专题02 四边形（含存在、最值问题）28大题型（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材北京版

**基本信息** 本专项以四边形知识为核心，构建从基础概念到综合应用的递进式训练体系，强化几何直观与推理能力，突出存在性、最值等难点问题的系统性突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |多边形基础|6题型18题|聚焦内角和、对角线计算，结合平面镶嵌实际应用|从多边形定义出发，通过正多边形性质过渡到平面密铺原理| |特殊四边形|12题型36题|以判定与性质为核心，涵盖矩形折叠、菱形面积等重点题型|按平行四边形→矩形→菱形→正方形的概念衍生关系编排，强化从属联系| |综合应用|10题型30题|突出中位线最值、存在性问题、旋转折叠等难点，融入新定义题型|以三角形中位线为桥梁，实现静态性质到动态变换的能力提升，培养模型意识与创新思维|

专题02 四边形（含存在、最值问题） 题型1 多边形的相关概念 题型15 菱形的性质（重点） 题型2 多边形的对角线问题 题型16 菱形的面积计算（常考点） 题型3 多边形的内角和问题（常考点） 题型17 正方形的判定（常考点） 题型4 多边形内角和与外角和综合（重点） 题型18 正方形的性质（重点） 题型5 正多边形 题型19 三角形的中位线定理（重点） 题型6 平面镶嵌 题型20 与三角形中位线定理有关的最值（难点） 题型7 平行四边形的判定（常考点） 题型21 中点四边形 题型8 平行四边形的性质（重点） 题型22 中心对称图形（常考点） 题型9 平行四边形判定与性质的应用 题型23 图形的旋转 题型10 矩形的判定（常考点） 题型24 平行四边形的存在性问题（难点） 题型11 矩形的性质（重点） 题型25 平行四边形中的最值问题（难点） 题型12 矩形的折叠问题（重点） 题型26 平行四边形中的旋转问题（难点） 题型13 斜边的中线等于斜边的一半 题型27 平行四边形中的折叠问题（难点） 题型14 菱形的判定（常考点） 题型28 平行四边形中的新定义问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 多边形的相关概念（共3小题） 1．下列说法错误的是（   ） A．正多边形的各条边都相等 B．正多边形的各个角都相等 C．各角都相等的多边形不一定是正多边形 D．各条边都相等的多边形一定是正多边形 【答案】D 【分析】本题主要考查正多边形的定义，根据各条边都相等，各个内角都相等的多边形一定是正多边形的概念判定即可求解，掌握正多边形的定义是解题的关键． 【详解】解：正多边形的各条边都相等，各个角都相等，A，B正确； 各内角都相等，各条边也相等的多边形是正多边形，C正确， 各条边都相等，各个内角都相等的多边形一定是正多边形，故D错误． 故选：D． 2．下列说法中错误的是（  ） A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形 B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形 C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形 D．各边都相等的多边形是正多边形 【答案】D 【分析】本题考查多边形的有关知识，熟练掌握多边形的定义是解题关键．在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，由此即可判断． 【详解】解：A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形，正确，故该选项不符合题意； B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形，正确，故该选项不符合题意； C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形，正确，故该选项不符合题意； D．各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形，故该选错误，项符合题意． 故选：D． 3．个六边形、个五边形共有___________条边． 【答案】 【分析】由六边形有六条边，五边形有五条边，即可计算． 【详解】解：∵个六边形有条边，个五边形有条边， ∴个六边形、个五边形共有条边， 故答案为：. 【点睛】本题考查多边形的概念，关键是掌握n边形有n条边． 题型二 多边形的对角线问题（共3小题） 4．若一个正多边形的每个外角是60°，则从它的一个顶点出发的对角线有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查多边形外角和和对角线数量公式．先利用正多边形外角和为360°求出边数，再根据n边形从一个顶点出发的对角线数量公式计算结果． 【详解】解：∵正多边形的外角和为，且每个外角是， ∴该正多边形的边数， ∵从边形的一个顶点出发的对角线数量为， ∴从正六边形一个顶点出发的对角线数量为． 故选：A 5．过八边形的一个顶点可以画条对角线，将它分成个三角形，则的值是__________． 【答案】11 【分析】根据过边形的一个顶点可以画出条对角线，分成个三角形，代入边数计算即可． 【详解】解：由八边形的边数为， 可得 ， ， 计算得，， 则． 6．过n边形的一个顶点可以引出m条对角线． (1)当时，________； (2)小高计算出一个多边形的内角和为，通过计算说明小高的计算结果正确吗？ 【答案】(1)4 (2)已知这个多边形的边数为，依题意， 解得， 为不小于3的正整数， 小高的计算结果不正确． 【分析】（1）根据边形从一个顶点出发可引出条对角线，可得，求出的值； （2）先根据多边形内角和定理求出的值，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：∵边形从一个顶点出发可引出条对角线， ∴当时，可引出条对角线， 故． （2）略 题型三 多边形的内角和问题（共3小题） 7．五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子中的微粒像足球一样团结在一起．一个烯分子由个正五边形、个正六边形组成（如图①所示）．如图②，边长相等的正六边形和正五边形叠放一起，是正六边形的对角线，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先使用正多边形的内角公式求出正五边形与正六边形的内角，结合正六边形的对称性和四边形的内角和，求出． 【详解】解：如图， ∵，， ∴正六边形的一个内角为，正五边形的一个内角为， ∴， ∵是正六边形的对角线， ∴由正六边形的对称性可得，， ∴． 8．如图，在正六边形和正方形中，连接，并延长分别交，于点，M，与交于点，则__________． 【答案】150 【分析】根据题意得到，由等边对等角，三角形内角和定理得到，，进一步利用五边形的内角和定理可得答案． 【详解】解：正六边形和正方形中，， ∴是等腰三角形， ∴， ∴正六边形的每个内角的度数为，正方形的每个内角的度数为， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴． 9．如图，已知，连接，． (1)当点E在三角形内部时， ①若，，如图，则 °； ②若，，试用m、n表示的度数． (2)当点E在三角形的外部时，，，与之间是否存在确定的数量关系？如存在，请直接用m、n表示，如不存在，请写出理由． 【答案】(1)①50；② (2)存在，与之间的数量关系是：或或或 【分析】（1）①延长交于点F，由三角形外角性质得，，进而得，据此可得的度数； ②由（1）可知，据此可得的度数； （2）依题意分四种情况讨论如下：①当点E在边的右侧，且交于点P时，由是和的外角得，据此可得与之间的数量关系；②当点E在边的左侧，且与相交于点P时，由是和的外角得，据此可得与之间的数量关系；③当点E在点A的上方，且，与边，没有交点时，由（1）②的结论得，据此可得与之间的数量关系；④当点E在的下方时，根据四边形的内角和等于得，据此可得与之间的数量关系；综上所述即可求解． 【详解】（1）解：①延长交于点F，如图1所示： ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ②由（1）可知：， ∵，， ∴． （2）解：存在，与之间的数量关系是：或或或． 理由如下： 当点E在的外部时，有以下四种情况： ①当点E在边的右侧，且与相交于点P时，如图3①所示： ∵是和的外角， ∴， ∴； ②当点E在边的左侧，且与相交于点P时，如图3②所示： ∵是和的外角， ∴， ∴； ③当点E在点A的上方，且，与边，没有交点时，如图3③所示： 由（1）②的结论得：， ∴； ④当点E在的下方时，如图3④所示： 根据四边形的内角和等于得，， ∴， 综上所述：与之间的数量关系是：或或或． 题型四 多边形内角和与外角和综合（共3小题） 10．如图是一个由正方形和菱形构成的对称环状图案，其外轮廓为一个正八边形，下列判断正确的是（） A．该正八边形的每个内角为 B．该正八边形的对角线共有条 C．该环状图案的对称轴有条 D．该正八边形的每个外角为 【答案】B 【分析】根据正多边形的内角和公式、外角和性质、对角线计算公式以及轴对称图形的性质逐一判断即可． 【详解】解：、正八边形的内角和为，每个内角为，故该选项错误，不符合题意； 、边形的对角线总数为，当时，对角线共有条，故该选项正确，符合题意； 、观察图案，虽然外轮廓是正八边形，但内部正方形和菱形的排列使得该图案只有条对称轴（分别为水平、竖直以及两条对角线方向），故该选项错误，不符合题意； 、正八边形的外角和为，每个外角为，故该选项错误，不符合题意． 11．如图，正六边形，分别过顶点，作，，现在以和所在的直线画边，作正边形，则正边形的边数为________． 【答案】12 【分析】首先根据正多边形的内角和公式求出正六边形的内角的度数，再根据垂直的定义得出的度数，利用周角的定义求出正边形的内角的度数，最后根据多边形的外角和定理求出边数． 【详解】解：多边形是正六边形 正六边形的内角 以和所在的直线画边，作正边形 正边形的一个内角为 正边形的一个外角为 多边形的外角和为 12．如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②． (1)图②的外轮廓周长是_____． (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长． 【答案】(1)14 (2)21 【分析】（1） 根据图②的构成，确定三个正多边形的边数，计算外轮廓周长时需减去重叠的边，从而得到总周长． （2） 设，推导以为内角的正多边形的边数表达式，写出周长的代数表达式；根据边数为正整数确定的取值，代入计算找到最大周长． 【详解】（1）解：图②中，，因此：  以 为内角的正多边形是正方形， 以为内角的正多边形是正八边形， 两个正八边形各贡献条边，共， 正方形贡献条边， 总周长：． （2）解：设， 以为内角的正多边形的边数为， 以，为内角的正多边形的边数均为， 会标的外轮廓周长是． 根据题意可知与均为整数， 的值只能为，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，当时，周长最大，此时会标的外轮廓周长是21． 【点睛】本题考查了正多边形的内角与边数的关系、代数表达式推导与整数解分析，掌握正多边形边数与内角的换算公式，以及通过代数表达式求最值的方法是解题的关键． 题型五 正多边形（共3小题） 13．如图，已知四边形是正方形，O是对角线的中点，以为边作一个正五边形，求α的度数． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得，根据多边形的内角和定理可得，再根据四边形的内角和可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵以为边作一个正五边形， ∴， ∵， ∴． 14．如图，正五边形，平分，平分正五边形的外角，求的度数． 【答案】 【分析】先根据多边形内角和定理求出，则，再由角平分线的定义得到，接着利用四边形内角和为360度求出，则，据此利用三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：如图：设交于点P， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵平分，平分正五边形的外角， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．如何密铺地板 活动任务 小明家进行装修，想给厨房和客厅的地板既不留空隙、又不重叠地铺满地砖（要求：地砖不能切割）． 活动过程 素材1 装修公司提供了如下几种规格的地砖及其价格： 形状 边长 米 米 米 米 米 价格 30元/块 40元/块 120元/块 150元/块 180元/块 素材2 如图1，小明家厨房地面是一个长为3米，宽为米的长方形．如图2，小明家客厅中间区域想设计为各边长均为3米的平行四边形，且． 任务1：小明想用装修公司提供的现有规格中的同一种正多边形地砖铺满厨房地板，请你帮他算出该方案的费用． 任务2：小明想用两种不同的正多边形地砖铺满图2区域，他能实现吗?若能，请你帮他设计一种最省钱的方案，在图2中画出示意图，并计算出最省的费用；若不能，请说明理由． 【答案】任务1：1200元；任务2：能实现，见解析 【分析】本题考查平面镶嵌问题，掌握正多边形的内角公式是解题的关键． 任务一：由厨房是长方形可得只能用正方形的地砖；任务二：选正三角形与正六边形来铺设地板． 【详解】解：（1）厨房地板是长方形，且要求用同一种正多边形铺设， 只能用正方形． 每块正方形的面积为平方米， 需正方形（块）． 正方形总费用为（元）． （2）能实现，理由如下： ，且正三角形每个内角，正六边形每个内角， 选正三角形与正六边形来铺设地板． 如图所示，用9块正六边形和18块正三角形地砖铺设费用最少． 总费用为（元）． 题型六 平面镶嵌（共3小题） 16．如图（1），图形的密铺指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．如图（2），若要用边长相同的正三角形、正六边形两种材料（两种材料都要用到）密铺地面，则必须满足：有公共顶点的个正三角形的内角与个正六边形的内角的和等于， 则__________ 【答案】或 【分析】先计算出正三角形和正六边形的内角，再根据题意列出方程，求解即可． 【详解】解：正三角形每个内角为，正六边形每个内角为， 根据题意可列方程：， 化简，得， ∵、都是正整数， ∴或， ∴或． 17．用一种或几种完全相同（全等形）的三角形或多边形无间隙且不重叠地覆盖（铺砌）平面的一部分，叫做平面镶嵌，平面镶嵌又称为“平面密铺”．如图所示，由边长相等的正方形和正六边形相间围成一圈，则中间的正多边形的边数为______． 【答案】 【详解】解：正方形的一个内角的度数为，正六边形每个内角的度数为， ∴中间的正多边形一个内角的度数为， 设中间的正多边形的边数为； ∴， 解得：． 18．项目学习：生活中的密铺 【描述定义】在数学中用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面图形的密铺（或称为平面镶嵌）．在现实生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 【知识储备】 (1)对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是_____； (2)密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为___，并使相等的边重合． 【任务：寻找密铺】 (3)下列正多边形中，能够单独密铺平面的是（   ）；（多选） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 (4)公园的一段甬道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，如图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，，求的度数． 【答案】(1) (2)360 (3)ABD (4) 【分析】（1）根据正多边形的性质及内角和公式求解即可； （2）根据周角为可得答案； （3）根据各正多边形性质和内角，结合镶嵌知识逐个判断即可； （4）根据五边形的内角和求解即可． 【详解】（1）解：对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是； （2）解：密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为，并使相等的边重合． （3）解：A、正三角形的每个内角为，且各边相等，能够单独密铺平面； B．正方形的每个内角为，且各边相等，能够单独密铺平面； C．正五边形的每个内角为，不能使公共顶点处所有角的和为，不能够单独密铺平面； D．正六边形的每个内角为且各边相等，，能够单独密铺平面； （4）解：五边形的内角和为，，， ． 题型七 平行四边形的判定（共3小题） 19．如图，在中，点、分别在边、上，且． (1)求证：； (2)连接，请添加一个条件：________，使四边形是平行四边形，不需要说明理由． 【答案】(1)证明：， ，， 在和中，， (2)或 【分析】（1）根据平行四边形的性质，运用边角边原理证明即可； （2）根据平行四边形的判定求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，添加， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， 连接，添加， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形． 20．如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接； (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请写出四个图中的三角形，并且每个三角形的面积都等于面积的一半． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，可得，再利用等量代换得出，结合平行四边形的判定即可证明； （2）利用三角形中线的性质和平行线间的距离处处相等，结合平行四边形的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ∵E是的中点， ∴， ∵， ， ∴， ∵D是的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：．理由如下： ∵， ∴， 由（1）得四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴． 21．如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明，证明，即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质证明，得到，根据勾股定理求出，，即可得到答案． 【详解】（1）证明：平行四边形， ， ， ， ， ， 即， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ， 平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长． 题型八 平行四边形的性质（共3小题） 22．如图，在中，对角线，交于点，，分别是，的中点，连接，． (1)若，求； (2)求证：． 【答案】(1)3 (2)证明：∵四边形是平行四边形 ，，， ． ，分别为，的中点， ，， ， ， ， ∴ ， ． 【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分的性质求解； （2）根据平行四边形的性质证明，再证明，即可通过平行线的平行与性质证明． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形 ． 为的中点， ． ， ． （2）略 23．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点O任意作直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形的周长为24 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，而，即要根据证明； （2）由全等三角形的性质得，，则，，再根据四边形的周长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，对角线，交于点O， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的周长为24． 24．如图，在中，，点E是的中点．过点D作于点P，交于点F，且． (1)求的度数； (2)若，求的长； (3)连结，若平分，求证：． 【答案】(1) (2)4 (3)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一进行解答即可； （2）证明，得到，进一步利用线段之间的关系进行解答即可； （3）求出，将点P绕点A逆时针旋转得到点Q，连结，证明，得到，则，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，，     又∵点E是的中点，     ∴ ∴ （2）解：如图， 在中， ∴， ∴   ∴ ∵ ∴，     在和中， ． ∴，     ∴， 又∵， ∴，    ∵， ∴， （3）解：∵，平分∠FPC， ∴     将点P绕点A逆时针旋转得到点Q，连结， 则是等腰直角三角形，， ∵， ∴   在和中， ． ∴，     ∴， ∵， ∴ ∴，     ∴， ∵ ∴． 题型九 平行四边形判定与性质的应用（共3小题） 25．如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度为_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，关键是等腰三角形判定定理的应用．先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可． 【详解】由题意得，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 26．【项目主题】测量距离 【项目背景】如图1，、两点被大山阻隔（、两点距离不可直接测得）．为了改善山区的交通，现拟开凿一条贯穿、的隧道，修建一条高速公路． 【实践操作】 方案一：如图2，某工程队分别以、两点为起点，朝同一方向行进相同距离，分别到达点、．测量、两点之间线段的长度，即为、两点的距离． 【问题解决】 (1)请你说明方案一的合理性； (2)请你设计与方案一不同的方案，在答题卡上画出几何图形，并表示出、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查的是平行四边形的判定和性质，全等三角形的应用． （1）证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即可得到结论； （2）在大山外取一点O，连接，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：如图，在大山外取一点O，连接， 延长到D，使，延长到E，使，测量D、E两点之间线段的长度，即为A、B两点的距离． 在和中，， ∴， ∴． 27．数学实践小组开展测量篮球架篮板的高度的实践活动．测量方案如下表： 课题 测量篮球架篮板的高度 测量 工具竹竿、测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）将竹竿垂直固定在地面上，从竹竿上的F点处观察篮板底部点B； （2）测量视线与竹竿的夹角，； （3）将观察点沿着竹竿向上移动到点G，测量从点G观察篮板顶部点A的视线与竹竿的夹角； （4）测量的长 测量数据 根据以上测量方案和数据求篮球架篮板的高度． 【答案】篮球架篮板的高度为 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质的应用．根据垂直定义可得，从而可得，再根据同位角相等，两直线平行可得，从而可得四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得，即可解答 【详解】解：，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 答：篮球架篮板的高度为． 题型十 矩形的判定（共3小题） 28．如图，在矩形中，E是的中点，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的周长． 【答案】(1)证明：在矩形中，，． 为中点， ． ； (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，根据E是的中点得到，可知； （2）根据E是的中点得到，根据勾股定理求出，根据全等三角形的性质得到，即可求出的周长． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ，． ． ， ． 的周长为． 29．如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边、交于点，连接、，若． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形； (2)． 【分析】先根据矩形的性质和平行线的性质可得，，再证明，根据全等三角形的性质可得，从而可证明四边形是平行四边形，然后通过垂直平分线的性质可得，所以四边形是菱形； 由得四边形为菱形，通过，，，，然后在中根据勾股定理求的长． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下， ∵四边形是矩形，为对角线的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∵，为对角线的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：由（）得四边形为菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理，得， ∴， ∴， ∴的长为． 30．已知：如图，在矩形中，点E为上一点，平分，点F为的中点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质，根据勾股定理构造出方程． （1）根据矩形的性质可得，再根据角平分线可得，从而得到，即可求证； （2）根据F为的中点，可得，设，根据线段之间的关系，得到，，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵矩形中，， ∴， ∵平分， ∴，则， ∴； （2）解：∵F为的中点，， ∴， 设，则，， ∵矩形， ∴，，， ∵， ∴，则， ∴， 在中，∵， ∴，解得，则， 在中，． 题型十一 矩形的性质（共3小题） 31．在矩形中，为对角线，的垂直平分线分别交于点E，O，F，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到，再证明，得到，则可证明，进而证明四边形是菱形； （2）求出的长，则可由勾股定理求出的长，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 32．如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形． (2)4 【分析】（1）由菱形的性质可得，结合，，即可证明四边形是矩形； （2）由矩形的性质可得，，，结合菱形的性质可得，，使用菱形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴． 33．如图，在矩形中，，，，该矩形的周长为． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质可得，然后根据同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明即可； （2）根据全等三角形对应边相等可得，然后根据矩形的周长公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ． ， ． ． 又， ． 在和中， ， ． （2）解：， ． ， ， ， ， ． 题型十二 矩形的折叠问题（共3小题） 34．如图，将矩形沿直线折叠，使点C落在点处，交于点E，，． (1)求的长 (2)求的面积． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）由折叠得出，根据平行线的性质得出，等量代换可得，根据等角对等边求得，设，则，根据勾股定理得出，据此即可求解； （2）根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：是由沿直线折叠得到的， ∴， 四边形是矩形， ∴， ， ∴， ， 设，则， ，， ∴， ∴， ， ∴； （2）解：由（1）得， ∴的面积． 35．综合与实践 已知矩形中，，在上有一点P，将沿进行翻折，当的对应边与边相交时，记交点为点F． 【发现】 (1)如图1，若点P与点D重合时，求证：； 【探究】 (2)连接，当取得最小值时，直接写出的长； (3)如图2，当点P满足时，求的长； 【拓展】 (4)当射线恰好经过的中点M时，直接写出的长． 【答案】(1)证明：四边形是矩形， ，， 由翻折可得，， 在和中， ； (2)4 (3)2 (4)2或8 【分析】（1）由长方形得和，由翻折可得和，即可利用判定即可； （2）由翻折可得，，则点E在以B为圆心，4为半径的圆弧上运动，当E在线段上时，最小，此时点E，F重合，推导出四边形是正方形，得到，即可解答； （3）由①知，，结合，求得，利用勾股定理求得，则，故，即有； （4）分两种情况：①当M在线段延长线上，②当M在线段上，分别利用中点和勾股定理、折叠的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由翻折可得，， 则点E在以B为圆心，4为半径的圆弧上运动，如图： ∴当E在线段上时，最小， 如图 此时点E，F重合， ∵四边形是矩形， ∴， 由，， ∴四边形是正方形， ∴； （3）解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由翻折可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则， ∴， （4）解：①当M在线段延长线上时，如图： ∵M为中点， ∴， 由翻折可得，，， ∴， ∵， ∴， 由翻折得，， ∴， ∴， 则， ∴； ②当M在线段上时，如图： 同理可得， ∴， ∴； 综上所述，当射线恰好经过的中点M时，的长为2或8． 36．在矩形中，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． (1)若为线段上一点． ①当点落在边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的点E和点P（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时_________； ②如图2，连接，若，求证：P是的中点． (2)若P为延长线上一点，且运动点P至为直角时，请画出图形，并求的长． 【答案】(1)①，2； ②证明：如图2， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， 又， ， 是的中点； (2)，． 【分析】（1）①以A为圆心，为半径画弧，交于点E；由折叠的性质可知，则作的平分线交与点P即可；根据勾股定理求出，即可求出的值； ②由折叠的性质可知，，根据平行线的判定和性质得到，可知，根据等角对等边得到，进而可知，即P是的中点； （2）根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）①解：作图略； 由折叠的性质可知， ∵矩形 ∴，， ， ； ②略； （2）解：图略， 当时，可知此时点在的延长线上． 在中，，， ， ， 设，则， ， ， 即． 题型十三 斜边的中线等于斜边的一半（共3小题） 37．如图，中，，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线与交于点，与交于点E，连接．若，，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图可知是线段的垂直平分线，则为中点，．利用直角三角形斜边中线性质求出的长，再在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵，为中点， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵在中，，即：， 解得，即． 38．如图，在中，，G为的中点，直角绕点G旋转，它的两条边分别交的延长线于点E，F，连接，当时，的长为 _______ ． 【答案】 【分析】连接，证明得出，进而求得，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，G为的中点， ∴，，, ∴, ∵，, ∴, 在和中， ， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ 在中，. 39．如图，在四边形中，，，相交于点，延长至点，延长至点，使得，连接，，，，且． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)过点作，交的延长线于点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． (2) 【分析】（1）容易证明，则，进而得到，因此，命题得证； （2）由（1）的结论容易证明点是的中点，结合直角三角形的性质可得，使用勾股定理计算出即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴点是的中点， ∵， ∴， 由勾股定理可得，． 题型十四 菱形的判定（共3小题） 40．如图，在中，点，分别在，上，且． (1)若是菱形，求证：； (2)若，求证：是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，解题的关键是利用全等三角形的性质和平行四边形的性质，通过证明角相等推导出邻边相等，进而完成证明． （1）利用菱形四边相等，通过证明，得； （2）连接，用证明，得，从而得,从而判定平行四边形为菱形． 【详解】（1）证明 四边形是菱形， ． ， ．在和中， ， ． （2）证明：连接， 在和中， ， ， ． 四边形是平行四边形， 是菱形． 41．已知：如图，四边形为平行四边形，为的一条对角线． (1)（多选题）若添加一个条件，使得为菱形，这个条件可以是（   ） A．        B． C．为的角平分线    D． (2)用尺规作图，作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接、，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)ACD (2)见解析 【分析】（1）根据菱形的判定定理分析即可； （2）根据题意即可作图，由线段的垂直平分线的性质得到，然后证明，则，即可通过四边相等的四边形是菱形证明． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， 当时，是菱形，故A符合题意； 当时，四边形是矩形，故B不符合题意； 当为的角平分线时， 则， 因为中，， 所以， 所以， 所以， 所以是菱形，故C符合题意； 当时，是菱形，故D符合题意． （2）解：如图即为所求， 证明：∵垂直平分， ∴，， ∵平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 42．如图，在中，点E，F在对角线上，，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请添加一个与线段有关的条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由．） 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，则，证明，得，，即可推出，则，根据平行四边形的判定即可得出结论； （2）连接，由或得是菱形，则、互相垂直平分，由得，则、互相垂直平分，根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当或时，四边形是菱形，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是平行四边形，（或）， ∴四边形是菱形， ∴、互相垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴、互相垂直平分， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 题型十五 菱形的性质（共3小题） 43．如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（）由平行线的性质可得，又是的角平分线，则，故有，所以，然后通过直角三角形的性质得，再证明四边形是平行四边形，又从而求证； （）先证明是等边三角形，则，由平行四边形的性质得，所以，然后得出是等边三角形，则有，，再通过角度和差求出，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 44．如图，在中，对角线与相交于点，为延长线上一点，且，为延长线上一点，且，连接． (1)当时，求证：四边形是矩形； (2)当，，时，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)四边形的周长为． 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形、平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据条件得到，即可得出结论； （2）先证明四边形是菱形，由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）知，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 在中，， ∴四边形的周长． 45．【综合与实践：折纸中的数学】我国传统建筑中，设计精巧、样式繁多的几何图案随处可见，它们由笔直的短木条沿横、竖、斜方向交错构成，给人以明朗、均匀、简洁的美感．漫步于我们的校园，盈乐园中的小亭便体现了这一艺术特点．小亭的布局以“因地制宜”为原则，每换一个角度，眼前都是一幅不同的画面．如图②，是从底部仰视亭子内部顶部设计时看到的图案——木条纵横交错，形成一个个规整的四边形，简洁而富有韵律．      有趣的是，这样的图案不仅存在于传统建筑中，我们还可以通过折纸的方式将其“复现”．下面，让我们动手操作，在折纸中探寻数学的奥秘，感受传统文化与数学的交融之美．          【素材】如图③，一张矩形纸片，，． (1)【实践操作1】 步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为； 步骤二：然后左右对折，折痕为； 步骤三：将原纸片展开还原后，如图④所示得到四边形． 【实践探索1】 四边形的形状为 ；面积为 ； (2)【实践操作2】 步骤一：将矩形纸片先沿对角线对折； 步骤二：再将纸片折叠使点与点重合得折痕； 步骤三：将原纸片展开还原后，连接，．如图⑤所示，得到四边形． 【实践探索2】 ①判断四边形的形状，并加以证明． ②直接写出四边形的面积 ． 【答案】(1)菱形， (2)①四边形是菱形，证明见解析；② 【分析】（1）根据对角线互相垂直平分可得四边形为菱形，由折叠可得，然后运用菱形的面积公式就可解决问题． （2）由折叠可得；由矩形可得，从而有，进而可证得，则有，就可证到四边形是菱形；②设，则，由①知四边形是菱形，得到，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠可知：与互相垂直平分， ∴四边形为菱形； 由折叠可得：， ∴， ∴菱形的面积为． （2）解：①四边形是菱形， 证明：如图， 由折叠可得：． ∵四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形． ②设， ， ∴， 由①知四边形是菱形， ∴， 矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 题型十六 菱形的面积计算（共3小题） 46．如图，将矩形两次对折：第一次沿对折，使边与重合，展开后又沿对折，使边与重合，再次展开后连接得到四边形．若，则四边形的面积为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定等知识点，根据矩形的性质，得出，．根据折叠可知，，，推出，则，推出四边形是菱形．由题意得，，则四边形的面积，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 由题意，得，， ∴四边形的面积． 故选：B． 47．如图所示，四边形中，于点O，，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N．连接，在点P运动过程中，的最小值等于____． 【答案】15.6 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，将求的最小值问题转化为求的最小值问题是解题的关键． 先根据题目条件，证明四边形是菱形，然后利用，推出， 再利用垂线段最短求的最小值，综合可得的最小值． 【详解】解：， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 于点O， 平行四边形是菱形， ， 连接PD，如图所示： ， ， ， ， 当最短时，有最小值， 由垂线段最短可知：当时，最短，此时， 当点P与点O重合时，有最小值，最小值为． 故答案为：15.6． 48．已知，如图，四边形是平行四边形，点E、F在对角线所在的直线上，． (1)求证：； (2)连接、，若，，平分，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)96 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，证明，再证明，得出即可； （2）证明四边形为平行四边形，再证明，得出平行四边形是菱形，根据菱形性质求出菱形的面积即可． 【详解】（1）证明：∵为平行四边形 ∴，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， 则． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 题型十七 正方形的判定（共3小题） 49．如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作，与的延长线相交于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)填空：①当满足条件时，四边形是 形； ②当满足条件 时，四边形是正方形． 【答案】(1)证明见解析 (2)①菱；②， 【分析】（1）由，得到两对内错角相等，再由为中点，得到，利用得到与全等，利用全等三角形对应边相等得到，再由，等量代换得到，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证； （2）①由为中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到由邻边相等的平行四边形为菱形，即可得证； ②添加条件为，，由，根据①得到四边形为菱形，再由，利用等腰三角形的三线合一得到，根据有一个角是直角的菱形为正方形即可得证． 【详解】（1）证明：∵是的中点，是的中点， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：①当满足条件时，四边形是菱形， 理由如下： 由（1）可知四边形为平行四边形； ∵是的中点， ∴ ∴平行四边形为菱形； ②当满足条件，时，四边形是正方形， 理由如下： 由①知当满足条件时，四边形是菱形， ∵，为中点， ∴为边上的中线， ∴，即， ∵四边形是菱形，， ∴四边形为正方形． 50．如图，在中，，是的中线，，是的中点，连接并延长，交于点E． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求的长 (3)当满足条件___________时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用可证，根据全等三角形的性质可证且，可知四边形是平行四边形，根据等腰三角形三线合一定理可证，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可证结论成立； （2）因为四边形是矩形，可知，又因为，可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可知； （3）当时，根据三线合一定理可得是等腰直角三角形，可证，又因为四边形是矩形，所以可证四边形是正方形． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又，是的中线， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （3）解：由可知，四边形是矩形，， 当时， 可得：， ， 四边形是正方形． 【点睛】本题考查矩形的判定、正方形的判定、平行四边形的判定、三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 51．如图，已知，过点D作交的延长线于点E，过点C作交的延长线于点F．    (1)求证：四边形是矩形； (2)请添加一个条件：______，使得四边形是正方形，不用说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】（1）四边形是平行四边形，则，由，得到四边形是平行四边形，由得到，即可得到结论； （2）根据矩形成为一个正方形的条件添加即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2），理由是： ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】此题主要考查了矩形的判定、正方形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定、正方形的判定是解题的关键． 题型十八 正方形的性质（共3小题） 52．如图，在正方形中，G是对角线上的一点（不与点B，D重合），过点G作，分别交于点E，F． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由正方形的性质得到，则可证明是矩形； （2）延长交于点H，则四边形是矩形，可证明是等腰直角三角形．得到，则矩形是正方形，据此可求出，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ∵在正方形中，， ∴是矩形． （2）解：如图，延长交于点H， 在正方形中，， ∵， ∴四边形是矩形，是等腰直角三角形． ∴， ∴矩形是正方形． ∴， 在中，． 53．如图，在矩形中，已知，点E、F分别为、上两点，连接、． (1)如图1，当时，连接，且． ①已知，，求的长； ②已知，求的值； (2)如图2，若平分，且，延长交延长线于点Q，若，，求k的值． 【答案】(1)①10；② (2) 【分析】（1）①首先由得到，证明出四边形是正方形，然后利用勾股定理求解即可； ②如图所示，延长到点G使，证明出，得到，然后利用勾股定理求出，得到，进而求解即可； （2）如图所示，连接，设，，证明出，得到，，然后表示出，勾股定理得到，表示出，由得到，然后代入求出，，进而求解即可． 【详解】（1）①∵在矩形中，已知， ∴当时， ∴ ∴四边形是正方形 ∴ ∵， ∴； ②如图所示，延长到点G使 ∵四边形是正方形，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）如图所示，连接 ∵ ∴设， ∵四边形是矩形 ∴，设 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴代入得， ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∴， ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质和判定，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等角对等边等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 54．如图，在矩形中，点E，F分别是，边上的点，，， (1)求证：； (2)若，求矩形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质. （1）由矩形的性质得到，进而证明，即可得到； （2）由得到，即可证明四边形是正方形，根据正方形的性质计算即可. 【详解】（1）证明：四边形是矩形， 又， 和中 （） ； （2）解：∵ ∴ 又四边形是矩形 四边形是正方形 四边形的周长 题型十九 三角形的中位线定理（共3小题） 55．如图，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，则等于（    ） A．7 B．6.5 C．6 D．5.5 【答案】A 【分析】此题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键． 延长交于点F，通过证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理得出，即可得出结果． 【详解】解：延长交于点F， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵D是中点， ∴， ∴是的中位线， ∴ ∴， 故选：A． 56．如图，已知四边形满足，，、分别为和的中点，则______． 【答案】 【分析】连接，取的中点，连接、，根据三角形中位线定理分别求出、，根据平行线的性质证明，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：连接，取的中点，连接、，则， ∵为的中点， ∴， ，， 同理可得：， ，， ∴， 即， ∵， ∴， ． 57．在中，，，为边上的中线．在中，，，．连接，，分别为线段，的中点，连接． (1)如图，当点在内时，依题意补全图，求证：； (2)如图，当点在外时，连接，，判断与的数量关系与位置关系，并加以证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)，，证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，中位线定理，三角形内角和定理等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）先根据题意画出图形，通过直角三角形的性质得，通过中位线定理可得，从而求证； （）同（）理可得，又，分别为线段，的中点，是的中位线，则，，，同理可得，则有，， 从而得，然后证明，可得，，最后通过三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图， ∵，为边上的中线， ∴， ∵，分别为线段，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； （2）证明：，，如图， 同（）理可得， ∵，分别为线段，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴， ∵，分别为线段，的中点，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，为线段的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可得：，． 题型二十 与三角形中位线定理有关的最值（共3小题） 58．如图，在四边形中，，，，，点M为上的动点，N、E、F分别为的中点．    (1)求的长度 (2)若点N为动点，则最小为___________． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）过D作于H，连接，则四边形为矩形，得，则，由勾股定理求出，再由三角形中位线定理得； （2）过D作于H，连接，则四边形为矩形，得，则，由勾股定理求出，再由三角形中位线定理得；，然后求出的最小值即可． 【详解】（1）作于H，连接，    ∵， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中， ， ∵N为的中点， ∴， 则， 在中，， 在中，E、F为的中点， ∴是的中位线， ； （2）过D作于H，连接，则四边形为矩形， ∴， ∴， ∵E、F为的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，， 当点N与点H重合，点M与点B重合时，的最小值为4，此时最小， ∴长度的最小值， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理以及最小值问题；熟练掌握三角形中位线定理，求出的最小值是解题的关键． 59．如图所示，在矩形中，，，为的中点，则______，若为上一动点，为的中点，连接，最小为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质等知识，由四边形是矩形，则，，然后通过勾股定理即可求出的长，取中点，连接，，可证四边形是平行四边形，可得，由三角形中位线定理可得，可得点在上，当时，有最小值，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴； 如图，取中点，连接，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是中点，点是中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∴点在上， 当时，此时点与重合，有最小值， ∵， ∴，， ∴， ∴ 的最小值为， 故答案为：，． 60．如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一动点，点D，E分别是，的中点，若点N在边上，且，点F，G分别是，的中点，四边形的最大面积是________． 【答案】4 【分析】根据三角形中位线定理可得，，然后得到，，结合证明出平行四边形是矩形，然后利用勾股定理求出，设，表示出，然后根据矩形的面积公式表示出四边形的面积，然后根据配方法结合平方的非负性求解即可． 【详解】解：如图， ∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ，且， 又F、G分别是的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴ ∴ ∴平行四边形是矩形 ∵，，， ∴， ∴设，则 ∴ ∴ ∴ ∴四边形面积． ∵ ∴ ∴四边形的最大面积是4． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，矩形的性质和判定，勾股定理，配方法的应用等知识，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键． 题型二十一 中点四边形（共3小题） 61．如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点若四边形为菱形，则对角线，应满足的条件是（    ） A． B． C．与相互平分 D．不确定 【答案】B 【分析】先根据三角形的中位线定理证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形和菱形的关系即可解答． 【详解】解：∵四边形中，E，F，G，H分别是边的中点， ∴在中，为的中位线， ∴且； 同理：且；，， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴应满足条件，即， ∴． 62．综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________； ②________； 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2）①，②；（3），；（4），理由见解析 【分析】（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案； （2）由中位线的性质可得，结合正方形的性质可得结论； （3）取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）设的中点分别为E、F，并顺次连接，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直， 所以其中点四边形是正方形； 故选：D； （2）①，②；理由如下： 如图1，∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∵E、F、G、H分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图，取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的位置关系为，数量关系为； （4），理由如下： 如图，设的中点分别为E、F，并顺次连接， ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵F，N分别是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 63．如图，四边形ABCD中，AC＝m，BD＝n，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn． (1)四边形A1B1C1D1是 形； (2)四边形A2B2C2D2是 形； (3)四边形A5B5C5D5的周长是 ； (4)四边形AnBnCnDn的面积是 ． 【答案】(1)矩 (2)菱 (3) (4) 【分析】（1）根据三角形中位线定理、矩形的判定定理解答； （2）根据菱形的判定定理解答； （3）、（4）根据矩形、菱形的面积公式计算，总结规律，根据规律解答． 【详解】（1）解∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1， ∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC； ∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1， ∴四边形A1B1C1D1是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴A1B1⊥A1D1， ∴平行多边形A1B1C1D1是矩形， 故答案为：矩； （2）连接A1C1，B1D1， ∵四边形A1B1C1D1是矩形， ∴B1D1=A1C1， ∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2， ∴四边形A2B2C2D2是菱形； 故答案为：菱； （3）根据中位线的性质易知，根据中位线的性质可知，A5B5=A3B3=A1B1=AC，B5C5=B3C3=B1C1=BD， ∴四边形A5B5C5D5的周长是2×（m+n）=， 故答案为； （4）∵四边形ABCD中，AC=m，BD=n，且AC⊥BD， ∴S四边形ABCD=ab÷2； 由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半， 四边形AnBnCnDn的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是菱形的判定定理、矩形的判定定理、三角形中位线定理，掌握菱形和矩形的判定定理是解题的关键． 题型二十二 中心对称图形（共3小题） 64．第33届奥运会于2024年7月26日至8月11日在巴黎举行，以下分别是“2008北京奥运会徽”“2020东京奥运会徽”“2024巴黎奥运会徽”“2028洛杉矶奥运会徽”，其中既是轴对称图形又中心对称图形的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，正确理解轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键，“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”，“ 把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”．根据两类图形的定义即可得到结果． 【详解】解：因为四个图形都不是轴对称图形，也均不是中心对称图形， 所以四个图形中既是轴对称图形又中心对称图形的个数是0个． 故选：A． 65．如图，已知与关于点对称，过点任意作直线分别交、于点、，下列结论中，正确的有_____________个． （1）点和点；点和点是关于点的对称点； （2）直线必经过点； （3）四边形是中心对称图形； （4）四边形和四边形的面积相等； （5）和成中心对称 【答案】/五 【分析】本题考查了中心对称的性质、平行四边形的判定与性质，由题意可得，，从而可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得点就是平行四边形的对称中心，由此逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵与关于点对称， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴点就是平行四边形的对称中心， ∴（1）点和点；点和点是关于点的对称点，说法正确； （2）直线必经过点，说法正确； （3）四边形是中心对称图形，说法正确； （4）四边形和四边形的面积相等，说法正确； （5）和成中心对称，说法正确； 综上所述，正确的个数为个， 故答案为：． 66．如图，是等腰三角形的底边中线，，，与关于点C中心对称，连接，则的长是 ________________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，勾股定理，根据等腰三角形的性质可得，，根据与关于点C中心对称，可得，，，再根据勾股定理可得的长．理解相关图形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵是等腰三角形的底边中线， ∴，， ∴， ∵与关于点C中心对称， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：． 题型二十三 图形的旋转（共3小题） 67．如图，平面直角坐标系中，是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转得到，把绕点顺时针旋转得到，以此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为__________． 【答案】 【分析】依次求出等腰直角三角形的顶点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作轴交于点， 由题意知，， ∴， ， ∴； 同理可得，，，， 以此类推，点的横坐标为， 当为奇数时，点的纵坐标为； 当为偶数时，点的纵坐标为； 当时，， ∴． 68．如图，四边形中，是由绕顶点逆时针旋转所得，顶点恰好转到上一点的位置，则________度． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，以及等腰三角形两底角相等的性质是解题的关键． 根据旋转的性质，得到对应边相等、对应角相等以及旋转角的度数，再利用等腰三角形的性质求出，最后通过三角形内角和与对顶角相等的性质求出，进而求出的度数． 【详解】解：如图， ∵是由绕顶点逆时针旋转所得， ∴，，，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 69．已知：中，，直线上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接交直线于． (1)喜欢思考问题的小捷同学，想探索图中线段和线段的数量关系．于是他画了图1所示当在边上时的图形，并通过测量得到了线段与的数量关系．你认为小捷的猜想是___________（填“”，“”或“”）； (2)当在边的延长线上时请你根据题目要求补全图2，并找出与相等的角___________； (3)如图3，当在边的反向延长线上时，写出的数量关系（用等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)见解析； (3)，见解析 【分析】（1）作，再根据“同角的余角相等”得，然后根据“角角边”证明，可得，最后根据“角角边”证明，可得答案； （2）根据同角的余角相等解答即可； （3）作，交延长线于点，再根据“角角边”证明，可得，进而得出，然后作，交的延长线于，即可说明四边形是矩形，接下来可得，然后根据勾股定理得，最后整理得出答案． 【详解】（1）解：． 过点作，于点E， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：补全的图2如下： 与相等的角是. ∵ ∴． ∵， ∴， ∴； （3），证明如下： 如图3，过作，交延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作，交的延长线于， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 题型二十四 平行四边形的存在性问题（共3小题） 70．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，直线交直线于点，交轴于点．在坐标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、以及平行四边形的性质，关键是利用平行四边形对角线互相平分求点的坐标；分别以为对角线这三种情况，求出点的坐标． 【详解】解：对于直线，当时，， ∴， 解方程组得， ∴， 对于直线，当时，， ∴， ∴，，． 设， 若使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，分三种情况讨论： ①当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得， 的坐标为； ②当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ③当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 71．如图，矩形是一张放在平面直角坐标系中的纸片，为原点，点在轴上，点在轴上，，在上取一点，使得沿折叠后，点落在轴上，记作点． (1)点的坐标是_____． (2)求折痕所在直线对应的函数解析式． (3)在轴上是否存在点，使的面积为12？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）折叠的性质得到，，在中，利用勾股定理易得，即可得到点的坐标； （2）设，则，而，在中，利用勾股定理求出t的值，确定M点的坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式即可； （3）设点P的坐标为，根据的面积为列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，， ∴，， ∵沿翻折后，点B落在x轴上，记作点， ∴，， 在中，，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）解∶ 设，则， 而， 在中，， 即， 解得， ∴M点的坐标为， 设直线的解析式为， 把和代入得，， 解得， ∴直线的解析式为； （3）解∶ 存在； 设点P的坐标为， 则的面积， 解得或， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题考查的是一次函数和几何的综合运用，涉及到一次函数的性质、矩形的翻折、勾股定理的运用、面积的计算等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键． 72．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1）点Q的坐标为（x2，y2），且x1 ≠ x2，y1 ≠ y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“坐标矩形”．图为点P，Q的“坐标矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，0）， (1)若点B的坐标为（3，-1），求点A，B的“坐标矩形”的面积； (2)点C在y轴上，若点A，C的“坐标矩形”为正方形，求直线AC的表达式； (3)在直线y =2x+7的图像上，是否存在点D，使得点A、D的“坐标矩形”为正方形，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)或 (3)存在，点D的坐标为或 【分析】（1）由坐标矩形的定义可知：要求A，B的坐标矩形面积，则AB必为对角线，利用A、B两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度，进而可求出该矩形的面积； （2）由定义可知，AC必为正方形的对角线，所以直线AC与x轴的夹角必为45°，根据分析得出C点的坐标，再设直线AC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法解方程组即可得到求出答案； （3）由定义可知，AD必为坐标矩形的对角线，根据该坐标矩形为正方形，即直线AD与x轴的夹角为45°，因此D点是直线或与直线y =2x+7的交点，列出方程组求解即可得到点D的坐标． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，-1）， 点A，B的“坐标矩形”示意图如图所示， ∴． （2）解：由题意可知点C的坐标为（0，1）或（0，－1）， 设直线AC的表达式为， 将A、C分别代入AC的表达式得到或 解得：或， 则直线AC的表达式为或． （3）解：存在； ∵点A、D的“坐标矩形”为正方形 由（2）可知点D一定在直线或的图像上． 又∵点D在直线y =2x+7的图像上， ∴可列方程组或， 解得或， ∴点D的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，新定义的理解和应用，矩形的面积公式，正方形的性质，熟练掌握相关性质并正确理解题意列出方程进行求解是解题的关键． 题型二十五 平行四边形中的最值问题（共3小题） 73．如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为（     ） A．2.4 B．2.5 C．3 D．5 【答案】A 【分析】连接，首先根据勾股定理解得的值，证明四边形是矩形，可得，当时，最小，则最小，然后由面积法求出的长，即可获得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∴ ∵，， ∴， 则四边形是矩形， ∴， 当时，最小，则最小， 此时， 即， 解得， ∴的最小值为2.4． 74．如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接、，则的最小值是______． 【答案】 【分析】将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段，连接，，，可得是等边三角形，则，证明，可得，则，可得当、、、四点共线时，取得最小值，最小值为的长，即可求解． 【详解】解：如图，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段，连接，，，则，， ∴是等边三角形， ∴， ∵在菱形中，， ∴，， ∴和均为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 当、、、四点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴的最小值是． 75．如图，在正方形与正方形中，．连接为的中点，连接．正方形绕着点旋转过程中，的最小值是_________． 【答案】 【分析】延长至点，使得，连接，根据中位线的性质得到，将的最小值问题转化为的最小值问题，利用勾股定理可得的长，当点三点共线时，且点在线段上时，取最小值，最小值为，即可得解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， ∵为的中点，为的中点， ∴是的中位线， ∴，故要求的最小值，即需求的最小值即可， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，为定值， 当点三点共线时，且点在线段上时，取最小值，最小值为 ∴的最小值是． 题型二十六 平行四边形中的旋转问题（共3小题） 76．如图，在平面直角坐标系中，菱形中，已知，，对角线交点，将菱形绕点顺时针方向旋转，每次旋转，则旋转次后，点的坐标是______，旋转次后，点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、点的坐标变化规律，勾股定理，利用菱形的性质求出点的坐标，再根据菱形每次顺时针旋转，相当于对点每次顺时针旋转，根据周期性，求出点的坐标的变化规律，据此即可求解，求出点的坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：如下图所示，作轴交于点， ∵四边形是菱形， ∴，点是的中点， ∵点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∴， ∵点是的中点， ∴点的坐标为， ∴， 菱形每次顺时针旋转，相当于对点每次顺时针旋转， 根据图形变化可得， 旋转次坐标为， 旋转次坐标为， 旋转次坐标为， 旋转次坐标为， 旋转次坐标为， 旋转次坐标为， ， ∴旋转次后，点的坐标是， 坐标的变化具有周期性，次旋转一个周期， ∵， ∴旋转次后，点的坐标是 故答案为：，． 77．如图，在中，，D是上的点（点D不与点A重合），将绕点B旋转，旋转后点D始终在内，点F为的中点，连接，，当是等腰直角三角形时，的长为___________． 【答案】或 【分析】可证明是等边三角形，得到，则，可证明，即点B不能为直角顶点；当时，则，利用勾股定理求解即可；当时，过点D作于点H，则，求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∵点D始终在内， ∴，即点B不能为直角顶点； 如图所示，当时，则， ∴， ∴； 如图所示，当时，过点D作于点H，则， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 78．（1）如图1，正方形与等腰直角有公共顶点，，连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，直线，相交所成的角为，则______；直线DF与直线的位置关系为：______； （2）如图2，矩形与有公共顶点，，且，，连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，直线，相交所成的角为，请求出的值及的度数，并结合图2进行说明； （3）若平行四边形与有公共顶点，且，，，将绕点旋转，在旋转过程中，直线，相交所成的锐角的度数为，则： ①＝______； ②当，平分时，的延长线交于点，此时，是什么三角形？请说明理由． 【答案】（1）1，；（2）；（3）①；②等边三角形，理由见解析 【分析】（1）根据旋转的过程中线段的长度不变，得到，又与都与互余，所以，所以，因此与相等，延长分别交于点G，交于M，根据全等三角形的对应角相等和对顶角相等求出，所以； （2）同（1）的方法，因为矩形的邻边不相等，但根据题意，可以得到对应边成比例，所以，所以，同理，根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于，求出，所以； （3）①与（2）的证明方法相同； ②根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于，求出，从而可求出的值即可判断． 【详解】解：（1）如图1，延长分别交于点G，交于M， 在正方形和等腰直角中，， ∴， ∴， ∴， ∴=1， ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：1，； （2）如图2，延长分别交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，； （3）①如图3，延长交的延长线于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∵， ∴，， ∴是等边三角形． 【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质要解决本题，证明三角形全等和三角相似是解题的关键，也是难点所在． 题型二十七 平行四边形中的折叠问题（共3小题） 79．【操作】如图①．矩形纸片中，．点P在上，点Q在上，，将纸片沿翻折，使顶点C落在矩形内，对应点为，的延长线交直线于点M，再将纸片的另一部分翻折，使顶点A落在直线上，对应点为．折痕为．猜想、之间的位置关系为 ； 【探究】如图②，将矩形纸片任意翻折，折痕为（P在上，Q在上），使顶点C落在矩形内，点C的对应点为，的延长线交边于点M，再将纸片的另一部分翻折，使点A的对应点落在上，折痕为． ①若，求证：； ②当时，直接写出的长． 【答案】操作：；探究：①见解析；②的长为4；理由见解析 【分析】操作：由矩形的性质可得，则，由折叠可知，，于是得到，进而得到，由内错角相等，两直线平行即可证明； 探究：①由矩形的性质可得，，则，由折叠可知，于是得，可得，即可证明； ②过点M作于点G，则，，，易得，于是可得，由即可求解． 【详解】操作：解：；理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 探究：①证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：的长为4；理由如下： 过点M作于点G，如图，则， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、折叠的性质、平行线的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 80．如图1，在中，，，点D在边上，连接．把线段绕点A逆时针旋转得到线段，将沿直线翻折得到，直线与直线交于点G． (1)请在图1中补全图形，找出与相等的线段，并说明理由； (2)若点D为的三等分点，求的值． 【答案】(1)图见解析，，理由见解析 (2)或 【分析】（1）根据题意补全图形，连接，可证得，即可证得结论； （2）设，则，分两种情况：当点为靠近点的三等分点时，当点为靠近点的三等分点时，分别求出，再求得的值即可． 【详解】（1）解：补全图形如图1， 结论：，理由如下： 如图1，连接， 由旋转得：， ， ， ， ， 由翻折得：， ， ， 即， ， ； （2）解：在中，， ∴是等腰直角三角形， ， 设，则， 当点为靠近点的三等分点时，如图2，连接， 则， 在和中 ， ， ， ， ， ， 由翻折得， ， ， 又， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ； 当点为靠近点的三等分点时，如图3，连接， 则， 同理可得， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， 综上，当点为的三等分点时，的值为或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了翻折变换的性质，旋转变换的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 81．在中，，E是线段上一动点，连接．    (1)如图1，若，的面积为 ； (2)如图2，若，将线段绕C，逆时针旋转得到线段，连接．若点G是线段的中点，过点G作交于点P，交于点H，证明； (3)如图3，将沿翻折至，连接．D是线段上的点，且，直接写出当取得最小值时的长度． 【答案】(1)32 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点C作于M，由等腰三角形性质及勾股定理可求得的长度，再由含30度角直角三角形的性质可求得的长度，从而可求得面积； （2）延长到Q，使，连接，取的中点R，连接，由条件可得，从而，则，由三角形中位线定理得，得四边形是平行四边形，得，即可得． （3）在的上方作，且使，连接，证明，则可得，当点D在线段上时，取得最小值，最小值为线段的长；过点F作于点N，连接，易得，由（1）可计算出的长度． 【详解】（1）解：过点C作于M， ∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：32； （2）证明：延长到Q，使，连接，取的中点R，连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，即点G是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （3）解：在的上方作，且使，连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当点D在线段上时，取得最小值，最小值为线段的长；过点F作于点N，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形，由勾股定理得， 而由（1）知，即， ∴垂直平分线段， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 在（1）中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 即取得最小值时的长度为． 【点睛】本题是三角形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，三角形中位线定理等知识，综合性强，构造辅助线是解题的关键． 题型二十八 平行四边形中的新定义问题（共3小题） 82．对于定点P和图形W，给出如下定义：若图形W上存在两个不同的点M，N，使得四边形是平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的衍生点．特别地，当平行四边形的面积最大时，称点Q是点P关于图形W的最佳衍生点．在平面直角坐标中，点． (1)点C，D，E中，点O关于线段的衍生点是______； (2)将点O关于线段的最佳衍生点记为T， ①直接写出点T的坐标； ②若直线上存在点O关于四边形的衍生点，求b的取值范围． 【答案】(1)E (2)①；② 【分析】（1）根据衍生点的定义解答； （2）①因为平行四边形的面积最大时，称点T是点O关于线段的最佳衍生点，画图直接得出答案； ②利用两个边界点确定两个b的值，将衍生点代入直线中可得，衍生点代入直线中可得，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，点C，D，E中， （2）解：①如图，点O关于线段的最佳衍生点记为点T，即四边形的面积最大，则点； （2）将直线上存在点O关于四边形的衍生点记为点H， ∵点A，B，T，C的坐标为， ∴四边形是正方形， ∵正方形及其内部的任意点K（除顶点A，B，T，C外），总能够在正方形及其内部找到两点M，N，使点K作为点M，N的中点， ∵四边形是平行四边形， ∴由平行四边形的性质可知，点O，H的中点也为点K， ∴可能所有的点H组成正方形（顶点除外）， 如图所示，将它记为图形G， 依题意，只需直线与图形G有公共点即可， 当直线过点时，； 当直线过点时，， 所以． 83．在平面内，给出如下定义：若直线将某图形分成面积相等的两部分，则称直线是该图形的“等分线”．在平面直角坐标系中，正方形的一个顶点的坐标是． (1)如图，已知， ①在直线，，中是正方形的“等分线”的是_________． ②已知点，直线是正方形的“等分线”，且与线段有公共点，求的取值范围． (2)若对任意正方形，直线总是正方形的一条“等分线”，且正方形与轴恰有2个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)①，②或 (2)或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）求出正方形的中心为，经过该点的直线平分正方形的面积； （2）由题可知直线经过正方形的中心，则直线的解析式为，当直线经过点时，，当直线经过时，，再结合图象可得的取值范围是或； （3）设正方形的中心为点，则，即，确定正方形与轴有两个交点的临界情况为：当即点在轴上时，，当轴时，此时点在轴上，，则当或时，正方形与轴有两个交点． 【详解】（1）解：①四边形是正方形， 的中点为， 直线经过点时，直线平分正方形的面积， ，经过点， 正方形的“等分线”的是，， 故答案为：，； ②直线是四边形的“等分线”， 直线经过正方形的中心， ， ， 直线的解析式为， 当直线经过点时，， 当直线经过点时，， 的取值范围是：或； （2）设正方形的中心为点， ， ， ， 当点在轴上时，，解得， ， 当时，正方形与轴有两个交点； 当轴时，此时点在轴上， ， 解得， ， 当时，正方形与轴有两个交点； 综上所述：或． 84．定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【初步理解】 如图1，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形______（填“一定”或“不一定”）是正方形； 【尝试运用】 如图2，在菱形中，，点、分别在、上（不含端点），连接，，若，证明四边形是“等邻边四边形”； 【拓展延伸】 如图3，现有一个平行四边形材料，连接，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形的面积． 【答案】（1）一定 （2）四边形是“等邻边四边形” （3）或或 【分析】（1）根据等邻边四边形的定义和正方形的判定可得出结论； （2）如图②中，结论：四边形是等邻四边形，利用全等三角形的性质证明即可； （3）如图③中，过点作于，点作于N，则四边形是矩形．分三种情形：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形的邻边相等， ∴矩形一定是正方形； 故答案为：一定； （2）如图②，四边形是等邻四边形； 理由：连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是等邻四边形， ．（3）如图③中，过点作于，点作于N，则四边形是矩形． ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ①当时， ． ②当时，设， ∵，在中，， ∴， ∴，即， ∴． ③当时，点与重合，此时, ∴． 综上：四边形的面积为或或． 【点睛】本题考查了“等邻边四边形”的定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 四边形（含存在、最值问题） 题型1 多边形的相关概念 题型15 菱形的性质（重点） 题型2 多边形的对角线问题 题型16 菱形的面积计算（常考点） 题型3 多边形的内角和问题（常考点） 题型17 正方形的判定（常考点） 题型4 多边形内角和与外角和综合（重点） 题型18 正方形的性质（重点） 题型5 正多边形 题型19 三角形的中位线定理（重点） 题型6 平面镶嵌 题型20 与三角形中位线定理有关的最值（难点） 题型7 平行四边形的判定（常考点） 题型21 中点四边形 题型8 平行四边形的性质（重点） 题型22 中心对称图形（常考点） 题型9 平行四边形判定与性质的应用 题型23 图形的旋转 题型10 矩形的判定（常考点） 题型24 平行四边形的存在性问题（难点） 题型11 矩形的性质（重点） 题型25 平行四边形中的最值问题（难点） 题型12 矩形的折叠问题（重点） 题型26 平行四边形中的旋转问题（难点） 题型13 斜边的中线等于斜边的一半 题型27 平行四边形中的折叠问题（难点） 题型14 菱形的判定（常考点） 题型28 平行四边形中的新定义问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 多边形的相关概念（共3小题） 1．下列说法错误的是（   ） A．正多边形的各条边都相等 B．正多边形的各个角都相等 C．各角都相等的多边形不一定是正多边形 D．各条边都相等的多边形一定是正多边形 2．下列说法中错误的是（  ） A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形 B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形 C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形 D．各边都相等的多边形是正多边形 3．个六边形、个五边形共有___________条边． 题型二 多边形的对角线问题（共3小题） 4．若一个正多边形的每个外角是60°，则从它的一个顶点出发的对角线有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．过八边形的一个顶点可以画条对角线，将它分成个三角形，则的值是__________． 6．过n边形的一个顶点可以引出m条对角线． (1)当时，________； (2)小高计算出一个多边形的内角和为，通过计算说明小高的计算结果正确吗？ 题型三 多边形的内角和问题（共3小题） 7．五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子中的微粒像足球一样团结在一起．一个烯分子由个正五边形、个正六边形组成（如图①所示）．如图②，边长相等的正六边形和正五边形叠放一起，是正六边形的对角线，的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在正六边形和正方形中，连接，并延长分别交，于点，M，与交于点，则__________． 9．如图，已知，连接，． (1)当点E在三角形内部时， ①若，，如图，则 °； ②若，，试用m、n表示的度数． (2)当点E在三角形的外部时，，，与之间是否存在确定的数量关系？如存在，请直接用m、n表示，如不存在，请写出理由． 题型四 多边形内角和与外角和综合（共3小题） 10．如图是一个由正方形和菱形构成的对称环状图案，其外轮廓为一个正八边形，下列判断正确的是（） A．该正八边形的每个内角为 B．该正八边形的对角线共有条 C．该环状图案的对称轴有条 D．该正八边形的每个外角为 11．如图，正六边形，分别过顶点，作，，现在以和所在的直线画边，作正边形，则正边形的边数为________． 12．如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②． (1)图②的外轮廓周长是_____． (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长． 题型五 正多边形（共3小题） 13．如图，已知四边形是正方形，O是对角线的中点，以为边作一个正五边形，求α的度数． 14．如图，正五边形，平分，平分正五边形的外角，求的度数． 15．如何密铺地板 活动任务 小明家进行装修，想给厨房和客厅的地板既不留空隙、又不重叠地铺满地砖（要求：地砖不能切割）． 活动过程 素材1 装修公司提供了如下几种规格的地砖及其价格： 形状 边长 米 米 米 米 米 价格 30元/块 40元/块 120元/块 150元/块 180元/块 素材2 如图1，小明家厨房地面是一个长为3米，宽为米的长方形．如图2，小明家客厅中间区域想设计为各边长均为3米的平行四边形，且． 任务1：小明想用装修公司提供的现有规格中的同一种正多边形地砖铺满厨房地板，请你帮他算出该方案的费用． 任务2：小明想用两种不同的正多边形地砖铺满图2区域，他能实现吗?若能，请你帮他设计一种最省钱的方案，在图2中画出示意图，并计算出最省的费用；若不能，请说明理由． 题型六 平面镶嵌（共3小题） 16．如图（1），图形的密铺指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．如图（2），若要用边长相同的正三角形、正六边形两种材料（两种材料都要用到）密铺地面，则必须满足：有公共顶点的个正三角形的内角与个正六边形的内角的和等于， 则__________ 17．用一种或几种完全相同（全等形）的三角形或多边形无间隙且不重叠地覆盖（铺砌）平面的一部分，叫做平面镶嵌，平面镶嵌又称为“平面密铺”．如图所示，由边长相等的正方形和正六边形相间围成一圈，则中间的正多边形的边数为______． 18．项目学习：生活中的密铺 【描述定义】在数学中用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面图形的密铺（或称为平面镶嵌）．在现实生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 【知识储备】 (1)对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是_____； (2)密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为___，并使相等的边重合． 【任务：寻找密铺】 (3)下列正多边形中，能够单独密铺平面的是（   ）；（多选） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 (4)公园的一段甬道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，如图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，，求的度数． 题型七 平行四边形的判定（共3小题） 19．如图，在中，点、分别在边、上，且． (1)求证：； (2)连接，请添加一个条件：________，使四边形是平行四边形，不需要说明理由． 20．如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接； (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请写出四个图中的三角形，并且每个三角形的面积都等于面积的一半． 21．如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 题型八 平行四边形的性质（共3小题） 22．如图，在中，对角线，交于点，，分别是，的中点，连接，． (1)若，求； (2)求证：． 23．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点O任意作直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 24．如图，在中，，点E是的中点．过点D作于点P，交于点F，且． (1)求的度数； (2)若，求的长； (3)连结，若平分，求证：． 题型九 平行四边形判定与性质的应用（共3小题） 25．如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度为_____． 26．【项目主题】测量距离 【项目背景】如图1，、两点被大山阻隔（、两点距离不可直接测得）．为了改善山区的交通，现拟开凿一条贯穿、的隧道，修建一条高速公路． 【实践操作】 方案一：如图2，某工程队分别以、两点为起点，朝同一方向行进相同距离，分别到达点、．测量、两点之间线段的长度，即为、两点的距离． 【问题解决】 (1)请你说明方案一的合理性； (2)请你设计与方案一不同的方案，在答题卡上画出几何图形，并表示出、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 27．数学实践小组开展测量篮球架篮板的高度的实践活动．测量方案如下表： 课题 测量篮球架篮板的高度 测量 工具竹竿、测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）将竹竿垂直固定在地面上，从竹竿上的F点处观察篮板底部点B； （2）测量视线与竹竿的夹角，； （3）将观察点沿着竹竿向上移动到点G，测量从点G观察篮板顶部点A的视线与竹竿的夹角； （4）测量的长 测量数据 根据以上测量方案和数据求篮球架篮板的高度． 题型十 矩形的判定（共3小题） 28．如图，在矩形中，E是的中点，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的周长． 29．如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边、交于点，连接、，若． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 30．已知：如图，在矩形中，点E为上一点，平分，点F为的中点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型十一 矩形的性质（共3小题） 31．在矩形中，为对角线，的垂直平分线分别交于点E，O，F，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求菱形的面积． 32．如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形面积． 33．如图，在矩形中，，，，该矩形的周长为． (1)求证：； (2)求的长． 题型十二 矩形的折叠问题（共3小题） 34．如图，将矩形沿直线折叠，使点C落在点处，交于点E，，． (1)求的长 (2)求的面积． 35．综合与实践 已知矩形中，，在上有一点P，将沿进行翻折，当的对应边与边相交时，记交点为点F． 【发现】 (1)如图1，若点P与点D重合时，求证：； 【探究】 (2)连接，当取得最小值时，直接写出的长； (3)如图2，当点P满足时，求的长； 【拓展】 (4)当射线恰好经过的中点M时，直接写出的长． 36．在矩形中，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． (1)若为线段上一点． ①当点落在边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的点E和点P（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出此时_________； ②如图2，连接，若，求证：P是的中点． (2)若P为延长线上一点，且运动点P至为直角时，请画出图形，并求的长． 题型十三 斜边的中线等于斜边的一半（共3小题） 37．如图，中，，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线与交于点，与交于点E，连接．若，，则的长为（） A． B． C． D． 38．如图，在中，，G为的中点，直角绕点G旋转，它的两条边分别交的延长线于点E，F，连接，当时，的长为 _______ ． 39．如图，在四边形中，，，相交于点，延长至点，延长至点，使得，连接，，，，且． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)过点作，交的延长线于点，连接，若，，求的长． 题型十四 菱形的判定（共3小题） 40．如图，在中，点，分别在，上，且． (1)若是菱形，求证：； (2)若，求证：是菱形． 41．已知：如图，四边形为平行四边形，为的一条对角线． (1)（多选题）若添加一个条件，使得为菱形，这个条件可以是（   ） A．        B． C．为的角平分线    D． (2)用尺规作图，作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接、，求证：四边形为菱形． 42．如图，在中，点E，F在对角线上，，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请添加一个与线段有关的条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由．） 题型十五 菱形的性质（共3小题） 43．如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 44．如图，在中，对角线与相交于点，为延长线上一点，且，为延长线上一点，且，连接． (1)当时，求证：四边形是矩形； (2)当，，时，求四边形的周长． 45．【综合与实践：折纸中的数学】我国传统建筑中，设计精巧、样式繁多的几何图案随处可见，它们由笔直的短木条沿横、竖、斜方向交错构成，给人以明朗、均匀、简洁的美感．漫步于我们的校园，盈乐园中的小亭便体现了这一艺术特点．小亭的布局以“因地制宜”为原则，每换一个角度，眼前都是一幅不同的画面．如图②，是从底部仰视亭子内部顶部设计时看到的图案——木条纵横交错，形成一个个规整的四边形，简洁而富有韵律．      有趣的是，这样的图案不仅存在于传统建筑中，我们还可以通过折纸的方式将其“复现”．下面，让我们动手操作，在折纸中探寻数学的奥秘，感受传统文化与数学的交融之美．          【素材】如图③，一张矩形纸片，，． (1)【实践操作1】 步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为； 步骤二：然后左右对折，折痕为； 步骤三：将原纸片展开还原后，如图④所示得到四边形． 【实践探索1】 四边形的形状为 ；面积为 ； (2)【实践操作2】 步骤一：将矩形纸片先沿对角线对折； 步骤二：再将纸片折叠使点与点重合得折痕； 步骤三：将原纸片展开还原后，连接，．如图⑤所示，得到四边形． 【实践探索2】 ①判断四边形的形状，并加以证明． ②直接写出四边形的面积 ． 题型十六 菱形的面积计算（共3小题） 46．如图，将矩形两次对折：第一次沿对折，使边与重合，展开后又沿对折，使边与重合，再次展开后连接得到四边形．若，则四边形的面积为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 47．如图所示，四边形中，于点O，，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N．连接，在点P运动过程中，的最小值等于____． 48．已知，如图，四边形是平行四边形，点E、F在对角线所在的直线上，． (1)求证：； (2)连接、，若，，平分，求四边形的面积． 题型十七 正方形的判定（共3小题） 49．如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作，与的延长线相交于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)填空：①当满足条件时，四边形是 形； ②当满足条件 时，四边形是正方形． 50．如图，在中，，是的中线，，是的中点，连接并延长，交于点E． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求的长 (3)当满足条件___________时，四边形是正方形． 51．如图，已知，过点D作交的延长线于点E，过点C作交的延长线于点F．    (1)求证：四边形是矩形； (2)请添加一个条件：______，使得四边形是正方形，不用说明理由． 题型十八 正方形的性质（共3小题） 52．如图，在正方形中，G是对角线上的一点（不与点B，D重合），过点G作，分别交于点E，F． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的长． 53．如图，在矩形中，已知，点E、F分别为、上两点，连接、． (1)如图1，当时，连接，且． ①已知，，求的长； ②已知，求的值； (2)如图2，若平分，且，延长交延长线于点Q，若，，求k的值． 54．如图，在矩形中，点E，F分别是，边上的点，，， (1)求证：； (2)若，求矩形的周长． 题型十九 三角形的中位线定理（共3小题） 55．如图，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，则等于（    ） A．7 B．6.5 C．6 D．5.5 56．如图，已知四边形满足，，、分别为和的中点，则______． 57．在中，，，为边上的中线．在中，，，．连接，，分别为线段，的中点，连接． (1)如图，当点在内时，依题意补全图，求证：； (2)如图，当点在外时，连接，，判断与的数量关系与位置关系，并加以证明． 题型二十 与三角形中位线定理有关的最值（共3小题） 58．如图，在四边形中，，，，，点M为上的动点，N、E、F分别为的中点．    (1)求的长度 (2)若点N为动点，则最小为___________． 59．如图所示，在矩形中，，，为的中点，则______，若为上一动点，为的中点，连接，最小为______． 60．如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一动点，点D，E分别是，的中点，若点N在边上，且，点F，G分别是，的中点，四边形的最大面积是________． 题型二十一 中点四边形（共3小题） 61．如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点若四边形为菱形，则对角线，应满足的条件是（    ） A． B． C．与相互平分 D．不确定 62．综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________； ②________； 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 63．如图，四边形ABCD中，AC＝m，BD＝n，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn． (1)四边形A1B1C1D1是 形； (2)四边形A2B2C2D2是 形； (3)四边形A5B5C5D5的周长是 ； (4)四边形AnBnCnDn的面积是 ． 题型二十二 中心对称图形（共3小题） 64．第33届奥运会于2024年7月26日至8月11日在巴黎举行，以下分别是“2008北京奥运会徽”“2020东京奥运会徽”“2024巴黎奥运会徽”“2028洛杉矶奥运会徽”，其中既是轴对称图形又中心对称图形的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 65．如图，已知与关于点对称，过点任意作直线分别交、于点、，下列结论中，正确的有_____________个． （1）点和点；点和点是关于点的对称点； （2）直线必经过点； （3）四边形是中心对称图形； （4）四边形和四边形的面积相等； （5）和成中心对称 66．如图，是等腰三角形的底边中线，，，与关于点C中心对称，连接，则的长是 ________________． 题型二十三 图形的旋转（共3小题） 67．如图，平面直角坐标系中，是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转得到，把绕点顺时针旋转得到，以此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为__________． 68．如图，四边形中，是由绕顶点逆时针旋转所得，顶点恰好转到上一点的位置，则________度． 69．已知：中，，直线上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接交直线于． (1)喜欢思考问题的小捷同学，想探索图中线段和线段的数量关系．于是他画了图1所示当在边上时的图形，并通过测量得到了线段与的数量关系．你认为小捷的猜想是___________（填“”，“”或“”）； (2)当在边的延长线上时请你根据题目要求补全图2，并找出与相等的角___________； (3)如图3，当在边的反向延长线上时，写出的数量关系（用等式表示），并证明． 题型二十四 平行四边形的存在性问题（共3小题） 70．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，直线交直线于点，交轴于点．在坐标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 71．如图，矩形是一张放在平面直角坐标系中的纸片，为原点，点在轴上，点在轴上，，在上取一点，使得沿折叠后，点落在轴上，记作点． (1)点的坐标是_____． (2)求折痕所在直线对应的函数解析式． (3)在轴上是否存在点，使的面积为12？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 72．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1）点Q的坐标为（x2，y2），且x1 ≠ x2，y1 ≠ y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“坐标矩形”．图为点P，Q的“坐标矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，0）， (1)若点B的坐标为（3，-1），求点A，B的“坐标矩形”的面积； (2)点C在y轴上，若点A，C的“坐标矩形”为正方形，求直线AC的表达式； (3)在直线y =2x+7的图像上，是否存在点D，使得点A、D的“坐标矩形”为正方形，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二十五 平行四边形中的最值问题（共3小题） 73．如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为（     ） A．2.4 B．2.5 C．3 D．5 74．如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接、，则的最小值是______． 75．如图，在正方形与正方形中，．连接为的中点，连接．正方形绕着点旋转过程中，的最小值是_________． 题型二十六 平行四边形中的旋转问题（共3小题） 76．如图，在平面直角坐标系中，菱形中，已知，，对角线交点，将菱形绕点顺时针方向旋转，每次旋转，则旋转次后，点的坐标是______，旋转次后，点的坐标是______． 77．如图，在中，，D是上的点（点D不与点A重合），将绕点B旋转，旋转后点D始终在内，点F为的中点，连接，，当是等腰直角三角形时，的长为___________． 78．（1）如图1，正方形与等腰直角有公共顶点，，连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，直线，相交所成的角为，则______；直线DF与直线的位置关系为：______； （2）如图2，矩形与有公共顶点，，且，，连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，直线，相交所成的角为，请求出的值及的度数，并结合图2进行说明； （3）若平行四边形与有公共顶点，且，，，将绕点旋转，在旋转过程中，直线，相交所成的锐角的度数为，则： ①＝______； ②当，平分时，的延长线交于点，此时，是什么三角形？请说明理由． 题型二十七 平行四边形中的折叠问题（共3小题） 79．【操作】如图①．矩形纸片中，．点P在上，点Q在上，，将纸片沿翻折，使顶点C落在矩形内，对应点为，的延长线交直线于点M，再将纸片的另一部分翻折，使顶点A落在直线上，对应点为．折痕为．猜想、之间的位置关系为 ； 【探究】如图②，将矩形纸片任意翻折，折痕为（P在上，Q在上），使顶点C落在矩形内，点C的对应点为，的延长线交边于点M，再将纸片的另一部分翻折，使点A的对应点落在上，折痕为． ①若，求证：； ②当时，直接写出的长． 80．如图1，在中，，，点D在边上，连接．把线段绕点A逆时针旋转得到线段，将沿直线翻折得到，直线与直线交于点G． (1)请在图1中补全图形，找出与相等的线段，并说明理由； (2)若点D为的三等分点，求的值． 81．在中，，E是线段上一动点，连接．    (1)如图1，若，的面积为 ； (2)如图2，若，将线段绕C，逆时针旋转得到线段，连接．若点G是线段的中点，过点G作交于点P，交于点H，证明； (3)如图3，将沿翻折至，连接．D是线段上的点，且，直接写出当取得最小值时的长度． 题型二十八 平行四边形中的新定义问题（共3小题） 82．对于定点P和图形W，给出如下定义：若图形W上存在两个不同的点M，N，使得四边形是平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的衍生点．特别地，当平行四边形的面积最大时，称点Q是点P关于图形W的最佳衍生点．在平面直角坐标中，点． (1)点C，D，E中，点O关于线段的衍生点是______； (2)将点O关于线段的最佳衍生点记为T， ①直接写出点T的坐标； ②若直线上存在点O关于四边形的衍生点，求b的取值范围． 83．在平面内，给出如下定义：若直线将某图形分成面积相等的两部分，则称直线是该图形的“等分线”．在平面直角坐标系中，正方形的一个顶点的坐标是． (1)如图，已知， ①在直线，，中是正方形的“等分线”的是_________． ②已知点，直线是正方形的“等分线”，且与线段有公共点，求的取值范围． (2)若对任意正方形，直线总是正方形的一条“等分线”，且正方形与轴恰有2个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 84．定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 【初步理解】 如图1，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形______（填“一定”或“不一定”）是正方形； 【尝试运用】 如图2，在菱形中，，点、分别在、上（不含端点），连接，，若，证明四边形是“等邻边四边形”； 【拓展延伸】 如图3，现有一个平行四边形材料，连接，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形的面积． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $