2025-2026学年人教版数学八年级下册期末复习：勾股定理经典题型

**基本信息** 以“模型建构-问题解决-反思迁移”为主线，系统整合勾股定理的概念生成、公式推导与实际应用，突出几何直观与模型意识的培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |模型建构|2题|两点间距离公式推导、代数问题几何化|从具体坐标计算到抽象公式生成，体现数形结合思想| |折叠变换|5题|折叠前后等量关系转化、方程思想|通过矩形/三角形折叠，构建勾股定理与轴对称的关联| |最短路径|3题|轴对称转化、垂线段最短原理|将代数式最值问题转化为几何路径问题，培养空间观念| |实际应用|5题|台风影响范围计算、车速检测模型|从生活情境抽象直角三角形模型，强化应用意识|

2025-2026学年人教版八年级下册期末复习： 勾股定理经典题型 1．（25-26八年级上·山东济南·期中）【先导问题】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，已知点、点，则的长度为_____； 【提炼模型】 （2）某数学兴趣小组根据先导问题思考：已知平面直角坐标系中任意两点的坐标、，是否可以用相同的方法求出的长度？ 解：如图，过点、分别作平行于轴、轴的直线交于点， 则点的坐标为，那么，， 在中，根据勾股定理得：． 在平面直角坐标系中，任意两点之间的距离均可用上述公式计算，我们称其为两点间距离公式．若点、点，则（用含的代数式表示）． 反之，若，则点、的坐标可以是、． 【识别模型】 （3）根据你对两点间距离公式的理解，完成下列问题： ①代数式，由此可以看成平面直角坐标系中点与点的距离； ②代数式可以看成平面直角坐标系中点与点的距离．（只填写符合题意的一个点的坐标即可） 【应用模型】 （4）代数式，当取何值时有最小值，最小值是多少？ 【回顾反思】 （5）回顾上述解决问题的过程，你积累了哪些解题经验呢？（不超过50字） 2．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如下左图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点Q，在中，，，∴． (1)由此得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式为： ______． (2)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为______． 利用上面公式解决下列问题： (3)在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值和此时点P的坐标； (4)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值（直接写出答案）． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长方形纸片进行折纸探究活动． 如图①，在长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图②）． (1)试探究重叠部分的形状，并说明理由； (2)若，，请直接写出面积的最小值为______． (3)把长方形纸片对折，折痕为，请你仅用圆规在图③的折痕上找一点，使得为等边三角形．（保留作图痕迹，不写作法）． (4)如图④，若，，在边上找一点，在边上找一点，将沿翻折得．设与边交于点，当点、位置发生变化时，点的位置也跟着变化，试求整个变化过程中最大值与最小值的和． 4．（22-23八年级上·陕西西安·阶段检测）如图1，在中，，，，点为边上一动点，将沿直线折叠，得到，请解决下列问题．    (1)______；当点F恰好落在斜边上时，______； (2)连接，当是以为底边的等腰三角形时，请在图2中画出相应的图形，并求出此时点F到直线的距离； (3)如图3，为边上一点，且，连接，当为直角三角形时，　　．（请写出所有满足条件的长） 5．（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）如图1，直线，垂足为O，直线l分别与射线、相交于点A、B，且，，连接． (1)求线段的长； (2)若点C为直线l上的一个动点，求点O到点C的距离的最小值； (3)如图2，将沿直线l折叠，点O落在点D处，，垂足为点E，求的长； (4)若点F为直线或上的一个动点，使得以A、B、F为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的所有点F的个数为______个． 6．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图①，在长方形ABCD中，已知AB=13，AD=5，动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP沿着AP翻折得到△AEP．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） (1)如图②，射线PE恰好经过点B，求出此时t的值； (2)当射线PE与边AB交于点F时，是否存在这样的t的值，使得FE=FB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由； (3)在动点P从点D到点C的整个运动过程中，若点E到直线AB的距离等于3，则此时t=___________． 7．（21-22八年级上·江苏扬州·期中）在长方形ABCD中，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8． （1）P为BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）． ①如图1，当点E落在边CD上时，直接写出此时DE＝_______． ②如图2，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且FC＝FE，求BP的长． （2） 如图3，已知点Q为射线BA上的一个动点，将△BCQ沿CQ翻折，点B恰好落在直线DQ上的点B′处，求BQ的长． 8．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）探究与应用 [问题初探]（1）如图1，是的中线，则线段会有何种数量关系呢？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点作于点， 在中，，．① 在中，．② 由①+②得：． ， 又在中，______， …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是______． [简单应用]（2）如图（2），在中，是中线，，，，求的长． [灵活应用]（3）在中，，点D是上一点，且，连接，过点D作，则_______． [深度思考]（4）已知线段，点D在线段上，，点A是平面内任意一点，且满足，则的最大值为______． 9．（21-22八年级下·江西上饶·期末）定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”． (1)特例感知：如图1，四边形ABCD是“垂美四边形”，如果，，，则______，______． (2)猜想论证：如图1，如果四边形ABCD是“垂美四边形”，猜想它的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系并给予证明． (3)拓展应用：如图2，分别以的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知，，求GE长． 10．（21-22八年级下·广东深圳·期末）（1）如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．易求∠DCE＝ °； （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．CE＝10，BC＝6，求AE的长． 11．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． (1)把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．用含、、的式子分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为________，经化简，可得到勾股定理． (2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； (3)在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离． (4)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 12．（21-22八年级上·山东青岛·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积： S梯形ABCD＝ 　 　， S△EBC＝ 　 　， S四边形AECD＝ 　 　， 再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 　 　，化简后，可得到勾股定理． 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为 　 　米． 【知识迁移】 借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式的最小值＝ 　 　． 13．（20-21八年级上·江苏无锡·期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称　 　，　 　． （2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB． （3）如图（2），以边AB作如图正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，连接DE、DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形． 14．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 15．（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； (3)若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？ 16．（25-26八年级下·北京·期中）如图，某中学门口有一条东西方向的公路，在中学门口有两条长度均为米的通道，通往公路旁的两个公交站，，且的距离是米．为了行车安全，在公路旁的点和点设置区间测速装置，其中点在点的东侧，且，公路限速千米/小时（约米/秒）．一辆汽车经过区间用时秒，试判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据，，） 17．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 18．（2026·江苏淮安·模拟预测）阅读下列材料，并解决后面的问题． ★阅读材料： 我国是历史上较早发现并运用“勾股定理”的国家之一．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，“勾股定理”因此而得名． 勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．请运用“勾股定理”解决以下问题： (1)如图一，分别以直角三角形的边为边长作正方形，其中，，则______． (2)如图二，是一个圆柱形饮料罐，底面半径，高，顶面正中有一个小圆孔，则一条直达底部的直吸管的最大长度是_____．注：罐壁厚度和顶部圆孔直径忽略不计． (3)如图三，所示的直角三角形中，，则的值________．注值取3． (4)如图四的圆柱，高厘米，底面半径厘米，在圆柱底面A点有一只蚂蚁，它想吃到与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？小聪是这样思考的： ①将该圆柱的侧面展开后得到一个长方形，如图五所示（A点的位置已经给出），请在图中标出B点的位置并连接． ②小聪认为线段的长度是蚂蚁爬行的最短路程，那么蚂蚁爬行的最短路程是____厘米．注：值取3． (5) 如图六，在长方形的底面A点有一只蚂蚁，想吃到上底面与A点相对的B点处的食物，它沿长方形表面爬行的最短路程是____厘米． 19．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）综合与实践 【项目主题】 几何模型在最短路径问题中的应用 【项目准备】 求代数式的最小值，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，，．原问题就变成“点E在线段的何处时，的值最小？” 解决方法：如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为_____①_____，将延长至点F，使得_____②_____（填线段），连接，则，，易求得_____③_____，即的最小值为的长． (1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①__________；②__________；③__________． 【项目应用】 (2) 如图3，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A，B之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到B的路程最短，求出这个最短路程的长． 20．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和很容易让人联想到利用勾股定理求直角三角形第三边的情形，可以用“”表示直角边分别是x、3的直角三角形的斜边的长，用“”表示直角边分别是、2的直角三角形的斜边的长，基于以上联想，我们构造两个这样的直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时,，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”     (1)根据：两点之间__________，得到：线段AD就是的最小值，如图3连接AD，延长至，使，连接，可证：四边形是矩形，__________，__________，在中，由勾股定理可求得的长，的最小值是__________． 【模型应用】 (2)代数式的最小值是__________． 【模型拓展】 (3)根据以上学习，结合备用图解决问题：已知正数满足，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版八年级下册期末复习： 勾股定理经典题型 1．（25-26八年级上·山东济南·期中）【先导问题】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，已知点、点，则的长度为_____； 【提炼模型】 （2）某数学兴趣小组根据先导问题思考：已知平面直角坐标系中任意两点的坐标、，是否可以用相同的方法求出的长度？ 解：如图，过点、分别作平行于轴、轴的直线交于点， 则点的坐标为，那么，， 在中，根据勾股定理得：． 在平面直角坐标系中，任意两点之间的距离均可用上述公式计算，我们称其为两点间距离公式．若点、点，则（用含的代数式表示）． 反之，若，则点、的坐标可以是、． 【识别模型】 （3）根据你对两点间距离公式的理解，完成下列问题： ①代数式，由此可以看成平面直角坐标系中点与点的距离； ②代数式可以看成平面直角坐标系中点与点的距离．（只填写符合题意的一个点的坐标即可） 【应用模型】 （4）代数式，当取何值时有最小值，最小值是多少？ 【回顾反思】 （5）回顾上述解决问题的过程，你积累了哪些解题经验呢？（不超过50字） 【答案】（1）；（2）（或）；（3）①；②或；（写出一种情况即可）；（4）当，代数式有最小值，最小值为；（5）体现数形结合思想、建模思想，言之有理即可 【分析】本题考查了两点间的距离公式，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式即可得到结论； （2）根据两点间的距离公式即可得到结论； （3）①根据两点间的距离公式即可得到结论； ②根据两点间的距离公式即可得到结论； （4）如图，根据题意得到代数式，可以看成是点到点、点的距离的和，于是得到代数式的最小值即的最小值，作点关于轴的对称点，设直线的函数表达式为（），求得直线的函数表达式为，根据两点间的距离公式即可得到结论； （5）根据解题过程即可得到结论． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2） 故答案为：； （3）①代数式，由此可以看成平面直角坐标系中点与点的距离， 故答案为：； ②代数式可以看成平面直角坐标系中点与点或的距离， 故答案为：或； （4）代数式，可以看成是点到点、点的距离的和，如图， 代数式的最小值即的最小值， 作点关于轴的对称点， 设直线的函数表达式为（）， 把，分别代入上式， ， 解得， 直线的函数表达式为， 当时，代入上式，得， ， 点（，）， ， 当，代数式有最小值，最小值为． （5）解决数学问题最有效的方法是熟练掌握数形结合思想、建模思想． 2．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如下左图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点Q，在中，，，∴． (1)由此得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式为： ______． (2)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为______． 利用上面公式解决下列问题： (3)在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值和此时点P的坐标； (4)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值（直接写出答案）． 【答案】(1) (2)5 (3)， (4) 【分析】（1）根据题干内容回答即可； （2）直接利用两点之间距离公式直接求出即可； （3）利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值； （4）根据原式表示的几何意义是点到点和的距离之和，当点在以和为端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可． 【详解】（1）解：阅读材料可得：； （2）平面直角坐标系内任意两点，，，间的距离公式为：， 点，之间的距离为：； 故答案为：5； （3）作点关于轴对称的点，连接，直线于轴的交点即为所求的点，的最小值就是线段的长度，然后根据两点间的距离公式即可得到结论． ， ， ， 设直线的一次函数表达式为， 把代入　解得　， 当时，解得，即， ， 即为的最小值为． 故答案为：； （4）原式， 故原式表示点到和的距离之和． 由两点之间线段最短，点在以和为端点的线段上时，原式值最小． 利用公式可得，原式． 【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长方形纸片进行折纸探究活动． 如图①，在长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图②）． (1)试探究重叠部分的形状，并说明理由； (2)若，，请直接写出面积的最小值为______． (3)把长方形纸片对折，折痕为，请你仅用圆规在图③的折痕上找一点，使得为等边三角形．（保留作图痕迹，不写作法）． (4)如图④，若，，在边上找一点，在边上找一点，将沿翻折得．设与边交于点，当点、位置发生变化时，点的位置也跟着变化，试求整个变化过程中最大值与最小值的和． 【答案】(1)为等腰三角形，理由见解析 (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）利用长方形对边平行的性质得到，结合折叠的性质得到，通过等量代换得出，进而判定三角形为等腰三角形； （2）根据等腰三角形的边长关系，结合三角形面积公式，分析出最小时面积最小，进而计算即可； （3）以为圆心，的长为半径作弧交于点，连接、，则是等边三角形； （4）分别画出取得最大值与最小值的示意图，再利用翻折的性质以及勾股定理求出的最大值与最小值，两者相加即可解答． 【详解】（1）解：为等腰三角形，理由如下： ∵长方形纸片沿线段折叠， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：由（1）得， ∵的面积， ∴当最小，即最小时，的面积取得最小值， ∴当时，的面积的最小值． 故答案为：． （3）解：如图，点即为所求： 由折叠可得，， 由作图可得，， ∴， ∴是等边三角形； （4）解：当点与点重合，点与点重合时，有最大值， 由翻折的性质得，， ∵长方形纸片， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的最大值为； 当点与点重合，点与点重合时，有最小值， 由翻折的性质得，， ∵长方形纸片， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为； ∴最大值与最小值的和为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定、尺规作图、等边三角形的判定、勾股定理与翻折问题，熟练掌握相关知识点，根据题意准确画出图形是解题的关键． 4．（22-23八年级上·陕西西安·阶段检测）如图1，在中，，，，点为边上一动点，将沿直线折叠，得到，请解决下列问题．    (1)______；当点F恰好落在斜边上时，______； (2)连接，当是以为底边的等腰三角形时，请在图2中画出相应的图形，并求出此时点F到直线的距离； (3)如图3，为边上一点，且，连接，当为直角三角形时，　　．（请写出所有满足条件的长） 【答案】(1)13， (2)画图见解析， (3)或或5或10 【分析】（1）根据勾股定理可得的长，再利用等积法求出即可； （2）过点作，交的延长线于，首先由等积法求出的长，再根据勾股定理求出的长，再次利用等积法可得的长； （3）分或或分别画出图形，从而解决问题． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得，， 当点落在上时，由折叠知，， ， ， ， 故答案为：13，； （2）过点作，交的延长线于，   ，， 垂直平分， 由等积法得， 在中，由勾股定理得，， ， ； （3）当时，当点在上时，作于，    则， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 当点在上时，同理可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ，    当时，由勾股定理得，    设， 则， ， ； 当时， 则，   ， 综上：或或5或10， 故答案为：或或5或10． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了翻折的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，利用等积法求垂线段的长是解题的关键． 5．（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）如图1，直线，垂足为O，直线l分别与射线、相交于点A、B，且，，连接． (1)求线段的长； (2)若点C为直线l上的一个动点，求点O到点C的距离的最小值； (3)如图2，将沿直线l折叠，点O落在点D处，，垂足为点E，求的长； (4)若点F为直线或上的一个动点，使得以A、B、F为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的所有点F的个数为______个． 【答案】(1) (2)点O到点C的距离的最小值为 (3) (4)8 【分析】（1）根据勾股定理直接求解即可； （2）过点O作于点C，此时最小，根据等积法求出即可； （3）连接，交于点C，根据对称性求出：，，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得到x的值，最后根据勾股定理求出结果即可； （4）分类进行讨论得出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴． （2）解：过点O作于点C，此时最小，如图所示： ∵， ∴， 即点O到点C的距离的最小值为． （3）解：连接，交于点C，如图所示： ∵点O与点D关于对称， ∴垂直平分， 即，， ∴， ∴， 根据折叠可知，， 设，则， 在中，， 在中， ∴， 解得：， ∴． （4）解：当，点F在上时，如图所示： 当，点F在上时，如图所示： 当，点F在上时，如图所示： 当，点F在上时，如图所示： 当，点F在上时，如图所示： 当，点F在上时，如图所示： 综上分析可知，满足条件的所有点F的个数为8个． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的定义，轴对称的性质，解题的关键是注意进行分类讨论． 6．（22-23八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图①，在长方形ABCD中，已知AB=13，AD=5，动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿线段DC向终点C运动，运动时间为t秒，连接AP，把△ADP沿着AP翻折得到△AEP．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） (1)如图②，射线PE恰好经过点B，求出此时t的值； (2)当射线PE与边AB交于点F时，是否存在这样的t的值，使得FE=FB？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由； (3)在动点P从点D到点C的整个运动过程中，若点E到直线AB的距离等于3，则此时t=___________． 【答案】(1)1 (2)或13 (3)或10 【分析】（1）由长方形性质得知，，，，再证，则，然后由勾股定理得，则，由此得出结论． （2）分两种情况：E在矩形内部和外部两种情况，分别根据等量关系列出方程即可解答． （3）分两种情况：E在AB上方和下方两种情况，由折叠性质与勾股定理即可解答． 【详解】（1） 四边形ABCD是长方形， ，，，， ， 由翻折性质可知：， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ． （2）存在，分两种情况： 如图③，当点E在长方形内部时： 作于G，设，则 由翻折可知，， 在中，由勾股定理可得：，即 ， 解得：，即， 在与 中： ，解得：． 如图④，当点P运动至与点C重合时，在与中： ， ． 综上，当或时，有． （3）过点E作交AB于点M，交CD于点N． 如图⑤，点E在长方形内部： 则， 在中，由勾股定理得： 在中，由勾股定理得： ，即 解得： 如图⑥，点E在长方形外部：则， 在中，由勾股定理得： 在中，由勾股定理得： ，即 解得： 综上，若点E到直线AB的距离等于3，或． 【点睛】本题是几何综合题目，考查了轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，综合性强，熟练掌握轴对称的性质及勾股定理，进行分类讨论解题是本题的解题关键． 7．（21-22八年级上·江苏扬州·期中）在长方形ABCD中，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8． （1）P为BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）． ①如图1，当点E落在边CD上时，直接写出此时DE＝_______． ②如图2，PE与CD相交于点F，AE与CD相交于点G，且FC＝FE，求BP的长． （2）如图3，已知点Q为射线BA上的一个动点，将△BCQ沿CQ翻折，点B恰好落在直线DQ上的点B′处，求BQ的长． 【答案】（1）6；（2）；（3）BQ的长为4或16 【分析】（1）①由翻折的性质和勾股定理求出DE＝6即可；②由翻折得：BP＝EP，AE＝AB＝10，设BP＝EP＝x，则PC＝8−x，再证△GEF≌△PCF（ASA），得GF＝PF，GE＝PC＝8−x，则GC＝EP＝x，DG＝CD−GC＝10−x，AG＝AE−GE＝x＋2，然后在Rt△ADG中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）分两种情况：①点Q在线段AB上时，证QD＝CD＝10，再由勾股定理得DB'＝6，则BQ＝B'Q＝QD−DB'＝4；②点Q在BA延长线上时，由勾股定理得DB'＝6，设BQ＝B'Q＝x，则DQ＝x−6，AQ＝x−10，然后在Rt△ADQ中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）①如图1 由作图得：AE＝AB＝10， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE＝， 故答案为：6； ②如图2，由翻折的性质得：BP＝EP，AE＝AB＝10，∠E＝∠B＝90°， ∴∠E＝∠C， 设BP＝EP＝x，则PC＝8﹣x， ∵∠EFG＝∠CFP，FE＝FC， ∴△GEF≌△PCF（ASA）， ∴GF＝PF，GE＝PC＝8﹣x， ∴GC＝EP＝x， ∴DG＝CD﹣GC＝10﹣x，AG＝AE﹣GE＝10﹣（8﹣x）＝x+2， 在Rt△ADG中，由勾股定理得：82+（10﹣x）2＝（x+2）2， 解得：x＝， 即BP＝． （2）分两种情况： ①点Q在线段AB上时，如图3所示： 由翻折的性质得：∠CQB＝∠CQB'，B'C＝BC＝8，BQ＝B'Q，∠CB'Q＝∠B＝90°， ∴∠CB'D＝90°， ∵四边形ABCD是长方形， ∴CDAB， ∴∠DCQ＝∠CQB， ∴∠DCQ＝∠CQD， ∴QD＝CD＝10， ∴DB'＝＝6， ∴BQ＝B'Q＝QD﹣DB'＝10﹣6＝4； ②点Q在BA延长线上时，如图4所示： 由翻折的性质得：BQ＝B'Q，B'C＝BC＝8，∠B'＝∠B＝90°， ∴DB'＝＝6， 设BQ＝B'Q＝x，则DQ＝x﹣6，AQ＝x﹣10， ∵∠BAD＝90°， ∴∠DAQ＝90°， 在Rt△ADQ中，由勾股定理得：82+（x﹣10）2＝（x﹣6）2， 解得：x＝16， 即BQ＝16； 综上所述，BQ的长为4或16． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定和性质、翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键，属于中考常考题型． 8．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）探究与应用 [问题初探]（1）如图1，是的中线，则线段会有何种数量关系呢？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点作于点， 在中，，．① 在中，．② 由①+②得：． ， 又在中，______， …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是______． [简单应用]（2）如图（2），在中，是中线，，，，求的长． [灵活应用]（3）在中，，点D是上一点，且，连接，过点D作，则_______． [深度思考]（4）已知线段，点D在线段上，，点A是平面内任意一点，且满足，则的最大值为______． 【答案】（1）见解析，；（2）；（3）8；（4） 【分析】（1）根据三线合一、勾股定理和线段的和差关系，进行求解即可； （2）根据（1）中结论求出，再通过三角形的中线得到求解即可； （3）取的中点，连接，由（1）可知，，在直角三角形中，，在中，对三个式子进行化简计算即可； （4）取中点，连接，由（1）可知，求出，再通过三边关系即可求解． 【详解】解：（1）在中，，．① 在中，．② 由得：． ， 又在中，， ； （2）由（1）可知，， ∵，，， ∴， ∴（负值已舍）， ∵在中，是中线， ∴； （3）∵， ∴， 取的中点，连接， ∴，， ∵， ∴， 由（1）可知，，设， ∴， 又∵在直角三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）取中点，连接， ∵， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴（负值已舍）， ∵， ∴， ∴，当三点在同一直线时等号成立， ∴的最大值为． 9．（21-22八年级下·江西上饶·期末）定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”． (1)特例感知：如图1，四边形ABCD是“垂美四边形”，如果，，，则______，______． (2)猜想论证：如图1，如果四边形ABCD是“垂美四边形”，猜想它的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系并给予证明． (3)拓展应用：如图2，分别以的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知，，求GE长． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用含角的直角三角形的性质得，，再利用勾股定理即可得出答案； （2）由“垂美四边形”得，再根据勾股定理得； （3）连接，，首先利用证明，得，说明，从而得出，进而解决问题． 【详解】（1）解：，， ， 四边形是“垂美四边形”， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：，； （2）结论：， 证明：∵于点O， ∴， ∴. 同理可得，， ∴ （3）解：如图：连接CG、BE， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形GCBE为垂美四边形， 由（2）中结论可知， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 根据线段为正数可知 【点睛】本题是一道新定义题，主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，正方形的性质等知识，利用（2）中结论是解决问题（3）的关键． 10．（21-22八年级下·广东深圳·期末）（1）如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．易求∠DCE＝ °； （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．CE＝10，BC＝6，求AE的长． 【答案】（1）120°；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）利用等式的性质判断出∠BAD=∠CAE，进而得出△ABD≌△ACE，即可得出答案； （2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，进而得出BD=CE，∠BCE=90°，即可得出结论； （3）同（2）的方法，即可得出结论． 【详解】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠B=∠ACB=∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B=∠ACE=60°， ∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°， 故答案为：120； （2）DE2=CD2+BD2；理由如下： 在Rt△ABC中，AB=AC， ∴∠B=∠ACB=45°， ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAD=∠CAE， ∵AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， 根据勾股定理得，DE2=CD2+CE2=CD2+BD2； （3）∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD与△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABC＝∠ACE＝45°，BD＝CE， ∴∠ABC+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°， ∴∠BCE＝∠ECD＝90° ∵BC＝6，CE＝10， ∴BD＝CE＝10， ∴CD＝BD﹣BC=10﹣6＝4， ∴Rt△DCE中，DE＝ ∵△ADE是等腰直角三角形， ∴AE＝ 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△ABD≌△ACE是解本题的关键． 11．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）综合与实践 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． (1)把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．用含、、的式子分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为________，经化简，可得到勾股定理． (2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； (3)在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离． (4)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)千米 (4) 【分析】（1）根据可得四边形为直角梯形，则，根据，可得，则，由，可得，，进而可得，再根据可得，据此即可得出答案； （2）连接，过点作于点，根据，可得四边形是矩形，进而可得千米，千米，于是可得千米，然后利用勾股定理即可求得、两个村庄之间的距离； （3）由题意可知，点在的垂直平分线上，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求；设千米，则千米，在和中，分别利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可求出的距离； （4）根据轴对称—最短路线的求法即可求出：先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则就是代数式的最小值；然后利用轴对称的性质、矩形的判定与性质及勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：依题意得：，，，， ， ， 四边形为直角梯形， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理，得：， 故答案为：； （2）解：如图，连接，过点作于点， ，， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （3）解：由题意可知，点在的垂直平分线上， 如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：， 即：千米； （4）解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 【点睛】本题是四边形—三角形综合题，主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用（包括：选址使到两地距离相等、求最短路径等），轴对称—最短路线问题，线段的垂直平分线，矩形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，这是解本题的关键，而构造出直角三角形则是解本题的难点． 12．（21-22八年级上·山东青岛·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】把两个全等的直角三角形△ABC和△DAE如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，四边形AECD，△EBC的面积： S梯形ABCD＝ 　 　， S△EBC＝ 　 　， S四边形AECD＝ 　 　， 再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 　 　，化简后，可得到勾股定理． 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为 　 　米． 【知识迁移】 借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式的最小值＝ 　 　． 【答案】（小试牛刀），，，；（知识运用）米；（知识迁移） 【分析】（小试牛刀）根据梯形、三角形的面积公式求解即可，四边形面积为和的面积和，求解即可； （知识运用）作点关于的对称点，连接，则，由三角形三边关系可得当三点共线时，距离最小； （知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则，由上可得当三点共线时，距离最小． 【详解】解：（小试牛刀） 由图形可得 化简可得 故答案为：，，，； （知识运用）作点关于的对称点，连接，如下图： 由题意可得： ，则的最小值，即为的最小值 由三角形三边关系可得：，当三点共线时 ∴的最小值为，米 故答案为米； （知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则， 由上可得当三点共线时，距离最小，最小为， 故答案为 【点睛】此题考查了勾股定理的证明以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 13．（20-21八年级上·江苏无锡·期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称　 　，　 　． （2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB． （3）如图（2），以边AB作如图正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，连接DE、DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形． 【答案】（1）直角梯形，长方形；（2）图见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）利用含有直角的四边形找出特殊四边形中是勾股四边形的两种图形即可； （2）利用勾股定理计算画出即可； （3）首先证明△ABC≌△BDC，得出AC＝DE，BC＝BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解． 【详解】解：（1）填直角梯形，长方形； （2）如图， （3）证明：∵△ABD为等边三角形， ∴AB＝AD，∠ABD＝60°， ∵∠CBE＝60°， ∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC， 即∠ABC＝∠DBE， 又∵BE＝BC， ∴△ABC≌△DBE， ∴BE＝BC，AC＝ED； 连接EC，连接AC．则△BCE为等边三角形， ∴BC＝CE，∠BCE＝60°， ∵∠DCB＝30°， ∴∠DCE＝90°， 在Rt△DCE中， DC2+CE2＝DE2， ∴DC2+BC2＝AC2． 【点睛】此题主要考查勾股定理，三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，是一道综合性很强的题目． 14．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1) (2)海港C受台风影响， 理由如下：过点C作， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，， 海港C受台风影响； (3)海港C受台风影响的时间会持续． 【分析】（1）依据勾股定理求解即可； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：， ， ，， ； （2）略 （3）解：如图，当，时，正好影响C港口， ，， ， 台风的速度为， ， 答：海港C受台风影响的时间会持续． 15．（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； (3)若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？ 【答案】(1)监测点A与监测点B之间的距离为 (2)海港C会受到此次台风的影响，见解析 (3)台风影响该海港持续的时间为 【分析】（1）利用勾股定理进行求解； （2）利用等面积法求出的长度，然后进行比较即可； （3）以C为圆心，长为半径画弧，交于D，F，根据勾股定理求出的长，得出，最后根据速度即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：中，， ∴根据勾股定理得， 答：监测点A与监测点B之间的距离为； （2）解：海港C受台风影响， 理由：中，， ， ， ， 海港C会受到此次台风的影响； （3）解：如图，以C为圆心，长为半径画弧，交于D，F， 则． 在中，， ， 台风的速度为， ． 答：台风影响该海港持续的时间为． 16．（25-26八年级下·北京·期中）如图，某中学门口有一条东西方向的公路，在中学门口有两条长度均为米的通道，通往公路旁的两个公交站，，且的距离是米．为了行车安全，在公路旁的点和点设置区间测速装置，其中点在点的东侧，且，公路限速千米/小时（约米/秒）．一辆汽车经过区间用时秒，试判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据，，） 【答案】该车没有超速．理由见解析 【分析】过点作交于点，根据三线合一可求出的长，然后在中，利用勾股定理可求出的长，再在中，根据含角直角三角形的性质结合勾股定理可求得的长，从而可得的长，然后计算出速度判断即可． 【详解】解：该车没有超速．理由如下： 如图，过点作交于点， 由题意可得，米，米， 米， 在中，（米）， 在中，， （米）， （米）， 米， 汽车经过区间用时秒， 该车的速度为（米/秒）， ， 该车没有超速． 17．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【答案】(1)米 (2)大巴车超速了 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握勾股定理是关键． （1）由勾股定理求出线段长度即可得到答案； （2）先计算出大巴车的速度，将速度化为，与高速公路限速比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，在中，，，，则由勾股定理可得， 的距离为米； （2）解：大巴车的速度为， 则， ， 大巴车超速了． 18．（2026·江苏淮安·模拟预测）阅读下列材料，并解决后面的问题． ★阅读材料： 我国是历史上较早发现并运用“勾股定理”的国家之一．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，“勾股定理”因此而得名． 勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．请运用“勾股定理”解决以下问题： (1)如图一，分别以直角三角形的边为边长作正方形，其中，，则______． (2)如图二，是一个圆柱形饮料罐，底面半径，高，顶面正中有一个小圆孔，则一条直达底部的直吸管的最大长度是_____．注：罐壁厚度和顶部圆孔直径忽略不计． (3)如图三，所示的直角三角形中，，则的值________．注值取3． (4)如图四的圆柱，高厘米，底面半径厘米，在圆柱底面A点有一只蚂蚁，它想吃到与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？小聪是这样思考的： ①将该圆柱的侧面展开后得到一个长方形，如图五所示（A点的位置已经给出），请在图中标出B点的位置并连接． ②小聪认为线段的长度是蚂蚁爬行的最短路程，那么蚂蚁爬行的最短路程是____厘米．注：值取3． (5)如图六，在长方形的底面A点有一只蚂蚁，想吃到上底面与A点相对的B点处的食物，它沿长方形表面爬行的最短路程是____厘米． 【答案】(1)625 (2)17 (3) (4)① ②13 (5)15 【分析】（1）利用勾股定理易得，根据已知数据代入求解； （2）直吸管的最大长度可根据勾股定理解答； （3）根据半圆面积公式结合勾股定理，知等于以斜边为直径的半圆面积； （4）①圆柱的平面展开图上面长的中点即为点，连接；②利用勾股定理可求出的长，即可求出蚂蚁沿侧面爬行时最短的路程； （5）把立体图形展成平面图形求解即可． 【详解】（1）解：由正方形面积公式以及勾股定理得， ，， ； （2）解：直吸管的最大长度底面直径、高为直角边的斜边， 根据勾股定理： 一条直达底部的直吸管的最大长度是17． （3）解：设直角边为，斜边 （4）解：①略 ②圆柱高，底面半径， 底面半圆弧长： 根据勾股定理： ． （5）解：分两种展开算最短： 若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为； 若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为． 蚂蚁经过的最短路程是15厘米． 19．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）综合与实践 【项目主题】 几何模型在最短路径问题中的应用 【项目准备】 求代数式的最小值，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，，．原问题就变成“点E在线段的何处时，的值最小？” 解决方法：如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为_____①_____，将延长至点F，使得_____②_____（填线段），连接，则，，易求得_____③_____，即的最小值为的长． (1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①__________；②__________；③__________． 【项目应用】 (2)如图3，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A，B之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到B的路程最短，求出这个最短路程的长． 【答案】(1)①两点之间，线段最短；②；③13 (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理，能够掌握最短路径的解题思路是解题的关键． （1）根据题意填空即可； （2）连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，当点A，P，共线时，有最小值，最小值为，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为①两点之间，线段最短，将延长至点F，使得②，连接，则，，易求得③，即的最小值为的长． （2）解：如图，连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，连接，则，， 当点A，P，共线时，有最小值，最小值为， 过点A作交其延长线于点E， 到的垂直距离为，，， ， ， 从A到B的最短路程是． 20．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和很容易让人联想到利用勾股定理求直角三角形第三边的情形，可以用“”表示直角边分别是x、3的直角三角形的斜边的长，用“”表示直角边分别是、2的直角三角形的斜边的长，基于以上联想，我们构造两个这样的直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时,，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”     (1)根据：两点之间__________，得到：线段AD就是的最小值，如图3连接AD，延长至，使，连接，可证：四边形是矩形，__________，__________，在中，由勾股定理可求得的长，的最小值是__________． 【模型应用】 (2)代数式的最小值是__________． 【模型拓展】 (3)根据以上学习，结合备用图解决问题：已知正数满足，求的值． 【答案】(1)线段最短，5，12，13 (2) (3) 【分析】（1）根据"两点之间线段最短"，当 、、三点共线时，最小，即线段 就是最小值．延长 至 ，使 ，连接 ，可证四边形 是矩形，从而得 ，，最后在 中由勾股定理求 ． （2）将 理解为直角边为 和 的直角三角形斜边，将 理解为直角边为 和 的直角三角形斜边，仿照例题方法构造图形求最小值． （3）将 和 理解为已知斜边、一条直角边为 时，另一条直角边的长，结合备用图构造图形，转化为折线最短路径问题求解． 【详解】（1）解：根据：两点之间线段最短，得到：线段 就是 的最小值． 延长 至 ，使 ，连接 ． ，， 四边形 是平行四边形． , 四边形 是矩形． ，． 在 中，由勾股定理： ， ​ 的最小值是 ． （2）解：原式理解为：中，，；中，，； 如图，构造两个直角三角形，令两直角三角形的水平边 和 在同一直线上，平移使 、重合，则总水平长度为 ，竖直高， ． 延长到，构造矩形，竖直总高 ，水平总长 ， ， 的最小值是 ． （3）解：如图，令 ，，，则： ​，． ． 设 ，，则 ， 由勾股定理，得，两式相减： ，即 ， ， ， 解得：，． 代入 ： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $