精品解析：浙江省新昌中学、新昌澄潭中学2025-2026学年高一下学期5月知识技能竞赛数学试卷

2025学年第二学期高一基础知识调测试卷 数学试题 2026.5 一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【详解】方法一：，所以； 方法二：根据复数模的性质有. 2. 已知直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（ ） A. 平面内的所有直线与是异面直线 B. 平面内不存在与平行的直线 C. 平面内存在唯一一条直线与平行 D. 平面内的所有直线与都相交 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系逐一判断即可. 【详解】因为任意一条直线与平面有三种位置关系： 即，，， 由题意可知只有这种位置关系， 对于A，平面内过点的直线与直线共面，故A错误； 对于B，因为， 假设存在直线，且， 因为， 所以，与矛盾， 所以平面内不存在与平行的直线，故B正确； 由B可知，C错误； 对于D，平面内不过点的直线，与直线是异面直线，故D错误. 3. 在下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理及向量共线的充要条件判断即可. 【详解】选项A，，故不共线，可作为基底； 选项B，，故共线，不可作为基底； 选项C，，故不共线，可作为基底； 选项D，，故不共线，可作为基底. 4. 如图，在梯形中，，，分别为，的中点，为线段的四等分点（靠近点），记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量加法的三角形法则，将  表示为 ，结合已知条件求出  和  关于基底向量  的表达式，代入计算即可. 【详解】由题意可知，在梯形中，， 又因为，，， 所以 ，即， 则，， 又因为的中点，则， 因为线段的四等分点（靠近点 ）， 则。 因为为的中点，所以， 所以    . 5. 已知空间内三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序）使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，则方案数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，分类讨论为正四棱锥的侧面或对角面两种情况，再结合三边的轮换对称性即可得解. 【详解】空间中三个点，满足，显然点不能同为正四棱锥底面顶点， 当为正四棱锥的侧面时，如图1， 此时分别为底面正方形的一边时，对应的情况数显然是相同的， 不妨以为例，此时符合要求的另两个点在直线同侧，有两种情况， 考虑到三边的轮换对称性，共有6种； 当为正四棱锥的对角面时，如图2， 此时分别为底面正方形的一对角线时，对应的情况数显然也是相同的， 不妨以为例，此时符合要求的另两个点关于直线对称，只有一种情况， 考虑到三边的轮换对称性，共有3种， 所以总共有9种情况. 二、多选题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 6. 已知点，，，若点G与点A，B，C四点构成平行四边形，则点G的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用平行四边形对角线中点重合的性质，结合中点坐标公式求解点坐标，进一步判断即可. 【详解】设点坐标为，平行四边形对角线的中点坐标相同， ①若，为对角线，中点为，中点为 则，，解得，，即，故A满足. ②若，为对角线，中点为，中点为， 则，，解得，，即，故C满足. ③若，为对角线，中点为，中点为， 则，，解得，，即，故D满足. 7. 下列命题正确的是（ ） A. 过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直 B. 过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行 C. 过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线垂直 D. 过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线平行 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据线面垂直的定义进行判断；对于B，过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；对于C，由线面垂直的定义判断；对于D，由平行公理得判断． 【详解】对于A，根据线面垂直的定义，可得经过平面外一点作已知平面的垂线，有且仅有一条，故A正确；对于B，过平面外一点可以作一个平面与已知平面平行， 在这个平行平面内的经过已知点作直线，它就和已经平面平行，故过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，故B不正确；对于C，由直线与平面垂直的性质知：过直线外一点只能作一个平面与这条直线垂直，故C正确；对于D，过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，故D不正确． 故选：AC 8. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，点，将点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点P，将点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点Q，则下列说法正确的是（ ） A. 向量 B. 向量在上的投影向量为 C. 若动点M满足且，则的最小值为 D. 若S是外接圆上的动点，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据定义求出的坐标，即可判断A；根据定义求出，再根据投影向量的定义，求出向量在上的投影向量，即可判断B；由条件表示出，求出的解析式，再利用二次函数求出其最小值，即可判断C；由条件先判断出为直角三角形，将转为，求出，即可判断D. 【详解】因为点，点，所以． 把点绕点沿顺时针方向旋转等价于把点绕点沿逆时针方向旋转， 所以 ，故A错误； 将点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点Q， 所以 ， 所以向量在上的投影向量为 ， 故B正确； 因为，所以， 所以 ， 所以， 所以当时，的最小值为，故C正确； 因为，，， 所以，所以为直角三角形， 所以外接圆的圆心为直径的中点，所以. 因为，所以， 所以，故D错误. 9. 在棱长为2的正方体中，P是棱的中点，点Q在线段，满足，点F为侧面内的一动点，则下列说法正确的为（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 若，则F点的轨迹是线段 C. 若平面，则点F的轨迹长度为 D. 若点F在线段上，则的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】在正方体中，由平面，得到，即可判断A；通过证明平面，得到平面，进而得到F点的轨迹，即可判断B；通过证明平面平面，得到平面，进而得到线段就是点的轨迹，求出，即可判断C；将沿着翻折，使其与在同一平面内，则的最小值就是，在展开之后的中，利用余弦定理求出，即可判断D. 【详解】 如图所示，在正方体中，平面， 又平面，所以， 即直线与直线所成角为，故A正确； 在正方体中， 因为平面，又平面，所以. 在正方形中，， 因为，平面，所以平面. 因为平面，若，则平面. 因为点F在侧面内，所以线段就是F点的轨迹，故B正确； 如图所示，取上靠近的三等分点，的中点，连接， 则在正方形中，可得. 又平面，平面，所以平面. 又因为分别是的中点，所以，且， 可知四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 因为平面，，所以平面平面. 因为平面，若平面，则平面. 又点F在侧面内，所以线段就是点的轨迹， 因为， 所以点F的轨迹长度不是，故C错误； 如图所示，将沿着翻折，使其与在同一平面内，连接， 与的交点即为点，则的最小值就是. 因为平面，又平面，所以， 在，. 又为等边三角形，所以. 所以在展开之后的中，， 由余弦定理可得 ， 所以的最小值为，故D正确. 三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 10. 在中，已知，，，则____． 【答案】 ## 【解析】 【详解】因为，又，所以， 由正弦定理可得，代入已知条件得， 所以. 11. 若满足，则的最大值是_______. 【答案】## 【解析】 【分析】先分析几何意义，再求的最大值 【详解】表示到点的距离为3的点的集合， 由图可知，当动点为延长线与圆C的交点时，取得最大值 ，因为的长度等于，所以的最大值是. 12. 如图，在中，已知，，，AC边上的中线BN与的角平分线AM相交于点P，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出并确定三角形形状，再利用数量积的运算律及向量夹角公式求解. 【详解】在中，，由余弦定理得， 则，，由平分，得， ，， ，由为边上中线，得， ，， 因此 ， 所以. 13. 在三棱锥中，，，棱上分别存在点（包含端点），直线与平面，平面所成角分别为和，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三棱锥的性质，结合已知条件求出相关线线、线面、面面的垂直关系，利用几何法表示，得出，分析得出为定值，进而把问题转化为求的最小值，运用几何法得出当为异面直线中垂线时最小，进而求出的最大值． 【详解】取中点，连接， 由可知，均为等边三角形， 故，且， 已知，则，故， 又，， 平面，平面，且平面平面，交线为， 平面平面，平面平面， 作，连接，则平面，平面， 则即为与平面所成角，即为与平面所成角， ， ， 设，则， 则， ， 平面， 平面，故， 异面直线的公垂线段即为中斜边上的高， 在中，， 即，解得，即为最小值， ． 四、解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 已知． （1）求与垂直的单位向量的坐标； （2）设，若向量，共线，求k的值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）结合垂直条件和单位向量模长为1列方程组求解； （2）利用共线向量的坐标关系列方程求参数. 【小问1详解】 设单位向量，由且可得：  ， 将代入第二个方程得，解得，对应， 故所求单位向量坐标为或. 【小问2详解】 ，， 由两向量共线的坐标条件得：， 化简得，解得. 15. 如图，是的中线，，用向量方法证明是直角三角形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 由平面向量基本定理可知，任一向量都可由同一个基底表示．本题可取为基底，用它表示，．证明，可得，从而证得是直角三角形． 【详解】证明：设，，则，，于是． ． 因为， 所以． 因为， 所以． 因此． 于是是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，证明一个角为直角，只需转化成对应的向量相乘等于即可。属于基础题。 16. 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D. 现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高. 【答案】 【解析】 【详解】在△BCD中， . 由正弦定理得 所以 在Rt△ABC中， 塔高为. 17. 如图，是正三角形，和都垂直于平面，且，是的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成的角的大小； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：取的中点，连接， 因为是的中点． 所以，， 因为和都垂直于平面， 所以，又， 所以，， 所以四边形为平行四边形， ，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过构造辅助线和利用平行线的性质证明线面平行；（2）由异面直线所成角的定义作出异面直线与所成的角或补角，求出角的度数；（3）先求底面积，通过线面垂直的判定得到平面，代入体积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以即为异面直线与所成的角或补角， 是正三角形，是的中点， 所以， 异面直线与所成的角为. 【小问3详解】 因为是的中点． 所以， 是正三角形，是的中点， 所以，， 因为平面，平面， 所以， ，所以平面， 因为， 所以平面，， . 18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）已知， （ⅰ）若的面积为，求b，c； （ⅱ）求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） （ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）通过正弦定理边化角结合三角恒等变换求角A； （2）（ⅰ）结合面积公式和余弦定理列方程组求解边长；（ⅱ）借助余弦定理和基本不等式求面积最大值. 【小问1详解】 由正弦定理将已知等式边化角得：  ， 代入， 消去得：  . 因为，两边同除以得， 用辅助角公式化简为， 即 又，故，解得. 【小问2详解】 （ⅰ）已知，， 代入得： ，解得 . 由余弦定理， 代入数据得， 将代入得 ， 联立得，故. （ⅱ）由余弦定理得，由基本不等式得：  ，当且仅当时取等号， 则，故面积最大值为. 19. 如图，直四棱柱的所有棱长均为2，，M，N分别为AD，的中点． （1）求证：平面平面； （2）若动点P满足，且． （ⅰ）若，E为上一动点，且平面ABCD，求EP的最小值； （ⅱ）若，点O为三棱锥外接球的球心，求OP的取值范围． 【答案】（1）如图，设，连接， 因直四棱柱的所有棱长均为2，且M，N分别为AD，的中点， 则， ，又因，则， ，易得，则， 故是二面角的平面角. 又因，可得，故平面平面. （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）设，连接，分别证明，，得出是二面角的平面角，通过计算借助于勾股定理证明即得证； （2）（ⅰ）连接，并在其上任取点，分别作，交于点，作交于点，证明平面平面，即得平面，利用推得，由，借助于向量数量积的运算律将其转化成关于的二次函数，利用其性质即可求得；（ⅱ）分别取的中点，连接，由条件推得，即点在射线上，作平面于，由可得点为的外心，外接球的球心满足平面，半径为，借助于直角梯形由勾股定理即可求得，利用二次函数性质即可求得的范围，进而得到OP的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）当时，，即点为线段上的一个动点， 如图连接，并在其上任取点，分别作，交于点，作交于点，连接， 因，平面，平面，则平面，同理可得平面， 因平面，故平面平面，又平面，则平面， 因，则， ，则， 易得， ，则， ， 由两边取平方， 可得， 因，故当时，，此时取得最小值； （ⅱ）分别取的中点，连接，则， 当时，，则点在射线上， 设，易得点为的外心，作平面于，则，且点在射线上. 三棱锥外接球的球心满足平面，则，连接， 设三棱锥外接球半径为，因，则，， 则，在中，， 于是有，化简得， 因，该函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值，此时取得最小值； 当时，取得最大值10，此时取得最大值，故OP的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期高一基础知识调测试卷 数学试题 2026.5 一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 已知直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（ ） A. 平面内的所有直线与是异面直线 B. 平面内不存在与平行的直线 C. 平面内存在唯一一条直线与平行 D. 平面内的所有直线与都相交 3. 在下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图，在梯形中，，，分别为，的中点，为线段的四等分点（靠近点），记，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间内三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序）使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，则方案数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、多选题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 6. 已知点，，，若点G与点A，B，C四点构成平行四边形，则点G的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题正确的是（ ） A. 过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直 B. 过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行 C. 过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线垂直 D. 过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线平行 8. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，点，将点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点P，将点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点Q，则下列说法正确的是（ ） A. 向量 B. 向量在上的投影向量为 C. 若动点M满足且，则的最小值为 D. 若S是外接圆上的动点，则 9. 在棱长为2的正方体中，P是棱的中点，点Q在线段，满足，点F为侧面内的一动点，则下列说法正确的为（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 若，则F点的轨迹是线段 C. 若平面，则点F的轨迹长度为 D. 若点F在线段上，则的最小值是 三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 10. 在中，已知，，，则____． 11. 若满足，则的最大值是_______. 12. 如图，在中，已知，，，AC边上的中线BN与的角平分线AM相交于点P，则______． 13. 在三棱锥中，，，棱上分别存在点（包含端点），直线与平面，平面所成角分别为和，则的最大值是______． 四、解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 已知． （1）求与垂直的单位向量的坐标； （2）设，若向量，共线，求k的值． 15. 如图，是的中线，，用向量方法证明是直角三角形． 16. 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D. 现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高. 17. 如图，是正三角形，和都垂直于平面，且，是的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成的角的大小； （3）求三棱锥的体积． 18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）已知， （ⅰ）若的面积为，求b，c； （ⅱ）求的面积的最大值． 19. 如图，直四棱柱的所有棱长均为2，，M，N分别为AD，的中点． （1）求证：平面平面； （2）若动点P满足，且． （ⅰ）若，E为上一动点，且平面ABCD，求EP的最小值； （ⅱ）若，点O为三棱锥外接球的球心，求OP的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $