精品解析：浙江省杭州学军中学2025-2026学年高一下学期6月阶段性测试数学试题

杭州学军中学2025学年第二学期阶段性测试 高一数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分. 1. 已知集合，若，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 2. 已知复数满足条件，则（ ） A. B. C. D. 3. 设α，β是两个不同的平面，则的充要条件是（ ） A. 存在无数条直线与α，β都平行 B. 存在无数个平面与α，β都垂直 C. 对任意的直线，都存在直线，使得 D. 对任意的直线，都存在直线，使得 4. 已知在R上满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 正多面体的研究始于古希腊柏拉图学派，正四面体与正八面体是其中最具代表性的两类．将正四面体的棱的中点相连，内部会形成一个完美的正八面体，这一结构是空间对称性的经典体现．如图，在正四面体ABCD中，连接各棱的中点构造出正八面体，若该正八面体的相对顶点连线，则正四面体的高为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，已知，则三角形的形状为 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 7. 如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 定义在上的函数满足，且当时，对，，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对部分得分，不选、错选得0分. 9. 已知事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若与相互独立，则 D. 若发生时一定发生，则 10. 声音是由物体振动产生的声波．纯音的数学模型是函数，我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为，记，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上恰有3个零点 C. 的图象关于点中心对称 D. 的最大值为 11. 如图，圆锥的轴截面为正三角形，底面圆的半径为，CD，EF为圆的两条直径，且，母线PC，PD与该圆锥的内切球O分别切于A，B两点，则（ ） A. 圆锥的体积为 B. 球O与圆锥的公共点的轨迹的周长为 C. 异面直线BF与PA所成角为 D. 平面AEF截球O的截面面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 13. 甲、乙二人进行一次围棋比赛，每局胜者得分，负者得分，约定一方比另一方多分或满局时比赛结束，并规定：只有一方比另一方多三分才算赢，其它情况算平局，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，则这次比赛经过局结束的概率为_________． 14. 若a，，若对任意实数x，都有恒成立，则的最大值为_______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的图象，求函数在上的取值范围. 16. 已知函数是偶函数． （1）求实数的值； （2）若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围． 17. 某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者.比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图. （1）若规定成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ （2）已知落在内的平均成绩是分，方差是分，落在内的平均成绩是分，方差是分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、、；、、，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 18. 如图，已知三棱锥，，，，，， （1）求证：平面； （2）求三棱锥外接球的表面积； （3）若点为三棱锥外接球的球心，求平面与平面所成角的余弦值． 19. 若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“函数”． （1）试判断函数是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数是“函数”，求实数a的取值范围； （3）若函数为“函数”，，对任意正数，都有，，证明：对任意，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学2025学年第二学期阶段性测试 高一数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分. 1. 已知集合，若，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据列不等式，由此求得的取值范围，进而求得的最大值. 【详解】依题意，， 由于， 所以，解得， 所以的最大值为. 2. 已知复数满足条件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由共轭复数以及乘法运算求解即可. 【详解】设，所以，又因为， 所以， 所以，解得. 3. 设α，β是两个不同的平面，则的充要条件是（ ） A. 存在无数条直线与α，β都平行 B. 存在无数个平面与α，β都垂直 C. 对任意的直线，都存在直线，使得 D. 对任意的直线，都存在直线，使得 【答案】C 【解析】 【分析】借助于长方体模型逐一判断各选项即可. 【详解】   如上图，作长方体，取平面，平面分别为平面. 对于A，因，且，且，则， 显然可作无数条与平行且不在平面的直线，即存在无数条直线与都平行，但不平行，故A错误； 对于B，因平面与平面均垂直，且显然可作无数个与平面平行的平面， 即存在无数个平面与都垂直，但不平行，故B错误； 对于D，由上图，显然，且，在平面内作一条与垂直相交的直线，则， 从而对平面内的任意直线，都有，即对任意的直线，都存在直线．使得，但不平行，故D错误；    对于C，假设为两相交平面，如上图取平面，平面分别为平面， 则，对于任意的直线，（不妨设与相交）都存在直线，使得，因， 则有，又因，则有，这与与相交矛盾，故假设不成立，故有，充分性成立； 反过来，时，对于任意的直线，都可以过直线和平面内一点作一个平面，使， 则必有，故必要性成立，故C正确. 4. 已知在R上满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 5. 正多面体的研究始于古希腊柏拉图学派，正四面体与正八面体是其中最具代表性的两类．将正四面体的棱的中点相连，内部会形成一个完美的正八面体，这一结构是空间对称性的经典体现．如图，在正四面体ABCD中，连接各棱的中点构造出正八面体，若该正八面体的相对顶点连线，则正四面体的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设正四面体的棱长为，连接各棱中点形成的正八面体的棱长为. 根据题意，正八面体相对顶点连线，由于正八面体可内接于正方体， 其体对角线（相对顶点连线）等于棱长的倍，故有： ，解得. 正四面体的高公式为，将代入得： . 6. 在中，已知，则三角形的形状为 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】B 【解析】 【详解】在中，已知，由正弦定理可得： 即. 所以，即.三角形为等腰三角形. 故选B. 7. 如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】通过向量的数量积化简后根据正弦定理将边转化为角，通过诱导公式及两角和的余弦公式解方程即可. 【详解】如图，取的中点D，由外心的性质可知，所以. 由可得. 对两边同时点乘， 得， 所以， 由，知，所以， 由正弦定理得， 所以. 在中，，所以， 又， 所以， 所以，解得. 8. 定义在上的函数满足，且当时，对，，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知可得在上的值域是在上值域的子集，根据已知先求出在的值域，结合，即可求出在上的值域，利用单调性可求出在上的值域，即可求出结论. 【详解】当时，，此时单调递减，所以， 当时，， 此时单调递增，所以， 在上的值域为， ， 当时，， 在上的值域为， 当 时，在上为增函数，所以在上的值域为， 依题意， ，解得， 当 时，在上为减函数，所以在上的值域为， 依题意， ，解得， 当 ：，值域为 ，不包含 ，舍去. 故a的取值范围是. 故选：D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对部分得分，不选、错选得0分. 9. 已知事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若与相互独立，则 D. 若发生时一定发生，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据互斥事件概率加法公式求解判断A，根据独立事件乘法公式和概率的性质求解判断B，结合对立事件概率公式，利用独立事件乘法公式求解判断C，根据事件关系求解概率判断D. 【详解】选项A：与互斥，则，正确； 选项B：与相互独立，所以， 从而，正确； 选项C：，正确； 选项D：发生时一定发生，则，，不正确. 故选：ABC. 10. 声音是由物体振动产生的声波．纯音的数学模型是函数，我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为，记，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上恰有3个零点 C. 的图象关于点中心对称 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A.利用周期的定义作判定； B.直接求解在区间的零点，从而得到零点的个数； C. 中心对称的充要条件是：对任意，有； D.举出反例，说明的最大值不是. 【详解】选项 A：， 因为， 所以不是的最小正周期，因此A 错误； 选项 B： ， 令，则：，或， 在上的解为， ，即，在上的解为（与上述解重合）， 因此零点为，共 3 个，B 正确。 选项 C： 因为 所以，图象关于点中心对称，C 正确； 选项 D：， 因为 所以的最大值不是，D 错误. 11. 如图，圆锥的轴截面为正三角形，底面圆的半径为，CD，EF为圆的两条直径，且，母线PC，PD与该圆锥的内切球O分别切于A，B两点，则（ ） A. 圆锥的体积为 B. 球O与圆锥的公共点的轨迹的周长为 C. 异面直线BF与PA所成角为 D. 平面AEF截球O的截面面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，求得，且，结合体积公式，可判定A正确；得到公共点的轨迹是以AB为直径的圆，可判定B错误；连，证得平面，得到，可判定C正确；求得球半径为，结合等体积法，可判定D正确． 【详解】对于A，由已知得,所以，且， 所以圆锥的体积为，所以A正确； 对于B，由公共点的轨迹是以AB为直径的圆，因为为正三角形，所以为中点，，所以轨迹的周长为，所以B错误； 对于C，连，可得，且， 由，且，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以为等腰直角三角形，所以，所以C正确； 对于D，设球半径为，则 ，可得， 由，且， 可得到平面的距离为，所以截面圆的半径为， 所以平面AEF截球O的截面面积为，所以D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据分段函数的性质求解即可. 【详解】. 13. 甲、乙二人进行一次围棋比赛，每局胜者得分，负者得分，约定一方比另一方多分或满局时比赛结束，并规定：只有一方比另一方多三分才算赢，其它情况算平局，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，则这次比赛经过局结束的概率为_________． 【答案】 【解析】 【详解】若比赛经过局结束，则甲胜局负局，且前局负局或乙胜局负局，且前局负局， 又甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立， 所以比赛经过局结束的概率为. 14. 若a，，若对任意实数x，都有恒成立，则的最大值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用等价于且，把含绝对值的不等式转化为两个一元二次不等式恒成立问题；再用一元二次不等式在上恒成立的判别式条件，得到与的约束；最后令，将化为关于的二次函数并配方求最大值． 【详解】由题意，对任意实数，都有恒成立． 因为等价于且，所以原条件等价于对任意实数，都有且． 先整理第一个不等式，得对任意实数恒成立． 因为该式左边是关于的二次函数，且二次项系数为，所以需判别式不大于， 即，整理得，即， 故． 再整理第二个不等式，得对任意实数恒成立． 同理，需判别式不大于，即． 因为，所以必须有，即； 并且由，得． 结合与，可得． 令，则，且． 由，得． 因此． 当时，，且取，解得．此时，并满足上述两个判别式条件，所以原不等式对任意实数恒成立． 综上，的最大值为． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的图象，求函数在上的取值范围. 【答案】（1）最小正周期为，增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可得出函数的最小正周期，利用正弦型函数的单调性可求得函数的增区间； （2）利用三角函数图象变换求出函数解析式为，由可求得的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 因为 ， 所以函数的最小正周期为， 由可得， 故函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的图象， 则， 当时，，则，故. 故函数在上的取值范围为. 16. 已知函数是偶函数． （1）求实数的值； （2）若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过偶函数的性质代入化简，求出实数的值，再检验实数是否使为偶函数； （2）对函数表达式进行化简为 ，再使用换元法设，把问题转化为二次函数零点问题求解. 【小问1详解】 由于是偶函数， 所以即， 即 化简，得 所以， 要使等式恒成立，则， 经检验，当时，函数 是偶函数. 【小问2详解】 由于 所以， ， 设，则 因为函数在上只有一个零点，那么 由可得 即 上只有一个零点 所以，关于的方程在上只有一个实根，那么 ， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，；当时， 根据函数图象可知，要使关于的方程在上只有一个实根， 则或，即或 故实数的取值范围为. 17. 某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者.比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图. （1）若规定成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ （2）已知落在内的平均成绩是分，方差是分，落在内的平均成绩是分，方差是分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、、；、、，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图计算样本数据的第百分位数即可； （2）先求出总体平均数，再利用分层抽样的方差公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，进入决赛的同学成绩的分数线为样本数据的第百分位数， 设样本数据的第百分位数为， 由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可得， 解得， 前三个矩形的面积之和为， 前四个矩形的面积之和为，所以， 由百分位数的定义可得，解得， 故进入决赛的同学成绩应不低于分. 【小问2详解】 由题意可知，成绩落在的频率为， 成绩落在的频率为， 所以，， . 18. 如图，已知三棱锥，，，，，， （1）求证：平面； （2）求三棱锥外接球的表面积； （3）若点为三棱锥外接球的球心，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）由，则是的中点， 又，则， 又，，则，且， 所以在中，有，， 所以在中，有， 又，则在中，有，所以， 又，且，平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，三角函数的定义，及勾股定理推出，且，进而结合线面垂直的判定即可证明； （2）结合（1），先根据三角形外接圆的定义，及正弦定理求出该外接圆的半径，再根据外接球的定义，及勾股定理求出外接球的半径，进而即可求出该外接球的表面积； （3）法一：根据面积射影定理公式即可求解； 法二：先作出平面与平面的交线，再找出平面与平面的平面角，进而求出该平面角的余弦值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设外接圆的半径为，为该外接圆圆心，则在直线上， 由正弦定理可得，则， 结合（1）有，则， 设三棱锥外接球的半径为，为该外接球的球心， 则在过圆的圆心且垂直于平面的直线上， 结合（1）有平面，则在平面内，所以平面， 设，过作，且在上，则，，， 在中，有， 在中，有， 即，解得，所以， 所以三棱锥外接球的表面积为． 【小问3详解】 法一：结合（2）可知在平面的投影三角形为， 又结合（1）（2）有，，所以， 又结合（2）有，，则为等腰三角形， 则边上的高为，所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 法二：如图延长与相交于点，则平面与平面的交线为， 过作，且在上， 结合（1）有平面，又平面，则， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以是平面与平面所成角， 结合（1）（2）有，，，， 则，即 ，解得，则， 所以在中，有， 所以， 又平面，又平面，则， 所以平面与平面所成角的正切值为， 故平面与平面所成角的余弦值为． 19. 若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“函数”． （1）试判断函数是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数是“函数”，求实数a的取值范围； （3）若函数为“函数”，，对任意正数，都有，，证明：对任意，都有． 【答案】（1）函数不是“函数”，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可； （2）根据函数是“函数”列出不等式，转化为求最值问题即可； （3）由题意令，得到，进而得到和即可得证. 【小问1详解】 对于，取， 则，． 因为，不满足， 故不是“函数”； 【小问2详解】 因为函数是“函数”， 所以对于任意的， 有恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 又，故， 则， 则，即，即实数的取值范围为 【小问3详解】 由函数为“函数”，可知对于任意正数， 都有，，且， 令，可知，即， 故对于自然数与正数， 都有， 对任意，可得，又， 所以， 同理， 故， 即. 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $