期末解答题专项训练2025-2026学年北京版数学八年级下册（四大板块）

**基本信息** 聚焦北京版八年级下册四大核心模块，以解答题为载体，系统覆盖一次函数、四边形、一元二次方程及数据的分析，注重知识逻辑链与解题能力的层级递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数|5题|含函数关系式求解、图像与几何结合、平移及不等式应用|从概念抽象到图像性质，再到几何综合，培养几何直观与抽象能力| |四边形|5题|涉及平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定与性质证明|从基本判定到特殊四边形性质，形成推理链条，发展推理意识| |一元二次方程|5题|包含解方程、根的判别式及增长率、面积、利润应用题|从代数解法到实际问题建模，体现模型意识与应用能力| |数据的分析|5题|涵盖平均数、众数、中位数计算及统计图表应用|从数据收集到分析推断，培养数据意识与决策能力|

期末解答题专项训练2025-2026学年北京版 八年级下册（四大板块） 板块一：一次函数 1.已知＋2与－1成正比例，且＝3时＝4. (1) 求与之间的函数关系式； (2) 当＝1时，求的值. 2.已知正比例函数的图象与一次函数的图象交与点． (1)求，的值； (2)如果一次函数与轴交于点A，求点A的坐标． 3.在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ； (3)将直线沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式． 4.如图直线：经过点，． (1)求直线的表达式； (2)若直线与直线相交于点M，求点M的坐标； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 5.如图，直线交x轴于点，交y轴于点N，直线交x轴于点M，交y轴于点A，两直线，相交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在平面内是否存在一点Q，使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 板块二：四边形 1.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形． 2．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，是线段上一点，且，求的度数． 3.如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AC＝8，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四边形ABCD的面积． 4.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长． 5.如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 板块三：一元二次方程 1.解方程： (1)； (2)． 2.已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，且，求的值． 3.某校为响应我市全民阅读活动．利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次．进馆人次逐月增加，到第三个月进馆人数为人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率： （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次．并说明理由． 4.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成的，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门.当所围矩形与墙垂直的一边长为多少时，猪舍面积为80平方米？ 5.近两年直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音平台上对一款成本价为60元的商品进行直播销售，如果按每件100元销售，每天可卖出20件．通过市场调查，该商品售价每降低5元，日销售量增加10件，设每件商品降价x元． （1）每件商品降价x元时，日销售量为 　 　件； （2）求x为何值时，日销售能盈利1200元，同时又能尽快销售完该商品； （3）丽丽的线下实体商店也销售同款商品，标价100元．为了提高市场竞争力，促进线下销售，丽丽决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（2）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 板块四：数据的分析 1．某单位共有280位员工参加了社会公益捐款活动，从中任意抽取了12位员工的捐款数额，记录如下： 捐款数额/元 30 50 80 100 员工人数 2 5 3 2 估计该单位的捐款总额. 2．某次数学竞赛共有15道题，下表对做对n（n＝0，1，2，…，15）个题的人数的一个统计： 如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生平均每人做对6个题，做对10个题和10个题以下的学生平均做对4个题，问这个表统计了多少人？ 3．某学校为提高学生“节约能源”、 “节能增效”的意识.让九（2）班的生活委员统计了2020年底前10天学生在校该班级的用电量情况，数据如下表：（单位：度） 度数 8 9 10 13 14 15 天数 1 1 2 3 1 2 （1）这10天用电量的众数是　 　度，中位数是　 　度； （2）求这个班级平均每天的用电量. 4．某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核．甲、乙、丙各项得分如下表： 笔试 面试 体能 甲 83 79 90 乙 85 80 75 丙 80 90 73 （1）根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序． （2）该公司规定：笔试，面试、体能得分分别不得低于80分，80分，70分，并按60%，30%，10%的比例计入总分．根据规定，请你说明谁将被录用． 5．某区在实施居民用水额定管理前，对居民生活用水情况进行了调查，下表是通过简单随机抽样获得的50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），并将调查数据进行了如下整理： 分组 划记 频数 2.0＜x≤3.5 正正一 　11 　3.5＜x≤5.0 　19 　5.0＜x≤6.5 　 　 　6.5＜x≤8.0 　 　 　8.0＜x≤9.5 　2 　合计 　 　50 （1）把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整； （2）请你用频数分布直方图计算这50个家庭去年的月均用水量的平均数和中位数（各组的实际数据用该组的组中值表示）；若该小区有2000个家庭，请你用频数分布直方图得到的数据估计该小区月均用水总量； （3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使60%的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均用水量标准应该定为多少?为什么? 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末解答题专项训练2025-2026学年北京版 八年级下册（四大板块） 板块一：一次函数 1.已知＋2与－1成正比例，且＝3时＝4. (1) 求与之间的函数关系式； (2) 当＝1时，求的值. 【答案】解：（1）由题意得，将＝3，＝4代入解得＝3 所以与之间的函数关系式为 （2）1＝3－5，解得＝2. 2.已知正比例函数的图象与一次函数的图象交与点． (1)求，的值； (2)如果一次函数与轴交于点A，求点A的坐标． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：∵点在上， ∴ ∴， ∵点在上， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵一次函数与x轴交于点A， 又∵当时，， ∴． 3.在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题： (1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ； (2)观察图象，当时，y的取值范围是 ； (3)将直线沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【详解】（1）解：一次函数的图象如图： 令，解得，令，则， ∴直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， ∴函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是， 故答案为：4； （2）解：由图可知，当时，y的取值范围为， 故答案为：； （3）解：将直线沿y轴平移3个单位长度得，即或． 4.如图直线：经过点，． (1)求直线的表达式； (2)若直线与直线相交于点M，求点M的坐标； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)直线的表达式为 (2)点的坐标为 (3) 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：联立，解得， ∴点的坐标为； （3）解：把代入得，，解得， 观察图象，关于的不等式的解集为． 5.如图，直线交x轴于点，交y轴于点N，直线交x轴于点M，交y轴于点A，两直线，相交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在平面内是否存在一点Q，使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点Q的坐标为或或 【详解】（1）解：直线与直线相交于点， 把代入得：， 解得：， 直线过． ， 解得：， ∴直线的函数解析式为：； （2）直线交y轴于点A， ∴， 设点， ①当点A，B，P，Q为顶点的四边形是时， 点A向右平移4个单位向上平移1个单位得到点B， ∴点P向右平移4个单位向上平移1个单位得到， ，即； ②当点A，B，P，Q为顶点的四边形是时， 点B向左平移4个单位向下平移1个单位得到点A， ∴点P向左平移4个单位向下平移1个单位得到， ，即； ③当点A，B，P，Q为顶点的四边形是时， 点P向右平移个单位向下平移2个单位得到点B， ∴点A向右平移个单位向下平移2个单位得到点， ，即； 综上所述，点Q的坐标为或或． 板块二：四边形 1.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB＝OD，∠1＝∠2，AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵∠EOB与∠FOD是对顶角， ∴∠EOB＝∠FOD， 在△BEO和△DFO中， ， ∴△BEO≌△DFO（ASA）； ∴OE＝OF， ∵AE＝CF， ∴OA＝OC， ∵OB＝OD， ∴四边形ABCD为平行四边形． 2．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，是线段上一点，且，求的度数． 【答案】 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ． ， ， ． 3.如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AC＝8，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）24． 【解答】（1）证明：平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC， ∴∠ACB＝∠CAD， 又∵BE∥DF， ∴∠BEC＝∠DFA， 在△BEC和△DFA中， ， ∴△BEC≌△DFA（AAS）， ∴BE＝DF， 又BE∥DF， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）解：过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G， 在Rt△AGC中，AC＝8，∠ACB＝30°， ∴AG＝4， ∵BC＝6， ∴平行四边形ABCD的面积＝BC•AG＝4×6＝24． 4.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长． 【答案】（1）略 （2）8 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC， ∵CE＝BC， ∴AD＝CE，AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∵AB＝DC，AE＝AB， ∴AE＝DC， ∴四边形ACED是矩形； （2）解：∵四边形ACED是矩形， ∴OA＝AE，OC＝CD，AE＝CD， ∴OA＝OC， ∵∠AOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴OC＝AC＝4， ∴CD＝8． 5.如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图，作于，于，则，   点是正方形对角线上的点， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ， ∴， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形． （2）解：的值是定值，定值为，理由如下： 正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是定值． 板块三：一元二次方程 1.解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ∴， ∴； （2） ∴． 2.已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，且，求的值． 【答案】(1)的取值范围为：且 (2)或 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ，即， 整理得：， 解得：， ， 的取值范围为：且； （2）解：该方程的两个实数根分别为， ，， ， ， 即， 整理得：， 解得：，， 的值为或． 3.某校为响应我市全民阅读活动．利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次．进馆人次逐月增加，到第三个月进馆人数为人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率： （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次．并说明理由． 【答案】解：（1）设平均增长率为．由题意可得， 解得： （舍） 进馆人次的月平均增长率为． （2）（人） ， 校图书馆可以接纳第四个月的进馆人次． 4.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成的，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门.当所围矩形与墙垂直的一边长为多少时，猪舍面积为80平方米？ 【答案】当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，猪舍面积为80平方米 【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为(25-2x+1)m，由题意得 x(25-2x+1)=80， 化简，得x2-13x+40=0， 解得：x1=5，x2=8， 当x=5时，26-2x=16＞12（舍去），当x=8时，26-2x=10＜12， 答：当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，猪舍面积为80平方米. 5.近两年直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音平台上对一款成本价为60元的商品进行直播销售，如果按每件100元销售，每天可卖出20件．通过市场调查，该商品售价每降低5元，日销售量增加10件，设每件商品降价x元． （1）每件商品降价x元时，日销售量为 　 　件； （2）求x为何值时，日销售能盈利1200元，同时又能尽快销售完该商品； （3）丽丽的线下实体商店也销售同款商品，标价100元．为了提高市场竞争力，促进线下销售，丽丽决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（2）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 【答案】解：（1）已知每件商品降价x元，则日销售量为20+×10＝（20+2x）件， 故答案为：（20+2x）； （2）根据题意可知，（100﹣60﹣x）（20+2x）＝1200， 解得x＝10或x＝20， 此时，销售的商品为40件或60件， ∵为尽快销售完该商品， ∴取x＝20， ∴当x＝20时，日销售能盈利1200元，同时又能尽快销售完该商品； （3）该商品需要打a折销售， 由题意，得，100×≤100﹣20， 解得：a≤8， 答：该商品至少需打8折销售． 板块四：数据的分析 1．某单位共有280位员工参加了社会公益捐款活动，从中任意抽取了12位员工的捐款数额，记录如下： 捐款数额/元 30 50 80 100 员工人数 2 5 3 2 估计该单位的捐款总额. 【答案】解：这12位员工的捐款数额平均数为 以 作为所有员工捐款的平均数，由此估计该单位的捐款总额约为 62.5×280=17500(元) 所以估计该单位的捐款总额约为17500元. 2．某次数学竞赛共有15道题，下表对做对n（n＝0，1，2，…，15）个题的人数的一个统计： 如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生平均每人做对6个题，做对10个题和10个题以下的学生平均做对4个题，问这个表统计了多少人？ 【答案】解答：解：设统计的总人数为x，答对11道题的人数为a，∵做对4个题和4个以上的人数为（x－7－8－10－21）＝（x－46）人，∴所有学生做的总题数为：（x－46）×6＋0×7＋1×8＋2×10＋3×21＝6x－185；又∵做对10个题和10个题以下的人数为（x－a－15－6－3－1）＝（x－a－25）人，∴所有学生做的总额为：（x－a－25）×4＋15×1＋14×3＋13×6＋12×15＋11a＝4x＋215＋7a，∴6x－185＝4x＋215＋7a，2x＝400＋7a，x＝200＋ ，∵a为自然数，∴当a＝0时x取最小值200，∴至少统计来200人． 3．某学校为提高学生“节约能源”、 “节能增效”的意识.让九（2）班的生活委员统计了2020年底前10天学生在校该班级的用电量情况，数据如下表：（单位：度） 度数 8 9 10 13 14 15 天数 1 1 2 3 1 2 （1）这10天用电量的众数是　 　度，中位数是　 　度； （2）求这个班级平均每天的用电量. 【答案】（1）13；13 （2）这个班级平均每天的用电量为： =12度 答：个班级平均每天的用电量为12度. 4．某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核．甲、乙、丙各项得分如下表： 笔试 面试 体能 甲 83 79 90 乙 85 80 75 丙 80 90 73 （1）根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序． （2）该公司规定：笔试，面试、体能得分分别不得低于80分，80分，70分，并按60%，30%，10%的比例计入总分．根据规定，请你说明谁将被录用． 【答案】（1）【解答】解：（1）x甲=（83+79+90）÷3=84， x乙=（85+80+75）÷3=80， x丙=（80+90+73）÷3=81． 从高到低确定三名应聘者的排名顺序为：甲，丙，乙； （2）【解答】 ∵该公司规定：笔试，面试、体能得分分别不得低于80分，80分，70分， ∴甲淘汰； 乙成绩=85×60%+80×30%+75×10%=82.5， 丙成绩=80×60%+90×30%+73×10%=82.3， 乙将被录取． 5．某区在实施居民用水额定管理前，对居民生活用水情况进行了调查，下表是通过简单随机抽样获得的50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），并将调查数据进行了如下整理： 分组 划记 频数 2.0＜x≤3.5 正正一 　11 　3.5＜x≤5.0 　19 　5.0＜x≤6.5 　 　 　6.5＜x≤8.0 　 　 　8.0＜x≤9.5 　2 　合计 　 　50 （1）把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整； （2）请你用频数分布直方图计算这50个家庭去年的月均用水量的平均数和中位数（各组的实际数据用该组的组中值表示）；若该小区有2000个家庭，请你用频数分布直方图得到的数据估计该小区月均用水总量； （3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使60%的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均用水量标准应该定为多少?为什么? 【答案】（1）解：5.0＜x≤6.5共有13个，则频数是13， 6.5＜x≤8.0共有5个，则频数是5， 补全频数分布表和频数分布直方图如下： 分组 划记 频数 2.0<x≤3.5 正正 11 3.5<x≤5.0 正正正 19 5.0<x≤6.5 正正 13 6.5<x≤8.0 正 5 8.0<x≤9.5 2 合计 　 50 （2）解：用频数分布直方图计算平均数为： (2.75×11+4.25×19+5.75×13+7.25×5+8.75×2)÷50=239.5÷50=4.79(吨)； 根据频数分布直方图得，中位数是第25、26个数，则中位数为4.25吨； 若该小区有2000个家庭，估计该小区月均用水总量为：4.79×2000=9580(吨)； （3）解：要使60%的家庭收费不受影响，我觉得家庭月均用水量应该定为5吨， 因为月平均用水量不超过5吨的有30户， 则30÷50=60%． 学科网（北京）股份有限公司 $