2025-2026学年上海市七年级下册数学 期末抢分卷(Ⅰ)

**基本信息** 聚焦七年级下册核心知识，以几何推理与代数应用为双主线，融入“低碳生活”社会热点情境与格点等腰三角形探究题，梯度设计适配期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|不等式性质、三角形内角和、命题与定理|第3题辨析定理与命题关系，强化推理意识| |填空题|12/24|角平分线、垂直平分线、等腰三角形分类|第15题等腰三角形顶角分类讨论，培养严谨思维| |解答题|7/64|解不等式组、几何证明、应用题、探究题|22题“低碳生活”自行车销售建模，25题从三角形到五边形拓展证明，发展模型意识与创新思维|

2025-2026学年上海市七年级下册数学 期末抢分卷I答题卡 试卷类型：A 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 迹的签字笔填 6、填涂样例正确■]错误【-][√][ 准考证号 一. 选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）（请用2B铅笔 填涂) 1.[A][B][C][D] 3.[A]B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 4.[A]B][C][D] 6.[A][B]IC][D] 二.填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）（请在各试题 的答题区内作答) 第1页共7页 7. 8 9. 10. y 13. 14. 15. 16. 18 三.解答题（共7小题，满分64分）（请在各试题的答题区内作 答) 第2页共7页 19.答： 20.答： E 3 A B N之4 D 21.答： 第3页共7页 A 0 22.答： 第4页共7页 23.答： A E òF B D 第5页共7页 24.答： --L -L B 图1 图2 25.答： 第6页共7页 A y A B E B D O D 图1 图2 图3 第7页共7页 绝密★启用前 2025-2026学年上海市七年级下册数学 期末抢分卷(Ⅰ) 难度系数：0.5；考试时间：100分钟；分数：100 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）已知x＞y，那么下列正确的是（　　） A．x+y＞0 B．ax＞ay C．x﹣2＞y+2 D．2﹣x＜2﹣y 2．（2分）如图摆放的一副直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是（　　） A．85° B．115° C．75° D．105° 3．（2分）下列说法错误的是（　　） A．两直线平行，内错角相等的逆定理是内错角相等，两直线平行 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．如果真命题的正确性是经过推理证实的，那么这样得到的真命题就是定理 4．（2分）在下列各组线段中，能组成三角形的是（　　） A．1、6、6 B．2、3、5 C．2、6、9 D．5、3、10 5．（2分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列说法正确的是（　　） A．若AB∥CD且AC＝BD，则四边形ABCD是矩形 B．若AB＝AD且CB＝CD，则四边形ABCD是菱形 C．若OA＝OC且OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形 D．若AC⊥BD且AC＝BD，则四边形ABCD是正方形 6．（2分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．若∠BAC＝α，则∠EAG的度数是（　　） A．180°﹣α B． C．2α﹣180° D． 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7．（2分）若关于x的不等式x≤﹣3+a的解集如图所示，则a的值是 　 　 ． 8．（2分）如图，将一副直角三角板如图所示放置（点F、D、C在同一直线上），点B在DE上，其中AB∥CF，∠ACB＝∠DFE＝90°，∠A＝45°，∠E＝30°，则∠CBD的度数为　 　 ． 9．（2分）如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下列说法正确的有 　 　 个． ①△ABE的面积与△BCE的面积相等； ②∠AFG＝∠AGF； ③∠FAG＝2∠ACF； ④∠HBC＝∠HCB． 10．（2分）如图，已知PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB，∠MON＝50°，∠OPC＝30°，则∠PCA＝　 　 ． 11．（2分）关于x的不等式组无解，m应满足的条件　 　 ． 12．（2分）把“相等的角是对顶角”改写成“如果…那么…”的形式：这个命题是 　 　 命题（填“真”或“假”）． 13．（2分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于点E，若∠BAC＝66°，∠ACE＝24°，则∠BEF的度数为 　 　 ． 14．（2分）不等式的解集是　 　 ． 15．（2分）已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为 　 　 ． 16．（2分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，AD为中线，则中线AD的取值范围为　 　 ． 17．（2分）如图，AB∥CD，点M、N分别是直线AB、CD上的两点，在M、N处分别存在两个反射镜面EF和KH：现有一个激光发射装置位于直线AB上的O点处，从O点发出两束激光分别经M、N反射后交于点P，已知入射角∠OMG＝36°，则∠MGN+∠MPN＝　 　 ．（光的反射定律：反射角等于入射角，即∠PND＝∠OND，∠PMG＝∠OMG） 18．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，动点P从点B出发，沿BC以每秒一个单位长度的速度向终点C运动，连结AP．当点P的运动时间为　 　 秒时，AP与△ABC的一边垂直． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分64分） 19．（6分）解不等式组：． 20．（6分）如图，已知：∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4．试说明：ME∥NF． 请你填空，完成推理过程． 证明：∵∠1+∠2＝180°（已知） 且∠1＝∠AMN（　 　 ） ∴∠AMN+∠2＝180°（等量代换） ∴　 　 ∥　 　 （　 　 ） ∴∠AMN＝∠MND（　 　 ） ∵∠3＝∠4（已知） ∴∠AMN+∠3＝∠MND+∠4（等式的基本性质） 即∠EMN＝∠MNF ∴ME∥NF（　 　 ） 21．（6分）如图，已知∠AOB＝60°，点C在OB上． （1）求作∠AOB内部一点P，使点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等，且OP＝CP（不要求写作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论）； （2）在（1）的条件下，点P到OA的距离是4，那么PC的长是 　 　 ． 22．（10分）“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为1500元/辆，B型车的售价为2000元/辆； （1）已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ （2）若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总利润最大，最大利润是多少元？ 23．（10分）如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB、AC的于点E、F，连结DE． （1）求证：DE∥AC； （2）若∠BED＝60°，试判断△AEF的形状，并说明理由． 24．（12分）小聪与小明同学对作格点等腰三角形（顶点都在小正方形的顶点上的等腰三角形）开展探究．如图1，在一个5×5的方格中，已知格点A、B，确定点C的位置，使△ABC是格点等腰三角形． 小聪的作法是：以点A为圆心，以AB长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（B点除外）就是点C的位置． （1）按照小聪的作法，能确定 　 　 个点C，此时等腰三角形的底边是 　 　 ．（填线段） （2）小明受到小聪的启发，也有了自己的想法，他想以AC作为△ABC的底边，那么小明的作法应该是：以点 　 　 为圆心，以 　 　 长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置． （3）你还有其他确定点C位置的方法吗？请将你的想法在图2中用尺规作图的方法表示出来．（不写作法，保留作图痕迹） （4）小聪、小明和你一共作出了 　 　 个符合要求的点C． 25．（14分）【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理．如图1，可以表述为： ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C． 【新知应用】已知：在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝110°，则∠B＝ 　 　 ；若∠B＝70°，则∠A＝ 　 　 ． 【尝试探究】如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，若连接CA，则CA平分∠BCD． 某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长CD到点E，使得DE＝BC，连接AE，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程． 【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠B+∠AED＝180°，连接CA，CA平分∠BCD吗？请说明理由． ( 第 2 页 共 7 页 ) ( 第 1 页 共 7 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市七年级下册数学 期末抢分卷(Ⅰ) 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D C A C C 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）已知x＞y，那么下列正确的是（　　） A．x+y＞0 B．ax＞ay C．x﹣2＞y+2 D．2﹣x＜2﹣y 【答案】D 【分析】各式利用不等式的性质化简，判断即可． 【解答】解：∵x＞y， ∴x﹣y＞0，ax＞ay（a＞0），x+2＞y+2，2﹣x＜2﹣y． 故选：D． 【点评】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键． 2．（2分）如图摆放的一副直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是（　　） A．85° B．115° C．75° D．105° 【答案】D 【分析】过点G作HG∥BC，则有∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，又由∠E＝60°，∠B＝45°，有∠EGB＝∠HGE+∠HGB即可得出答案． 【解答】解：∵∠F＝30°，∠C＝45°，∠A＝∠D＝90°， ∴∠E＝60°，∠B＝45°， 如图，过点G作HG∥BC， ∵EF∥BC，HG∥BC， ∴GH∥BC∥EF， ∴∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E， ∵∠E＝60°，∠B＝45°， ∴∠EGB＝∠HGE+∠HGB＝60°+45°＝105°， 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等，正确作出辅助线是解本题的关键． 3．（2分）下列说法错误的是（　　） A．两直线平行，内错角相等的逆定理是内错角相等，两直线平行 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．如果真命题的正确性是经过推理证实的，那么这样得到的真命题就是定理 【答案】C 【分析】根据逆命题、定理、假命题的概念判断． 【解答】解：A、两直线平行，内错角相等的逆定理是内错角相等，两直线平行，说法正确，不符合题意； B、定理不可能是假命题，说法正确，不符合题意； C、真命题不一定是定理，定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题，故本选项说法错误，符合题意； D、如果真命题的正确性是经过推理证实的，那么这样得到的真命题就是定理，说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 4．（2分）在下列各组线段中，能组成三角形的是（　　） A．1、6、6 B．2、3、5 C．2、6、9 D．5、3、10 【答案】A 【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断 【解答】解：A、1+6＞6，能组成三角形，故A符合题意； B、2+3＝5，不能组成三角形，故B不符合题意； C、2+6＜9，不能组成三角形，故C不符合题意； D、3+5＜10，不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 5．（2分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列说法正确的是（　　） A．若AB∥CD且AC＝BD，则四边形ABCD是矩形 B．若AB＝AD且CB＝CD，则四边形ABCD是菱形 C．若OA＝OC且OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形 D．若AC⊥BD且AC＝BD，则四边形ABCD是正方形 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐项进行判断即可． 【解答】解：根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐项进行判断可得： A、AB∥CD且AC＝BD，不能得到四边形ABCD是矩形，故A错误； B、AB＝AD且CB＝CD，仅能说明邻边相等，对边关系不确定， 则四边形ABCD不一定是菱形，故B错误； C、OA＝OC且OB＝OD，则对角线互相平分，四边形ABCD是平行四边形，故C正确； D、AC⊥BD且AC＝BD，未强调对角线互相平分， 则不能判定四边形ABCD是正方形，故D错误． 故选：C． 【点评】本题考查正方形的判定，正确进行判断是解题关键． 6．（2分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．若∠BAC＝α，则∠EAG的度数是（　　） A．180°﹣α B． C．2α﹣180° D． 【答案】C 【分析】由三角形内角和定理求出∠C+∠B＝180°﹣α，再由线段的垂直平分线的性质得EA＝EB，然后由等腰三角形的性质得∠EAB＝∠B，同理∠GAC＝∠C，即可解决问题． 【解答】解：∵∠BAC＝α， ∴∠C+∠B＝180°﹣α， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， ∴∠EAB＝∠B， 同理：∠GAC＝∠C， ∴∠EAB+∠GAC＝∠C+∠B＝180°﹣α， ∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠EAB+∠GAC）＝α﹣（180°﹣α）＝2α﹣180°， 故选：C． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，掌握线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7．（2分）若关于x的不等式x≤﹣3+a的解集如图所示，则a的值是 　2　 ． 【答案】2． 【分析】根据数轴可以得到x≤﹣1，再根据不等式x≤﹣3+a，即可得到﹣1＝﹣3+a，然后求解即可． 【解答】解：由图象可得， 该不等式的解集为x≤﹣1， ∵x≤﹣3+a， ∴﹣1＝﹣3+a， 解得a＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 8．（2分）如图，将一副直角三角板如图所示放置（点F、D、C在同一直线上），点B在DE上，其中AB∥CF，∠ACB＝∠DFE＝90°，∠A＝45°，∠E＝30°，则∠CBD的度数为　15°　 ． 【答案】15°． 【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD＝∠EDF＝60°，进而得出答案． 【解答】解：根据题意可知∠EDF＝60°，∠ABC＝45°， ∵AB∥CF， ∴∠ABD＝∠EDF＝60°（两直线平行，内错角相等）， ∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝60°﹣45°＝15°． 故答案为：15°． 【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9．（2分）如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下列说法正确的有 　3　 个． ①△ABE的面积与△BCE的面积相等； ②∠AFG＝∠AGF； ③∠FAG＝2∠ACF； ④∠HBC＝∠HCB． 【答案】3． 【分析】根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；根据等角的余角相等得到∠ABC＝∠DAC，再根据角平分线的定义和三角形外角性质可对②进行判断；根据等角的余角相等得到∠BAD＝∠ACB，再根据角平分线的定义可对③进行判断，根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，故④错误． 【解答】解：∵BE是AC边上的中线， ∴AE＝CE，设AC边上的高为h， ∴，，S△ABE＝S△BCE，故①正确； ∵∠BAC＝90°，AD是高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∠DAC+∠BAD＝90°， ∴∠ABC＝∠DAC， ∵CF是角平分线， ∴∠ACF＝∠BCF， ∵∠AFG＝∠FBC+∠BCF，∠AGF＝∠GAC+∠ACF， ∴∠AFG＝∠AGF，故②正确； ∵∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠ACB＝90°， ∴∠BAD＝∠ACB，而∠ACB＝2∠ACF， ∴∠FAG＝2∠ACF，故③正确． 根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，故④错误； 综上所述，说法正确的共3个． 故答案为：3． 【点评】本题考查三角形的角平分线、中线和高，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 10．（2分）如图，已知PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB，∠MON＝50°，∠OPC＝30°，则∠PCA＝　55°　 ． 【答案】55° 【分析】由“HL”可证Rt△OAP≌Rt△OBP，可得∠AOP＝∠BOP∠AOB＝25°，由外角可求解． 【解答】解：∵PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°， ∵PA＝PB，OP＝OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）， ∴∠AOP＝∠BOP∠AOB＝25°， ∴∠PCA＝∠AOP+∠OPC＝55°， 故答案为：55°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明Rt△OAP≌Rt△OBP是本题的关键． 11．（2分）关于x的不等式组无解，m应满足的条件m≥2　 ． 【答案】m≥2． 【分析】不等式组无解的条件是“大于大的，小于小的”，即 2m﹣1≥m+1． 【解答】解：， 不等式组无解，说明两个解集没有公共部分，因此需满足：2m﹣1≥m+1， 解这个不等式： 2m﹣1≥m+1， 2m﹣m≥1+1， m≥2， ∴m应满足的条件是m≥2． 故答案为：m≥2． 【点评】本题考查了含参数的一元一次不等式组无解的情况．熟练掌握不等式组无解的判定规则，即“大大小小无处找”，是解题的关键． 12．（2分）把“相等的角是对顶角”改写成“如果…那么…”的形式：这个命题是 　假　 命题（填“真”或“假”）． 【答案】假． 【分析】根据命题有题设和结论两部分组成，则把条件写在如果的后面，把结论写在那么的后面即可． 【解答】解：把命题“相等的角是对顶角”改写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，它是一个假命题， 故答案为：假． 【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 13．（2分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于点E，若∠BAC＝66°，∠ACE＝24°，则∠BEF的度数为 　60°　 ． 【答案】60°． 【分析】由线段垂直平分线的性质推出EB＝EC，得到∠EBC＝∠ECB，由角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，由三角形内角和定理得到∠A+3∠EBC+∠ACE＝180°，求出∠EBF＝30°，由直角三角形的性质即可求出∠BEF的度数． 【解答】解：∵EF垂直平分BC， ∴EB＝EC， ∴∠EBC＝∠ECB， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵∠A+∠ABC+∠ACE+∠BCE＝180°， ∴∠A+3∠EBC+∠ACE＝180°， ∵∠BAC＝66°，∠ACE＝24°， ∴∠EBF＝30°， ∵∠BFE＝90°， ∴∠BEF＝90°﹣30°＝60°． 故答案为：60°． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，关键是由线段垂直平分线的性质推出EB＝EC，由三角形内角和定理得到∠A+3∠EBC+∠ACE＝180°． 14．（2分）不等式的解集是　x≤1　 ． 【答案】x≤1． 【分析】先分别解出两个一元一次不等式，再取它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【解答】解：， 解不等式①得，x， 解不等式②得，x≤1， ∴不等式组的解集是：x≤1， 故答案为：x≤1． 【点评】本题考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握解单个不等式并取公共解集的方法是解题的关键． 15．（2分）已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为 　40°或100°　 ． 【答案】40°或100°． 【分析】依题意有以下两种情况：①当40°的角是该等腰三角形的顶角时，设该等腰三角形底角为α，则2α+40°＝180°，由此得α＝70°，此时该等腰三角形三个内角为40°，70°，70°；②当40°的角是该等腰三角形的底角时，设该等腰三角形顶角为β，则2×40°+β＝180°，由此得：β＝100°，此时该等腰三角形三个内角为100°，40°，40°，综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵等腰三角形的一内角度数为40°， ∴有以下两种情况： ①当40°的角是该等腰三角形的顶角时，设该等腰三角形的底角为α， ∴2α+40°＝180°， 解得：α＝70°， 此时该等腰三角形的三个内角为：40°，70°，70°； ②当40°的角是该等腰三角形的底角时，设该等腰三角形的顶角为β， ∴2×40°+β＝180°， 解得：β＝100°， 此时该等腰三角形的三个内角为：100°，40°，40°， 综上所述：该等腰三角形的顶角为40°或100°． 故答案为：40°或100°． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 16．（2分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，AD为中线，则中线AD的取值范围为　　 ． 【答案】． 【分析】延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，证明△ABD≌△CDE（SAS），得出AB＝EC＝3，由三角形三边关系可得出答案． 【解答】解：延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE， ∵AD是中线， ∴BD＝CD， 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△CDE（SAS）， ∴AB＝EC＝3， 在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE， ∴4﹣3＜2AD＜4+3， ∴1＜2AD＜7， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 17．（2分）如图，AB∥CD，点M、N分别是直线AB、CD上的两点，在M、N处分别存在两个反射镜面EF和KH：现有一个激光发射装置位于直线AB上的O点处，从O点发出两束激光分别经M、N反射后交于点P，已知入射角∠OMG＝36°，则∠MGN+∠MPN＝　108°　 ．（光的反射定律：反射角等于入射角，即∠PND＝∠OND，∠PMG＝∠OMG） 【答案】108°． 【分析】根据光的反射定律得出∠PMG＝∠OMG＝36°，从而求出∠OMP的度数，利用平行线的性质得出∠MON＝∠OND，设∠OND＝x，在△OMG中利用三角形外角的性质表示出∠MGN，再利用三角形外角的性质表示出∠MPN，最后求和即可． 【解答】解：不妨设MP交CD于点Q，如图所示： ∵∠PMG＝∠OMG，∠OMG＝36°， ∴∠PMG＝36°（等量代换）， ∴∠OMP＝∠OMG+∠PMG＝36°+36°＝72°， ∵AB∥CD， ∴∠MON＝∠OND（两直线平行，内错角相等）， 设∠OND＝x，则∠MON＝x， ∴∠MGN＝∠OMG+∠MON＝36°+x， ∵AB∥CD， ∴∠MQC＝∠OMP＝72°（两直线平行，内错角相等）， 又∵∠PND＝∠OND＝x， ∴∠MPN＝∠MQC﹣∠PND＝72°﹣x， ∴∠MGN+∠MPN＝36°+x+72°﹣x＝108°， 故答案为：108°． 【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 18．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，动点P从点B出发，沿BC以每秒一个单位长度的速度向终点C运动，连结AP．当点P的运动时间为　或4或　 秒时，AP与△ABC的一边垂直． 【答案】或4或． 【分析】设点P的运动时间为t秒，则BP＝t，过点A作AH⊥BC，根据在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，得出，根据勾股定理得出AH＝3，分三种情况：当AP⊥BC时；当AP⊥AC时，当AP⊥AB时，分别求解即可． 【解答】解：设点P的运动时间为t秒，则BP＝t， 过点A作AH⊥BC， ∵在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8， ∴， ∴， 当AP⊥BC时，点P与点H重合， 此时，BP＝BH＝4， ∴t＝4秒； 当AP⊥AC时，如图， 则AP2＝CP2﹣AC2＝AH2+HP2， 即（8﹣t）2﹣52＝32+（4﹣t）2， 解得：； 当AP⊥AB时，如图， 则AP2＝BP2﹣AB2＝AH2+HP2， 即t2﹣52＝32+（t﹣4）2， 解得：； 综上，当点P的运动时间为或4或秒时，AP与△ABC的一边垂直． 故答案为：或4或． 【点评】该题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，一元一次方程，解题的关键是分类讨论． 三．解答题（共7小题，满分64分） 19．（6分）解不等式组：． 【答案】﹣3≤x＜2． 【分析】首先分别解出每一个不等式，然后根据解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，确定解集即可． 【解答】解：解不等式①得：x＜2， 解不等式②得：x≥﹣3， ∴不等式组的解集为﹣3≤x＜2． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式（组），正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 20．（6分）如图，已知：∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4．试说明：ME∥NF． 请你填空，完成推理过程． 证明：∵∠1+∠2＝180°（已知） 且∠1＝∠AMN（　对顶角相等　 ） ∴∠AMN+∠2＝180°（等量代换） ∴AB ∥CD （　同旁内角互补，两直线平行　 ） ∴∠AMN＝∠MND（　两直线平行，内错角相等　 ） ∵∠3＝∠4（已知） ∴∠AMN+∠3＝∠MND+∠4（等式的基本性质） 即∠EMN＝∠MNF ∴ME∥NF（　内错角相等，两直线平行．　 ） 【答案】对顶角相等；AB；CD；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 【分析】根据同旁内角互补两直线平行证明AB∥CD，得到∠AMN＝∠MND，然后证明出∠EMN＝∠MNF，即可根据内错角相等两直线平行证明ME∥NF． 【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°， 且∠1＝∠AMN（对顶角相等）， ∴∠AMN+∠2＝180°， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠AMN＝∠MND（两直线平行，内错角相等）， ∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠AMN+∠3＝∠MND+∠4， ∵∠EMN＝∠AMN+∠3，∠MNF＝∠MND+∠4， ∴∠EMN＝∠MNF， ∴ME∥NF（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：对顶角相等；AB；CD；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． 21．（6分）如图，已知∠AOB＝60°，点C在OB上． （1）求作∠AOB内部一点P，使点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等，且OP＝CP（不要求写作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论）； （2）在（1）的条件下，点P到OA的距离是4，那么PC的长是 　8　 ． 【答案】（1）如图，点P为所作； （2）8． 【分析】（1）先作∠AOB平分线，再作OC的垂直平分线，两线相交于点P，则根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质得到P点满足条件； （2）过P点作PH⊥OA，PD⊥OB于D点，如图，则PD＝PH＝4，根据角平分线的性质定理的逆定理得到OP平分∠AOB，所以∠POC＝30°，再利用OP＝PC得到∠PCO＝30°，然后根据含30度角的直角三角形三边的关系求解． 【解答】解：（1）如图，点P为所作； （2）过P点作PH⊥OA，PD⊥OB于D点，如图， ∵点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等， ∴PD＝PH＝4，OP平分∠AOB， ∴∠POC∠AOB＝30°， ∵OP＝PC， ∴∠PCO＝∠POC＝30°， 在Rt△PCD中，∵∠PCD＝30°， ∴PC＝2PD＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质． 22．（10分）“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为1500元/辆，B型车的售价为2000元/辆； （1）已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ （2）若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）A型车的进货单价是1200元，B型车的进货单价是1500元； （2）该专卖店第四周售出9辆A型车，16辆B型车时，总利润最大，最大利润是10700元． 【分析】（1）设A型车的进货单价是x元，则B型车的进货单价是（x+300）元，利用数量＝总价÷单价，结合用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即A型车的进货单价），再将其代入（x+300）中，即可求出B型车的进货单价； （2）设第四周售出m辆A型车，则售出（25﹣m）辆B型车，根据“B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，设第四周的总利润为w元，利用总利润＝每辆A型车的销售利润×第四周A型车的销售数量+每辆B型车的销售利润×第四周B型车的销售数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设A型车的进货单价是x元，则B型车的进货单价是（x+300）元， 根据题意得：， 解得：x＝1200， 经检验，x＝1200是所列方程的解，且符合题意， ∴x+300＝1200+300＝1500（元）． 答：A型车的进货单价是1200元，B型车的进货单价是1500元； （2）设第四周售出m辆A型车，则售出（25﹣m）辆B型车， 根据题意得：， 解得：m， 设第四周的总利润为w元，则w＝（1500﹣1200）m+（2000﹣1500）（25﹣m）， 即w＝﹣200m+12500， ∵﹣200＜0， ∴w随m的增大而减小， 又∵m，且m为正整数， ∴当m＝9时，w取得最大值，最大值为﹣200×9+12500＝10700，此时25﹣m＝25﹣9＝16． 答：该专卖店第四周售出9辆A型车，16辆B型车时，总利润最大，最大利润是10700元． 【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 23．（10分）如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB、AC的于点E、F，连结DE． （1）求证：DE∥AC； （2）若∠BED＝60°，试判断△AEF的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）△AEF是等边三角形，理由见解析． 【分析】（1）由角平分线的性质推出∠EAD＝∠DAF，由等腰三角形的性质得到∠EDA＝∠EAD，因此∠DAF＝∠EDA，即可证明DE∥AC； （2）由垂直的定义得到∠AOE＝∠AOF＝90°，而∠OAE＝∠OAF，由三角形内角和定理推出∠AEO＝∠AFO，判定△AEF是等腰三角形，由平行线的性质推出∠EAF＝∠BED＝60°，判定△AEF是等边三角形． 【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠DAF， ∵EF是AD的垂直平分线， ∴AE＝DE， ∴∠EDA＝∠EAD， ∴∠DAF＝∠EDA， ∴DE∥AC； （2）△AEF是等边三角形，理由如下： ∵EF⊥AD， ∴∠AOE＝∠AOF＝90°， 由（1）知：∠OAE＝∠OAF， ∴∠AEO＝∠AFO， ∴AE＝AF， ∴△AEF是等腰三角形， ∵DE∥AC， ∴∠EAF＝∠BED＝60°， ∴△AEF是等边三角形． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，等边三角形的判定，关键是掌握内错角相等，两直线平行；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 24．（12分）小聪与小明同学对作格点等腰三角形（顶点都在小正方形的顶点上的等腰三角形）开展探究．如图1，在一个5×5的方格中，已知格点A、B，确定点C的位置，使△ABC是格点等腰三角形． 小聪的作法是：以点A为圆心，以AB长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（B点除外）就是点C的位置． （1）按照小聪的作法，能确定 　3　 个点C，此时等腰三角形的底边是 BC1，BC2，BC3 ．（填线段） （2）小明受到小聪的启发，也有了自己的想法，他想以AC作为△ABC的底边，那么小明的作法应该是：以点 B 为圆心，以 BA 长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置． （3）你还有其他确定点C位置的方法吗？请将你的想法在图2中用尺规作图的方法表示出来．（不写作法，保留作图痕迹） （4）小聪、小明和你一共作出了 　8　 个符合要求的点C． 【答案】（1）3，BC1，BC2，BC3； （2）B，BA； （3）见解析； （4）8． 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）以点B为圆心，以BA长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置； （3）构造等腰直角三角形ABC即可； （4）根据作图的结果判断即可． 【解答】解：（1）如图1中，点C1，C2，C3即为所求． 故答案为：3，BC1，BC2，BC3； （2）作法应该是：以点B为圆心，以BA长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置，如图2中，点C1，C2，C3即为所求； 故答案为：B，BA； （3）如图3中，点C1，C1即为所求； （4）小聪、小明和你一共作出了8个符合要求的点C． 故答案为：8． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 25．（14分）【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理．如图1，可以表述为： ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C． 【新知应用】已知：在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝110°，则∠B＝ 　35°　 ；若∠B＝70°，则∠A＝ 　40°　 ． 【尝试探究】如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，若连接CA，则CA平分∠BCD． 某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长CD到点E，使得DE＝BC，连接AE，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程． 【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠B+∠AED＝180°，连接CA，CA平分∠BCD吗？请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】【新知应用】根据等腰三角形的性质即可解答； 【尝试探究】证明△ABC≌△ADE（SAS），得∠ACB＝∠D，AC＝AD，利用等腰三角形的性质可以证明结论； 【拓展应用】如图3，延长DE到点F，使得EF＝BC，连接AF，证明△ABC≌△AEF（SAS），再证明△ACD≌△AFD（SSS），得∠ACD＝∠F，进而可以得结论． 【解答】【新知应用】解：在△ABC中， ∵AB＝AC，∠A＝110°， ∴∠B＝∠C（180°﹣110°）＝35°， 若∠B＝70°， 则∠A＝180°﹣2×70°＝40°， 故答案为：35°，40°； 【尝试探究】证明：如图2，延长CD到点E，使得DE＝BC，连接AE， ∴∠ADC+∠ADE＝180°， ∵∠B+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠AED， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴∠ACB＝∠D，AC＝AD， ∴∠ACD＝∠D， ∴∠ACD＝∠ACB， ∴CA平分∠BCD； 【拓展应用】解：CA平分∠BCD，理由如下： 如图3，延长DE到点F，使得EF＝BC，连接AF， ∴∠AED+∠AEF＝180°， ∵∠B+∠AED＝180°， ∴∠B＝∠AEF， ∵AB＝AE， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴AC＝AF，∠ACB＝∠F， ∵BC+DE＝CD，BC＝EF， ∴CD＝FD， 在△ACD和△AFD中， ， ∴△ACD≌△AFD（SSS）， ∴∠ACD＝∠F， ∴∠ACD＝∠ACB， ∴AC平分∠BCD． 【点评】本题属于四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定义，等腰三角形的性质，解决本题的关键是得到△ABC≌△ADE． ( 第 2 页 共 22 页 ) ( 第 1 页 共 22 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市七年级下册数学 期末抢分卷(Ⅰ)答题卡 条 码 粘 贴 处 （正面朝上贴在此虚线框内） 试卷类型：A 姓名：______________班级：______________ 准考证号 缺考标记 考生禁止填涂缺考标记！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×] 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）（请用2B铅笔填涂） 1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）（请在各试题的答题区内作答） 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 三．解答题（共7小题，满分64分）（请在各试题的答题区内作答） 19.答： 20.答： 21.答： 22.答： 23.答： 24.答： 25.答： 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2025-2026学年上海市七年级下册数学 期末抢分卷(Ⅰ) 难度系数：0.5；考试时间：100分钟；分数：100 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）已知x＞y，那么下列正确的是（　　） A．x+y＞0 B．ax＞ay C．x﹣2＞y+2 D．2﹣x＜2﹣y 2．（2分）如图摆放的一副直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是（　　） A．85° B．115° C．75° D．105° 3．（2分）下列说法错误的是（　　） A．两直线平行，内错角相等的逆定理是内错角相等，两直线平行 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．如果真命题的正确性是经过推理证实的，那么这样得到的真命题就是定理 4．（2分）在下列各组线段中，能组成三角形的是（　　） A．1、6、6 B．2、3、5 C．2、6、9 D．5、3、10 5．（2分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列说法正确的是（　　） A．若AB∥CD且AC＝BD，则四边形ABCD是矩形 B．若AB＝AD且CB＝CD，则四边形ABCD是菱形 C．若OA＝OC且OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形 D．若AC⊥BD且AC＝BD，则四边形ABCD是正方形 6．（2分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．若∠BAC＝α，则∠EAG的度数是（　　） A．180°﹣α B． C．2α﹣180° D． 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7．（2分）若关于x的不等式x≤﹣3+a的解集如图所示，则a的值是 　 　 ． 8．（2分）如图，将一副直角三角板如图所示放置（点F、D、C在同一直线上），点B在DE上，其中AB∥CF，∠ACB＝∠DFE＝90°，∠A＝45°，∠E＝30°，则∠CBD的度数为　 　 ． 9．（2分）如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下列说法正确的有 　 　 个． ①△ABE的面积与△BCE的面积相等； ②∠AFG＝∠AGF； ③∠FAG＝2∠ACF； ④∠HBC＝∠HCB． 10．（2分）如图，已知PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB，∠MON＝50°，∠OPC＝30°，则∠PCA＝　 　 ． 11．（2分）关于x的不等式组无解，m应满足的条件　 　 ． 12．（2分）把“相等的角是对顶角”改写成“如果…那么…”的形式：这个命题是 　 　 命题（填“真”或“假”）． 13．（2分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于点E，若∠BAC＝66°，∠ACE＝24°，则∠BEF的度数为 　 　 ． 14．（2分）不等式的解集是　 　 ． 15．（2分）已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为 　 　 ． 16．（2分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，AD为中线，则中线AD的取值范围为　 　 ． 17．（2分）如图，AB∥CD，点M、N分别是直线AB、CD上的两点，在M、N处分别存在两个反射镜面EF和KH：现有一个激光发射装置位于直线AB上的O点处，从O点发出两束激光分别经M、N反射后交于点P，已知入射角∠OMG＝36°，则∠MGN+∠MPN＝　 　 ．（光的反射定律：反射角等于入射角，即∠PND＝∠OND，∠PMG＝∠OMG） 18．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，动点P从点B出发，沿BC以每秒一个单位长度的速度向终点C运动，连结AP．当点P的运动时间为　 　 秒时，AP与△ABC的一边垂直． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分64分） 19．（6分）解不等式组：． 20．（6分）如图，已知：∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4．试说明：ME∥NF． 请你填空，完成推理过程． 证明：∵∠1+∠2＝180°（已知） 且∠1＝∠AMN（　 　 ） ∴∠AMN+∠2＝180°（等量代换） ∴　 　 ∥　 　 （　 　 ） ∴∠AMN＝∠MND（　 　 ） ∵∠3＝∠4（已知） ∴∠AMN+∠3＝∠MND+∠4（等式的基本性质） 即∠EMN＝∠MNF ∴ME∥NF（　 　 ） 21．（6分）如图，已知∠AOB＝60°，点C在OB上． （1）求作∠AOB内部一点P，使点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等，且OP＝CP（不要求写作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论）； （2）在（1）的条件下，点P到OA的距离是4，那么PC的长是 　 　 ． 22．（10分）“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为1500元/辆，B型车的售价为2000元/辆； （1）已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ （2）若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总利润最大，最大利润是多少元？ 23．（10分）如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB、AC的于点E、F，连结DE． （1）求证：DE∥AC； （2）若∠BED＝60°，试判断△AEF的形状，并说明理由． 24．（12分）小聪与小明同学对作格点等腰三角形（顶点都在小正方形的顶点上的等腰三角形）开展探究．如图1，在一个5×5的方格中，已知格点A、B，确定点C的位置，使△ABC是格点等腰三角形． 小聪的作法是：以点A为圆心，以AB长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（B点除外）就是点C的位置． （1）按照小聪的作法，能确定 　 　 个点C，此时等腰三角形的底边是 　 　 ．（填线段） （2）小明受到小聪的启发，也有了自己的想法，他想以AC作为△ABC的底边，那么小明的作法应该是：以点 　 　 为圆心，以 　 　 长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置． （3）你还有其他确定点C位置的方法吗？请将你的想法在图2中用尺规作图的方法表示出来．（不写作法，保留作图痕迹） （4）小聪、小明和你一共作出了 　 　 个符合要求的点C． 25．（14分）【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理．如图1，可以表述为： ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C． 【新知应用】已知：在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝110°，则∠B＝ 　 　 ；若∠B＝70°，则∠A＝ 　 　 ． 【尝试探究】如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，若连接CA，则CA平分∠BCD． 某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长CD到点E，使得DE＝BC，连接AE，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程． 【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠B+∠AED＝180°，连接CA，CA平分∠BCD吗？请说明理由． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：________班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $