2025-2026学年上海市七年级下册数学 期末抢分卷(Ⅲ)

**基本信息** 上海七年级下册数学期末抢分卷，以0.49难度梯度覆盖不等式、三角形等核心知识，通过“体重管理年”应用题（22题）和费马点探究（25题），融合数学眼光与思维，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|不等式性质、平行线性质、三角形全等判定|基础概念辨析，如第3题考查证明依据| |填空题|12/24|角平分线性质、等腰三角形分类讨论|几何多解问题，如17题垂直平分线与等腰三角形角度计算| |解答题|7/64|不等式组求解、几何证明、应用题、费马点探究|情境化与探究性结合，22题“体重管理年”应用题，25题费马点逻辑推理|

绝密★启用前 2025-2026学年上海市七年级下册数学 期末抢分卷(Ⅲ) 难度系数：0.49；考试时间：100分钟；分数：100 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）若a＞b，则下列各式中一定成立的是（　　） A．a﹣2＜b﹣2 B．﹣3a+1＜﹣3b+1 C．ac2＞bc2 D．a+5＜b+5 2．（2分）将三角尺ABC按如图位置摆放，顶点A落在直线l1上，顶点B落在直线l2上，若l1∥l2，∠1＝25°，则∠2的度数是（　　） A．45° B．35° C．30° D．25° 3．（2分）下列命题，不能作为证明的依据的是（　　） A．如果a＝b，b＝c，那么a＝c B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．全等三角形的面积相等 D．同位角相等，两直线平行 4．（2分）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，5，8 C．6，8，10 D．5，5，9 5．（2分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列说法正确的是（　　） A．若AB∥CD且AC＝BD，则四边形ABCD是矩形 B．若AB＝AD且CB＝CD，则四边形ABCD是菱形 C．若OA＝OC且OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形 D．若AC⊥BD且AC＝BD，则四边形ABCD是正方形 6．（2分）如图，已知△ABC中，∠ABC＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为（　　） A．110° B．105° C．115° D．无法确定 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7．（2分）若关于x的不等式x≤﹣3+a的解集如图所示，则a的值是 　 　 ． 8．（2分）如图，已知AB∥CD，AD与BC交于点E，若CD＝2AB，AE＝3，则DE的长为　 　 ． 9．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于点E，且△DEA的周长为2024cm，则AB＝　 　 ． 10．（2分）如图，在△ABC中BC＝13cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是　 　 cm． 11．（2分）关于x的不等式组无解，m应满足的条件　 　 ． 12．（2分）写出命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题：　 　 ． 13．（2分）不等式组的解集是 　 　 ． 14．（2分）如图．已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA，PD．若∠A＝50°，∠D＝150°，则 ∠APD的度数为 　 　 . 15．（2分）已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的底边长是　 　 ． 16．（2分）如图，AB＝AC，AD＝AE，点B，D，E在一条直线上，∠1＝∠CAE＝32°，∠2＝41°，则∠3＝　 　 °． 17．（2分）等腰△ABC，AB＝AC，线段AB的垂直平分线DE交AB于点D，交直线AC于点E，若∠DEA＝50°，则∠BAC的度数是　 　 ． 18．（2分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，AD⊥BC于D，△ABC绕点B逆时针旋转得到△FBE，点C的对应点E落在AD上，则∠CBF的度数是 　 　 ． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分64分） 19．（5分）解不等式组：． 20．（5分）填空并完成以下过程： 已知：点P在直线CD上，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2． 请你说明：∠E＝∠F． 解：∵∠BAP+∠APD＝180°，（已知） ∴AB∥CD，（ 　 　 ） ∴∠BAP＝　 　 ，（两直线平行，内错角相等．） 又∵∠1＝∠2，（已知） ∠3＝∠BAP﹣∠1， ∠4＝∠APC﹣∠2， ∴∠3＝　 　 ，（等式的性质） ∴AE∥PF，（ 　 　 ） ∴∠E＝∠F．（ 　 　 ） 21．（6分）如图，在△ABC中，CF＝EB，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，DF＝BD．求证：AD平分∠BAC． 22．（10分）2025年，国家卫健委开展持续实施“体重管理年”行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．为响应该政策，某商场计划购进甲、乙两种品牌的足球．已知甲种品牌足球的进价比乙种品牌足球的进价多65元，用28000元购进甲种品牌足球的数量与用15000元购进乙种品牌足球的数量相同． （1）求甲、乙两种品牌足球的进价各多少元？ （2）商场计划每个甲种品牌足球的售价为198元，每个乙种品牌足球的售价为100元，商场决定同时购进甲、乙两种品牌足球共100个，假设能全部售出．若商场用不低于10100元且不高于10425元的资金购入甲、乙两种品牌的足球．请你帮商场设计利润最大的进货方案，并求出此时的最大利润，说明理由． 23．（12分）如图，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，点D在AB上，点M为CE的中点． （1）联结DM，延长DM与AC相交于点F，请根据要求画出图形，并说明AE＝CF． （2）再联结BF，已知BF＝12，求CM的长． 24．（12分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求找格点M． （1）在图①中，连结AM、BM、CM，使AM＝BM＝CM； （2）在图②中，连结BM、CM，使∠BMC+∠BAC＝180°； （3）在图③中，连结BM，使∠CBM+∠BAC＝90°． 25．（14分）费马是17世纪的法国数学家，他曾研究过一种特殊的点，它满足“在一个三角形所在平面上，到该三角形的三个顶点距离之和最短”，这样的点被称为“该三角形的费马点”． （1）如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D在线段BC上且线段BD＞DC，请判断：点D是否为△ABC的费马点，并说明理由． （2）现有真命题：在△ABC中，三个内角都小于120°，在其内部存在一点P，满足∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，则点P称为△ABC的费马点． 小明利用该真命题，尝试用尺规作费马点，他的作法如下： 如图，对一个所有内角都小于120°的△ABC，分别以线段AB、AC为边向外侧作等边三角形ABD和等边三角形ACE，联结CD、BE交于点P．请完成证明： ①求证：∠ADC＝∠ABE； ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：________班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ②在线段DP上取点F使PF＝BP，联结BF，求证：点P是△ABC的费马点． 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市七年级下册数学 期末抢分卷(Ⅲ)答题卡 条 码 粘 贴 处 （正面朝上贴在此虚线框内） 试卷类型：A 姓名：______________班级：______________ 准考证号 缺考标记 考生禁止填涂缺考标记！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×] 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）（请用2B铅笔填涂） 1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）（请在各试题的答题区内作答） 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 三．解答题（共7小题，满分64分）（请在各试题的答题区内作答） 19.答： 20.答： 21.答： 22.答： 23.答： 24.答： 25.答： 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市七年级下册数学 期末抢分卷(Ⅲ) 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B A B C C 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）若a＞b，则下列各式中一定成立的是（　　） A．a﹣2＜b﹣2 B．﹣3a+1＜﹣3b+1 C．ac2＞bc2 D．a+5＜b+5 【答案】B 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：若a＞b， 两边同时减去2得a﹣2＞b﹣2，则A不符合题意； 两边同时乘﹣3再同时加上1得﹣3a+1＜﹣3b+1，则B符合题意； 当c＝0时，ac2＝bc2，则C不符合题意； 两边同时加上5得a+5＞b+5，则D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 2．（2分）将三角尺ABC按如图位置摆放，顶点A落在直线l1上，顶点B落在直线l2上，若l1∥l2，∠1＝25°，则∠2的度数是（　　） A．45° B．35° C．30° D．25° 【答案】B 【分析】由平行线的性质可求出∠3＝∠1＝25°，又由三角板中∠CAB＝60°，根据角的和差即可求出∠2． 【解答】解：如图，∵l1∥l2， ∴∠3＝∠1＝25°， ∵在三角板ABC中，∠CAB＝60°， ∴∠2＝∠CAB﹣∠3＝60°﹣25°＝35°． 故选：B． 【点评】本题考查平行线的性质，有关三角板中角度的计算． 3．（2分）下列命题，不能作为证明的依据的是（　　） A．如果a＝b，b＝c，那么a＝c B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．全等三角形的面积相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】A 【分析】根据作为证明的依据即可解答． 【解答】解：A、如果a＝b，b＝c，那么a＝c，是实数的性质，不能作为证明的依据，故符合题意； B、两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，能作为证明的依据，故故符合题意； C、全等三角形的面积相等，能作为证明的依据，故故符合题意；、 D、同位角相等，两直线平行，能作为证明的依据，故故符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解基本事实的定义，难度不大． 4．（2分）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，5，8 C．6，8，10 D．5，5，9 【答案】B 【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断即可． 【解答】解：A、2+3＝5＞4，能组成三角形，不符合题意； B、3+5＝8，不能组成三角形，符合题意， C、6+8＝14＞10，能组成三角形，不符合题意； D、5+5＝10＞9，能组成三角形，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题主要考查三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 5．（2分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列说法正确的是（　　） A．若AB∥CD且AC＝BD，则四边形ABCD是矩形 B．若AB＝AD且CB＝CD，则四边形ABCD是菱形 C．若OA＝OC且OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形 D．若AC⊥BD且AC＝BD，则四边形ABCD是正方形 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐项进行判断即可． 【解答】解：根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐项进行判断可得： A、AB∥CD且AC＝BD，不能得到四边形ABCD是矩形，故A错误； B、AB＝AD且CB＝CD，仅能说明邻边相等，对边关系不确定， 则四边形ABCD不一定是菱形，故B错误； C、OA＝OC且OB＝OD，则对角线互相平分，四边形ABCD是平行四边形，故C正确； D、AC⊥BD且AC＝BD，未强调对角线互相平分， 则不能判定四边形ABCD是正方形，故D错误． 故选：C． 【点评】本题考查正方形的判定，正确进行判断是解题关键． 6．（2分）如图，已知△ABC中，∠ABC＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为（　　） A．110° B．105° C．115° D．无法确定 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和得到∠BMN+∠BNM＝130°，根据线段的垂直平分线的性质得到AM＝PM，PN＝CN，由等腰三角形的性质得到∠MAP＝∠MPA，∠CPN＝∠PCN，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠CPN+∠PCN，可得∠MPA∠BMN，∠CPN∠BNM，推出∠MPA+∠CPN∠BMN∠BNM＝ 130°＝65°，从而由平角定义得到结论． 【解答】解：∵∠ABC＝50°， ∴∠BMN+∠BNM＝180°﹣∠ABC＝180°﹣50°＝130°． ∵M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上， ∴AM＝PM，PN＝CN． ∴∠MAP＝∠MPA，∠CPN＝∠PCN（等边对等角）． ∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA，∠BNM＝∠CPN+∠PCN， ∴∠MPA∠BMN，∠CPN∠BNM． ∴∠MPA+∠CPN（∠BMN+∠BNM）＝ 130°＝65°． ∴∠APC＝180°﹣65°＝115°． 则∠APC的度数为115°． 故选：C． 【点评】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7．（2分）若关于x的不等式x≤﹣3+a的解集如图所示，则a的值是 　2　 ． 【答案】2． 【分析】根据数轴可以得到x≤﹣1，再根据不等式x≤﹣3+a，即可得到﹣1＝﹣3+a，然后求解即可． 【解答】解：由图象可得， 该不等式的解集为x≤﹣1， ∵x≤﹣3+a， ∴﹣1＝﹣3+a， 解得a＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 8．（2分）如图，已知AB∥CD，AD与BC交于点E，若CD＝2AB，AE＝3，则DE的长为　6　 ． 【答案】6． 【分析】证明△ABE∽△DCE，根据相似三角形的性质即可． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴△ABE∽△DCE， ∴， ∵AE＝3，CD＝2AB， ∴， 解得DE＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 9．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于点E，且△DEA的周长为2024cm，则AB＝　2024cm ． 【答案】2024cm． 【分析】证明△BDC≌△BDE（AAS），再证明△ADE的周长＝AB即可解决问题． 【解答】解：∵BD平分∠CBA， ∴∠CBD＝∠ABD， ∵DE⊥AB，∠C＝90°， ∴∠C＝∠BED＝90°， 在△BDC和△BDE中， ， ∴△BDC≌△BDE（AAS）， ∴BC＝BE，DE＝DC， ∵BC＝AC， ∴AC＝BE， ∵△DEA的周长为2024cm， ∴AD+AE+DE＝AD+CD+AE＝AC+AE＝BE+AE＝AB＝2024（cm）， ∴AB＝2024（cm）， 故答案为：2024cm． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 10．（2分）如图，在△ABC中BC＝13cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是　13　 cm． 【答案】13 【分析】根据平行线的性质可证的△DPB和△EPC为等腰三角形，从而将△PDE的周长转化为BC的长． 【解答】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE， ∵PD∥AB，PE∥AC， ∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE， ∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE， ∴BD＝PD，CE＝PE， ∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝13cm． 即△PDE的周长是13cm． 故答案为：13． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，难度不大，注意转化思想的运用． 11．（2分）关于x的不等式组无解，m应满足的条件m≥2　 ． 【答案】m≥2． 【分析】不等式组无解的条件是“大于大的，小于小的”，即 2m﹣1≥m+1． 【解答】解：， 不等式组无解，说明两个解集没有公共部分，因此需满足：2m﹣1≥m+1， 解这个不等式： 2m﹣1≥m+1， 2m﹣m≥1+1， m≥2， ∴m应满足的条件是m≥2． 故答案为：m≥2． 【点评】本题考查了含参数的一元一次不等式组无解的情况．熟练掌握不等式组无解的判定规则，即“大大小小无处找”，是解题的关键． 12．（2分）写出命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题：　两直线平行，内错角相等　 ． 【答案】两直线平行，内错角相等 【分析】交换命题的题设和结论即可写出该命题的逆命题． 【解答】解：命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题：两直线平行，内错角相等， 故答案为：两直线平行，内错角相等． 【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出该命题的逆命题，难度不大． 13．（2分）不等式组的解集是 　1＜x≤2　 ． 【答案】1＜x≤2． 【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”的口诀确定不等式组的解集，再确定在解集范围内的整数解，最后在数轴上表示出不等式的解集即可； 【解答】解：， 解不等式①得，x≤2， 解不等式②得，x＞1， ∴不等式组的解集为1＜x≤2． 故答案为：1＜x≤2． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式组的解集，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 14．（2分）如图．已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA，PD．若∠A＝50°，∠D＝150°，则 ∠APD的度数为 　80°　 . 【答案】80°． 【分析】过P作PK∥AB，得到PK∥CD，推出∠APK＝∠A＝50°，∠D+∠DPK＝180°，求出∠DPK＝30°，即可得到∠APD＝∠APK+∠DPK＝80°． 【解答】解：过P作PK∥AB， ∵AB∥CD， ∴PK∥CD， ∴∠APK＝∠A＝50°，∠D+∠DPK＝180°， ∵∠D＝150°， ∴∠DPK＝30°， ∴∠APD＝∠APK+∠DPK＝50°+30°＝80°． 故答案为：80°． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠APK＝∠A，∠D+∠DPK＝180°． 15．（2分）已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的底边长是　3　 ． 【答案】3． 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】解：若3为腰长，6为底边长，3+3＝6，三角形不存在； 若6为腰长，3为底边长，3+6＞6，能构成三角形， ∴这个等腰三角形的底边长为3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系．分类讨论是关键． 16．（2分）如图，AB＝AC，AD＝AE，点B，D，E在一条直线上，∠1＝∠CAE＝32°，∠2＝41°，则∠3＝　73　 °． 【答案】73． 【分析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得∠ABD＝∠2＝41°，由外角的性质可求解． 【解答】解：在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠2＝41°， ∴∠3＝∠1+∠ABD＝32°+41°＝73°． 故答案为：73． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 17．（2分）等腰△ABC，AB＝AC，线段AB的垂直平分线DE交AB于点D，交直线AC于点E，若∠DEA＝50°，则∠BAC的度数是　40°或140°　 ． 【答案】40°或140°． 【分析】分点E在线段AC，点E在CA的延长线上和点E在线段AC的延长线上三种情况，分别画出示意图，讨论求解即可． 【解答】解：①当点E在线段AC上时，如图， ∵线段AB的垂直平分线DE交AB于点D， ∴∠EDA＝90°， 又∵∠DEA＝50°， ∴∠BAC＝90°﹣∠DEA＝40°； ②当点E在CA的延长线上时，如图， ∵线段AB的垂直平分线DE交AB于点D， ∴∠EDA＝90°， ∵∠DEA＝50°， ∴∠EAD＝90°﹣∠DEA＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣∠EAD＝140°； ③当点E在线段AC的延长线上时，如图， 同理可得∠BAC＝40°， ∵AB＝AC， ∴； ∵线段AB的垂直平分线DE交AB于点D， ∴EB＝EA， ∴∠EBA＝∠EAB，与∠EBA＞∠ABC＞∠BAC矛盾， ∴此种情况不存在； 综上所述，∠BAC的度数是40°或140°； 故答案为：40°或140°． 【点评】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． 18．（2分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，AD⊥BC于D，△ABC绕点B逆时针旋转得到△FBE，点C的对应点E落在AD上，则∠CBF的度数是 　130°　 ． 【答案】130°． 【分析】连接CE，如图，根据等腰三角形的性质得到AD垂直平分BC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABC＝∠ACB＝70°，再根据旋转的性质得到BE＝BC，∠FBE＝∠ABC＝70°，则可判断△BCE为等边三角形，所以∠CBE＝60°，然后计算∠CBE+∠FBE即可． 【解答】解：连接CE，如图， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠BAC）（180°﹣40°）＝70°， ∵AD⊥BC， ∴BD＝CD，即AD垂直平分BC， ∴BE＝CE， ∵△ABC绕点B逆时针旋转得到△FBE，点C的对应点E落在AD上， ∴BE＝BC，∠FBE＝∠ABC＝70°， ∵BE＝CE＝BC， ∴△BCE为等边三角形， ∴∠CBE＝60°， ∴∠CBF＝∠CBE+∠FBE＝60°+70°＝130°， 故答案为：130°． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等；也考查了等腰三角形的性质． 三．解答题（共7小题，满分64分） 19．（5分）解不等式组：． 【答案】﹣3≤x＜2． 【分析】首先分别解出每一个不等式，然后根据解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，确定解集即可． 【解答】解：解不等式①得：x＜2， 解不等式②得：x≥﹣3， ∴不等式组的解集为﹣3≤x＜2． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式（组），正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 20．（5分）填空并完成以下过程： 已知：点P在直线CD上，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2． 请你说明：∠E＝∠F． 解：∵∠BAP+∠APD＝180°，（已知） ∴AB∥CD，（ 　同旁内角互补，两直线平行　 ） ∴∠BAP＝　∠APC ，（两直线平行，内错角相等．） 又∵∠1＝∠2，（已知） ∠3＝∠BAP﹣∠1， ∠4＝∠APC﹣∠2， ∴∠3＝　∠4　 ，（等式的性质） ∴AE∥PF，（ 　内错角相等，两直线平行　 ） ∴∠E＝∠F．（ 　两直线平行，内错角相等　 ） 【答案】同旁内角互补，两直线平行；∠APC；∠4；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】由已知条件可得AB∥CD，则可得到∠BAP＝∠APC，从而可证得∠3＝∠4，则有AE∥PF，得∠E＝∠F． 【解答】解：∵∠BAP+∠APD＝180°（已知）， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠BAP＝∠APC（两直线平行，内错角相等）， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∠3＝∠BAP﹣∠1， ∠4＝∠APC﹣∠2， ∴∠3＝∠4（等式的性质）， ∴AE∥PF（内错角相等，两直线平行）， ∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；∠APC；∠4；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用． 21．（6分）如图，在△ABC中，CF＝EB，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，DF＝BD．求证：AD平分∠BAC． 【答案】证明见解答过程． 【分析】利用HL证明Rt△DCF≌Rt△DEB，根据全等三角形的性质得出DC＝DE，再根据“到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上”即可得证． 【解答】证明：∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°． ∴△DEB是直角三角形． 在Rt△DCF和Rt△DEB中， ， ∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL）． ∴DC＝DE， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC于点C， 又∵DE⊥AB于点E， ∴AD平分∠BAC． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定、以及角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本题的关键． 22．（10分）2025年，国家卫健委开展持续实施“体重管理年”行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．为响应该政策，某商场计划购进甲、乙两种品牌的足球．已知甲种品牌足球的进价比乙种品牌足球的进价多65元，用28000元购进甲种品牌足球的数量与用15000元购进乙种品牌足球的数量相同． （1）求甲、乙两种品牌足球的进价各多少元？ （2）商场计划每个甲种品牌足球的售价为198元，每个乙种品牌足球的售价为100元，商场决定同时购进甲、乙两种品牌足球共100个，假设能全部售出．若商场用不低于10100元且不高于10425元的资金购入甲、乙两种品牌的足球．请你帮商场设计利润最大的进货方案，并求出此时的最大利润，说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设乙种品牌足球的进价为a元，则甲种品牌足球的进价为（a+65）元，根据用28000元购进甲种品牌足球的数量与用15000元购进乙种品牌足球的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进甲种品牌足球x个，则购进乙种品牌足球（100﹣x）个，根据商场用不低于10100元且不高于10425元的资金购入甲、乙两种品牌的足球，列出一元一次不等式组，解得40≤x≤45，则x＝40，41，42，43，44，45，再设利润为y元，由题意列出y关于x的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）设乙种品牌足球的进价为a元，则甲种品牌足球的进价为（a+65）元， 根据题意得：， 解得：a＝75， 经检验，a＝75是所列分式方程的解，且符合题意， ∴a+65＝75+65＝140， 答：甲种品牌足球的进价为140元，乙种品牌足球的进价为75元； （2）利润最大的进货方案是购进甲种品牌足球45个，乙种品牌足球55个，最大利润是3985元，理由如下： 设购进甲种品牌足球x个，则购进乙种品牌足球（100﹣x）个， 根据题意得：， 解得：40≤x≤45， ∵x为非负整数， ∴x＝40，41，42，43，44，45， 设利润为y元， 根据题意得：y＝（198﹣140）x+（100﹣75）（100﹣x）＝33x+2500， ∵33＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝45时，y值最大，y最大＝33×45+2500＝3985， 此时，100﹣x＝55， ∴利润最大的进货方案是购进甲种品牌足球45个，乙种品牌足球55个，最大利润是3985元． 【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组和一次函数关系式． 23．（12分）如图，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，点D在AB上，点M为CE的中点． （1）联结DM，延长DM与AC相交于点F，请根据要求画出图形，并说明AE＝CF． （2）再联结BF，已知BF＝12，求CM的长． 【答案】（1）画出图形，并说明AE＝CF见解答； （2）CM的长为6． 【分析】（1）由△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，得AC＝CB，AE＝ED，则∠CAB＝∠EDA＝45°，所以AC∥DE，则∠FCM＝∠DEM，而∠FMC＝∠DME，CM＝EM，即可证明△FCM≌△DEM，得CF＝ED，则AE＝CF； （2）由∠CAB＝∠EAD＝45°，得∠EAC＝90°，则∠EAC＝∠FCB，即可证明△EAC≌△FCB，得CE＝BF＝12，则CMCE＝6． 【解答】解：（1）联结DM，延长DM与AC相交于点F， ∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°， ∴AC＝CB，AE＝ED， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠EDA＝∠EAD＝45°， ∴∠CAB＝∠EDA， ∴AC∥DE， ∴∠FCM＝∠DEM， ∵点M为CE的中点， ∴CM＝EM， 在△FCM和△DEM中， ， ∴△FCM≌△DEM（AAS）， ∴CF＝ED， ∴AE＝CF． （2）联结BF， ∵∠CAB＝∠EAD＝45°， ∴∠EAC＝2×45°＝90°， ∴∠EAC＝∠FCB， 在△EAC和△FCB中， ， ∴△EAC≌△FCB（SAS）， ∴CE＝BF＝12， ∴CM＝EMCE12＝6， ∴CM的长为6． 【点评】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、线段的中点的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明△FCM≌△DEM是解题的关键． 24．（12分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求找格点M． （1）在图①中，连结AM、BM、CM，使AM＝BM＝CM； （2）在图②中，连结BM、CM，使∠BMC+∠BAC＝180°； （3）在图③中，连结BM，使∠CBM+∠BAC＝90°． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据网格在图①中，作AC，BC的垂直平分线交于点M，即可使AM＝BM＝CM； （2）根据网格在图②中，找到格点M，连结BM、CM，根据平行线的性质和四边形内角和定理可得∠BMC+∠BAC＝180°； （3）根据网格在图③中，连结BM，根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质即可得∠CBM+∠BAC＝90°． 【解答】解：（1）如图①，点M即为所求； ∵点M在AC，BC的垂直平分线上， ∴AM＝BM＝CM； （2）如图②，点M或点M′即为所求； 由网格可知：BM∥AC， ∴∠BMC+∠ACM＝180° 由网格可知：∠BAM+∠AMC＝90°，∠BMA＝∠MAC+∠BCA＝45°， ∴∠BMC+∠BAC＝∠BMA+∠AMC+∠MAC+∠BAM＝45°+45°+90°＝180°； ∴∠BMC+∠BAC＝180°； （3）如图③，点M即为所求； 由网格可知：BC∥MN， ∴∠CBM＝∠NMB， 由网格可知：AB＝AM，∠BAM＝90°，∠DAC＝45°， ∴∠BMA＝45°， ∴∠CBM＝∠NMB＝∠BMA﹣∠AMN＝45°﹣∠AMN＝45°﹣∠BAD， ∴∠CBM+∠BAC＝45°﹣∠BAD+∠BAD+45°＝90°． 【点评】本题是三角形综合题，考查线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，四边形内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰直角三角形的判定与性质． 25．（14分）费马是17世纪的法国数学家，他曾研究过一种特殊的点，它满足“在一个三角形所在平面上，到该三角形的三个顶点距离之和最短”，这样的点被称为“该三角形的费马点”． （1）如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D在线段BC上且线段BD＞DC，请判断：点D是否为△ABC的费马点，并说明理由． （2）现有真命题：在△ABC中，三个内角都小于120°，在其内部存在一点P，满足∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，则点P称为△ABC的费马点． 小明利用该真命题，尝试用尺规作费马点，他的作法如下： 如图，对一个所有内角都小于120°的△ABC，分别以线段AB、AC为边向外侧作等边三角形ABD和等边三角形ACE，联结CD、BE交于点P．请完成证明： ①求证：∠ADC＝∠ABE； ②在线段DP上取点F使PF＝BP，联结BF，求证：点P是△ABC的费马点． 【答案】（1）点D不是费马点，理由见解析； （2）①见解析； ②见解析． 【分析】（1）作AE⊥BC于点E，连接AD，得到BE＝CE，推出E、D不重合，得到AD＞AE，于是得到结论； （2）①根据等边三角形的性质得到∠DAB＝∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE，根据全等三角形的性质得到∠ADC＝∠ABE； ②如图，在线段DP上取点F使PF＝BP，联结BF，AP，由①知∠ABD＝∠ADB＝60°，∠ADP＝∠ABP得到∠BPC＝∠PDB+∠PBD＝60﹣∠ADP+60+∠ABP＝120°，推出△PBF是等边三角形，根据全等三角形的性质得到∠APB＝∠DFB＝120°，于是得到结论． 【解答】解：（1）结论：点D不是费马点， 理由：作AE⊥BC于点E，连接AD， ∴BE＝CE， ∵BD＞DC， ∴E、D不重合， 在△ADE中，∠ADE＜∠AED＝90°， ∴AD＞AE， ∴点E到各顶点的距离之和＝BC+AE＜BC+DA＝点D到各顶点的距离之和， ∴点D是否为△ABC的费马点； （2）证明：①∵△ABD、△ABE是等边三角形， ∴∠DAB＝∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE， ∴∠DAC＝∠BAE， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴∠ADC＝∠ABE， ②如图，在线段DP上取点F使PF＝BP，联结BF，AP， 由①知∠ABD＝∠ADB＝60°，∠ADP＝∠ABP ∴∠BPC＝∠PDB+∠PBD＝60﹣∠ADP+60+∠ABP＝120°， ∴∠BPD＝60°， 又∵PF＝PB， ∴△PBF是等边三角形， ∵BF＝BP，∠FBP＝∠DBA＝60°， ∴∠DBF＝∠FBP， ∴△DFB≌△ABP（SAS）， ∴∠APB＝∠DFB＝120°， 由∠APB+∠APC+∠BPC＝360°，得∠APC＝120°， ∴点P是△ABC的费马点． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地理解费马点的含义是解题的关键． ( 第 2 页 共 21 页 ) ( 第 1 页 共 21 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2025-2026学年上海市七年级下册数学 期末抢分卷(Ⅲ) 难度系数：0.49；考试时间：100分钟；分数：100 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）若a＞b，则下列各式中一定成立的是（　　） A．a﹣2＜b﹣2 B．﹣3a+1＜﹣3b+1 C．ac2＞bc2 D．a+5＜b+5 2．（2分）将三角尺ABC按如图位置摆放，顶点A落在直线l1上，顶点B落在直线l2上，若l1∥l2，∠1＝25°，则∠2的度数是（　　） A．45° B．35° C．30° D．25° 3．（2分）下列命题，不能作为证明的依据的是（　　） A．如果a＝b，b＝c，那么a＝c B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．全等三角形的面积相等 D．同位角相等，两直线平行 4．（2分）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，5，8 C．6，8，10 D．5，5，9 5．（2分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列说法正确的是（　　） A．若AB∥CD且AC＝BD，则四边形ABCD是矩形 B．若AB＝AD且CB＝CD，则四边形ABCD是菱形 C．若OA＝OC且OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形 D．若AC⊥BD且AC＝BD，则四边形ABCD是正方形 6．（2分）如图，已知△ABC中，∠ABC＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则∠APC的度数为（　　） A．110° B．105° C．115° D．无法确定 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7．（2分）若关于x的不等式x≤﹣3+a的解集如图所示，则a的值是 　 　 ． 8．（2分）如图，已知AB∥CD，AD与BC交于点E，若CD＝2AB，AE＝3，则DE的长为　 　 ． 9．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于点E，且△DEA的周长为2024cm，则AB＝　 　 ． 10．（2分）如图，在△ABC中BC＝13cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是　 　 cm． 11．（2分）关于x的不等式组无解，m应满足的条件　 　 ． 12．（2分）写出命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题：　 　 ． 13．（2分）不等式组的解集是 　 　 ． 14．（2分）如图．已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA，PD．若∠A＝50°，∠D＝150°，则 ∠APD的度数为 　 　 . 15．（2分）已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的底边长是　 　 ． 16．（2分）如图，AB＝AC，AD＝AE，点B，D，E在一条直线上，∠1＝∠CAE＝32°，∠2＝41°，则∠3＝　 　 °． 17．（2分）等腰△ABC，AB＝AC，线段AB的垂直平分线DE交AB于点D，交直线AC于点E，若∠DEA＝50°，则∠BAC的度数是　 　 ． 18．（2分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，AD⊥BC于D，△ABC绕点B逆时针旋转得到△FBE，点C的对应点E落在AD上，则∠CBF的度数是 　 　 ． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分64分） 19．（5分）解不等式组：． 20．（5分）填空并完成以下过程： 已知：点P在直线CD上，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2． 请你说明：∠E＝∠F． 解：∵∠BAP+∠APD＝180°，（已知） ∴AB∥CD，（ 　 　 ） ∴∠BAP＝　 　 ，（两直线平行，内错角相等．） 又∵∠1＝∠2，（已知） ∠3＝∠BAP﹣∠1， ∠4＝∠APC﹣∠2， ∴∠3＝　 　 ，（等式的性质） ∴AE∥PF，（ 　 　 ） ∴∠E＝∠F．（ 　 　 ） 21．（6分）如图，在△ABC中，CF＝EB，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，DF＝BD．求证：AD平分∠BAC． 22．（10分）2025年，国家卫健委开展持续实施“体重管理年”行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．为响应该政策，某商场计划购进甲、乙两种品牌的足球．已知甲种品牌足球的进价比乙种品牌足球的进价多65元，用28000元购进甲种品牌足球的数量与用15000元购进乙种品牌足球的数量相同． （1）求甲、乙两种品牌足球的进价各多少元？ （2）商场计划每个甲种品牌足球的售价为198元，每个乙种品牌足球的售价为100元，商场决定同时购进甲、乙两种品牌足球共100个，假设能全部售出．若商场用不低于10100元且不高于10425元的资金购入甲、乙两种品牌的足球．请你帮商场设计利润最大的进货方案，并求出此时的最大利润，说明理由． 23．（12分）如图，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，点D在AB上，点M为CE的中点． （1）联结DM，延长DM与AC相交于点F，请根据要求画出图形，并说明AE＝CF． （2）再联结BF，已知BF＝12，求CM的长． 24．（12分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求找格点M． （1）在图①中，连结AM、BM、CM，使AM＝BM＝CM； （2）在图②中，连结BM、CM，使∠BMC+∠BAC＝180°； （3）在图③中，连结BM，使∠CBM+∠BAC＝90°． 25．（14分）费马是17世纪的法国数学家，他曾研究过一种特殊的点，它满足“在一个三角形所在平面上，到该三角形的三个顶点距离之和最短”，这样的点被称为“该三角形的费马点”． （1）如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D在线段BC上且线段BD＞DC，请判断：点D是否为△ABC的费马点，并说明理由． （2）现有真命题：在△ABC中，三个内角都小于120°，在其内部存在一点P，满足∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，则点P称为△ABC的费马点． 小明利用该真命题，尝试用尺规作费马点，他的作法如下： 如图，对一个所有内角都小于120°的△ABC，分别以线段AB、AC为边向外侧作等边三角形ABD和等边三角形ACE，联结CD、BE交于点P．请完成证明： ①求证：∠ADC＝∠ABE； ②在线段DP上取点F使PF＝BP，联结BF，求证：点P是△ABC的费马点． ( 第 2 页 共 7 页 ) ( 第 1 页 共 7 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年上海市七年级下册数学 期末抢分卷（Ⅲ答题卡 试卷类型：A 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 准考证号 缺考标记 注意事项 ▣ 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只能 3、选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 由监考老师负 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 贵用黑色字迹 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 的签字笔填 6、填涂样例正确[■错误【-][√][×] 一.选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）（请用2B铅笔 填涂) 1.[AB][C]D] 3.[A]B][C][D] 5.[A]B][C]D] 2.[A]B][CD] 4.[A]B][C][D] 6.[A]B][C]D] 二.填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）（请在各试题 的答题区内作答) 第1页共7页 7. 8. 9 10. 12. 13. 14. 15. 1 1 三.解答题（共7小题，满分64分）（请在各试题的答题区内作答） 19.答： 第2页共7页 20.答： A 1 3 E F 2d D 21.答： A F E D B 第3页共7页 22.答： 第4页共7页 23.答： B E D 女 C 第5页共7页 24.答： A A B B C B C 图① 图② 图③ 第6页共7页 25.答： D A E 图1 图2 第7页共7页