精品解析：浙江杭州学军中学2025-2026学年第二学期月考一高一数学试卷

杭州学军中学2025学年第二学期月考一 高一数学试卷 命题人：章瑜 审题人：胡浩威 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解出各个集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】令，解得，则， 而，则. 故选：B 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算及共轭复数的概念求解即可. 【详解】因为， 所以复数的共轭复数为. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】当时，，所以， 当时，，即，所以或，则或， 故“”是“”的充分不必要条件. 4. 已知的直观图是直角三角形，如图所示，其中 ，则的长度为（ ） A. 8 B. 4 C. 4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面图形直观图的画法，将直观图还原可得. 【详解】因为是直角三角形，， 所以， 画出如图所示， ， 所以. 故选：B. 5. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解． 【详解】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 6. 在三棱柱中，侧棱底面，且三棱柱的体积为，的面积为．则点到平面的距离为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用等体积法求解，先用直三棱柱体积为，得出三棱锥的体积为，设点到平面的距离为，结合的面积为，根据三棱锥体积公式即可得出结果． 【详解】 设点到平面的距离为， 因为,, 所以， 因为，所以， 即点到平面的距离为． 7. 设Q是线段的中点，P是直线外一点.A，B为线段上的两点，，且， ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】选择为基底法，由， ，求得.根据向量共线定理及，确定点的位置，从而求得. 【详解】由已知， ； ； 联立可得. 设，. 则. 因为，所以，解得. 所以，点是上靠近点的三等分点， 所以； 8. 对任意，都存在，使得成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，得到，，，根据绝对值不等式的性质，求得，即，进而求得实数的取值范围. 【详解】设，， 则，，， 则 ， 同理可得：， 所以， 所以， 因为对任意，都存在，使得成立， 即，所以，即实数的取值范围为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在上的投影向量为 C. 与夹角的余弦值为 D. 若与垂直，则实数 【答案】AC 【解析】 【详解】对A，，则，故A正确； 对B，在上的投影向量为，故B错误； 对C，与夹角的余弦值为，故C正确； 对D，，若与垂直， 则，解得，故D错误. 10. 已知函数的部分图像如图所示，则（    ） A. B. 是图象的一条对称轴 C. 在上的值域为 D. 已知函数，当取最大值时， 【答案】ABD 【解析】 【详解】由图像可知，解得，又，所以， 因为符合五点作图法的第三点，所以，即，又因为，所以，所以． 对于A， ，A正确； 对于B，由，得，当时，，所以是对称轴，B正确； 对于C，当时，， 因为，，，所以在上的值域为，C错误； 对于D， ， 令， 故， 当取最大值时，， 所以，即， 所以，D正确． 11. 如图，底面为边长是的正方形，半圆面底面.点为半圆弧(不含点)一个动点.下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的每个侧面三角形都是直角三角形 B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 三棱锥的外接球的表面积为定值 D. 直线与平面所成最大角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据半圆和正方形的性质，结合线面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理即可判断；对于B，根据题设可判断点为半圆弧的中点时，三棱锥的底面积取得最大值，然后利用三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积的最大值后即可判断；对于C，结合图形可判断三棱锥的外接球的球心为的中点，然后利用球的体积公式即可求得三棱锥的外接球的表面积，进而判断为定值；对于D，结合图形过点作，连接，则可判断为直线与平面所成角的平面角，设，列出线面角正弦值关于的关系式，换元后利用基本不等式即可求解. 【详解】对于A，因为底面为边长是的正方形，所以， 又半圆面底面，半圆面底面，底面，所以半圆面； 又半圆面，所以，，所以是直角三角形； 因为是圆的直径，所以，所以是直角三角形； 因为，所以是直角三角形； 因为，，，底面，所以平面；又平面，所以，所以是直角三角形； 所以三棱锥的每个侧面三角形都是直角三角形，故A正确； 对于B，在三棱锥中，半圆面，所以是三棱锥的高； 当点是半圆弧的中点时，三棱锥的底面积取得最大值，此时三棱锥的体积取得最大值，即三棱锥的体积的最大值为，故B错误； 对于C，如图，取的中点，由A选项知，所以点为三棱锥外接球的球心，所以三棱锥外接球的表面积为，故C正确； 对于D，如图，过点作于，连接， 因为半圆面底面，半圆面底面，半圆面，所以面； 所以为在面内的射影，所以为直线与平面所成角的平面角； 设，则，，则在直角三角形中，，， 所以； 所以； 令，则，且，所以； 又，当且仅当，即时，取等号； 所以，所以， 所以，即直线与平面所成最大角的正弦值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了________cm． 【答案】 【解析】 【分析】利用上升水的体积等于实心铁球的体积计算即可得. 【详解】设水面升高了cm，由题意知，解得：. 13. 已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，再结合三点共线的性质，即可得，然后利用代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】 由是边上靠近的三等分点， 可得：， 又因为，所以， 又因为三点共线，所以 又因为， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为. 14. 在直角三角形ABC中，，D为斜边AB上一点，若与的内切圆面积相等，则_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，设，两圆半径为，根据内切圆性质可构建关于、的方程，求出后再结合三角变换和正弦定理可求的长. 【详解】 由题设，两圆半径相等，设内切圆半径为. 设圆为的内切圆，该圆与的切点为， 圆为的内切圆，该圆与的切点为，则为的平分线. 因为，故， 故，故（负值舍去）， 同理， 设，则，， 故且， 所以，即， 故，故（负值舍去）. 故，而为锐角， 故，而，因为锐角， 故，， 所以 ， 在中，由正弦定理可得， 故，故，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）将的图象先向左平移个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数，若，，求的值. 【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间是； （2） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式、正弦的二倍角公式、逆用两角差的正弦公式化简，再求最小正周期及的单调递减区间； （2）求出的图象变换后的解析式，再求出的正余弦值利用凑角可得答案. 【小问1详解】 . 的最小正周期为， 由，，解得，， 所以函数的单调递减区间是. 【小问2详解】 将的图象先向左平移个单位长度，得到函数， 再将其横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得到函数， 据题意有，且，则， 则 . 16. 如图，正四棱台的高为3，且 （1）求证：平面平面； （2）求与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设交于，连接并交于，连接，则根据线面垂直的性质定理得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）取OC中点，连接，先证四边形为平行四边形，结合，利用线面垂直的性质得平面，根据线面角的定义得即为所求，最后在中求解即可. 【小问1详解】 设交于，连接并交于，连接， 由正四棱台的性质可知平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 取OC中点，连接，则， 所以四边形为平行四边形，所以，而平面， 故平面，所以为与平面所成角， ，， ， 所以，即与平面所成角的余弦值为. 17. 在中，角的对边分别为，满足. （1）若，求周长的最小值； （2）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （2）先使用余弦定理把角C计算出来，再运用正弦定理把锐角三角形面积表示成关于角A的三角函数, 通过是锐角三角形计算角A的取值范围再计算面积的取值范围. 【小问1详解】 解：因为, ， 由基本不等式可知,当且仅当时等号成立, 所以,，,即, , 所以,当时，周长有最小值为； 【小问2详解】 因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以， 由正弦定理可得，所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，有，即， 所以，，， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，分别是线段的中点，点在平面内的射影为点. （1）求证：平面； （2）设为棱上一点，，. ①若，请在图中作出三棱柱过三点的截面，并求该截面的面积； ②求二面角的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）①截面图见解析，面积为；② 【解析】 【分析】（1）连接，先证明面，则，易得，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）①取的中点，取的中点，连接，证明，即可得出图形，再求出四边形面积即可； ②过作交于，连接，根据线面垂直的性质可得，则二面角的平面角即为，再解即可. 【小问1详解】 如图所示，连接， 由题意可知面ABC，四边形是菱形， ∵面， ∴， 又∵D是AC中点，是正三角形， ∴， 又面， ∴面， ∵面，∴， 在菱形中，有， 而D，E分别是线段的中点，则，∴， ∵面， ∴面； 【小问2详解】 ①取的中点，取的中点，连接， 则且， 又且，∴且， ∴四边形是平行四边形，∴且， ∵分别为的中点，∴且， ∴， ∴过三点的截面即为四边形， 平面，平面，， 故截面为直角梯形， 又底面是边长为4的等边三角形且， ， ， ∴截面面积为； ②过作交于，连接，则， 平面，平面，， 故二面角的平面角即为， G为棱上一点，且，， ，， ， ， ， 令， ， 由双勾函数的性质可得在上单调递减， ∴，∴ ， 故二面角的取值范围. 【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 19. 已知偶函数和奇函数的定义域均为，且，令. （1）分别求函数和的解析式； （2）若关于的方程在上恰有3个解，求实数的取值范围： （3）把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，设，记，是否存在正整数，使关于的不等式恒成立？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，满足条件的正整数的值为1或2 【解析】 【分析】（1）由函数奇偶性可得，再解方程组即可； （2）分析可得为奇函数且单调递增，进而得到，令，则，即，再结合根的分布求解即可． （3）计算得，进而得到，再确定，得到即可求解． 【小问1详解】 为偶函数，为奇函数，且， ， 由解得； 【小问2详解】 ， 在上单调递增，， 在上单调递增，且为奇函数， ，当且仅当时取等， 在单调递减，在单调递增， ，， 令，则， 当或时，有一个解， 当时，有2个解， 方程， 即， 又为增函数，所以，即， 整理得， 又关于的方程在上恰有3个解， 所以在和分别有一个解， ，解得； 【小问3详解】 把区间等分成份，则等分点的横坐标为，，又， ， 所以   所以 ，   因为， 又，当且仅当时取等， ， 所以 即. 故存在正整数n=1或2，使不等式恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学2025学年第二学期月考一 高一数学试卷 命题人：章瑜 审题人：胡浩威 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知的直观图是直角三角形，如图所示，其中 ，则的长度为（ ） A. 8 B. 4 C. 4 D. 4 5. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱柱中，侧棱底面，且三棱柱的体积为，的面积为．则点到平面的距离为（    ） A. B. C. D. 7. 设Q是线段的中点，P是直线外一点.A，B为线段上的两点，，且， ，，则（ ） A. B. C. D. 8. 对任意，都存在，使得成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在上的投影向量为 C. 与夹角的余弦值为 D. 若与垂直，则实数 10. 已知函数的部分图像如图所示，则（    ） A. B. 是图象的一条对称轴 C. 在上的值域为 D. 已知函数，当取最大值时， 11. 如图，底面为边长是的正方形，半圆面底面.点为半圆弧(不含点)一个动点.下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的每个侧面三角形都是直角三角形 B. 三棱锥的体积的最大值为 C. 三棱锥的外接球的表面积为定值 D. 直线与平面所成最大角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了________cm． 13. 已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是_____. 14. 在直角三角形ABC中，，D为斜边AB上一点，若与的内切圆面积相等，则_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）将的图象先向左平移个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数，若，，求的值. 16. 如图，正四棱台的高为3，且 （1）求证：平面平面； （2）求与平面所成角的余弦值． 17. 在中，角的对边分别为，满足. （1）若，求周长的最小值； （2）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，分别是线段的中点，点在平面内的射影为点. （1）求证：平面； （2）设为棱上一点，，. ①若，请在图中作出三棱柱过三点的截面，并求该截面的面积； ②求二面角的取值范围. 19. 已知偶函数和奇函数的定义域均为，且，令. （1）分别求函数和的解析式； （2）若关于的方程在上恰有3个解，求实数的取值范围： （3）把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，设，记，是否存在正整数，使关于的不等式恒成立？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $