°， ∠ABC=90°-∠ACB=90°-32°=58°，故答案为58°。 5、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC。 (1)若LC=40°，求∠ADB的度数。 答案：65° 解析：在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=40°，∠ABC=90°-40°=50°。BD平分∠ABC, LABD=∠DBC=2∠ABC=25,·∠ADB=90-∠ABD=65。 (2)在图中画出△ABC的边BC上的高AE,与BD交于点F。试说明： ①∠BAE=∠C; 答案：B 解析：：AE是BC边上的高线，LAEC=90°，∠C+LCAE=90°。：∠BAC=90°， ∴∠BAE+∠CAE=90°，·∠BAE=∠C。 ②∠AFD=LADF。 答案：：AE是BC边上的高线，·∠AEB=90°，∠DBC+∠BFE=90°。：∠BFE=∠AFD, ∠ABD=∠DBC,∴∠AFD+∠ABD=90°。∠ABD+∠ADF=90°，.∠AFD=∠ADF。 16/152 第13章三角形 知识点2直角三角形的判定 6、【2026南阳期末】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=∠BCD,则△BDC是（) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形D.钝角三角形 答案：C 解析：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A+∠B=180°-∠ACB=180°-90°=90°。∠A= ∠BCD,.∠B+∠BCD=90°，∠BDC=180°-(LB+∠BCD)=180°-90°=90°，△BDC是 直角三角形。故选C。 7、【2026东营质检】在下列条件： (1)LA+∠B=∠C;(2)∠A:∠B:∠C=1:2:3;(3)∠A=LB=2LC;(4)∠A=90°-∠B; (5)LA=∠B=∠C。中，能确定△ABC为直角三角形的条件有个。 答案：3 1 解析：①：∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180,六∠A+∠B=∠C-2×180=90,△ ABC为直角三角形，故①符合题意； ②：LA∠B:∠C=1:2:3,∠C=后×180°=90，△ABC为直角三角形，故②符合题意： 2 22C,LA=∠BX180°=72,2C=5X180°=36， 角三角形，故③不符合题意； ④∠A=90°-∠B,·∠A+∠B=90°，·∠C=180°-(LA+∠B)=90°，△ABC为直角 三角形，故④符合题意； 1 ⑤：LA=∠B=∠C,∠A=∠B=∠C=写×180°=60，△ABC不是直角三角形，故⑤不 符合题意。 综上，符合题意的有①②④，故答案为3。 17/152 第13章三角形 8、【2026武汉期中】如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AB边上一点， CE交AD于点M,且∠DCM=∠MAE,求证：△AEM是直角三角形。 D 答案：：AD是BC边上的高，·∠MDC=90°，·∠DMC+∠DCM=90°。 :∠DCM=∠MAE,∠DMC=∠AME,∴∠AME+∠MAE=90°，∴△AEM是直角三角形。 易错点忽略用分类讨论思想确定直角三角形的直角导致漏解 9、【2026沙坪坝质检】在△ABC中，∠A=15°，∠C=65°，点D在AC边上，连接BD, 若△ABD为直角三角形，则∠DBC的度数为 答案：10或25° B 解析：如图，A DD 当∠ADB=90°时，LCDB=90°，∠DBC=90°-∠C=90°-65°=25°；当∠ABD=90° 时，∠ADB=90°-∠A=90°-15°=75°，∠BDC=105°，.∠DBC=180°-∠BDC-∠C= 10°。综上所述，∠DBC的度数为10或25°。 18/152 第13章三角形 13.6三角形的外角 知识点1三角形的外角 1、如图，点B,G,C在直线FE上，点D在线段AC上，则下列是△ADB的外角的是() A.∠FBA B.∠DBC C.∠CDB D.∠BDG F B C E G 答案：C 解析：∠CDB是△ADB的外角。故选C。 知识点2三角形的外角的性质 2、【2026沧州期末】下面是投影屏上出示的抢答题，则横线上的符号代表的内容正确的是() 如图，∠BEC=∠B+∠C。求证：AB II CD。 证明：延长BE交※于点F,则⊙=∠EFC+LC。 D :∠BEC=∠B+∠C,∴∠B=▲，∴AB I CD(☐相等，两直线平行)。 A.※代表AB B.⊙代表∠FEC C.▲代表∠EFCD.☐代表同位角 答案：C 解析：延长BE交DC于点F,则LBEC=∠EFC十∠C。:LBEC=∠B十∠C,·∠B=∠EFC,ABI CD(内错角相等，两直线平行)，则※代表DC,“A选项错误，不符合题意；⊙代表LBEC, B选项错误，不符合题意；▲代表∠EFC,“C选项正确，符合题意；口代表内错角，D选 项错误，不符合题意。故选C。 3、【2026常州期末】将三角形纸片ABC与量角器按如图所示方式放置，∠1，∠2，∠3是△ABC 的外角，则计算∠1+∠2的结果为() A.225° B.270° C.300°D.315° 19/152 第13章三角形 90° A3C3 180° 109 2 B 答案：D 解析：由题图可得∠3=45°。：∠3是△ABC的外角，·ABC+∠ACB=45°。：∠1+∠ACB= 180°，∠2+∠ABC=180°，.∠1+∠ACB+∠2+∠ABC=360°，.∠1+∠2=360°-（∠ABC+ ∠ACB)=360°-45°=315°。故选D。 4、如图，点C是∠BAD内一点，连接CB,CD,∠A=80°，∠B=10°，∠D=40°，则∠BCD的 度数是() A.110° B.120° C.130° D.150° 答案：C A 、E 解析：如图，B 延长BC交AD于E。:∠BED是△ABE的一个外角，∠A=80°，∠B=10°，∠BED=∠A+∠B= 90°。∠BCD是△CDE的一个外角，∠BCD=∠BED十∠D=130°，故选C。 5、【2026衡阳期末】如图，∠MON=90°，点A,B分别在射线0M,ON上移动，BC平分∠0BA, 交OM于点E,AD平分∠BAM,AD的反向延长线与BC交于点C。关于结论I、IⅡ，下列判断正 确的是（) 结论I:若∠BAD=65°，则LABC=40°； 结论Ⅱ：无论点A,B在射线OM、射线ON（均不与点O重合)上怎样移动，∠C的度数都不变。 A.只有结论I正确 B.只有结论Ⅱ正确 C.结论I、Ⅱ都正确 D.结论I、Ⅱ都不正确 20/152 第13章三角形 E 0 BN 答案：B 解析：结论I::AD平分∠BAM,∠BAD=65°，∠MAB=2∠BAD=2×65°=130°， AB0-MAB-10-130-90-40.:5c平分/0BA,六A5c-方A50-×40- 20°，故结论I错误。结论IⅡ：：∠BAD=∠C十∠ABC,∠C=∠BAD-∠ABC。:AD平分 1 2MAB,BC平分ZABO,BAD -MAB,LABC-AB0,ZC-MAB-7ABO 1 :∠MAB=∠0+∠AB0=90°+∠AB0,·∠MAB-∠AB0=90°，·.∠C=5(LMAB-∠ABO)= 2 2×90°=45°，即∠C的度数不会变，故结论Ⅱ正确。故选B。 6、在△ABC中，∠ABC=30°，∠BAC=100°，BD平分∠ABC交AC于点D,点P为边AC上一点， P01BD,垂足为O,则∠APO的度数为 DO B 答案：25或155 1 解析：BD平分LABC,.LABD= 2∠ABC=15。∠ADB=180°-∠A-∠ABD=180° 100°-15°=65°。0P1BD,.∠P0D=90°。当点P在线段CD上时，∠AP0=90°-65°=25°； 当点P在线段AD上时，如点P',∠AP'0'=∠P'0'D+∠P'D0=90°+65°=155°，故答案为25° 或155°。 21/152 第13章三角形 7、回归教材用两种方法证明“三角形的外角和等于360"。如图，∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC 的三个外角。求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°。 证法1：：∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外角， ·∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3). ·.LBAE+∠CBF+∠ACD=360°。 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2。 答案： 证法1：∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外角，.∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1十∠3， ∠ACD=∠1+∠2，·∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(L1+∠2+∠3)。：∠1+∠2+∠3=180°， ·∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°。 证法2：平角等于180°，·∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°， .∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-(L1+∠2+∠3)。∠1+∠2+∠3=180°，∠BAE+ LCBF+∠ACD=540°-180°=360°。（证法2答案不唯一） 22/152