2026年陕西中考数学考前冲刺——几何测量

**基本信息** 聚焦陕西中考几何测量高频考点，以“模型分类+方法提炼”构建系统性训练体系，融合真题考情与全国新方向，培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |陕西必考题型|共高型2题、共直角型5题、构造矩形型10题|特殊角用相似、非特殊角用三角函数，按“共高/共直角/构造矩形”模型分类解题|从课标相似与三角函数要求，到近3年真题模型归纳，再到本地模拟题应用，形成“概念-模型-应用”链条| |全国新方向试题|双垂直型8题、实物建模型3题、方向角2题、坡度坡角2题|双垂直用相似性质，实物抽象几何模型，方向角/坡度结合三角函数|拓展至跨学科情境与复杂场景，强化空间观念与应用意识|

2026陕西中考数学考前冲刺——几何测量张学远新中考 · 个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺 ——几何测量 老师备课、家长伴学、学生提高01 学科网（北京）股份有限公司 2026陕西中考数学考前冲刺——几何测量 ★ 目 录 ★ 一、2022年版课标要求.......................................................................................03 二、2023-2025年陕西真题、副题考情分析......................................................03 三、2026陕西中考考前冲刺必备知识...............................................................05 四、2026陕西中考考前冲刺专题加练...............................................................06 （一）陕西必考题型加练 ◆类型一 共高型（2024真题、2023副题）...........................................06 ◆类型二 共直角型（2025副题）............................................................08 ◆类型三 构造矩形型（2025真题、2024副题、2023真题）................13 （二）全国新方向试题加练 ◆类型四 双垂直型.....................................................................................23 ◆类型五 实物建模型.................................................................................34 ◆类型五 方向角问题.................................................................................37 ◆类型六 坡度坡角问题.............................................................................39 相关文档 1.教师版word 2.学生版word、pdf 3.参考答案详解详析pdf 选题：贾廷 策划：贾廷、阮长鑫、吴莎莎、陈佳欢 策划团队：张学远新中考·个性化学伴 一、2022年版课标要求 1.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比,面积比等于相似比的平方; 2.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题； 3.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数，知道 ， ， 角的三角函数值； 4.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角; 5.在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置； 6.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题； 7.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求进行简单的近似计算. 二、2023-2025年陕西真题、副题考情分析 年份 题位/分值 类型 解题模型 解题思路 2025真题 21题/6分 已知角为非特殊角 构造矩形型 锐角三角函数应用 2025副题 21题/6分 已知角为非特殊角 共直角型 锐角三角函数应用 2024真题 21题/6分 已知角为非特殊角 共高型 锐角三角函数应用 2024副题 21题/6分 已知角为特殊角（45°） 构造矩形型 相似三角形的应用 2023真题 21题/6分 已知角为非特殊角 构造矩形型 锐角三角函数+相似三角形的应用 2023副题 21题/6分 已知角为非特殊角 共高型 锐角三角函数应用 题型总结 陕西中考测高题近三年一般出现在试卷第21题，分值固定为6分，难度中等，只有一个设问，要么求水平距离，要么求高度.求解过程主要涉及相似三角形与锐角三角函数：2023年综合运用相似与三角函数，2024年副题运用相似三角形的性质，2024、2025年真题则聚焦锐角三角函数.整体呈现"方法交替、情境多元"的特点，解题时，若题干中给出的角度度数为特殊角（30°，45°，60°）则必用到相似，若给出的角度度数为非特殊角，则必用到锐角三角函数。预计2026年仍将延续这一命题风格，备考时应以相似三角形和锐角三角函数为主线，重点训练两种方法的灵活运用与综合解题能力. 三、2026陕西中考考前冲刺必备知识 1.特殊角的三角函数值 1 2.锐角三角函数实际应用的常考模型 共高型 共直角型 构造矩形型 双垂直型 四、2026陕西中考考前冲刺专题加练 类型一 共高型 1.（2026•莲湖区一模）法门寺合十舍利塔位于陕西省宝鸡市扶风县法门镇，是国家AAAAA级旅游景区法门寺的一个景点．如图，为测量法门寺合十舍利塔的高度，某数学兴趣小组在附近一建筑物楼顶D处测得舍利塔顶端A处的仰角为45°，测得该塔底部B处的俯角为22°，已知建筑物的高CD为42米，请你计算法门寺合十舍利塔AB的高度．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40） 2.（2026•三原县二模）西安浐灞2号桥又称“彩虹桥”，其重量在混合斜拉桥中居国内第一，是西安市的地标建筑．茜茜同学用所学知识测量了桥塔（如图1）上某根斜拉索最高点到塔顶的竖直高度，示意图如图2所示，在地面上的点D处测得塔顶A的仰角∠ADB＝45°，将一架无人机悬停在点A正下方的点C处（点C与这根斜拉索最高点在同一水平线上），在地面上的点E处测得塔顶A的仰角∠AEB＝56.3°、无人机C的仰角∠CEB＝26.5°，DE＝26米．已知AB⊥BD，点C在AB上，点E在BD上，请你求出这根斜拉索最高点到塔顶的竖直高度AC．（参考数据：tan26.5°≈0.5，tan56.3°≈1.5） 类型二 共直角型 3．（2026•渭南一模）实践课上，老师组织学生测量学校主教学楼上校徽的高度，学生王雯由距离主教学楼3.2米的大树CE的底部C处向后移动，当移动8m到达点D时，她恰好略过大树的顶端E看到校徽的顶端P，接着他继续向后移动11m到达点B处时，她又恰好略过大树的顶端E看到校徽的底部点Q，并测得∠QBA＝26.5°（A、B、C、D在一条水平线上），请你利用文中数据帮助王雯计算校徽的高度PQ（参考数据：sin26.5°＝0.45，cos26.5°＝0.89，tan26.5°＝0.50）． 4.（2026•碑林区校级模拟）如图，商场门口有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D点处的影长DE＝4米，沿BD方向行走到达G点，DG＝6米，这时小明的影长GH＝7米．如果小明的身高为1.6米，求路灯杆AB的高度． 5.（2026•榆林模拟）某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为正方形ABCD，示意图如图所示，数学兴趣小组的同学利用所学知识测算该雕塑底座的底面积，步骤如下： ①在水池外取一点E，使得点A、B、E在同一条直线上； ②过点E作GH⊥AE，并从点E沿EH方向移动到点F，用皮尺测得EF的长为3米； ③在点F处用测角仪测得∠AFE＝71.5°，∠BFE＝63.4°． 说明：图中所有点均在同一平面内． 请你根据上述信息帮助该小组计算雕塑底座的底面积（正方形ABCD的面积）． 参考数据：tan71.5°≈3.0，tan63.4°≈2.0． 6.（2026•阎良区三模）一天晚上，小刚在公园练习单杠时，想利用灯光下的影子长来测量路灯（M点）距地面的高度MN．如图，单杠AB与水平地面平行，在路灯照射下，单杠AB在水平地面上形成的影子为CD（不计折射），AB∥CD．测得AB＝2.4m，CD＝3.2m，单杠距离水平地面的高度BG＝2.5m．已知MN、BG均与水平地面CN垂直，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小刚计算路灯（M点）距水平地面的距离MN． 7.（2026•汉阴县二模）春节游玩时，小伟利用无人机测量了一古塔的高度．如图，无人机在古塔AB上方的点C处测得古塔顶部点A处的俯角∠DCA＝37°，底部点B处的俯角∠DCB＝59°，然后沿水平方向由点C飞行56m到达点D处，在点D处测得点A处的俯角∠D＝45°．已知图中各点均在同一竖直平面内，请根据以上数据求古塔AB的高度．（结果精确到1m．参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 类型三 构造矩形型 8.（2026•雁塔区校级模拟）如图，某大型商场的电梯AB长20m，电梯AB与地面BC的夹角∠ABC＝18°，内部房顶DE与水平线EF的夹角∠DEF＝36.5°．已知点E到地面的距离EB＝3m，D，A，G在同一条直线上，A，B，E，D在同一平面上，求点D到地面BC的距离DG．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin36.5°≈0.59，cos36.5°≈0.80，tan36.5°≈0.74．） 9.（2026•碑林区校级二模）在一次数学课外实践活动中，某活动小组对河对岸的一架风力发电机塔杆高度进行了测量．如图，活动小组在岸边的一个斜坡的坡底C处，测得塔杆AB的顶端A的仰角为45°，在斜坡上的点D处测得塔顶A的仰角为20°．经测量CD＝39m，斜坡CD的坡度为5：12．图中点A、B、C、D、E在同一平面内，点B、C、E在同一条水平直线上，AB⊥BC．请根据上述数据，求该风力发电机的塔杆AB的高度．（结果精确到1m、参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 10.（2026•铜川二模）为测量一座桥的拱顶距离水面的竖直高度EF，学习小组设计了一个方案：如图，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内，AB＝45m．测角仪AC＝BD＝1.7m，在测角仪顶端D处测得拱顶E的仰角为22°，在测角仪顶端C处测得拱顶E的仰角为45°．已知水平地面AB离水面FM的高度为2m，且FM∥AB，EF⊥FM，AC⊥AB，BD⊥AB，求拱顶距离水面的竖直高度EF．（参考数据：sin22°＝0.37，cos22°＝0.93，tan22°＝0.4） 11.（2026春•灞桥区校级月考）如图，在综合实践课上，李玲要测量一棵与地面垂直的大树AB的高度，她从大树底部点B处水平前进12m到达斜坡CD的底部点C处，然后沿斜坡CD前行6m到达最佳测量点D处，在点D处测得树顶A的仰角为30°，DE⊥AB于点E，已知斜坡的坡角为45°，且点A，B，C，D，E在同一平面内，求大树AB的高度．（参考数据：1.41，，2.45） 12.（2026•碑林区校级模拟）如图①，西安鄠邑区渼陂湖素有“关中山水最佳处”的美誉，景区地标云溪塔为仿唐密檐式九层空心塔．如图②所示，塔身AB＝21m，塔体建于高台BC之上，高台高度无法直接测量．小明和父母借助手机上可以测量距离和角度的软件，在距地面F点高1.5m的观测点D处，测得云溪塔塔尖A的仰角为45°；沿水平观景步道向后退8.8m至点G处，再次在离地高1.5m的观测点E处测得塔尖A的仰角为37°．F，G两点均位于湖边水平观景步道上，且与塔底、塔尖在同一竖直平面内，求塔下高台BC的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）． 13.（2026•山阳县二模）为测量一座桥的拱顶距离水面的竖直高度EF，学习小组设计了一个方案：如图，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内，AB＝45m．测角仪AC＝BD＝1.7m，在测角仪顶端D处测得拱顶E的仰角为22°，在测角仪顶端C处测得拱顶E的仰角为45°．已知水平地面AB离水面FM的高度为2m，且FM∥AB，EF⊥FM，AC⊥AB，BD⊥AB，求拱顶距离水面的竖直高度EF．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.4） 14.（2026•莲湖区校级模拟）项目式学习 任务 测量某槐树的高度 工具 测高仪、卷尺 实践操作 首先，小秦同学在点C处放置一个测角仪CD，观测槐树顶端的仰角为∠ADE；在点F处放置一面平面镜，随后，他从点F处沿BF方向移动到点G处，恰好在平面镜中看到槐树的顶端A的像，已知小秦同学眼睛到地面的高度为GH，AB⊥BG，CD⊥BG，GH⊥BG，点B，C，F，G在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 示意图 数据 CD＝1米，∠ADE＝45°，FG＝2米，GH＝1.7米，CF＝2.2米． 问题 求该槐树的高度AB． 温馨提示 平面镜反射时，反射角等于入射角，平面镜的大小忽略不计． 15．（2026•宝鸡二模）宝鸡大剧院（如图1）作为宝鸡又一个核心地标式建筑，其设计融合了《诗经》“凤凰于飞”意象与宝鸡“闻鸡起舞、开放创新”精神．某科创小组的成员在假期利用自制无人机与测角仪测量了宝鸡大剧院某处点A距地面的高度．如图2，小组成员甲在地面上的点C处用测角仪测得A点的仰角∠ACB＝58°；随后，小组成员乙在与点C距离10米的D处放置无人机，并操纵无人机竖直上升17米到达点E处（即CD＝10米，DE＝17米），在点E处测得A点的仰角∠AEF＝26.6°．已知AB⊥BD，DE⊥BD，点B、C、D在一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助该科创小组计算宝鸡大剧院某处点A到地面的高度AB．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50） 16.（2026•灞桥区校级模拟）为测量山顶上架设的铁塔AE的高度，山脚平地上有一栋居民楼房CD，经测量楼房高度CD＝27m．楼房底部D与山脚底部B处在同一水平地面上，山体高度BE＝38m，且AB⊥BD，CD⊥BD． 小明进行实地测量：站在楼房底部点D处，观测铁塔顶端A，测得仰角为45°；登上楼房楼顶点C处，再次观测铁塔顶端A，测得仰角为36°52′．请根据以上测量数据，求出山顶铁塔的高度AE．（参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75） 17.（2026•碑林区校级四模）小聪和小兰想测量学校实验楼的高度，他们制作了测量工具：将两根互相垂直的标杆MP、MN固定在点M（MP⊥MN），并在M处安装测角仪．测量时，调整工具位置，使MN⊥BQ（BQ为地面），此时，从点M测得实验楼顶端A的仰角为45°，实验楼顶端A的影子恰好与标杆MP的影子顶端Q重合（A、P、Q三点共线），若NQ为4.4米，MN为1.8米，MP为2米，请根据以上数据，求实验楼AB的高度． 类型四 双垂直型 18.（2026•商南县二模）紫云楼是大唐芙蓉园园内最为经典的仿古建筑，展示了形神升腾紫云景，天下臣服帝王心的唐代帝王风范．小云和小强采用如下方法来测量紫云楼（图1）的高度．如图2，小云选取与底端B在同一水平地面上的点C，放置一个平面镜，然后沿着BC方向后退，当退到点D时，刚好在平面镜内看到紫云楼的顶端A的像，已知小云的眼睛到地面的距离ED为1.5米，CD＝2米；接着，小强在地面上的点F处测得紫云楼的顶端A的仰角∠AFB＝71.5°，CF＝39米，已知AB⊥BD，ED⊥BD，点B、F、C、D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请根据以上信息求紫云楼的高度AB．（平面镜大小厚度均忽略不计，参考数据：sin71.5°≈0.95，cos71.5°≈0.32，tan71.5°≈3.00）． 19.（2026•碑林区校级模拟）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测倾器DC，测得古树的顶端A的仰角为50.2°；接着小明沿着BD方向前进至F，此时同伴发现古树顶端A的影子落点恰好与小明的影子落点G重合．测得DF＝6米，FG＝2米，小明身高EF＝1.7米，测倾器的高度CD＝0.5米．已知点G、F、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（结果保留整数，参考数据：sin50.2°≈0.77，cos50.2°≈0.64，tan50.2°≈1.20） 20.（2026•雁塔区校级模拟）在数学综合实践活动中，小思和小欣利用所学的数学知识测量学校花坛内一棵大树AB的高度，两人讨论后采用以下方法进行测量：如图，小思把镜子水平放在点E处，然后沿着直线BE后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，即∠CED＝∠AEB，然后小思又在C处用测倾器测得树的顶端A处的仰角为26.6度；小欣用皮尺分别测量DE及小思目高（CD）的长．已知CD⊥BD于点D，AB⊥BD于点B，DE＝2.0米，CD＝1.5米，请你利用测得的数据求出这棵树（AB）的高度．（结果保留整数．参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.5） 21.（2026•雁塔区校级模拟）长安塔位于西安世博园小终南山之巅，仿唐代古塔风格，飞檐斗拱，雄伟大气，是西安世博园四大标志建筑之一，寓意“长治久安，九九归一”．走走所在的兴趣小组准备测量长安塔的高度PQ，如图，她在M处放置了一面平面镜（大小忽略不计），然后沿QM方向移动，当她站在点D处时恰好能在平面镜中看到塔顶端P的像，已知走走的眼睛距离地面的高度CD为1.5米，DM＝1.5米；小组成员慕梓睿在塔另一侧点B处安装一个1.5米高的测角仪AB，测得塔顶端P的仰角α为56.3°，已知BM＝164米，AB⊥DB，PQ⊥DB，CD⊥DB，点B、Q、M、D在同一条水平线上，图中所有点均在同一平面内．请你帮助该小组求出该塔的高度PQ．（参考数据：sin56.3°≈0.83，cos56.3°≈0.55，tan56.3°≈1.50） 22.（2026•灞桥区校级模拟）某科创小组开展“智能光学成像”项目式学习，在光具座上依次垂直放置LED发光体、凸透镜和光屏，并调整三者中心在同一高度．如图，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为7.2cm的LED发光体AB固定，使物距OB为28cm，过光心的光线AO，BO通过凸透镜后传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OB'为14cm，已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过主光轴上的点F，且折射光线PF经过像点A′，求OF的长． 23.（2026•西安校级模拟）某数学“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，他们制订了两种不同的测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量方案与数据如下表： 课题 测量学校旗杆的高度 测量工具 皮尺、标杆等 测量方案 方案一（用太阳光测） 方案二（用眼观测） 示意图 说明 E，G，A，C四点共线，EF，AB，CD均垂直于CE，且FG∥BD． A，E，C三点共线，D，F，B三点共线，CD，EF，AB均垂直于AC 测量数据 标杆EF＝1.5m，影长EG＝2m，同时旗杆AB落在地上的影长AC＝11.6m，落在墙上的影长CD＝1.7m 标杆EF＝2m，小明的眼睛距地面高CD＝1.6m，CE＝1m，AE＝21m 请选择其中一个方案及其数据求出学校旗杆的高度AB． 24.（2026•新城区校级模拟）鸿门寺塔（又称响铃塔），是元代著名密檐式砖石佛塔，位于陕西省榆林市横山区，对研究陕北元代建筑、历史、宗教文化等的发展提供了宝贵的历史资料．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学知识测量“鸿门寺塔”的高度AB，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在鸿门寺塔影子的末端点C处竖立一根长为1.8米的标杆CD，此时，小花测得标杆CD的影长CE＝2米；然后，小风从点C沿CB方向走了11米，到达点F处，在F处恰好通过在点P处放置的平面镜看到塔的顶部点A，此时，小风的眼睛到地面的距离FG＝1.5米，PF＝1米．如图，已知AB⊥BE，FG⊥BE，DC⊥BE，请你根据题中提供的相关信息，求出鸿门寺塔的高AB． 25.（2026•碑林区校级模拟）某综合与实践小组开展测量某建筑物顶部广告牌AB高度的实践活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．如图，小明位一点N处，其身高MN＝1.6m，此时他的影长GN＝3m，同一时刻，建筑物及广告牌AC的影长CE＝39m；小红站在距离建筑物17m的点D处，用测角仪测得∠BDC＝48°．已知点G，N、E，D，C在同一直线上，MN⊥GG、AC⊥GC．请根据以上信息求出广告牌AB的高度．（结果保留一位小数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11） 26.（2026•宝塔区一模）“挂甲柏”又称“将军树”，位于陕西省境内．志书记载，汉武帝刘彻北巡朔方还，挂甲于此树．某综合与实践小组在阳光明媚的一天开展测量挂甲柏高度的活动．如图，挂甲柏前方的地面上放有两个长方体木箱，其截面分别是矩形CDEF和矩形GENH，在某一时刻，挂甲柏顶端A在阳光下的影子落在木箱的点M处，点M在边CF上，CM＝0.6m，同时，木箱上点H在阳光下的影子落在地面上的点P处，PN＝1.5m．已知NH＝1m，CD＝0.6m，BD＝24m，AB、CD、HN均与地面BP垂直，点B、D、E、N、P在同一水平直线上，图中所有点在同一平面内．求挂甲柏的高度AB． 27.（2026•咸阳校级模拟）洋县开元舍利塔，呈荸荠状，玲珑典雅，亭亭玉立，其塔结构精巧别致，各层四面皆垂有风铃．清风徐来，随风作响，是洋县县城的标志性古建筑．阳光明媚的一天，小洋对该塔进行了测量，测量方法如下：如图，小洋在该塔AB在阳光下的影子顶端F处竖直立一根1.5米长的标杆CF，并测得同一时刻标杆在太阳光下的影长EF＝1m，然后，小洋在AF的延长线上的点D处，竖直立一根2米长的标杆DH，使得塔的顶端B、标杆顶端H与地面上的点G在同一直线上，并测得DG＝3m，DE＝21m，已知AB⊥AG，CF⊥AG，DH⊥AG，点A、F、E、D、G在同一直线上，且图中所有点均在同一平面内，请根据以上测量数据，求该塔的高度AB． 28.（2026•榆阳区校级一模）八云塔，又称瑞光寺塔，位于陕西省西安市周至县境内，为第五批全国重点文物保护单位．某综合与实践小组开展测量八云塔高度的活动，记录如下： 活动主题 测量八云塔的高度 测量过程及示意图 如图，在地面上的点C处放置一面平面镜，该小组的同学甲站在点D处，眼睛位于点E处时，恰好在平面镜中看到塔顶端A的像，该小组的同学乙在地面上的点H处测得塔顶端A的仰角∠AHB的度数． 测量数据 CD＝1米，DE＝1.8米，DH＝27米，∠AHB＝37°． 测量说明 AB⊥BH，ED⊥BH，B、C、D、H在同一条直线上，图中所有的点都在同一平面内，平面镜的大小忽略不计． 参考数据 sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75． 请你根据以上测量结果，计算八云塔的高度AB． 类型五 实物建模型 29.（2025秋•雁塔区校级期末）如图①是高铁座椅靠背及后方小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图②，支架BC连接靠背AB和小桌板CD，点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得CE＝10cm，∠ABC＝35°．靠背AB可以绕点B旋转至与小桌板支架BC重合的位置，如图③，杯托E处凹陷深度为0.7cm．若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点E），求乘客水杯的最大高度．（结果精确到1cm，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，tan55°≈1.43） 30.（2024秋•宝塔区校级期中）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B﹣A﹣O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.4cm，CD＝8cm，AB＝40cm，BC＝45cm， （1）如图2，∠ABC＝70°，BC∥OE． ①填空：∠BAO＝　160　 °；②投影探头的端点D到桌面OE的距离　36cm ． （2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，∠ABC＝30°时，求投影探头的端点D到桌面OE的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77） 31.（2026•高新区模拟）家用洗手盆上常装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，把手AM与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图2，M，D，E在一条直线上，ME⊥EC，其相关数据为AM＝10cm，ME＝27cm，求EC的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin37°，cos37°，tan37°，1.73） 类型六 方向角问题 32.（2026•雁塔区校级模拟）如图，一艘货轮以36kn（kn是航速单位，表示每小时航行1海里）的速度在海面上行驶．当它行驶到A处，发现它的南偏西55°方向有一灯塔P，货轮继续沿北偏西80°方向航行5h后到达B处，发现灯塔P在它的南偏东20°方向，求此时货轮与灯塔P的距离．（结果保留根号） 33.（2026•碑林区校级模拟）中学生接受劳动教育不仅关乎个人的全面发展，更关系到社会的和谐与进步．某教育集团准备把一块四边形ABCD的空地整理出来作为集团学校的公共劳动教育基地．如图，点C在点D的南偏东45°方向上，点A在点D的北偏东60°方向上，点B在点A的正东方向，点C在点B的正南方向．已知AB＝50m，．求四边形空地的周长．（精确到0.1m；参考数据：，） 类型七 坡度、坡角问题 34.（2026•灞桥区校级模拟）如图，某数学兴趣小组要测量山坡上的信号发射塔CD的高度，已知信号塔与斜坡AB的坡顶B在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底A处测得塔顶C的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AB爬行了26米，在坡顶B处又测得该塔塔顶C的仰角为66°，求信号发射塔CD的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25） 35.（2026•雁塔区校级模拟）某兴趣小组利用所学知识开展以“测量建筑物的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量建筑物的高度 测量工具 皮尺、测角仪等 测量示意图 测量过程 小明从建筑物底端B出发，沿水平方向向右走28步到达点C，又沿坡角为37°的斜坡行走了40步到达点D，此时建筑物在太阳光线AE下的影子端点落在E处，测量DE为100步，同一时刻太阳光线下，1米高的竹竿影长为2.5米． 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，AB⊥BC，小明每一步的长度为0.5米．参考数据：，，． 请根据以上测量数据，求建筑物AB的高度． $ 2026陕西中考数学考前冲刺——几何测量张学远新中考 · 个性化学伴 2026陕西中考数学考前冲刺 ——几何测量 老师备课、家长伴学、学生提高01 学科网（北京）股份有限公司 2026陕西中考数学考前冲刺——几何测量 ★ 目 录 ★ 一、2022年版课标要求.......................................................................................03 二、2023-2025年陕西真题、副题考情分析......................................................03 三、2026陕西中考考前冲刺必备知识...............................................................05 四、2026陕西中考考前冲刺专题加练...............................................................06 （一）陕西必考题型加练 ◆类型一 共高型（2024真题、2023副题）..............................................06 ◆类型二 共直角型（2025副题）...............................................................08 ◆类型三 构造矩形型（2025真题、2024副题、2023真题）.................13 ◆类型四 双垂直型.......................................................................................24 （二）全国新方向试题加练 ◆类型五 实物建模型.................................................................................35 ◆类型六 方向角问题.................................................................................38 ◆类型七 坡度坡角问题.............................................................................41 相关文档 1.教师版word 2.学生版word、pdf 3.参考答案详解详析pdf 选题：贾廷 策划：贾廷、阮长鑫、吴莎莎、陈佳欢 策划团队：张学远新中考·个性化学伴 一、2022年版课标要求 1.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比,面积比等于相似比的平方; 2.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题； 3.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数，知道 ， ， 角的三角函数值； 4.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角; 5.在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置； 6.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题； 7.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求进行简单的近似计算. 二、2023-2025年陕西真题、副题考情分析 年份 题位/分值 类型 解题模型 解题思路 2025真题 21题/6分 已知角为非特殊角 构造矩形型 锐角三角函数应用 2025副题 21题/6分 已知角为非特殊角 共直角型 锐角三角函数应用 2024真题 21题/6分 已知角为非特殊角 共高型 锐角三角函数应用 2024副题 21题/6分 已知角为特殊角（45°） 构造矩形型 相似三角形的应用 2023真题 21题/6分 已知角为非特殊角 构造矩形型 锐角三角函数+相似三角形的应用 2023副题 21题/6分 已知角为非特殊角 共高型 锐角三角函数应用 题型总结 陕西中考测高题近三年一般出现在试卷第21题，分值固定为6分，难度中等，只有一个设问，要么求水平距离，要么求高度.求解过程主要涉及相似三角形与锐角三角函数：2023年综合运用相似与三角函数，2024年副题运用相似三角形的性质，2024、2025年真题则聚焦锐角三角函数.整体呈现"方法交替、情境多元"的特点，解题时，若题干中给出的角度度数为特殊角（30°，45°，60°）则必用到相似，若给出的角度度数为非特殊角，则必用到锐角三角函数。预计2026年仍将延续这一命题风格，备考时应以相似三角形和锐角三角函数为主线，重点训练两种方法的灵活运用与综合解题能力. 三、2026陕西中考考前冲刺必备知识 1.特殊角的三角函数值 1 2.锐角三角函数实际应用的常考模型 共高型 共直角型 构造矩形型 双垂直型 四、2026陕西中考考前冲刺专题加练 类型一 共高型 1.（2026•莲湖区一模）法门寺合十舍利塔位于陕西省宝鸡市扶风县法门镇，是国家AAAAA级旅游景区法门寺的一个景点．如图，为测量法门寺合十舍利塔的高度，某数学兴趣小组在附近一建筑物楼顶D处测得舍利塔顶端A处的仰角为45°，测得该塔底部B处的俯角为22°，已知建筑物的高CD为42米，请你计算法门寺合十舍利塔AB的高度．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40） 【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：CD＝BE＝42米，然后在Rt△BDE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，最后进行计算即可解答． 【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E， 由题意得：CD＝BE＝42米，在Rt△BDE中，∠BDE＝22°，∴DE105（米），在Rt△ADE中，∠ADE＝45°， ∴AE＝DE•tan45°＝105（米），∴AB＝AE+BE＝105+42＝147（米），∴法门寺合十舍利塔AB的高度约为147米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 2.（2026•三原县二模）西安浐灞2号桥又称“彩虹桥”，其重量在混合斜拉桥中居国内第一，是西安市的地标建筑．茜茜同学用所学知识测量了桥塔（如图1）上某根斜拉索最高点到塔顶的竖直高度，示意图如图2所示，在地面上的点D处测得塔顶A的仰角∠ADB＝45°，将一架无人机悬停在点A正下方的点C处（点C与这根斜拉索最高点在同一水平线上），在地面上的点E处测得塔顶A的仰角∠AEB＝56.3°、无人机C的仰角∠CEB＝26.5°，DE＝26米．已知AB⊥BD，点C在AB上，点E在BD上，请你求出这根斜拉索最高点到塔顶的竖直高度AC．（参考数据：tan26.5°≈0.5，tan56.3°≈1.5） 【分析】根据垂直定义可得：∠ABD＝90°，然后设BE＝xm，则BD＝（x+26）m，分别在Rt△ABD和Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，从而列出关于x的方程，进行计算可得BE＝52m，AB＝78m，最后在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出CB的长，从而进行计算即可解答． 【解答】解：∵AB⊥BD，∴∠ABD＝90°，设BE＝xm，∵DE＝26m， ∴BD＝BE+DE＝（x+26）m， 在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴AB＝BD•tan45°＝（x+26）m， 在Rt△ABE中，∠AEB＝56.3°，∴AB＝BE•tan56.3°≈1.5x（m），∴1.5x＝x+26， 解得：x＝52，∴BE＝52m，AB＝x+26＝78（m）， 在Rt△BCE中，∠CEB＝26.5°，∴CB＝BE•tan26.5≈0.5×52＝26（m）， ∴AC＝AB﹣CB＝78﹣26＝52（m），∴这根斜拉索最高点到塔顶的竖直高度AC约为52m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 类型一 共直角型 3．（2026•渭南一模）实践课上，老师组织学生测量学校主教学楼上校徽的高度，学生王雯由距离主教学楼3.2米的大树CE的底部C处向后移动，当移动8m到达点D时，她恰好略过大树的顶端E看到校徽的顶端P，接着他继续向后移动11m到达点B处时，她又恰好略过大树的顶端E看到校徽的底部点Q，并测得∠QBA＝26.5°（A、B、C、D在一条水平线上），请你利用文中数据帮助王雯计算校徽的高度PQ（参考数据：sin26.5°＝0.45，cos26.5°＝0.89，tan26.5°＝0.50）． 【分析】过点F作FD⊥AB于点D，求出FD＝BD，tan26.5°＝11×0.5＝5.5，推导出，得到△DEF∽△PEQ，则，代入求解即可． 【解答】解：过点F作FD⊥AB于点D，如图：在直角△BFE中，已知BF＝11米，∠EBF＝26.5°．根据正切函数的定义， EF＝BF×tan（26.5°）＝11×0.50＝5.5米．根据相似三角形的性质，对应边成比例：，已知DC＝8米，CA＝3.2米，∴， 又∵∠DEF＝∠PEQ，∴△DEF∽△PEQ，∴，∴． 答：校徽的高度PQ为2.2m． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 4.（2026•碑林区校级模拟）如图，商场门口有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D点处的影长DE＝4米，沿BD方向行走到达G点，DG＝6米，这时小明的影长GH＝7米．如果小明的身高为1.6米，求路灯杆AB的高度． 【分析】利用CD∥AB得到△CDE∽△ABE，根据相似三角形的性质得到，即①，利用FG∥AB得到△FGH∽△ABH，根据相似三角形的性质得到，即②，然后解方程组求出AB即可． 【解答】解：∵CD∥AB， ∴△CDE∽△ABE， ∴， 即①， ∵FG∥AB， ∴△FGH∽△ABH， ∴， 即②， 由①②得， 解得BD＝8， ∴， 解得AB＝4.8， 答：路灯杆AB的高为4.8米． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决问题． 5.（2026•榆林模拟）某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为正方形ABCD，示意图如图所示，数学兴趣小组的同学利用所学知识测算该雕塑底座的底面积，步骤如下： ①在水池外取一点E，使得点A、B、E在同一条直线上； ②过点E作GH⊥AE，并从点E沿EH方向移动到点F，用皮尺测得EF的长为3米； ③在点F处用测角仪测得∠AFE＝71.5°，∠BFE＝63.4°． 说明：图中所有点均在同一平面内． 请你根据上述信息帮助该小组计算雕塑底座的底面积（正方形ABCD的面积）． 参考数据：tan71.5°≈3.0，tan63.4°≈2.0． 【分析】利用EF的长和∠AFE，∠BFE的正切值求得BE及AE的长，相减即为AB的长，即可求得雕塑底座的底面积． 【解答】解：在Rt△BEF中，∠BFE＝63.4°，EF＝3，∠BEF＝90°， ∴BE＝EF•tan∠BFE≈6米， 在Rt△AEF中，∠AFE＝71.5°， ∴AE＝EF•tan∠AFE≈9米， ∴AB＝AE﹣BE＝3米， ∴（平方米）， 答：雕塑底座的底面积为9平方米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．利用EF的长和∠AFE，∠BFE的正切值求得BE及AE的长是解决本题的关键． 6.（2026•阎良区三模）一天晚上，小刚在公园练习单杠时，想利用灯光下的影子长来测量路灯（M点）距地面的高度MN．如图，单杠AB与水平地面平行，在路灯照射下，单杠AB在水平地面上形成的影子为CD（不计折射），AB∥CD．测得AB＝2.4m，CD＝3.2m，单杠距离水平地面的高度BG＝2.5m．已知MN、BG均与水平地面CN垂直，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小刚计算路灯（M点）距水平地面的距离MN． 【分析】根据平行线的性质可得∠MAB＝∠MCD，∠MBA＝∠MDC，从而可得△MAB∽△MCD，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠MAB＝∠MCD，∠MBA＝∠MDC， ∴△MAB∽△MCD， ∵MN⊥CN，BG⊥CN， ∴， ∴， 解得：MN＝10， ∴路灯（M点）距水平地面的距离MN为10m． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 7.（2026•汉阴县二模）春节游玩时，小伟利用无人机测量了一古塔的高度．如图，无人机在古塔AB上方的点C处测得古塔顶部点A处的俯角∠DCA＝37°，底部点B处的俯角∠DCB＝59°，然后沿水平方向由点C飞行56m到达点D处，在点D处测得点A处的俯角∠D＝45°．已知图中各点均在同一竖直平面内，请根据以上数据求古塔AB的高度．（结果精确到1m．参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【分析】延长BA交CD于点M，由题意知BM⊥CD，设DM＝xm，则CM＝（56﹣x）m，根据∠CDA＝45°得出AM＝DM＝xm，利用∠DCA的正切函数求出x≈24，利用∠DCB的正切函数求出AB的长即可． 【解答】解：点C处测得古塔顶部点A处的俯角∠DCA＝37°，底部点B处的俯角∠DCB＝59°，然后沿水平方向由点C飞行56m到达点D处，在点D处测得点A处的俯角∠D＝45°．延长BA交CD于点M，由题意知BM⊥CD， 设DM＝xm，则CM＝（56﹣x）m， ∵∠CDA＝45°，∴AM＝DM＝xm， ∵∠DCA＝37°，∴， ∴，解得x≈24， ∴AM≈24m，CM≈56﹣24＝32（m）， ∵∠DCB＝59°，∴， 解得AB≈29，答：古塔AB的高度约为29m． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，正确进行计算是解题关键． 类型三 构造矩形型 8.（2026•雁塔区校级模拟）如图，某大型商场的电梯AB长20m，电梯AB与地面BC的夹角∠ABC＝18°，内部房顶DE与水平线EF的夹角∠DEF＝36.5°．已知点E到地面的距离EB＝3m，D，A，G在同一条直线上，A，B，E，D在同一平面上，求点D到地面BC的距离DG．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin36.5°≈0.59，cos36.5°≈0.80，tan36.5°≈0.74．） 【分析】延长EF交DG于H，根据余弦的定义求出BG，再根据正切的定义求出DH，计算即可． 【解答】解：如图，延长EF交DG于H， 则四边形HGBE为矩形，∴HG＝BE＝3m，HE＝GB， 在Rt△ABG中，AB＝20m，∠ABG＝18°，则BG＝AB•cos∠ABG≈20×0.95＝19（m），在Rt△DHE中，HE＝BG＝19m，∠DEH＝36.5°， ∵tan∠DEH，∴DH＝EH•tan∠DEH≈19×0.74＝14.06（m）， ∴DG＝DH+HG＝14.06+3＝17.06（m）， 答：点D到地面BC的距离DG约为17.06m． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 9.（2026•碑林区校级二模）在一次数学课外实践活动中，某活动小组对河对岸的一架风力发电机塔杆高度进行了测量．如图，活动小组在岸边的一个斜坡的坡底C处，测得塔杆AB的顶端A的仰角为45°，在斜坡上的点D处测得塔顶A的仰角为20°．经测量CD＝39m，斜坡CD的坡度为5：12．图中点A、B、C、D、E在同一平面内，点B、C、E在同一条水平直线上，AB⊥BC．请根据上述数据，求该风力发电机的塔杆AB的高度．（结果精确到1m、参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【分析】过点D作DF⊥AB于点F，DE⊥BC于点E，设DE＝5x，CE＝12x，根据勾股定理，求出x，根据矩形的判定，则四边形DFBE为矩形，设AB＝BC＝y，则DF＝BE＝BC+CE＝y+36，BF＝DE＝15m，根据，求出y． 【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，DE⊥BC于点E， 由题意得：CD＝39m，∠ACB＝45°，∠ADF＝20°，DE：CE＝5：12， 在Rt△DCE中，设DE＝5x，CE＝12x，由勾股定理可得：（5x）2+（12x）2＝392，解得x＝3，∴DE＝15m，CE＝36m，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°， ∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB＝BC， 设AB＝BC＝y，∵∠DFB＝∠B＝∠DEB＝90°，∴四边形DFBE为矩形， ∴DF＝BE＝BC+CE＝y+36，BF＝DE＝15m， 在Rt△AFD中，， ∴，解得y≈44m． 答：该风力发电机塔杆AB的高度为44m． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握解直角三角形，矩形的判定和性质，勾股定理的应用，进行求解即可． 10.（2026•铜川二模）为测量一座桥的拱顶距离水面的竖直高度EF，学习小组设计了一个方案：如图，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内，AB＝45m．测角仪AC＝BD＝1.7m，在测角仪顶端D处测得拱顶E的仰角为22°，在测角仪顶端C处测得拱顶E的仰角为45°．已知水平地面AB离水面FM的高度为2m，且FM∥AB，EF⊥FM，AC⊥AB，BD⊥AB，求拱顶距离水面的竖直高度EF．（参考数据：sin22°＝0.37，cos22°＝0.93，tan22°＝0.4） 【分析】延长BA交EF于点G，延长DC交EF于点H，容易证明四边形ABDC和四边形ACHG都是矩形，则CD＝AB＝45m．GH＝AC＝1.7m，GF＝2m，∠DHE＝90°．设EH＝am，则EF＝（a+3.7）m，利用三角函数可得CH＝am，DH＝2.5am，构造方程求出a的值，进而求出EF的值． 【解答】解：如图，延长BA交EF于点G，延长DC交EF于点H， ∵AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD，EF⊥FM，FM∥AB， ∴CD＝AB＝45m．GH＝AC＝1.7m，GF＝2m，∠DHE＝90°， 设EH＝am，则EF＝EH+HG+GF＝a+1.7+2＝（a+3.7）m， 由题意可知，∠ECH＝45°，∠EDH＝22°， ∴CH＝EH＝am，∴， ∵DH﹣CH＝CD，∴2.5a﹣a＝45，解得a＝30， ∴EF＝a+3.7＝33.7（m）． 答：拱顶距离水面的竖直高度EF约为33.7m． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，正确进行计算是解题关键． 11.（2026春•灞桥区校级月考）如图，在综合实践课上，李玲要测量一棵与地面垂直的大树AB的高度，她从大树底部点B处水平前进12m到达斜坡CD的底部点C处，然后沿斜坡CD前行6m到达最佳测量点D处，在点D处测得树顶A的仰角为30°，DE⊥AB于点E，已知斜坡的坡角为45°，且点A，B，C，D，E在同一平面内，求大树AB的高度．（参考数据：1.41，，2.45） 【分析】过点D作DF⊥BC，垂足为F，连接AC，证明四边形BEDF是矩形，然后利用特殊角三角函数即可解决问题． 【解答】解：由题意可知：BC＝12m，CD＝6m，∠ADE＝30°， 如图：过点D作DF⊥BC，垂足为F，连接AC， ∵斜坡的坡角为45°， ∴CF＝DFCD6＝3（m）， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝∠B＝∠DFB＝90°， ∴四边形BEDF是矩形， ∴BE＝DF＝3（m），DE＝BF＝BC+CF＝（12+3）m， ∵∠ADE＝30°， ∴AE＝DE•tan30°＝（12+3）（4）m， ∴AB＝AE+BE＝434×1.73+2.45+3×1.41＝13.6（m）， ∴大树AB的高度为13.6m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 12.（2026•碑林区校级模拟）如图①，西安鄠邑区渼陂湖素有“关中山水最佳处”的美誉，景区地标云溪塔为仿唐密檐式九层空心塔．如图②所示，塔身AB＝21m，塔体建于高台BC之上，高台高度无法直接测量．小明和父母借助手机上可以测量距离和角度的软件，在距地面F点高1.5m的观测点D处，测得云溪塔塔尖A的仰角为45°；沿水平观景步道向后退8.8m至点G处，再次在离地高1.5m的观测点E处测得塔尖A的仰角为37°．F，G两点均位于湖边水平观景步道上，且与塔底、塔尖在同一竖直平面内，求塔下高台BC的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）． 【分析】如图：连接ED并延长交AB于点H，根据题意克得：HM＝DF＝EG＝1.5m，DE＝FG＝8.8m，然后设HD＝xm，则EH＝（x+8.8）m，分别在Rt△AEH和Rt△AHD中，利用锐角三角函数的定义求出AH的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：如图：连接ED并延长交AB于点H， 由题意得：HM＝DF＝EG＝1.5m，DE＝FG＝8.8m， 设HD＝xm，则EH＝HD+ED＝（x+8.8）m， 在Rt△AEH中，∠AEH＝37°，∴AH＝EH•tan37°≈0.75（x+8.8）m， 在Rt△AHD中，∠ADH＝45°，∴AH＝DH•tan45°＝x（m）， ∴x＝0.75（x+8.8），解得：x＝26.4，∴AH＝26.4m，∵AB＝21m，∴BM＝AH+HM﹣AB＝6.9（m），∴塔下高台BC的高度约为6.9m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 13.（2026•山阳县二模）为测量一座桥的拱顶距离水面的竖直高度EF，学习小组设计了一个方案：如图，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内，AB＝45m．测角仪AC＝BD＝1.7m，在测角仪顶端D处测得拱顶E的仰角为22°，在测角仪顶端C处测得拱顶E的仰角为45°．已知水平地面AB离水面FM的高度为2m，且FM∥AB，EF⊥FM，AC⊥AB，BD⊥AB，求拱顶距离水面的竖直高度EF．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.4） 【分析】延长BA交EF于点G，延长DC交EF于点H，容易证明四边形ABDC和四边形ACHG都是矩形，则CD＝AB＝45m．GH＝AC＝1.7m，GF＝2m，∠DHE＝90°．设EH＝am，则EF＝（a+3.7）m，利用三角函数可得CH＝am，DH＝2.5am，构造方程求出a的值，进而求出EF的值． 【解答】解：如图，延长BA交EF于点G，延长DC交EF于点H， ∵AC＝BD，EF⊥FM，FM∥AB，AC⊥AB，BD⊥AB，∴四边形ABDC和四边形ACHG都是矩形，∴GF＝2m，∠DHE＝90°，CD＝AB＝45m．GH＝AC＝1.7m， 设EH＝am，则EF＝EH+HG+GF＝a+1.7+2＝（a+3.7）m， 由题意可知，∠ECH＝45°，∠EDH＝22°， ∴△CEH是等腰直角三角形，∴CH＝EH＝am， 在Rt△DEH中，， ∵DH﹣CH＝CD，∴2.5a﹣a＝45，解得a＝30， ∴EF＝a+3.7＝33.7（m）． 答：拱顶距离水面的竖直高度EF约为33.7m． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 14.（2026•莲湖区校级模拟）项目式学习 任务 测量某槐树的高度 工具 测高仪、卷尺 实践操作 首先，小秦同学在点C处放置一个测角仪CD，观测槐树顶端的仰角为∠ADE；在点F处放置一面平面镜，随后，他从点F处沿BF方向移动到点G处，恰好在平面镜中看到槐树的顶端A的像，已知小秦同学眼睛到地面的高度为GH，AB⊥BG，CD⊥BG，GH⊥BG，点B，C，F，G在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 示意图 数据 CD＝1米，∠ADE＝45°，FG＝2米，GH＝1.7米，CF＝2.2米． 问题 求该槐树的高度AB． 温馨提示 平面镜反射时，反射角等于入射角，平面镜的大小忽略不计． 【分析】延长DE交AB于点M，则DM⊥AB，根据题意克得：BM＝CD＝1米，DM＝CB，∠AFB＝∠HFG，然后设DM＝CB＝x米，在Rt△ADM中，利用锐角三角函数的定义求出AM的长，从而求出AB的长，最后证明△ABF∽△HGF，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：延长DE交AB于点M，则DM⊥AB， 由题意得：BM＝CD＝1米，DM＝CB，∠AFB＝∠HFG，设DM＝CB＝x米， 在Rt△ADM中，∠ADE＝45°，∴AM＝DM•tan45°＝x（米），∵CF＝2.2米， ∴BF＝BC+CF＝（x+2.2）米，∵AB⊥BG，GH⊥BG，∴∠B＝∠G＝90°， ∴△ABF∽△HGF，∴，∴，解得：x＝5.8，∴AM＝5.8米，∴AB＝AM+BM＝6.8（米），∴该槐树的高度AB为6.8米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 15．（2026•宝鸡二模）宝鸡大剧院（如图1）作为宝鸡又一个核心地标式建筑，其设计融合了《诗经》“凤凰于飞”意象与宝鸡“闻鸡起舞、开放创新”精神．某科创小组的成员在假期利用自制无人机与测角仪测量了宝鸡大剧院某处点A距地面的高度．如图2，小组成员甲在地面上的点C处用测角仪测得A点的仰角∠ACB＝58°；随后，小组成员乙在与点C距离10米的D处放置无人机，并操纵无人机竖直上升17米到达点E处（即CD＝10米，DE＝17米），在点E处测得A点的仰角∠AEF＝26.6°．已知AB⊥BD，DE⊥BD，点B、C、D在一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助该科创小组计算宝鸡大剧院某处点A到地面的高度AB．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50） 【分析】延长EF交AB于点G，设AG＝xm，由Rt△AGE可得米，又由矩形的性质得BG＝DE＝17米，BD＝EG＝2x米，即得到AB＝（x+17）米，再由Rt△ABC得，即得到0.625（x+17）+10＝2x，解方程求出x的值即可求解． 【解答】解：如图，延长EF交AB于点G， 由题意可得，∠AGE＝∠BGE＝90°，∠AEG＝∠AEF＝26.6°，设AG＝xm，在Rt△AGE中，，∴ （米），∵DE⊥BD，AB⊥BD，∴∠B＝∠D＝∠BGE＝90°，∴四边形BDEG是矩形，∴BD＝EG＝2x米，BG＝DE＝17米，∴AB＝（x+17）米，在Rt△ABC中，，∴米，∴BD＝BC+CD＝0.625（x+17）+10＝2x，解得x＝15，∴AB＝15+17＝32 米，答：点A到地面的高度AB为32米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 16.（2026•灞桥区校级模拟）为测量山顶上架设的铁塔AE的高度，山脚平地上有一栋居民楼房CD，经测量楼房高度CD＝27m．楼房底部D与山脚底部B处在同一水平地面上，山体高度BE＝38m，且AB⊥BD，CD⊥BD． 小明进行实地测量：站在楼房底部点D处，观测铁塔顶端A，测得仰角为45°；登上楼房楼顶点C处，再次观测铁塔顶端A，测得仰角为36°52′．请根据以上测量数据，求出山顶铁塔的高度AE．（参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75） 【分析】先过点C作CF垂直AB于点F，构造出矩形CDBF和两个直角三角形，利用矩形的性质得CF＝BD、BF＝CD，再根据点D处的45°仰角推出△ABD是等腰直角三角形，得到AB＝BD，进而得出CF＝AB，设铁塔高度AE＝xm，用含x的式子分别表示出AB、CF和AF的长度，最后在Rt△ACF中利用正切函数的定义列出关于x的方程，解方程即可求出山顶铁塔的高度AE． 【解答】解：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，CD＝27m．过点C作CF⊥AB于点F， ∴四边形CDBF是矩形，∴CF＝BD，BF＝CD＝27m， ∵AB⊥BD，∠ADB＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形， ∴AB＝BD，∴CF＝AB，设AE＝xm，则AB＝AE+BE＝（x+38）m，∴CF＝（x+38）m，AF＝AB﹣BF＝（x+38）﹣27＝（x+11）m， 在Rt△ACF中，∠ACF＝36°52′，，∵tan36°52′≈0.75， ∴，解得：x＝70（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， ∴山顶铁塔的高度AE为70m． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 17.（2026•碑林区校级四模）小聪和小兰想测量学校实验楼的高度，他们制作了测量工具：将两根互相垂直的标杆MP、MN固定在点M（MP⊥MN），并在M处安装测角仪．测量时，调整工具位置，使MN⊥BQ（BQ为地面），此时，从点M测得实验楼顶端A的仰角为45°，实验楼顶端A的影子恰好与标杆MP的影子顶端Q重合（A、P、Q三点共线），若NQ为4.4米，MN为1.8米，MP为2米，请根据以上数据，求实验楼AB的高度． 【分析】延长PM交AB于H，根据矩形的性质得到BH＝MN＝1.8米，BN＝MH，根据等腰直角三角形的性质得到AH＝MH，设AH＝MH＝BN＝x米，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：延长PM交AB于H，∵MN⊥BQ，MP⊥MN， ∴PH∥BQ，∵AB⊥BQ，MN⊥BQ，∴四边形MNBH是矩形， ∴BH＝MN＝1.8米，BN＝MH，在Rt△AMH中，∵∠AMH＝45°，∴AH＝MH， 设AH＝MH＝BN＝x米，∴BQ＝（x+4.4）米，PH＝（2+x）米， ∵PH∥BQ，∴△APH∽△AQB， ∴， ∴，∴x＝6， ∴AB＝6+1.8＝7.8（米）， 答：实验楼AB的高度为7.8米． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 类型四 双垂直型 18.（2026•商南县二模）紫云楼是大唐芙蓉园园内最为经典的仿古建筑，展示了形神升腾紫云景，天下臣服帝王心的唐代帝王风范．小云和小强采用如下方法来测量紫云楼（图1）的高度．如图2，小云选取与底端B在同一水平地面上的点C，放置一个平面镜，然后沿着BC方向后退，当退到点D时，刚好在平面镜内看到紫云楼的顶端A的像，已知小云的眼睛到地面的距离ED为1.5米，CD＝2米；接着，小强在地面上的点F处测得紫云楼的顶端A的仰角∠AFB＝71.5°，CF＝39米，已知AB⊥BD，ED⊥BD，点B、F、C、D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请根据以上信息求紫云楼的高度AB．（平面镜大小厚度均忽略不计，参考数据：sin71.5°≈0.95，cos71.5°≈0.32，tan71.5°≈3.00）． 【分析】根据题意可证△ABC∽△EDC，解直角三角形BAF，得到，再根据相似三角形对应边成比例可得AB的值． 【解答】解：由题意知，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD， ∴△ABC∽△EDC． ∴，即． 在Rt△BAF中，∠AFB＝71.5°， ∴，即． ∴． ∴，解得AB＝39． ∴紫云楼的高度AB为39米． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键． 19.（2026•碑林区校级模拟）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测倾器DC，测得古树的顶端A的仰角为50.2°；接着小明沿着BD方向前进至F，此时同伴发现古树顶端A的影子落点恰好与小明的影子落点G重合．测得DF＝6米，FG＝2米，小明身高EF＝1.7米，测倾器的高度CD＝0.5米．已知点G、F、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（结果保留整数，参考数据：sin50.2°≈0.77，cos50.2°≈0.64，tan50.2°≈1.20） 【分析】过点C作CH⊥AB，垂足为H，根据题意可得CD＝BH＝0.5米，CH＝BD，然后设CH＝BD＝x米，在Rt△ACH中，利用锐角三角函数的定义求出AH的长，再根据垂直定义可得∠ABG＝∠EFG＝90°，最后证明A字模型△EGF∽△AGB，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【解答】解：过点C作CH⊥AB，垂足为H， 由题意得CD＝BH＝0.5米，CH＝BD，设CH＝BD＝x米，在Rt△ACH中，∠ACH＝50.2°，∴AH＝CH•tan50.2°≈1.2x（米），∵DF＝6米，FG＝2米，∴BG＝FG+DF+BD＝（x+8）米，∵EF⊥BG，AB⊥BG，∴∠ABG＝∠EFG＝90°， ∵∠EGF＝∠AGB，∴△EGF∽△AGB，∴，∴，解得：x＝18，∴AB＝1.2x+0.5≈22（米），∴这棵古树的高度AB约为22米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 20.（2026•雁塔区校级模拟）在数学综合实践活动中，小思和小欣利用所学的数学知识测量学校花坛内一棵大树AB的高度，两人讨论后采用以下方法进行测量：如图，小思把镜子水平放在点E处，然后沿着直线BE后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，即∠CED＝∠AEB，然后小思又在C处用测倾器测得树的顶端A处的仰角为26.6度；小欣用皮尺分别测量DE及小思目高（CD）的长．已知CD⊥BD于点D，AB⊥BD于点B，DE＝2.0米，CD＝1.5米，请你利用测得的数据求出这棵树（AB）的高度．（结果保留整数．参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.5） 【分析】先由镜面反射的性质证明△CDE∽△ABE，得到BE与AB的关系；再通过作辅助线构造直角三角形，利用仰角的正切值列出关于AB的方程，求解得出树高． 【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F， 则四边形CDBF为矩形，∴CF ＝ BD ＝ DE+BE ＝ 2.0+BE，CD＝BF＝1.5米，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠CDE＝∠ABE＝90°．又∵∠CED＝∠AEB，∴△CDE∽△ABE．∴，即，． 在Rt△ACF中，∠ACF＝26.6°，． ∵AF＝AB﹣BF＝AB﹣1.5，，且tan26.6°≈0.50，∴ ，，，AB＝7.5≈8． 答：这棵树AB的高度约为8米． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形建立线段关系，再结合三角函数求解． 21.（2026•雁塔区校级模拟）长安塔位于西安世博园小终南山之巅，仿唐代古塔风格，飞檐斗拱，雄伟大气，是西安世博园四大标志建筑之一，寓意“长治久安，九九归一”．走走所在的兴趣小组准备测量长安塔的高度PQ，如图，她在M处放置了一面平面镜（大小忽略不计），然后沿QM方向移动，当她站在点D处时恰好能在平面镜中看到塔顶端P的像，已知走走的眼睛距离地面的高度CD为1.5米，DM＝1.5米；小组成员慕梓睿在塔另一侧点B处安装一个1.5米高的测角仪AB，测得塔顶端P的仰角α为56.3°，已知BM＝164米，AB⊥DB，PQ⊥DB，CD⊥DB，点B、Q、M、D在同一条水平线上，图中所有点均在同一平面内．请你帮助该小组求出该塔的高度PQ．（参考数据：sin56.3°≈0.83，cos56.3°≈0.55，tan56.3°≈1.50） 【分析】过点A作AN⊥PQ于N；先利用平面镜反射性质证三角形相似，得到PQ与QM的等量关系，结合仰角的正切函数关系建立方程求解PQ． 【解答】解：过点A作AN⊥PQ于N，如图，∵PQ⊥DB，CD⊥DB， ∴∠PQM＝∠CDM＝90°，∵平面镜反射，∠PMQ＝∠CMD，∴△PQM∽△CDM． ∴，∵CD＝1.5，DM＝1.5，∴，即PQ＝QM．设PQ＝x米， 则QM＝x．∵AN⊥PQ，PQ⊥DB，AB⊥DB，∴四边形ANQB是矩形， ∴PN＝PQ﹣NQ＝PQ﹣AB＝x﹣1.5，AN＝QB＝BM﹣QM＝164﹣x． 在Rt△PAN中，tan∠PAN，∵∠PAN＝56.3°，tan56.3°≈1.50，∴1.5， 解得 x＝99，经检验 x＝99是原方程的解，∴该大厦的高度PQ为99米． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用（仰角），熟练掌握相似三角形的判定与性质，准确分析线段位置关系以正确表示直角三角形的边，是解题的关键． 22.（2026•灞桥区校级模拟）某科创小组开展“智能光学成像”项目式学习，在光具座上依次垂直放置LED发光体、凸透镜和光屏，并调整三者中心在同一高度．如图，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为7.2cm的LED发光体AB固定，使物距OB为28cm，过光心的光线AO，BO通过凸透镜后传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OB'为14cm，已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过主光轴上的点F，且折射光线PF经过像点A′，求OF的长． 【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【解答】解：由题意得：AB∥A′B′， ∴△AOB∽△A′OB′， ∴，即， 解得：A′B′＝3.6， 由题意得：OP∥A′B′，四边形ABOP为矩形， ∴△PFO∽△A′FB′，OP＝AB＝7.2厘米， ∴， 即， 解得：OF， 答：OF的长为厘米． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 23.（2026•西安校级模拟）某数学“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，他们制订了两种不同的测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量方案与数据如下表： 课题 测量学校旗杆的高度 测量工具 皮尺、标杆等 测量方案 方案一（用太阳光测） 方案二（用眼观测） 示意图 说明 E，G，A，C四点共线，EF，AB，CD均垂直于CE，且FG∥BD． A，E，C三点共线，D，F，B三点共线，CD，EF，AB均垂直于AC 测量数据 标杆EF＝1.5m，影长EG＝2m，同时旗杆AB落在地上的影长AC＝11.6m，落在墙上的影长CD＝1.7m 标杆EF＝2m，小明的眼睛距地面高CD＝1.6m，CE＝1m，AE＝21m 请选择其中一个方案及其数据求出学校旗杆的高度AB． 【分析】方案一：将△EFG向右平移至点A，得到△AMN，过点D作DH⊥AB于点H，则△EFG≌△AMN，FG∥MN，ACDH是矩形，进而得AM＝EF＝1.5m，AN＝EG＝2m，HD＝AC＝11.6m，AH＝CD＝1.7m，证明△HBD∽△AMN，根据相似三角形的性质得，即可求出HB，再根据AB＝BH+AH即可求解； 方案二：过D作DM⊥AB于M交EF于N，四边形CDNE，四边形AMNE是矩形，则DN＝CE＝1m，MN＝AE＝21m，NE＝AM＝CD＝1.6m，进而可求FN、DM，证明△DFN∽△DBM，根据相似三角形的性质得，即可求出BM，再根据AB＝AM+MB即可求解； 【解答】解：方案一： 如图①，将△EFG向右平移至点A，得到△AMN，过点D作DH⊥AB于点H， ∴△EFG≌△AMN，FG∥MN，四边形ACDH是矩形， ∵标杆EF＝1.5m，影长EG＝2m，同时旗杆AB落在地上的影长AC＝11.6m，落在墙上的影长CD＝1.7m， ∴AM＝EF＝1.5m，AN＝EG＝2m，HD＝AC＝11.6m，AH＝CD＝1.7m， ∵FG∥BD，∴MN∥BD，∴∠AMN＝∠HBD， 又∵∠MAN＝∠BHD＝90°，∴△HBD∽△AMN，∴，即， ∴HB＝8.7m，∴AB＝BH+AH＝8.7+1.7＝10.4（m）； 方案二：如图②，过D作DM⊥AB于M交EF于N， ∵DC⊥AC，FE⊥AC，AB⊥AC，∴四边形CDNE，四边形AMNE是矩形， ∵标杆EF＝2m，小明的眼睛距地面高CD＝1.6m，CE＝1m，AE＝21m， ∴DN＝CE＝1m，MN＝AE＝21m，NE＝AM＝CD＝1.6m， ∴FN＝EF﹣EN＝2﹣1.6＝0.4（m），DM＝DN+MN＝22（m）， ∵FN∥BM，∴△DFN∽△DBM，∴，即，∴BM＝8.8m， ∴AB＝AM+MB＝8.8+1.6＝10.4（m）， 答：学校旗杆的高度是10.4m． 【点评】本题考查的是相似三角形的应用，平行投影，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解题的关键． 24.（2026•新城区校级模拟）鸿门寺塔（又称响铃塔），是元代著名密檐式砖石佛塔，位于陕西省榆林市横山区，对研究陕北元代建筑、历史、宗教文化等的发展提供了宝贵的历史资料．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学知识测量“鸿门寺塔”的高度AB，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在鸿门寺塔影子的末端点C处竖立一根长为1.8米的标杆CD，此时，小花测得标杆CD的影长CE＝2米；然后，小风从点C沿CB方向走了11米，到达点F处，在F处恰好通过在点P处放置的平面镜看到塔的顶部点A，此时，小风的眼睛到地面的距离FG＝1.5米，PF＝1米．如图，已知AB⊥BE，FG⊥BE，DC⊥BE，请你根据题中提供的相关信息，求出鸿门寺塔的高AB． 【分析】证明△ABC∽△DCE，得，整理得AB＝0.9BC①；再证明△ABP∽△GFP，得，整理得：AB＝1.5（BC﹣12）②，联立①②得0.9BC＝1.5（BC﹣12），求出BC＝30，进而可得答案． 【解答】解：∵AB⊥BE，DC⊥BE，∴∠B＝∠DCE＝90° 又AC∥DE，∴∠ACB＝∠E∴△ABC∽△DCE，∴， ∵DC＝1.8米，CE＝2米，∴， 整理得AB＝0.9BC①；由平面镜反射原理得：∠APB＝∠GPF， 又AB⊥BE，FG⊥BE，DC⊥BE，∴∠ABP＝∠GFP＝90°，∴△ABP∽△GFP，∴，∵FG＝1.5米，PF＝1米，又BP＝BC﹣PC，PC＝CF+PF＝11+1＝12（米），∴BP＝BC﹣12，∴，整理得：AB＝1.5（BC﹣12）② 联立①②得0.9BC＝1.5（BC﹣12），解得BC＝30， ∴AB＝0.9×30＝27（米），答：鸿门寺塔的高AB为27米． 【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 25.（2026•碑林区校级模拟）某综合与实践小组开展测量某建筑物顶部广告牌AB高度的实践活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．如图，小明位一点N处，其身高MN＝1.6m，此时他的影长GN＝3m，同一时刻，建筑物及广告牌AC的影长CE＝39m；小红站在距离建筑物17m的点D处，用测角仪测得∠BDC＝48°．已知点G，N、E，D，C在同一直线上，MN⊥GG、AC⊥GC．请根据以上信息求出广告牌AB的高度．（结果保留一位小数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11） 【分析】根据同一时刻物高与影长成比例关系求出AC的长，再根据解直角三角形求出BC的长即可求解． 【解答】解：由题意可知，， 即， 解得AC＝20.8， ∵∠BCD＝90°，CD＝17m，∠BDC＝48°． ∴BC＝17×tan48°＝18.87m， ∴AB＝AC﹣BC＝20.8﹣18.87＝1.93≈1.9m， 答：广告牌AB的高度约等于1.9m． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． 26.（2026•宝塔区一模）“挂甲柏”又称“将军树”，位于陕西省境内．志书记载，汉武帝刘彻北巡朔方还，挂甲于此树．某综合与实践小组在阳光明媚的一天开展测量挂甲柏高度的活动．如图，挂甲柏前方的地面上放有两个长方体木箱，其截面分别是矩形CDEF和矩形GENH，在某一时刻，挂甲柏顶端A在阳光下的影子落在木箱的点M处，点M在边CF上，CM＝0.6m，同时，木箱上点H在阳光下的影子落在地面上的点P处，PN＝1.5m．已知NH＝1m，CD＝0.6m，BD＝24m，AB、CD、HN均与地面BP垂直，点B、D、E、N、P在同一水平直线上，图中所有点在同一平面内．求挂甲柏的高度AB． 【分析】先延长AM交BP于点Q，延长FC交AB于点O，再根据矩形的性质和平行线的性质，得出△AOM∽△HNP，最后利用相似三角形的性质进行计算即可． 【解答】解：如图，延长AM交BP于点Q，延长FC交AB于点O， 由题可得：∠AQB＝∠P，CF∥DE，四边形OCDB是矩形， 则OB＝CD＝0.6m，∠AOM＝90°，∠AMO＝∠AQB＝∠P，OC＝BD＝24m， ∴OM＝OC+CM＝24.6m，∠HNP＝∠AOM＝90°，∴△AOM∽△HNP，∴，∴，即，∴AO＝16.4m， ∴AB＝AO+OB＝17m，∴挂甲柏的高度AB为17m． 【点评】本题考查相似三角形的应用，认识立体图形，平行投影，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 27.（2026•咸阳校级模拟）洋县开元舍利塔，呈荸荠状，玲珑典雅，亭亭玉立，其塔结构精巧别致，各层四面皆垂有风铃．清风徐来，随风作响，是洋县县城的标志性古建筑．阳光明媚的一天，小洋对该塔进行了测量，测量方法如下：如图，小洋在该塔AB在阳光下的影子顶端F处竖直立一根1.5米长的标杆CF，并测得同一时刻标杆在太阳光下的影长EF＝1m，然后，小洋在AF的延长线上的点D处，竖直立一根2米长的标杆DH，使得塔的顶端B、标杆顶端H与地面上的点G在同一直线上，并测得DG＝3m，DE＝21m，已知AB⊥AG，CF⊥AG，DH⊥AG，点A、F、E、D、G在同一直线上，且图中所有点均在同一平面内，请根据以上测量数据，求该塔的高度AB． 【分析】先证明△BAF∽△CFE，求出AB＝1.5AF，再证明△DHG∽△ABG，得出，即可求解． 【解答】解：∵同一时刻，太阳光线是平行的，∴BF∥CE， ∴∠BFA＝∠CEF， ∵AB⊥AG，CF⊥AG，∴∠BAF＝∠CFE＝90°， ∴△BAF∽△CFE，∴，即， ∴AB＝1.5AF， ∵AB⊥AG，DH⊥AG，∴DH∥AB， ∴△DHG∽△ABG，∴，即， 解得AF＝20，经检验，符合题意， ∴AB＝30， 即该塔的高度AB为30m． 【点评】本题考查了平行投影，相似三角形的应用等知识，熟练掌握是解题的关键． 28.（2026•榆阳区校级一模）八云塔，又称瑞光寺塔，位于陕西省西安市周至县境内，为第五批全国重点文物保护单位．某综合与实践小组开展测量八云塔高度的活动，记录如下： 活动主题 测量八云塔的高度 测量过程及示意图 如图，在地面上的点C处放置一面平面镜，该小组的同学甲站在点D处，眼睛位于点E处时，恰好在平面镜中看到塔顶端A的像，该小组的同学乙在地面上的点H处测得塔顶端A的仰角∠AHB的度数． 测量数据 CD＝1米，DE＝1.8米，DH＝27米，∠AHB＝37°． 测量说明 AB⊥BH，ED⊥BH，B、C、D、H在同一条直线上，图中所有的点都在同一平面内，平面镜的大小忽略不计． 参考数据 sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75． 请你根据以上测量结果，计算八云塔的高度AB． 【分析】设BC＝x，AB＝y，根据眼睛位于点E处时，恰好在平面镜中看到塔顶端A的像得出∠DCE＝∠ACB，根据正切的定义得出，可得，根据tan37°≈0.75得出，解方程求出y的值即可． 【解答】解：设BC＝x，AB＝y，∵眼睛位于点E处时，恰好在平面镜中看到塔顶端A的像，∴∠DCE＝∠ACB，∴tan∠DCE＝tan∠ACB，∴，∵CD＝1米，DE＝1.8米，∴，∴，∵DH＝27米，∴，∵∠AHB＝37°，tan37°≈0.75∴，解得：y＝36，经检验，y＝36是分式方程的解，且符合题意，∴八云塔的高度AB为36米． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握其相关知识点是解题的关键． 类型五 实物建模型 29.（2025秋•雁塔区校级期末）如图①是高铁座椅靠背及后方小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图②，支架BC连接靠背AB和小桌板CD，点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得CE＝10cm，∠ABC＝35°．靠背AB可以绕点B旋转至与小桌板支架BC重合的位置，如图③，杯托E处凹陷深度为0.7cm．若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点E），求乘客水杯的最大高度．（结果精确到1cm，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，tan55°≈1.43） 【分析】过点B作BF∥CD，再利用平行线的性质解答，得∠BCD＝180°﹣55°＝125°；过点E作CD的垂线交AB于点F，解Rt△CEF可得EF＝CE•tan∠ECF≈14.3cm，进而即可求解； 【解答】解：此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点E），如图，过点B作BF∥CD， ∴∠BCD+∠CBF＝180°， ∵∠ABC＝35°，∴∠CBF＝90°﹣35°＝55°，∴∠BCD＝180°﹣55°＝125°， 如图，过点E作CD的垂线交AB于点F， ∵∠BCD＝125°，∴∠ECF＝180°﹣125°＝55°，， ∴EF＝CE•tan∠ECF＝10×tan55°≈10×1.43＝14.3（cm）， ∵14.3+0.7＝15（cm），∴乘客水杯的最大高度约为15cm． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 30.（2024秋•宝塔区校级期中）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B﹣A﹣O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.4cm，CD＝8cm，AB＝40cm，BC＝45cm， （1）如图2，∠ABC＝70°，BC∥OE． ①填空：∠BAO＝　160　 °；②投影探头的端点D到桌面OE的距离　36cm ． （2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，∠ABC＝30°时，求投影探头的端点D到桌面OE的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77） 【分析】（1）①过点A作AG∥BC，如图1，根据平行线的性质解答便可； ②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，解直角三角形求出AF，进而计算AF+OA﹣CD求得结果；（2）过点D作DH⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，解直角三角形求出CM，再根据线段的和差关系求得投影探头的端点D到桌面OE的距离． 【解答】解：（1）①过点A作AG∥BC，如图1，则∠BAG＝∠ABC＝70°， ∵BC∥OE，∴AG∥OE，∴∠GAO＝∠AOE＝90°，∴∠BAO＝90°+70°＝160°， ②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，则AF＝AB•sin∠ABF＝40sin70°≈37.6（cm）， 则投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF+OA﹣CD≈37.6+6.4﹣8＝36（cm）；（2）过点D作DH⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，如图3，∵∠MBA＝70°，∠ABC＝30°，∴∠MBC＝40°，在Rt△BMC中，MC＝BC•sin∠MBC＝45sin40°≈28.8（cm），则投影探头的端点D到桌面OE的距离≈CD+36﹣MC﹣CD≈36﹣28.8＝7.2（cm）．故投影探头的端点D到桌面OE的距离约为7.2cm． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形． 31.（2026•高新区模拟）家用洗手盆上常装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，把手AM与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图2，M，D，E在一条直线上，ME⊥EC，其相关数据为AM＝10cm，ME＝27cm，求EC的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin37°，cos37°，tan37°，1.73） 【分析】过点A作AG⊥EH于G，过点M作MN⊥AG于N，根据正弦的定义求出AN，根据余弦的定义求出MN，再根据正切的定义求出CG，计算即可． 【解答】解：过点A作AG⊥EH于G，过点M作MN⊥AG于N，如图所示， 则四边形MEGN为矩形，∴EG＝MN，NG＝ME＝27（cm）， 在Rt△AMN中，sin∠AMN，cos∠AMN， ∴AN＝AM×sin37°≈106（cm），MN＝AM×cos37°≈108（cm）， ∴EG＝8cm，AG＝AN+NG＝6+27＝33（cm）， ∵∠ACG＝60°，∴CG1119.02（cm）， ∴EC＝EG+CG＝8+19.02≈27（cm）， 答：EC的长约为27cm． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 类型六 方向角问题 32.（2026•雁塔区校级模拟）如图，一艘货轮以36kn（kn是航速单位，表示每小时航行1海里）的速度在海面上行驶．当它行驶到A处，发现它的南偏西55°方向有一灯塔P，货轮继续沿北偏西80°方向航行5h后到达B处，发现灯塔P在它的南偏东20°方向，求此时货轮与灯塔P的距离．（结果保留根号） 【分析】过点P作PH⊥AB于点H，先由题意求得∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝180kn．设BH＝xkn，利用正切定义可求得PHxkn，BP＝2xkn．同理可得，AH＝PH kn，由AB＝AH+BH列方程求得x值即可解答． 【解答】解：过点P作PH⊥AB于点H， 由题意得，∠A＝180°﹣55°﹣80°＝45°，∠B＝80°﹣20°＝60°， ∵货轮以36kn的速度在海面上行驶．当它行驶到A处，继续沿北偏西80°方向航行5h后到达B处，∴AB＝36×5＝180（kn）． 设BH＝xkn，在Rt△BHP中，∠BHP＝90°，∴tanB＝tan60°， ∴PH kn，∴BP＝2xkn．同理可得，AH＝PH kn， ∵AB＝AH+BH，∴180＝x，解得：x＝9090，∴BP＝2x＝（180180）kn，∴此时货轮与灯塔P的距离为海里． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 33.（2026•碑林区校级模拟）中学生接受劳动教育不仅关乎个人的全面发展，更关系到社会的和谐与进步．某教育集团准备把一块四边形ABCD的空地整理出来作为集团学校的公共劳动教育基地．如图，点C在点D的南偏东45°方向上，点A在点D的北偏东60°方向上，点B在点A的正东方向，点C在点B的正南方向．已知AB＝50m，．求四边形空地的周长．（精确到0.1m；参考数据：，） 【分析】过点D作DE⊥BC于点E，过点A作AF⊥DE于点F，依题意得∠NDA＝60°，∠SDC＝45°，∠B＝90°，进而得∠ADF＝30°，∠EDC＝45°，证明△DEC是直角三角形，由勾股定理DE＝CECD＝200m，证明四边形ABEF是矩形DEFE＝AB＝50m，BE＝AF，则DF＝150m，解Rt△ADF得AFm，ADm，由此得BCm，据此可得四边形ABCD空地的周长． 【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E，过点A作AF⊥DE于点F，如图所示： ∴∠DEB＝∠DEC＝∠AFE＝∠AFD＝90°，依题意得：∠NDA＝60°，∠SDC＝45°，∠B＝90°，∴∠ADF＝30°，∠EDC＝45°， 在△DEC中，∠DEC＝90°，∠EDC＝45°，∴△DEC是直角三角形，∴DE＝CE， 在Rt△DEC中，CDm，由勾股定理得：CDDE， ∴DE＝CECD200（m），∵∠AFE＝∠DEB＝∠B＝90°，∴四边形ABEF是矩形，∴FE＝AB＝50m，BE＝AF，∴DF＝DE﹣FE＝200﹣50＝150（m）， 在△ADF中，∠AFD＝90°，∠ADF＝30°， ∴tan∠ADF，cos∠ADF， ∴AF＝DF•tan∠ADF＝150×tan30°（m）， AD（m）， ∴BE＝AF（m）， ∴BC＝BE+CEm， ∴AB+BC+CD+AD， ∵，， ∴AB+BC+CD+AD≈250+200×1.414+150×1.732＝792.6（m）． 答：四边形ABCD空地的周长约为792.6m． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，灵活利用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 类型七 坡度、坡角问题 34.（2026•灞桥区校级模拟）如图，某数学兴趣小组要测量山坡上的信号发射塔CD的高度，已知信号塔与斜坡AB的坡顶B在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底A处测得塔顶C的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AB爬行了26米，在坡顶B处又测得该塔塔顶C的仰角为66°，求信号发射塔CD的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25） 【分析】过点B作BF⊥AE，垂足为F，根据已知可，从而可设BF＝5x米，则AF＝12x米，然后在Rt△ABF中，利用勾股定理进行计算得到BF；延长CD交AE于点G，根据题意可得：BF＝DG＝10米，BD＝FG，然后设BD＝FG＝x米，则AG＝（x+24）米，在Rt△BDC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，从而求出CG的长，最后在Rt△ACG中，利用锐角三角函数的定义可AG＝CG，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：过点B作BF⊥AE，垂足为F，∵斜坡AB的坡度为1：2.4，∴，∴设BF＝5x米，则AF＝12x米，在Rt△ABF中，AB13x（米），∵AB＝26米，∴13x＝26，∴x＝2，∴BF＝10米，AF＝24米，延长CD交AE于点G，由题意得：BF＝DG＝10米，BD＝FG，设BD＝FG＝x米，则AG＝AF+FG＝（x+24）米，在Rt△BDC中，∠CBD＝66°，∴CD＝BD•tan66°≈2.25x（米），∴CG＝CD+DG＝（2.25x+10）米，在Rt△ACG中，∠CAG＝45°，∴tan45°1， ∴CG＝AG，∴2.25x+10＝x+24，解得：x＝11.2，∴CD＝2.25x＝25.2≈25（米）， ∴联通信号发射塔CD的高度约为25米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 35.（2026•雁塔区校级模拟）某兴趣小组利用所学知识开展以“测量建筑物的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量建筑物的高度 测量工具 皮尺、测角仪等 测量示意图 测量过程 小明从建筑物底端B出发，沿水平方向向右走28步到达点C，又沿坡角为37°的斜坡行走了40步到达点D，此时建筑物在太阳光线AE下的影子端点落在E处，测量DE为100步，同一时刻太阳光线下，1米高的竹竿影长为2.5米． 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，AB⊥BC，小明每一步的长度为0.5米．参考数据：，，． 请根据以上测量数据，求建筑物AB的高度． 【分析】过点C作CF⊥DE，垂足为F，延长AB交DE于点G，则AG⊥DE，根据题意可得：BG＝CF，BC＝GF＝14米，然后在Rt△CFD中，利用锐角三角函数的定义求出CF和DF的长，从而求出EG的长，再在Rt△AGE中，利用相似三角形的性质求出AG的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：过点C作CF⊥DE，垂足为F，延长AB交DE于点G，则AG⊥DE， 由题意得：BG＝CF，BC＝GF＝28步，在Rt△CFD中，∠CDF＝37°，CD＝40步，∴CF＝CD•sin37°≈4024（步），DF＝CD•cos37°≈4032（步）， ∴BG＝CF＝24步，∵DE＝100步，∴GE＝GF+DF+DE＝28+32+100＝160（步）， ∵1米高的竹竿影长为2.5米，∴，∴AG＝64，∴AB＝AG﹣BG＝64﹣24＝40（步），∴建筑物AB的高度约为40步． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． $ 2026陕西中考数学考前冲刺——几何测量张学远新中考 · 个性化学伴 1.由题意得：CD＝BE＝42米，在Rt△BDE中，∠BDE＝22°，∴DE105（米），在Rt△ADE中，∠ADE＝45°， ∴AE＝DE•tan45°＝105（米），∴AB＝AE+BE＝105+42＝147（米），∴法门寺合十舍利塔AB的高度约为147米． 2.【解答】解：∵AB⊥BD，∴∠ABD＝90°，设BE＝xm，∵DE＝26m， ∴BD＝BE+DE＝（x+26）m， 在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴AB＝BD•tan45°＝（x+26）m， 在Rt△ABE中，∠AEB＝56.3°，∴AB＝BE•tan56.3°≈1.5x（m），∴1.5x＝x+26， 解得：x＝52，∴BE＝52m，AB＝x+26＝78（m）， 在Rt△BCE中，∠CEB＝26.5°，∴CB＝BE•tan26.5≈0.5×52＝26（m）， ∴AC＝AB﹣CB＝78﹣26＝52（m），∴这根斜拉索最高点到塔顶的竖直高度AC约为52m． 3.【解答】解：过点F作FD⊥AB于点D，如图：在直角△BFE中，已知BF＝11米，∠EBF＝26.5°．根据正切函数的定义， EF＝BF×tan（26.5°）＝11×0.50＝5.5米．根据相似三角形的性质，对应边成比例：，已知DC＝8米，CA＝3.2米，∴， 又∵∠DEF＝∠PEQ，∴△DEF∽△PEQ，∴，∴． 答：校徽的高度PQ为2.2m． 4.【解答】解：∵CD∥AB， ∴△CDE∽△ABE， ∴， 即①， ∵FG∥AB， ∴△FGH∽△ABH， ∴， 即②， 由①②得， 解得BD＝8， ∴， 解得AB＝4.8， 答：路灯杆AB的高为4.8米． 5.【解答】解：在Rt△BEF中，∠BFE＝63.4°，EF＝3，∠BEF＝90°， ∴BE＝EF•tan∠BFE≈6米， 在Rt△AEF中，∠AFE＝71.5°， ∴AE＝EF•tan∠AFE≈9米， ∴AB＝AE﹣BE＝3米， ∴（平方米）， 答：雕塑底座的底面积为9平方米． 6.【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠MAB＝∠MCD，∠MBA＝∠MDC， ∴△MAB∽△MCD， ∵MN⊥CN，BG⊥CN， ∴， ∴， 解得：MN＝10， ∴路灯（M点）距水平地面的距离MN为10m． 7.【解答】解：点C处测得古塔顶部点A处的俯角∠DCA＝37°，底部点B处的俯角∠DCB＝59°，然后沿水平方向由点C飞行56m到达点D处，在点D处测得点A处的俯角∠D＝45°．延长BA交CD于点M，由题意知BM⊥CD， 设DM＝xm，则CM＝（56﹣x）m， ∵∠CDA＝45°，∴AM＝DM＝xm， ∵∠DCA＝37°，∴， ∴，解得x≈24， ∴AM≈24m，CM≈56﹣24＝32（m）， ∵∠DCB＝59°，∴， 解得AB≈29，答：古塔AB的高度约为29m． 8.【解答】解：如图，延长EF交DG于H， 则四边形HGBE为矩形，∴HG＝BE＝3m，HE＝GB， 在Rt△ABG中，AB＝20m，∠ABG＝18°，则BG＝AB•cos∠ABG≈20×0.95＝19（m），在Rt△DHE中，HE＝BG＝19m，∠DEH＝36.5°， ∵tan∠DEH，∴DH＝EH•tan∠DEH≈19×0.74＝14.06（m）， ∴DG＝DH+HG＝14.06+3＝17.06（m）， 答：点D到地面BC的距离DG约为17.06m． 9.【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，DE⊥BC于点E， 由题意得：CD＝39m，∠ACB＝45°，∠ADF＝20°，DE：CE＝5：12， 在Rt△DCE中，设DE＝5x，CE＝12x，由勾股定理可得：（5x）2+（12x）2＝392，解得x＝3，∴DE＝15m，CE＝36m，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°， ∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB＝BC， 设AB＝BC＝y，∵∠DFB＝∠B＝∠DEB＝90°，∴四边形DFBE为矩形， ∴DF＝BE＝BC+CE＝y+36，BF＝DE＝15m， 在Rt△AFD中，， ∴，解得y≈44m． 答：该风力发电机塔杆AB的高度为44m． 10.【解答】解：如图，延长BA交EF于点G，延长DC交EF于点H， ∵AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD，EF⊥FM，FM∥AB， ∴CD＝AB＝45m．GH＝AC＝1.7m，GF＝2m，∠DHE＝90°， 设EH＝am，则EF＝EH+HG+GF＝a+1.7+2＝（a+3.7）m， 由题意可知，∠ECH＝45°，∠EDH＝22°， ∴CH＝EH＝am，∴， ∵DH﹣CH＝CD，∴2.5a﹣a＝45，解得a＝30， ∴EF＝a+3.7＝33.7（m）． 答：拱顶距离水面的竖直高度EF约为33.7m． 11.【解答】解：由题意可知：BC＝12m，CD＝6m，∠ADE＝30°， 如图：过点D作DF⊥BC，垂足为F，连接AC， ∵斜坡的坡角为45°， ∴CF＝DFCD6＝3（m）， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝∠B＝∠DFB＝90°， ∴四边形BEDF是矩形， ∴BE＝DF＝3（m），DE＝BF＝BC+CF＝（12+3）m， ∵∠ADE＝30°， ∴AE＝DE•tan30°＝（12+3）（4）m， ∴AB＝AE+BE＝434×1.73+2.45+3×1.41＝13.6（m）， ∴大树AB的高度为13.6m． 12.【解答】解：如图：连接ED并延长交AB于点H， 由题意得：HM＝DF＝EG＝1.5m，DE＝FG＝8.8m， 设HD＝xm，则EH＝HD+ED＝（x+8.8）m， 在Rt△AEH中，∠AEH＝37°，∴AH＝EH•tan37°≈0.75（x+8.8）m， 在Rt△AHD中，∠ADH＝45°，∴AH＝DH•tan45°＝x（m）， ∴x＝0.75（x+8.8），解得：x＝26.4，∴AH＝26.4m，∵AB＝21m，∴BM＝AH+HM﹣AB＝6.9（m），∴塔下高台BC的高度约为6.9m． 13.【解答】解：如图，延长BA交EF于点G，延长DC交EF于点H， ∵AC＝BD，EF⊥FM，FM∥AB，AC⊥AB，BD⊥AB，∴四边形ABDC和四边形ACHG都是矩形，∴GF＝2m，∠DHE＝90°，CD＝AB＝45m．GH＝AC＝1.7m， 设EH＝am，则EF＝EH+HG+GF＝a+1.7+2＝（a+3.7）m， 由题意可知，∠ECH＝45°，∠EDH＝22°， ∴△CEH是等腰直角三角形，∴CH＝EH＝am， 在Rt△DEH中，， ∵DH﹣CH＝CD，∴2.5a﹣a＝45，解得a＝30， ∴EF＝a+3.7＝33.7（m）． 答：拱顶距离水面的竖直高度EF约为33.7m． 14.【解答】解：延长DE交AB于点M，则DM⊥AB， 由题意得：BM＝CD＝1米，DM＝CB，∠AFB＝∠HFG，设DM＝CB＝x米， 在Rt△ADM中，∠ADE＝45°，∴AM＝DM•tan45°＝x（米），∵CF＝2.2米， ∴BF＝BC+CF＝（x+2.2）米，∵AB⊥BG，GH⊥BG，∴∠B＝∠G＝90°， ∴△ABF∽△HGF，∴，∴，解得：x＝5.8，∴AM＝5.8米，∴AB＝AM+BM＝6.8（米），∴该槐树的高度AB为6.8米． 15.【解答】解：如图，延长EF交AB于点G， 由题意可得，∠AGE＝∠BGE＝90°，∠AEG＝∠AEF＝26.6°，设AG＝xm，在Rt△AGE中，，∴ （米），∵DE⊥BD，AB⊥BD，∴∠B＝∠D＝∠BGE＝90°，∴四边形BDEG是矩形，∴BD＝EG＝2x米，BG＝DE＝17米，∴AB＝（x+17）米，在Rt△ABC中，，∴米，∴BD＝BC+CD＝0.625（x+17）+10＝2x，解得x＝15，∴AB＝15+17＝32 米，答：点A到地面的高度AB为32米． 16.【解答】解：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，CD＝27m．过点C作CF⊥AB于点F， ∴四边形CDBF是矩形，∴CF＝BD，BF＝CD＝27m， ∵AB⊥BD，∠ADB＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形， ∴AB＝BD，∴CF＝AB，设AE＝xm，则AB＝AE+BE＝（x+38）m，∴CF＝（x+38）m，AF＝AB﹣BF＝（x+38）﹣27＝（x+11）m， 在Rt△ACF中，∠ACF＝36°52′，，∵tan36°52′≈0.75， ∴，解得：x＝70（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， ∴山顶铁塔的高度AE为70m． 17.【解答】解：延长PM交AB于H，∵MN⊥BQ，MP⊥MN， ∴PH∥BQ，∵AB⊥BQ，MN⊥BQ，∴四边形MNBH是矩形， ∴BH＝MN＝1.8米，BN＝MH，在Rt△AMH中，∵∠AMH＝45°，∴AH＝MH， 设AH＝MH＝BN＝x米，∴BQ＝（x+4.4）米，PH＝（2+x）米， ∵PH∥BQ，∴△APH∽△AQB， ∴， ∴，∴x＝6， ∴AB＝6+1.8＝7.8（米）， 答：实验楼AB的高度为7.8米． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 18.【解答】解：由题意知，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD， ∴△ABC∽△EDC． ∴，即． 在Rt△BAF中，∠AFB＝71.5°， ∴，即． ∴． ∴，解得AB＝39． ∴紫云楼的高度AB为39米． 19.【解答】解：过点C作CH⊥AB，垂足为H， 由题意得CD＝BH＝0.5米，CH＝BD，设CH＝BD＝x米，在Rt△ACH中，∠ACH＝50.2°，∴AH＝CH•tan50.2°≈1.2x（米），∵DF＝6米，FG＝2米，∴BG＝FG+DF+BD＝（x+8）米，∵EF⊥BG，AB⊥BG，∴∠ABG＝∠EFG＝90°， ∵∠EGF＝∠AGB，∴△EGF∽△AGB，∴，∴，解得：x＝18，∴AB＝1.2x+0.5≈22（米），∴这棵古树的高度AB约为22米． 20.【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F， 则四边形CDBF为矩形，∴CF ＝ BD ＝ DE+BE ＝ 2.0+BE，CD＝BF＝1.5米，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠CDE＝∠ABE＝90°．又∵∠CED＝∠AEB，∴△CDE∽△ABE．∴，即，． 在Rt△ACF中，∠ACF＝26.6°，． ∵AF＝AB﹣BF＝AB﹣1.5，，且tan26.6°≈0.50，∴ ，，，AB＝7.5≈8． 答：这棵树AB的高度约为8米． 21.【解答】解：过点A作AN⊥PQ于N，如图，∵PQ⊥DB，CD⊥DB， ∴∠PQM＝∠CDM＝90°，∵平面镜反射，∠PMQ＝∠CMD，∴△PQM∽△CDM． ∴，∵CD＝1.5，DM＝1.5，∴，即PQ＝QM．设PQ＝x米， 则QM＝x．∵AN⊥PQ，PQ⊥DB，AB⊥DB，∴四边形ANQB是矩形， ∴PN＝PQ﹣NQ＝PQ﹣AB＝x﹣1.5，AN＝QB＝BM﹣QM＝164﹣x． 在Rt△PAN中，tan∠PAN，∵∠PAN＝56.3°，tan56.3°≈1.50，∴1.5， 解得 x＝99，经检验 x＝99是原方程的解，∴该大厦的高度PQ为99米． 22.【解答】解：由题意得：AB∥A′B′， ∴△AOB∽△A′OB′， ∴，即， 解得：A′B′＝3.6， 由题意得：OP∥A′B′，四边形ABOP为矩形， ∴△PFO∽△A′FB′，OP＝AB＝7.2厘米， ∴， 即， 解得：OF， 答：OF的长为厘米． 23.【解答】解：方案一： 如图①，将△EFG向右平移至点A，得到△AMN，过点D作DH⊥AB于点H， ∴△EFG≌△AMN，FG∥MN，四边形ACDH是矩形， ∵标杆EF＝1.5m，影长EG＝2m，同时旗杆AB落在地上的影长AC＝11.6m，落在墙上的影长CD＝1.7m， ∴AM＝EF＝1.5m，AN＝EG＝2m，HD＝AC＝11.6m，AH＝CD＝1.7m， ∵FG∥BD，∴MN∥BD，∴∠AMN＝∠HBD， 又∵∠MAN＝∠BHD＝90°，∴△HBD∽△AMN，∴，即， ∴HB＝8.7m，∴AB＝BH+AH＝8.7+1.7＝10.4（m）； 方案二：如图②，过D作DM⊥AB于M交EF于N， ∵DC⊥AC，FE⊥AC，AB⊥AC，∴四边形CDNE，四边形AMNE是矩形， ∵标杆EF＝2m，小明的眼睛距地面高CD＝1.6m，CE＝1m，AE＝21m， ∴DN＝CE＝1m，MN＝AE＝21m，NE＝AM＝CD＝1.6m， ∴FN＝EF﹣EN＝2﹣1.6＝0.4（m），DM＝DN+MN＝22（m）， ∵FN∥BM，∴△DFN∽△DBM，∴，即，∴BM＝8.8m， ∴AB＝AM+MB＝8.8+1.6＝10.4（m）， 答：学校旗杆的高度是10.4m． 24.【解答】解：∵AB⊥BE，DC⊥BE，∴∠B＝∠DCE＝90° 又AC∥DE，∴∠ACB＝∠E∴△ABC∽△DCE，∴， ∵DC＝1.8米，CE＝2米，∴， 整理得AB＝0.9BC①；由平面镜反射原理得：∠APB＝∠GPF， 又AB⊥BE，FG⊥BE，DC⊥BE，∴∠ABP＝∠GFP＝90°，∴△ABP∽△GFP，∴，∵FG＝1.5米，PF＝1米，又BP＝BC﹣PC，PC＝CF+PF＝11+1＝12（米），∴BP＝BC﹣12，∴，整理得：AB＝1.5（BC﹣12）② 联立①②得0.9BC＝1.5（BC﹣12），解得BC＝30， ∴AB＝0.9×30＝27（米），答：鸿门寺塔的高AB为27米． 25.【解答】解：由题意可知，， 即， 解得AC＝20.8， ∵∠BCD＝90°，CD＝17m，∠BDC＝48°． ∴BC＝17×tan48°＝18.87m， ∴AB＝AC﹣BC＝20.8﹣18.87＝1.93≈1.9m， 答：广告牌AB的高度约等于1.9m． 26.【解答】解：如图，延长AM交BP于点Q，延长FC交AB于点O， 由题可得：∠AQB＝∠P，CF∥DE，四边形OCDB是矩形， 则OB＝CD＝0.6m，∠AOM＝90°，∠AMO＝∠AQB＝∠P，OC＝BD＝24m， ∴OM＝OC+CM＝24.6m，∠HNP＝∠AOM＝90°，∴△AOM∽△HNP，∴，∴，即，∴AO＝16.4m， ∴AB＝AO+OB＝17m，∴挂甲柏的高度AB为17m． 27.【解答】解：∵同一时刻，太阳光线是平行的，∴BF∥CE， ∴∠BFA＝∠CEF， ∵AB⊥AG，CF⊥AG，∴∠BAF＝∠CFE＝90°， ∴△BAF∽△CFE，∴，即， ∴AB＝1.5AF， ∵AB⊥AG，DH⊥AG，∴DH∥AB， ∴△DHG∽△ABG，∴，即， 解得AF＝20，经检验，符合题意， ∴AB＝30， 即该塔的高度AB为30m． 28.【解答】解：设BC＝x，AB＝y，∵眼睛位于点E处时，恰好在平面镜中看到塔顶端A的像，∴∠DCE＝∠ACB，∴tan∠DCE＝tan∠ACB，∴，∵CD＝1米，DE＝1.8米，∴，∴，∵DH＝27米，∴，∵∠AHB＝37°，tan37°≈0.75∴，解得：y＝36，经检验，y＝36是分式方程的解，且符合题意，∴八云塔的高度AB为36米． 29.【解答】解：此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点E），如图，过点B作BF∥CD， ∴∠BCD+∠CBF＝180°， ∵∠ABC＝35°，∴∠CBF＝90°﹣35°＝55°，∴∠BCD＝180°﹣55°＝125°， 如图，过点E作CD的垂线交AB于点F， ∵∠BCD＝125°，∴∠ECF＝180°﹣125°＝55°，， ∴EF＝CE•tan∠ECF＝10×tan55°≈10×1.43＝14.3（cm）， ∵14.3+0.7＝15（cm），∴乘客水杯的最大高度约为15cm． 30.【解答】解：（1）①过点A作AG∥BC，如图1，则∠BAG＝∠ABC＝70°， ∵BC∥OE，∴AG∥OE，∴∠GAO＝∠AOE＝90°，∴∠BAO＝90°+70°＝160°， ②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，则AF＝AB•sin∠ABF＝40sin70°≈37.6（cm）， 则投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF+OA﹣CD≈37.6+6.4﹣8＝36（cm）；（2）过点D作DH⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，如图3，∵∠MBA＝70°，∠ABC＝30°，∴∠MBC＝40°，在Rt△BMC中，MC＝BC•sin∠MBC＝45sin40°≈28.8（cm），则投影探头的端点D到桌面OE的距离≈CD+36﹣MC﹣CD≈36﹣28.8＝7.2（cm）．故投影探头的端点D到桌面OE的距离约为7.2cm． 31.【解答】解：过点A作AG⊥EH于G，过点M作MN⊥AG于N，如图所示， 则四边形MEGN为矩形，∴EG＝MN，NG＝ME＝27（cm）， 在Rt△AMN中，sin∠AMN，cos∠AMN， ∴AN＝AM×sin37°≈106（cm），MN＝AM×cos37°≈108（cm）， ∴EG＝8cm，AG＝AN+NG＝6+27＝33（cm）， ∵∠ACG＝60°，∴CG1119.02（cm）， ∴EC＝EG+CG＝8+19.02≈27（cm）， 答：EC的长约为27cm． 32.【解答】解：过点P作PH⊥AB于点H， 由题意得，∠A＝180°﹣55°﹣80°＝45°，∠B＝80°﹣20°＝60°， ∵货轮以36kn的速度在海面上行驶．当它行驶到A处，继续沿北偏西80°方向航行5h后到达B处，∴AB＝36×5＝180（kn）． 设BH＝xkn，在Rt△BHP中，∠BHP＝90°，∴tanB＝tan60°， ∴PH kn，∴BP＝2xkn．同理可得，AH＝PH kn， ∵AB＝AH+BH，∴180＝x，解得：x＝9090，∴BP＝2x＝（180180）kn，∴此时货轮与灯塔P的距离为海里． 33.【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E，过点A作AF⊥DE于点F，如图所示： ∴∠DEB＝∠DEC＝∠AFE＝∠AFD＝90°，依题意得：∠NDA＝60°，∠SDC＝45°，∠B＝90°，∴∠ADF＝30°，∠EDC＝45°， 在△DEC中，∠DEC＝90°，∠EDC＝45°，∴△DEC是直角三角形，∴DE＝CE， 在Rt△DEC中，CDm，由勾股定理得：CDDE， ∴DE＝CECD200（m），∵∠AFE＝∠DEB＝∠B＝90°，∴四边形ABEF是矩形，∴FE＝AB＝50m，BE＝AF，∴DF＝DE﹣FE＝200﹣50＝150（m）， 在△ADF中，∠AFD＝90°，∠ADF＝30°， ∴tan∠ADF，cos∠ADF， ∴AF＝DF•tan∠ADF＝150×tan30°（m）， AD（m）， ∴BE＝AF（m）， ∴BC＝BE+CEm， ∴AB+BC+CD+AD， ∵，， ∴AB+BC+CD+AD≈250+200×1.414+150×1.732＝792.6（m）． 答：四边形ABCD空地的周长约为792.6m． 34.【解答】解：过点B作BF⊥AE，垂足为F，∵斜坡AB的坡度为1：2.4，∴，∴设BF＝5x米，则AF＝12x米，在Rt△ABF中，AB13x（米），∵AB＝26米，∴13x＝26，∴x＝2，∴BF＝10米，AF＝24米，延长CD交AE于点G，由题意得：BF＝DG＝10米，BD＝FG，设BD＝FG＝x米，则AG＝AF+FG＝（x+24）米，在Rt△BDC中，∠CBD＝66°，∴CD＝BD•tan66°≈2.25x（米），∴CG＝CD+DG＝（2.25x+10）米，在Rt△ACG中，∠CAG＝45°，∴tan45°1， ∴CG＝AG，∴2.25x+10＝x+24，解得：x＝11.2，∴CD＝2.25x＝25.2≈25（米）， ∴联通信号发射塔CD的高度约为25米． 35.【解答】解：过点C作CF⊥DE，垂足为F，延长AB交DE于点G，则AG⊥DE， 由题意得：BG＝CF，BC＝GF＝28步，在Rt△CFD中，∠CDF＝37°，CD＝40步，∴CF＝CD•sin37°≈4024（步），DF＝CD•cos37°≈4032（步）， ∴BG＝CF＝24步，∵DE＝100步，∴GE＝GF+DF+DE＝28+32+100＝160（步）， ∵1米高的竹竿影长为2.5米，∴，∴AG＝64，∴AB＝AG﹣BG＝64﹣24＝40（步），∴建筑物AB的高度约为40步． 老师备课、家长伴学、学生提高01 学科网（北京）股份有限公司 $