2025-2026学年上海市七年级下册数学 期末抢分卷(Ⅱ)

**基本信息** 立足七年级下册核心知识，以5G光纤传输、骑行单车车架等真实情境为载体，通过“均等三角形”新定义探究等创新题型，考查抽象能力、推理意识与应用意识，难度适中（0.6），适配期末复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|不等式性质（题1）、平行线性质（题2）、平行四边形判定（题5）|5G光纤情境（题2）结合几何推理| |填空题|12/24|三角板角度计算（题14）、等腰三角形三边关系（题15）、新定义“max”运算（题10）|骑行单车车架（题8）考查平行线性质综合| |解答题|7/64|不等式组求解（题19）、全等证明（题21）、“均等三角形”探究（题25）|新定义探究（题25）融合分类讨论与几何证明|

2025-2026学年上海市七年级下册数学 期末抢分卷（Ⅱ）答题卡 试卷类型：A 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 准考证号 缺考标记 注意事项 ▣ 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只能 3、选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 由监考老师负 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 贵用黑色字迹 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 的签字笔填 6、填涂样例正确[■错误【-][√][×] 一.选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）（请用2B铅笔 填涂) 1.[AB][C]D] 3.[A]B][C][D] 5.[A]B][C]D] 2.[A]B][CD] 4.[A]B][C][D] 6.[A]B][C]D] 二.填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）（请在各试题 的答题区内作答) 第1页共6页 7. 8. 9 10. 12 13. 14. 15. 1 1 三.解答题（共7小题，满分64分）（请在各试题的答题区内作答） 19.答： 第2页共6页 20.答： D G C A 21.答： A E C 第3页共6页 22.答： 23.答： F ⊙ D 第4页共6页 24.答： B B 图1 图2 图3 第5页共6页 25.答： C C D A D B D B (图1) (图2) (备用图) 第6页共6页 绝密★启用前 2025-2026学年上海市七年级下册数学 期末抢分卷(Ⅱ) 难度系数：0.6；考试时间：100分钟；分数：100 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）已知x＞y，那么下列正确的是（　　） A．x+y＞0 B．ax＞ay C．x﹣2＞y+2 D．2﹣x＜2﹣y 2．（2分）5G无线网络的稳定运行依托光纤传输系统．如图，光信号在光纤中的传输过程，可看作光信号经过两个平行放置的平面镜进行反射，若∠3＝140°，则∠1的度数为（　　） A．40° B．30° C．20° D．15° 3．（2分）下列命题中，逆命题是真命题的是（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．若a＝b，那么a2＝b2 C．对顶角相等 D．若a＝b，那么|a|＝|b| 4．（2分）为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得OA＝10m，OB＝6m，那么AB的距离可能是（　　） A．4m B．15m C．16m D．20m 5．（2分）若四边形ABCD的对角线互相平分，则四边形ABCD一定是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 6．（2分）如图：△ABC中，∠A＝30°，∠B＝20°，线段AC的垂直平分线交AB于点E，线段BC的垂直平分线交AB与点F，连接CE，CF，则∠ECF是（　　） A．60° B．70° C．80° D．100° 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7．（2分）已知关于x的不等式x＞a﹣1的解集如图，则a的值为 　 　 ． 8．（2分）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉，已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝133°，则∠DAB的度数为 　 　 ． 9．（2分）如图，E为△ABC的边AC的中点，CN∥AB，过E点作直线交AB于点M，交CN于点N．若MB＝6cm，CN＝2cm，则AB＝　 　 cm． 10．（2分）对于两个不相等的有理数a、b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，例如max{2，﹣3}＝2，max{﹣1，0}＝0．请解答下列问题：如果max{x，2﹣x}＝2|x﹣1|﹣5，则x＝ 　 　 ． 11．（2分）命题“内错角相等，两直线平行”的题设是 　 　 ． 12．（2分）关于x的不等式组无解，则a的取值范围值是　 　 ． 13．（2分）如图，在平面直角坐标系中，以A（2，0），B（0，t）为顶点作等腰直角△ABC，其中∠ABC＝90°，点C在AB上方，则OC的最小值为 　 　 ． 14．（2分）一副直角三角板如图所示放置，点E在BC的延长线上，BC∥DF，则∠CDE的度数为 　 　 ． 15．（2分）已知a，b，c分别为等腰△ABC的三边，且满足a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6，则c为 　 　 ． 16．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE＝90°，AD＝AE，若∠C+∠BAC＝145°，则∠EDC的度数为 　 　 ． 17．（2分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，CD⊥AC，垂足为C，且CD＝AC，连接BD，若BC＝4，则△BCD的面积为　 　 ． 18．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H．下面说法中：①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③∠BAD＝2∠ACF；④AF＝FB．正确的是　 　 ．（填序号） 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分64分） 19．（5分）解不等式组：． 20．（7分）完成下面的证明： 如图，点E，F分别在线段BA，DC的延长线上，连接EF分别交AD，BC于点G，H，∠B＝∠D，∠E＝∠F． 求证：∠EGA+∠CHG＝180°． 证明：∵∠E＝∠F（已知）， ∴BE∥　 　 （内错角相等，两直线平行）， ∴∠D＝∠　 　 （ 　 　 ）． ∵∠B＝∠D（已知）， ∴∠B＝∠　 　 （等量代换）． ∴　 　 ∥AD（ 　 　 ）． ∴∠DGH+∠CHG＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵∠DGH＝∠EGA（ 　 　 ）， ∴∠EGA+∠CHG＝180°（等量代换）． 21．（6分）如图，点A，B在CD的同侧，线段AC，BD相交于点E，∠ECD＝∠EDC，∠ECB＝∠EDA，求证：AD＝BC． 22．（10分）某校九年级年级组在期末开展“树榜样、学优秀”的活动．年级组决定购买甲、乙两种商品用于表彰品学皆优的学生．预算资金为2700元，其中1200元购买甲商品，剩余资金购买乙商品．已知每件乙商品的价格是每件甲商品价格的1.2倍，且购买乙商品的数量比甲商品的数量多2件． （1）求甲、乙两种商品的单价各是多少元； （2）购买当日恰逢商家搞促销，甲、乙两种商品均按原价八折销售．年级组需购买甲、乙两种商品共120件，总费用不超预算，其中甲商品的资金不超过1000元．求购买这两种商品有几种方案？并计算所需费用的最小值． 23．（10分）如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BA于点F，交BC的延长线于点E．求证： （1）DF∥AC； （2）∠EAC＝∠B． 24．（12分）如图，在6×7的矩形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点称为格点．A，B，C均在格点上，则△ABC是格点三角形． （1）在图1中，画出与△ABC全等的格点△ABD（找到一个即可，且点C不与D重合）； （2）在图2中，画出与△ABC面积相等，但不与△ABC全等的格点△ACE； （3）在图3中，只用无刻度的直尺作出△ABC边AC上的高BH． 25．（14分）【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形”． 【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，△BCD和△ACD　 　 均等三角形（填“是”或者“不是”）． （2）如图2，在△ABC中，CD为∠ACB的角平分线，∠A＝75°，∠B＝35°，试说明CD为△ABC的均等分割线． 【应用拓展】 （3）在△ABC中，∠A＝47°，CD是△ABC的均等分割线，若△ACD是等腰三角形，则∠ACB的度数为 　 　 ． ( 第 2 页 共 7 页 ) ( 第 1 页 共 7 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2025-2026学年上海市七年级下册数学 期末抢分卷(Ⅱ) 难度系数：0.6；考试时间：100分钟；分数：100 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）已知x＞y，那么下列正确的是（　　） A．x+y＞0 B．ax＞ay C．x﹣2＞y+2 D．2﹣x＜2﹣y 2．（2分）5G无线网络的稳定运行依托光纤传输系统．如图，光信号在光纤中的传输过程，可看作光信号经过两个平行放置的平面镜进行反射，若∠3＝140°，则∠1的度数为（　　） A．40° B．30° C．20° D．15° 3．（2分）下列命题中，逆命题是真命题的是（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．若a＝b，那么a2＝b2 C．对顶角相等 D．若a＝b，那么|a|＝|b| 4．（2分）为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得OA＝10m，OB＝6m，那么AB的距离可能是（　　） A．4m B．15m C．16m D．20m 5．（2分）若四边形ABCD的对角线互相平分，则四边形ABCD一定是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 6．（2分）如图：△ABC中，∠A＝30°，∠B＝20°，线段AC的垂直平分线交AB于点E，线段BC的垂直平分线交AB与点F，连接CE，CF，则∠ECF是（　　） A．60° B．70° C．80° D．100° 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7．（2分）已知关于x的不等式x＞a﹣1的解集如图，则a的值为 　 　 ． 8．（2分）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉，已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝133°，则∠DAB的度数为 　 　 ． 9．（2分）如图，E为△ABC的边AC的中点，CN∥AB，过E点作直线交AB于点M，交CN于点N．若MB＝6cm，CN＝2cm，则AB＝　 　 cm． 10．（2分）对于两个不相等的有理数a、b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，例如max{2，﹣3}＝2，max{﹣1，0}＝0．请解答下列问题：如果max{x，2﹣x}＝2|x﹣1|﹣5，则x＝ 　 　 ． 11．（2分）命题“内错角相等，两直线平行”的题设是 　 　 ． 12．（2分）关于x的不等式组无解，则a的取值范围值是　 　 ． 13．（2分）如图，在平面直角坐标系中，以A（2，0），B（0，t）为顶点作等腰直角△ABC，其中∠ABC＝90°，点C在AB上方，则OC的最小值为 　 　 ． 14．（2分）一副直角三角板如图所示放置，点E在BC的延长线上，BC∥DF，则∠CDE的度数为 　 　 ． 15．（2分）已知a，b，c分别为等腰△ABC的三边，且满足a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6，则c为 　 　 ． 16．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE＝90°，AD＝AE，若∠C+∠BAC＝145°，则∠EDC的度数为 　 　 ． 17．（2分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，CD⊥AC，垂足为C，且CD＝AC，连接BD，若BC＝4，则△BCD的面积为　 　 ． 18．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H．下面说法中：①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③∠BAD＝2∠ACF；④AF＝FB．正确的是　 　 ．（填序号） 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分64分） 19．（5分）解不等式组：． 20．（7分）完成下面的证明： 如图，点E，F分别在线段BA，DC的延长线上，连接EF分别交AD，BC于点G，H，∠B＝∠D，∠E＝∠F． 求证：∠EGA+∠CHG＝180°． 证明：∵∠E＝∠F（已知）， ∴BE∥　 　 （内错角相等，两直线平行）， ∴∠D＝∠　 　 （ 　 　 ）． ∵∠B＝∠D（已知）， ∴∠B＝∠　 　 （等量代换）． ∴　 　 ∥AD（ 　 　 ）． ∴∠DGH+∠CHG＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵∠DGH＝∠EGA（ 　 　 ）， ∴∠EGA+∠CHG＝180°（等量代换）． 21．（6分）如图，点A，B在CD的同侧，线段AC，BD相交于点E，∠ECD＝∠EDC，∠ECB＝∠EDA，求证：AD＝BC． 22．（10分）某校九年级年级组在期末开展“树榜样、学优秀”的活动．年级组决定购买甲、乙两种商品用于表彰品学皆优的学生．预算资金为2700元，其中1200元购买甲商品，剩余资金购买乙商品．已知每件乙商品的价格是每件甲商品价格的1.2倍，且购买乙商品的数量比甲商品的数量多2件． （1）求甲、乙两种商品的单价各是多少元； （2）购买当日恰逢商家搞促销，甲、乙两种商品均按原价八折销售．年级组需购买甲、乙两种商品共120件，总费用不超预算，其中甲商品的资金不超过1000元．求购买这两种商品有几种方案？并计算所需费用的最小值． 23．（10分）如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BA于点F，交BC的延长线于点E．求证： （1）DF∥AC； （2）∠EAC＝∠B． 24．（12分）如图，在6×7的矩形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点称为格点．A，B，C均在格点上，则△ABC是格点三角形． （1）在图1中，画出与△ABC全等的格点△ABD（找到一个即可，且点C不与D重合）； （2）在图2中，画出与△ABC面积相等，但不与△ABC全等的格点△ACE； （3）在图3中，只用无刻度的直尺作出△ABC边AC上的高BH． 25．（14分）【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形”． 【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，△BCD和△ACD　 　 均等三角形（填“是”或者“不是”）． （2）如图2，在△ABC中，CD为∠ACB的角平分线，∠A＝75°，∠B＝35°，试说明CD为△ABC的均等分割线． 【应用拓展】 （3）在△ABC中，∠A＝47°，CD是△ABC的均等分割线，若△ACD是等腰三角形，则∠ACB的度数为 　 　 ． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：________班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市七年级下册数学 期末抢分卷(Ⅱ)答题卡 条 码 粘 贴 处 （正面朝上贴在此虚线框内） 试卷类型：A 姓名：______________班级：______________ 准考证号 缺考标记 考生禁止填涂缺考标记！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×] 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）（请用2B铅笔填涂） 1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）（请在各试题的答题区内作答） 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 三．解答题（共7小题，满分64分）（请在各试题的答题区内作答） 19.答： 20.答： 21.答： 22.答： 23.答： 24.答： 25.答： 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市七年级下册数学 期末抢分卷(Ⅱ) 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C A B A C 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）已知x＞y，那么下列正确的是（　　） A．x+y＞0 B．ax＞ay C．x﹣2＞y+2 D．2﹣x＜2﹣y 【答案】D 【分析】各式利用不等式的性质化简，判断即可． 【解答】解：∵x＞y， ∴x﹣y＞0，ax＞ay（a＞0），x+2＞y+2，2﹣x＜2﹣y． 故选：D． 【点评】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键． 2．（2分）5G无线网络的稳定运行依托光纤传输系统．如图，光信号在光纤中的传输过程，可看作光信号经过两个平行放置的平面镜进行反射，若∠3＝140°，则∠1的度数为（　　） A．40° B．30° C．20° D．15° 【答案】C 【分析】由光的反射定律可知∠5＝∠4，∠1＝∠2，再由平行线的性质推出∠4＝∠2，从而得出结论． 【解答】解：如图： 由光的反射定律可知∠5＝∠4， ∵∠3＝140°， ∴∠5＝∠4（180°﹣140°）＝20°， ∵两平面镜平行， ∴∠4＝∠2＝20°（两直线平行，内错角相等）， 由光的反射定律可知∠1＝∠2＝20°， 故选：C． 【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质推出∠4＝∠2． 3．（2分）下列命题中，逆命题是真命题的是（　　） A．两直线平行，内错角相等 B．若a＝b，那么a2＝b2 C．对顶角相等 D．若a＝b，那么|a|＝|b| 【答案】A 【分析】根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，判断即可． 【解答】解：A、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，符合题意； B、若a＝b，那么a2＝b2的逆命题是若a2＝b2，那么a＝b，是假命题，不符合题意； C、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意； D、若a＝b，那么|a|＝|b|的逆命题是若|a|＝|b|，那么a＝b，是假命题，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 4．（2分）为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得OA＝10m，OB＝6m，那么AB的距离可能是（　　） A．4m B．15m C．16m D．20m 【答案】B 【分析】由三角形三边关系定理得到4＜AB＜16，即可得到答案． 【解答】解：∵OA＝10m，OB＝6m， ∴10﹣6＜AB＜10+6， ∴4＜AB＜16， ∴AB的距离可能是15m． 故选：B． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是由三角形三边关系定理得到4＜AB＜16． 5．（2分）若四边形ABCD的对角线互相平分，则四边形ABCD一定是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】A 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可求解． 【解答】解：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知A符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6．（2分）如图：△ABC中，∠A＝30°，∠B＝20°，线段AC的垂直平分线交AB于点E，线段BC的垂直平分线交AB与点F，连接CE，CF，则∠ECF是（　　） A．60° B．70° C．80° D．100° 【答案】C 【分析】由线段垂直平分线的性质推出AE＝CE，得到∠ACE＝∠A＝30°，同理：∠BCF＝∠B＝20°，由三角形内角和定理得到∠ACB＝130°，即可求出∠ECF＝∠ACB﹣∠ACE﹣∠BCF＝80°． 【解答】解：∵线段AC的垂直平分线交AB于点E， ∴AE＝CE， ∴∠ACE＝∠A＝30°， 同理：∠BCF＝∠B＝20°， ∵∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣30°﹣20°＝130°， ∵∠ECF＝∠ACB﹣∠ACE﹣∠BCF＝80°． 故选：C． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．关键是由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质推出∠ACE＝∠A＝30°，∠BCF＝∠B＝20°． 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7．（2分）已知关于x的不等式x＞a﹣1的解集如图，则a的值为 　0　 ． 【答案】0． 【分析】根据数轴可知，该不等式的解集为x＞﹣1，再根据不等式x＞a﹣1，可知a﹣1＝﹣1，即可求得a的值． 【解答】解：由数轴可知，该不等式的解集为x＞﹣1， ∵不等式x＞a﹣1， ∴a﹣1＝﹣1， 解得a＝0， 故答案为：0． 【点评】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8．（2分）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉，已知AB∥DE，AD∥EF，∠BCE＝67°，∠CEF＝133°，则∠DAB的度数为 　114°　 ． 【答案】114°． 【分析】根据平行线的性质即可解答． 【解答】解：∵AB∥DE，AD∥EF， ∴∠DAB+∠D＝180°，∠BCE＝∠CED，∠DEF＝∠D， ∵∠BCE＝67°，∠CEF＝133°， ∴∠CED＝67°，∠DEF＝133°﹣67°＝66°＝∠D， ∴∠DAB＝180°﹣66°＝114°， 故答案为：114°． 【点评】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 9．（2分）如图，E为△ABC的边AC的中点，CN∥AB，过E点作直线交AB于点M，交CN于点N．若MB＝6cm，CN＝2cm，则AB＝　8　 cm． 【答案】8． 【分析】先证△CNE≌△AME，得出AM＝CN，那么就可求AB的长． 【解答】解：∵CN∥AB， ∴∠NCE＝∠MAE， 又∵E是AC中点， ∴AE＝CE， 在△CNE和△AME中， ， ∴△CNE≌△AME（ASA）， ∴AM＝CN， ∴AB＝AM+BM＝CN+BM＝2+6＝8cm， 故答案为：8． 【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是证明△CNE≌△AME． 10．（2分）对于两个不相等的有理数a、b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，例如max{2，﹣3}＝2，max{﹣1，0}＝0．请解答下列问题：如果max{x，2﹣x}＝2|x﹣1|﹣5，则x＝ x＝﹣5或x＝7．　 ． 【答案】x＝﹣5或x＝7． 【分析】分两种情况讨论：当x＞2﹣x时，即x＞1时，max{x，2﹣x}＝x，求出x＝7；当x＜2﹣x时，即x＜1时，max{x，2﹣x}＝2﹣x，求出x＝﹣5． 【解答】解：当x＞2﹣x时，即x＞1时，max{x，2﹣x}＝x， ∵max{x，2﹣x}＝2|x﹣1|﹣5， ∴x＝2|x﹣1|﹣5， 解得x＝7或x＝﹣1， ∴x＝7； 当x＜2﹣x时，即x＜1时，max{x，2﹣x}＝2﹣x， ∵max{x，2﹣x}＝2|x﹣1|﹣5， ∴2﹣x＝2|x﹣1|﹣5， 解得x＝﹣5或x＝3， ∴x＝﹣5； 综上所述：x＝﹣5或x＝7， 故答案为：x＝﹣5或x＝7． 【点评】本题考查实数比较大小，熟练掌握一元一次方程的解法，绝对值方程的解法，一元一次不等式组的整数解求法，弄清定义是解题的关键． 11．（2分）命题“内错角相等，两直线平行”的题设是 　内错角相等　 ． 【答案】内错角相等． 【分析】根据一个命题都可以改成“如果…那么…”的形式，如果后面的部分是题设，那么后面的部分是结论，由此问题可求解． 【解答】解：命题“内错角相等，两直线平行”改为“两条直线被第三条直线所截，如果一对内错角相等，那么这两条直线平行”，所以这个命题的题设为内错角相等； 故答案为：内错角相等． 【点评】本题主要考查命题的题设与结论，熟练掌握命题的题设和结论的书写是解题的关键． 12．（2分）关于x的不等式组无解，则a的取值范围值是a≤3　 ． 【答案】a≤3． 【分析】根据“大小小大无解了”可确定关于a的不等式，解之可得． 【解答】解：∵不等式组无解， ∴a﹣1≤2， 解得：a≤3． 故答案为：a≤3． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 13．（2分）如图，在平面直角坐标系中，以A（2，0），B（0，t）为顶点作等腰直角△ABC，其中∠ABC＝90°，点C在AB上方，则OC的最小值为 　　 ． 【答案】． 【分析】过点C作CE⊥y轴，垂足为E，根据垂直定义可得∠CEB＝90°，从而可得∠ECB+∠EBC＝90°，再根据平角定义可得∠EBC+∠ABO＝90°，从而可得∠ECB＝∠ABO，然后利用AAS证明△CEB≌△BOA，从而可得CE＝BO＝t，EB＝AO＝2，进而可得OE＝2+t，求出C的坐标，表示出OC，根据二次函数性质可得答案． 【解答】解：过点C作CE⊥y轴，垂足为E， ∴∠CEB＝90°， ∴∠ECB+∠EBC＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠EBC+∠ABO＝180°﹣∠ABC＝90°， ∴∠ECB＝∠ABO， ∵A（2，0）、B（0，t）， ∴OA＝2，BO＝t， ∵∠CEB＝∠AOB＝90°，AB＝BC， ∴△CEB≌△BOA（AAS）， ∴CE＝BO＝t，EB＝AO＝2， ∴OE＝EB+OB＝2+t， ∴点C的坐标为（t，2+t）， ∴OC， ∴当t＝﹣1时，OC最小为， 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角构造全等模型是解题的关键． 14．（2分）一副直角三角板如图所示放置，点E在BC的延长线上，BC∥DF，则∠CDE的度数为 　15°　 ． 【答案】15°． 【分析】由平行线的性质推出∠CDF＝∠ACB＝45°，即可求出∠CDE＝∠CDF﹣∠EDF＝15°． 【解答】解：∵BC∥DF， ∴∠CDF＝∠ACB＝45°， ∵∠EDF＝30°， ∴∠CDE＝∠CDF﹣∠EDF＝15°． 故答案为：15°． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠CDF＝∠ACB． 15．（2分）已知a，b，c分别为等腰△ABC的三边，且满足a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6，则c为 　3或或4　 ． 【答案】3或或4． 【分析】根据三角形三边之间的关系得：a+b＞c且a﹣b＜c，则3c﹣2＞c且2c﹣6＜c，解此不等式组得1＜c＜6，再分为三种情况讨论如下：①当a＝b时，则a﹣b＝0，进而得2c﹣6＝0，由此得c＝3，②当c＝a时，由a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6得2a＝5c﹣8，进而得c＝a，③当c＝b时，由a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6得2b＝c+4，进而得c＝b＝4，综上所述即可得出答案． 【解答】解：根据三角形三边之间的关系得：a+b＞c且a﹣b＜c， ∵a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6， ∴3c﹣2＞c且2c﹣6＜c， 由3c﹣2＞c，解得：c＞1， 由2c﹣6＜c，解得：c＜6， ∴c的取值范围是：1＜c＜6， ∵a，b，c分别为等腰△ABC的三边， ∴有以下三种情况： ①当a＝b时，则a﹣b＝0， ∴2c﹣6＝0， 解得：c＝3， ②当c＝a时， ∵a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6， ∴2a＝5c﹣8， ∴c＝a， ③当c＝b时， ∵a+b＝3c﹣2，a﹣b＝2c﹣6， ∴2b＝c+4， ∴c＝b＝4， ∵1＜c＜6， ∴c＝3，c，c＝4都符合题意， ∴c的值是3或或4． 故答案为：3或或4． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系是解决问题的关键，分类讨论是易错点． 16．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE＝90°，AD＝AE，若∠C+∠BAC＝145°，则∠EDC的度数为 　10°　 ． 【答案】10°． 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠B＝35°，再根据等边对等角分别求出∠C＝35°，∠AED＝45°，则由三角形外角的性质得到∠EDC＝∠AED﹣∠C＝10°． 【解答】解：∵∠C+∠BAC＝145°， ∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝35°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝35°， ∵AD＝AE， ∴∠AED＝45°， ∴∠EDC＝∠AED﹣∠C＝10°， 故答案为：10°． 【点评】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，正确求出∠C＝35°，∠AED＝45°是解题的关键． 17．（2分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，CD⊥AC，垂足为C，且CD＝AC，连接BD，若BC＝4，则△BCD的面积为　4　 ． 【答案】4． 【分析】作AN⊥CB于N点，过点D作DM⊥BC交BC的延长线于点M，证明△ANC≌△CMD（AAS），根据全等三角形的性质、三角形的面积公式解答即可． 【解答】解：如图，作AN⊥CB于N点，过点D作DM⊥BC交BC的延长线于点M， ∴∠ANC＝90°，∠CMD＝90°， ∴∠ACN+∠MCD＝90°，∠ACN+∠NAC＝90°，∠ANC＝∠CMD， ∴∠NAC＝∠MCD， 在△ANC和△CMD中， ， ∴△ANC≌△CMD（AAS）， ∴NC＝DM， ∵AC＝AB，AN⊥BC，BC＝4， ∴NCBC＝2， ∴DM＝2， ∴S△BCDBC×DM4×2＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等腰直角三角形，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 18．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H．下面说法中：①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③∠BAD＝2∠ACF；④AF＝FB．正确的是　①②③　 ．（填序号） 【答案】①②③． 【分析】先根据等底等高的三角形面积相等可判断①；再根据直角三角形的性质求出∠ABC＝∠CAD，再根据三角形外角的性质推导②；然后根据直角三角形的性质求出∠FAG＝∠ACD，根据角平分线定义判断③；最后根据已知条件无法判断④，可得答案． 【解答】解：∵BE是中线， ∴AE＝CE， ∴S△ABE＝S△BCE． ∴①说法正确，符合题意； ∵CF是角平分线， ∴∠ACF＝∠BCF． ∵AD为高线， ∴∠ADC＝90°． ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°， ∴∠ABC＝∠CAD． ∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF， ∴∠AFG＝∠AGF． ∴②说法正确，符合题意； ∵AD为高， ∴∠ADB＝90°． ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°， ∴∠ACB＝∠BAD． ∵CF是∠ACB的平分线， ∴∠ACB＝2∠ACF， ∴∠BAD＝2∠ACF． ∴③说法正确，符合题意； 根据条件不能说明AF＝BF， ∴④说法不正确，不符合题意； 综上所述，正确的是①②③， 故答案为：①②③． 【点评】本题主要考查了三角形的中线，高线，角平分线的性质，解答本题的关键要明确：直角三角形两个锐角互余． 三．解答题（共7小题，满分64分） 19．（5分）解不等式组：． 【答案】﹣1≤x＜3． 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集． 【解答】解：， 由①得：x≥﹣1， 由②得：x＜3， ∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3． 【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．（7分）完成下面的证明： 如图，点E，F分别在线段BA，DC的延长线上，连接EF分别交AD，BC于点G，H，∠B＝∠D，∠E＝∠F． 求证：∠EGA+∠CHG＝180°． 证明：∵∠E＝∠F（已知）， ∴BE∥DF （内错角相等，两直线平行）， ∴∠D＝∠DAE （ 　两直线平行，内错角相等　 ）． ∵∠B＝∠D（已知）， ∴∠B＝∠DAE （等量代换）． ∴BC ∥AD（ 　同位角相等，两直线平行　 ）． ∴∠DGH+∠CHG＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵∠DGH＝∠EGA（ 　对顶角相等　 ）， ∴∠EGA+∠CHG＝180°（等量代换）． 【答案】DF，DAE，两直线平行，内错角相等，DAE，BC，同位角相等，两直线平行，对顶角相等． 【分析】根据平行线的判定定理及性质定理即可得到结论． 【解答】证明：∵∠E＝∠F（已知）， ∴BE∥DF（内错角相等，两直线平行）． ∴∠D＝∠DAE．（两直线平行，内错角相等） ∵∠B＝∠D（已知）， ∴∠B＝∠DAE（等量代换）． ∴BC∥AD．（同位角相等，两直线平行）， ∴∠DGH+∠CHG＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠DGH＝∠EGA，（对顶角相等）， ∴∠EGA+∠CHG＝180°（等量代换）． 故答案为：DF，DAE，两直线平行，内错角相等，DAE，BC，同位角相等，两直线平行，对顶角相等． 【点评】本题主要考查了平行线的判定定理及性质定理，熟记性质及判定定理并能熟练运用是解决本题的关键． 21．（6分）如图，点A，B在CD的同侧，线段AC，BD相交于点E，∠ECD＝∠EDC，∠ECB＝∠EDA，求证：AD＝BC． 【答案】证明见解答． 【分析】由∠ECD＝∠EDC，根据“等角对等边”得DE＝CE，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△ADE≌△BCE，得AD＝BC． 【解答】证明：∵∠ECD＝∠EDC， ∴DE＝CE， 在△ADE和△BCE中， ， ∴△ADE≌△BCE（ASA）， ∴AD＝BC． 【点评】此题重点考查“等角对等边”、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明△ADE≌△BCE是解题的关键． 22．（10分）某校九年级年级组在期末开展“树榜样、学优秀”的活动．年级组决定购买甲、乙两种商品用于表彰品学皆优的学生．预算资金为2700元，其中1200元购买甲商品，剩余资金购买乙商品．已知每件乙商品的价格是每件甲商品价格的1.2倍，且购买乙商品的数量比甲商品的数量多2件． （1）求甲、乙两种商品的单价各是多少元； （2）购买当日恰逢商家搞促销，甲、乙两种商品均按原价八折销售．年级组需购买甲、乙两种商品共120件，总费用不超预算，其中甲商品的资金不超过1000元．求购买这两种商品有几种方案？并计算所需费用的最小值． 【答案】（1）甲种商品的单价是25元，乙种商品的单价是30元； （2）购买这两种商品有6种方案，所需费用的最小值为2680元． 【分析】（1）设甲种商品的单价是x元，则乙种商品的单价是1.2x元，根据购买乙商品的数量比甲商品的数量多2件，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买甲种商品m件，则购买乙种商品（120﹣m）件，根据总费用不超预算，其中甲商品的资金不超过1000元，列出一元一次不等式组，解得45≤m≤50，得出购买这两种商品有6种方案，再设购买甲、乙两种商品所需费用为y元，由题意列出一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）设甲种商品的单价是x元，则乙种商品的单价是1.2x元， 由题意得：2， 解得：x＝25， 经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意， ∴1.2x＝1.2×25＝30， 答：甲种商品的单价是25元，乙种商品的单价是30元； （2）设购买甲种商品m件，则购买乙种商品（120﹣m）件， 由题意得：， 解得：45≤m≤50， ∵m为正整数， ∴m＝45，46，47，48，49，50， ∴购买这两种商品有6种方案， 设购买甲、乙两种商品所需费用为y元， 由题意得：y＝25×0.8m+30×0.8（120﹣m）＝﹣4m+2880， ∵﹣4＜0， ∴y随m的增大而减小， ∴当m＝50时，y有最小值＝﹣4×50+2880＝2680， 答：购买这两种商品有6种方案，所需费用的最小值为2680元． 【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组和一次函数关系式． 23．（10分）如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BA于点F，交BC的延长线于点E．求证： （1）DF∥AC； （2）∠EAC＝∠B． 【答案】（1）∵EF是AD的垂直平分线， ∴FA＝FD， ∴∠FDA＝∠FAD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD＝∠CAD， ∴∠FDA＝∠CAD， ∴DF∥AC； （2）∵EF是AD的垂直平分线， ∴EA＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD＝∠CAD， 又∵∠EDA＝∠B+∠FAD，∠EAD＝∠CAD+∠EAC， ∴∠EAC＝∠B． 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得出FA＝FD，得出∠FDA＝∠FAD，再证出∠FDA＝∠CAD，即可得出DF∥AC； （2）由三角形的外角性质及角平分线的定义即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线， ∴FA＝FD， ∴∠FDA＝∠FAD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD＝∠CAD， ∴∠FDA＝∠CAD， ∴DF∥AC； （2）∵EF是AD的垂直平分线， ∴EA＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD＝∠CAD， 又∵∠EDA＝∠B+∠FAD，∠EAD＝∠CAD+∠EAC， ∴∠EAC＝∠B． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、平行线的判定、角平分线的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握线段垂直平分线的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 24．（12分）如图，在6×7的矩形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点称为格点．A，B，C均在格点上，则△ABC是格点三角形． （1）在图1中，画出与△ABC全等的格点△ABD（找到一个即可，且点C不与D重合）； （2）在图2中，画出与△ABC面积相等，但不与△ABC全等的格点△ACE； （3）在图3中，只用无刻度的直尺作出△ABC边AC上的高BH． 【答案】（1）如图：△ABD即为所求（答案不唯一）； （2）如图△ACE即为所求； （3）如图BH即为所求． 【分析】（1）利用格点边长，找与△ABC三边对应相等的格点D，使△ABD与△ABC全等． （2）根据三角形面积公式（底×高÷2），保持底或高与△ABC一致，调整另一边长，确定格点E． （3）借助格点找△ABC的高（如CM，AN），交于垂心G，延长BG交AC得高BH． 【解答】解：（1）利用格点边长，找与△ABC三边对应相等的格点D，使△ABD与△ABC全等，如图：△ABD即为所求（答案不唯一）； （2）如图：E1，E2为满足△ACE和△ABC面积相等的格点E（答对一个即可）； （3）取格点M、N，连接CM，AN交于G，连接BG并延长交AC于H，如图： BH即为所求． 理由：由图可知，CM，AN是△ABC的高， ∴G是△ABC的垂心， ∴BH是△ABC的高． 【点评】本题考查了格点三角形的全等、面积计算及三角形高的作法，解题关键是利用格点的边长与位置特征，结合全等三角形、面积公式及垂心的性质进行作图与分析． 25．（14分）【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形”． 【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，△BCD和△ACD　是　 均等三角形（填“是”或者“不是”）． （2）如图2，在△ABC中，CD为∠ACB的角平分线，∠A＝75°，∠B＝35°，试说明CD为△ABC的均等分割线． 【应用拓展】 （3）在△ABC中，∠A＝47°，CD是△ABC的均等分割线，若△ACD是等腰三角形，则∠ACB的度数为 　94°或113.5°　 ． 【答案】（1）是； （2）证明见解答； （3）94°或113.5°． 【分析】（1）根据题意和三角形内角和定理即可求得是均等三角形； （2）根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据CD为角平分线和均等三角形的定义即可证明； （3）当DA＝DC，∠ACD＝47°，求得∠ACB；当DA＝AC，有∠ACD＝∠ADC，得∠BCD＝47°，即可求得∠ACB；当AC＝DC，∠ADC＝47°，则∠BDC＝138°＝∠ACB，不符合题意舍去即可． 【解答】解：（1）∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝∠ADC＝90°， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD+∠ACD＝90°， ∴∠B＝∠ACD， ∴∠A＝∠BCD， ∴△BCD和△ACD是均等三角形， 故答案为：是； （2）在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝35°， ∴∠ACB＝70°， ∵CD为角平分线， ∴∠ACD＝∠BCD∠ACB＝35°， ∴∠BCD＝∠B， ∴CD＝DB， ∴△BDC是等腰三角形； ∵∠ACD＝∠BCD＝∠B，∠B＝35°， ∴∠ADC＝∠DCB+∠B＝70°， ∴∠ADC＝∠ACB， ∴△ACD和△ABC是均等三角形， ∴CD为△ABC的均等分割线； （3）分三种情况： ①当DA＝DC时，如图，∠ACD＝∠A＝47°， ∵CD是△ABC的均等分割线， ∴∠ACB＝∠BDC＝47°+47°＝94°； ②当DA＝AC时，如图，∠ACD＝∠ADC（180°﹣∠A）＝66.5°， ∵CD是△ABC的等角分割线， ∴∠BCD＝∠A＝47°， 则∠ACB＝66.5°+47°＝113.5°； ③当AC＝DC时，∠ADC＝∠A＝47°，则∠BDC＝180°﹣47°＝133°＝∠ACB， 那么∠B＝180°﹣47°﹣130°＝0°（舍去）， 故∠ACB的度数为94°或113.5°， 故答案为：94°或113.5°． 【点评】本题主要考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质，角平分线的定义，准确理解给定新定义结合已有知识是解题的关键． ( 第 2 页 共 22 页 ) ( 第 1 页 共 22 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $