2025-2026学年人教版八年级下册数学综合大题专项训练

**基本信息** 聚焦八年级下册数学非选择题，以“方法提炼-知识整合-素养落地”为主线，通过40道解答题系统覆盖几何综合、代数应用等核心模块，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何综合|16题（如5、12、16题）|截长补短、折叠变换、构造全等三角形|从三角形性质到四边形综合，构建“性质-判定-应用”逻辑链| |代数应用|10题（如4、10、28题）|分组分解法、函数建模、两点距离公式|从因式分解到函数图像，形成“概念-运算-建模”递进关系| |实际问题|8题（如1、9、25题）|优化思想、方程思想、统计分析|结合生活情境，体现“抽象-建模-求解”应用路径| |统计与概率|6题（如35、36、37题）|数据处理、图表分析|从数据收集到统计推断，培养数据意识与应用能力|

22025-2026学年八年级下册数学（人教版） 非选择题专项训练答案及其解析 1.(1)S底=4R'y(2)排列为4列4行时，包装纸箱用料最省(3)x=y=n 【分析】(1)根据圆柱体底面直径求出包装纸箱的底面的长和宽，进而根据面积公式计算即 可； (2)根据题意求出长方体表面积=8R(16+x+y),可知要让长方体表面积最小，只需x+y Vr- 4 ）3 最小即可，根据完全平方公式得到x+y= 8，可知当-在0时，+y有最 小值8，求出x的值即可； (3)根据（2)的结论n=16=42,x=y=4=Vn,因此猜想：包装纸箱的用料最省时， x=y=/n. 【详解】(1)解：圆柱体的底面圆半径记为R, ∴圆柱体底面直径为2R, x列并排的总长度为2R,y行并排的总宽度为2Ry, .S底=2Rx·2Ry=4Ry; (2)解：由题意可知n=y=16, 长方体表面积=2(2Rx×2Ry+2Rx×2R+2Ry×2R) =2(4Rxy+4Rx+4Ry) =8R2(xy+x+y) =8R2(16+x+y) 可知要让长方体表面积最小，只需x+y最小即可， y=16, 16 .y= ..x+y 答案第1页，共79页 =x+16 { 网去2*2x 4 +8, 可知当-=0时，+y有最小值8 0得r=4, 由众、4 经检验，x=4是原分式方程的解， 可知y=16-4, 因此排列为4列4行时，包装纸箱用料最省； (3)解：根据(2)的结论可知n=16=42,x=y=4=Vn, 则包装纸箱的用料最省时，x=y=Vn 2.0)35,3298 2 【详解】1)解：0-(+1=2,8=(8是R△440的面积， 2 0戏-+1=8=是（公是R△440的面。 oE-小阿可+1-38-5（是△40的面现： 以此类推可得04=（同+1=3,8= 2 ∴8，=④压35 22 36<45<49, ∴6<√45<7， 3<8,=4压35 935, [Sas]=3; 答案第2页，共79页 (2)解：4=2，N16=4v36=6v64=8,V100=10, 4-1,6-2,56=3,64-4,1o=5, 2 2 2 2 当1≤n<4时，[S]=0, 当4≤n<16时，[8]=1， 当16≤n<36时，[Sn]=2, 当36≤n<64时，[Sn]=3, 当64≤n<100时，[Sn]=4, [S]+[S,]++[Sg]=0x3+1x12+2×20+3×28+4×36=280, [S]+[s,]++[S]<280,且[sn]≥0， ∴n<99,且n为正整数 n的最大值为98， 3.(1)a=-3,b=-4,c=-5(2)存在点P, (3)(-1,4)或(-7，-4)或(3,1)或(-3，-7) 【分析】(1)由非负数的性质得a+3=0,b+4=0,c+5=0,即可得出结论： (2)过点C作CE⊥y轴于点E,求出OA=3,OB=4,CE=3,OE=5,再由面积法求出 SABC= 7,然后由三角形面积关系得出方程，解方程即可 (3)分两种情况，①∠ABP=90°，AB=PB时，过点P作PF⊥x轴于点F,证 △BFP≌△AOB(AAS),得BF=AO=3,PF=BO=4,当点P在第二象限时，OF=1,点P 的坐标为(-1,4)；当点P在第三象限时，OF=7,点P的坐标为(-7，-4)； ②∠BAP=90°，AB=PA时，过点P作PG⊥x轴于点G,同①得△PGA≌△AOB(AAS), 则PG=AO=3,AG=B0=4,当点P在第一象限时，OG=1,点P的坐标为(3,1)；当点P 在第三象限时，OG=7,点P的坐标为(-3，-7). 【详解】(1)解：(a+3)+Vb+4+c+5=0, a+3=0,b+4=0,c+5=0, a=-3,b=-4,c=-5; 答案第3页，共79页 (2)解：存在点P,使△AOP的面积与△ABC的面积相等，理由如下： 如图1，过点C作CE⊥y轴于点E,则CE∥x轴， B ---uE 图1 由(1)可知，a=-3,b=-4,c=-5, A(0,-3),B(-4,0),C(-3,-5), OA=3,OB=4,CE=3,OE=5, AE=OE-OA=5-3=2, n8o=85ag-8kmS4wx(3+4到x5-22×3X3x4=7， 2 △AOP的面积=△ABC的面积， 号 1 解得：m=±1 P在第二象限， 点P的坐标为 (3)解：分两种情况： ①∠ABP=90°，AB=PB时，如图2，过点P作PF⊥x轴于点F, B 图2 则∠PFB=90°=∠BOA, .∠BPF+∠PBF=90°， 答案第4页，共79页 ∠AB0+∠8F=90°， ∠B开=∠ABO, 又BP=AB, △BFP≌△AOB(AAS), ..BF=AO=3,PF=BO=4, 当点P在第二象限时，OF=OB-BF=4-3=1, “点P的坐标为(-1,4)； 当点P在第三象限时，OF=OB+BF=4+3=7, “点P的坐标为(-7，-4)； ②∠BAP=90°，AB=PA时，如图3，过点P作PG⊥x轴于点G, B G P -(G) 图3 则∠PGA=90°=∠BOA, 同①得：△PGA≌△AOB(AAS), ...PG=AO=3,AG=BO=4, 当点P在第一象限时，OG=AG-OA=4-3=1, 点P的坐标为(3,1)； 当点P在第三象限时，OG=AG+OA=4+3=7, ∴点P的坐标为(-3，-7)； 综上所述，“小K点”的坐标为(-1,4)或(-7，-4)或(3,1)或(-3，-7) 4.(1)(x-2y)(x+2y-2)(2)①±V15;②b=-3a,c=2a 【分析】本题考查了分解因式的应用和平方根解方程，准确的计算是解决本题的关键 (1)根据题意运用平方差公式法和提公因式法进行分解因式即可； 答案第5页，共79页 (2)①将c2+ac=10k减去a2+ac=5k可得(c-a)(c+a)=5k,再根据k=1≠0可得c=2a, 再将其代a2+ac=5中进行求解即可； ②将a2+ac=5k减去b+bc=5k可得(a-b)(a+b+c)=0,根据a≠b可得b=-a-c,将 a2+ac=5k代入c2+ac=2×5k可求出c=2a,进而即可求解. 【详解】(1)解：由题意得，x2-4y2-2x+4y =(x2-4y2）-(2x-4y) =(x-2y)(x+2y)-2(x-2y) =(x-2y)(x+2y-2); (2)解：①由题意得，c2+ac-(a+ac)=10k-5k c2+ac-a-ac=5k c2-a2=5k (c-a)(c+a)=5k, .a2+ac=5k, .aa+c）=5k, :(c-a)(c+a)=a(a+c) k=1≠0， .a+c≠0， ..c-a=a 解得c=2a, 将c=2a代入a2+ac=5中， 得a2+a2a=5 3a2=5 解得a=± 3 ..a+c =a+2a 答案第6页，共79页 =3a =±V15; ②由题意得，(a2+ac)-(b2+bc)=5k-5k a2+ac-b2-bc=0 a2-b2+c(a-b)=0 (a-b)(a+b+c)=0, a≠b, :.a+b+c=0 解得b=-a-c, 'c2+ac=2x5k,a2+ac=5k, ..c2+ac=2(a"+ac) c2+ac=2a2+2ac c2-ac-2a2=0 (c-2a)(c+a=0 k≠0， .c+a≠0， .c=2a. 将c=2a代入b=-a-c中， 得b=-a-2a=-3a. b=-3a,c=2a. 5.(1)BD=AD+CD(2)AB=AD+AE,理由见解析(3)∠ADC=360°-2∠EDF, 9=9+95 2 【分析】(I)延长AD到点E,使DE=CD,连接CE,可得△CDE是等边三角形，得 CD=CE,∠DCE=∠E=60°，证明△BCD≌△ACE(SAS),得BD=AE,即得 BD=AD+CD; (2)在BC上取点F,使CF=CD,连接DF,证明△CDF是等边三角形，得 CD=CF=DF,∠CDF=∠CFD=∠C=6O°，证明AD=BF,∠BFD=∠DAE,∠E=∠BDF, 答案第7页，共79页 得△ADE≌△FBD(AAS),AE=DF,可得AB=AD+AE; (3)在FA延长线上取一点G,使得AG=CE,连接DG,证明△DAG≌aDCE(SAS),得 DE=DG,∠ADG=∠CDE,可得△DEF≌△DGF(SSS),得∠EDF=∠GDF,根据 ∠EDG=∠ADC,即得∠ADC=360°-2∠EDF.当∠ABC=∠DEF=30°时，连接BD,过点D 作DH⊥EF于点H,DI⊥BF于点I,DJ⊥BE于点J,证明△DAI≌△DCJ(AAS),得 DI=DJ,得BD平分∠EBF,根据FD平分∠BFE,得点D在∠BEF的平分线上，得 ∠BEF=2∠DEF=60°，∠BFE=90,可得DH=DF,DH=DE=3, EH=vED-DH=3N5,得EF=FH+EH=3+3N5,即得Sm=FDH-9+95 2 【详解】解：(I)如图，延长AD到点E,使DE=CD,连接CE, △ABC是等边三角形， AB=BC,∠ACB=60°， ∠ADC=120°， ∠EDC=180°-∠ADC=60°， “ACDE是等边三角形， :.CD=CE,∠DCE=∠E=60°， ∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD, 即∠BCD=∠ACE, ·.△BCD≌△ACE(SAS), :.BD=AE, AE=AD+DE, :.BD=AD+CD. 故答案为：BD=AD+CD, (2)AB=AD+AE,理由： 如图，在BC上取点F,使CF=CD,连接DF, 答案第8页，共79页 ~△ABC为等边三角形， AB=BC=AC,∠BAC=∠ABC=∠C=60°， “△CDF是等边三角形， :CD=CF=DF,∠CDF=∠CFD=∠C=60°， AD=BF,∠BFD=120°， AE∥BC, .∠BAE=∠ABC=60°， ∠DAE=∠BAC+∠BAE=120°， ∴.∠BFD=∠DAE, ∠BDE=60°. ∠BDF+∠ADE=180°-∠BDE-∠CDF=60°， :∠E+∠ADE=180°-∠DAE=60°， .∠E=∠BDF, ·.△ADE≌△FBD(AAS), ∴.AE=DF, AC=AD+CD, ∴.AB=AD+AE, E (3)∠ADC=360°-2∠EDF,证明： 如图，在FA延长线上取一点G,使AG=CE,连接DG, ∠BAD+∠BCD=180°，∠BCD+∠DCE=180°， ∠BAD=∠DCE, 又：AD=CD, △DAG≌△DCE(SAS), DE=DG,∠ADG=∠CDE, EF=AF +CE=AF+AG=GF,DF=DF, 答案第9页，共79页 ·.△DEF≌△DGF(SSS), ∠EDF=∠GDF, '∠EDF+∠GDF+∠EDG=360°， 2∠EDF+∠EDG=360°， '∠EDG=∠CDE+∠CDG=∠ADG+∠CDG=∠ADC, .2∠EDF+∠ADC=360°， .∴.∠ADC=360°-2∠EDF G C 连接BD,过点D作DH⊥EF于点H,DI⊥BF于点I,DJ⊥BE于点J, 则∠AID=∠CJD=90°， ∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD+∠DI=180°， ∠DAI=∠BCD, 又AD=CD, ·△DAI≌△DCJ(AAS), ..DI=DJ, :BD平分∠EBF, ∠BFD=∠EFD, “FD平分∠BFE, ∴点D在∠BEF的平分线上， ∠BED=∠FED, 当∠ABC=∠DEF=30°时，∠BEF=2∠DEF=60°， ∠BFE=90°， A∠DFH=1∠BFE=45°， '∠DHF=∠DHE=90°， .∠FDH=45°， ..DH =DF, 答案第10页，共79页 ED=6, DH =DE=3. .FH =3,EH=VED2-DH2=33, ∴EF=FH+EH=3+3v5, .S.DEF r-Dn-B+33-9+95 2 【点睛】本题考查了线段的截长补短综合运用，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三 角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，含30度的直 角三角形性质，勾股定理，是解题的关键 6.(1)解：如图所示CD即为所求； B ① (②)解：如图所示BE即为所求； B L- ② (3)解：如图所示，点F即为所求； 答案第11页，共79页 ③ 【分析】(I)取格点D,连接CD,由AD=BD可知，点D为边AB的中中点，连接CD, 即为所求； (2)取格点E,由勾股定理可得AE2=1P+12=2,AB2=2+42=20,BE2=32+32=18, 易知AE2+BB2=AB2,可知∠AEB=90°，即BE⊥AC; (3)取格点M,N,由勾股定理可得AN=VP+22=V5,BN=V1?+22=√5，N为AB中 点，M=V32+4=5,BM=5,根据垂直平分线的判定定理得，MN上AB,即MN垂直 平分AB,MN交BC与点F,由垂直平分线的性质得AF=BF. 【详解】(1)略(2)略(3)略 7.(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】(1)根据二次根式和绝对值的非负性，求得m=6,=8,再根据勾股定理的逆定 理证明即可； (2)连接CF,根据轴对称的性质可得DC=DF,DE⊥CF,然后根据等腰三角形的性质 和三角形内角和得∠AFC=90°，证明DE∥AB,即可证明结论， 【详解】(1)证明：：Vm-6+n-8=0, .∴.m=6,n=8, .BC=6,AC=8, AB=10, .∴.BC2+AC2=62+82=100=AB2, ∠C=90°， 即△ABC是直角三角形； (2)证明：连接C℉， 答案第12页，共79页 B :△DCE沿直线DE折叠得到△DFE, D .DC=DF,DE⊥CF, .∠DFC=∠DCF, :D为AC的中点， ∴CD=AD, ..DF=AD, .∠DFA=∠A, :∠DCF+∠DFC+∠DFA+∠A=180°， .2∠DFC+2∠DFA=180°， .∴.∠DFC+∠DFA=90°， 即∠AFC=90°， .CF⊥AB, .DE∥AB, :.∠BFE=∠DEF 8.(1)小凳子顶点A与墙面OC的距离为60cm (2)小凳子宽AB的长度为60cm,木杆BC的长度为130cm 【分析】(1)过A作AM垂直于墙面，垂足为点M,则∠AMO=90°，勾股定理即可求 解。 (2)延长BA交墙面于点N,则∠BWC=90°，设AB=xcm,根据勾股定理建立方程，解方 程，即可求解. 【详解】(1)解：如图①，过A作AM垂直于墙面，垂足为点M,则∠AMO=90°， C Mh-- D 图① 由题意可知，OM=80cm,OA=100cm, 答案第13页，共79页 由勾股定理得：AM=VOA2-OM2=V1002-802=60(cm, 答：小凳子顶点A与墙面OC的距离为60cm; (2)如图②，延长BA交墙面于点N,则∠BNC=90°， D 图② AB=xcm,CB=(x+70)cm,BN =(x+60)cm,CN=OC-ON =130-80=50(cm), 在RteBCN中，由勾股定理得：BNP+CN2=BC, 即(+60)2+502=(x+70)2, 解得：x=60, .∴.AB=60cm,BC=60+70=130(cm), 答：小凳子宽AB的长度为60cm,木杆BC的长度为130cm. 9.是安全的 【分析】根据勾股定理可得AC=18米，然后问题可求解 【详解】解：∠ACB=90°，BC=24,AB=30, 由勾股定理得：AC=VAB2-BC2=V30-242=18米， 根据题意可得CD=1.7米， AD=AC+CD=18+1.7=19.7<20, “此时风筝的高度是安全的. 10.(1)5(2)v41(3)V10 【分析】(1)直接利用两点之间距离公式，将A1,-2),B(-2,2)代入公式，直接求出即可； (2)作点B关于x轴的对称点B连接AB,直线AB'与x轴的交点即为所求的点P,PA+PB 的最小值即为线段AB的长度，根据两点间的距离公式，进而求出PA+PB的最小值； (3)根据原式表示的几何意义是点(x,y)到点(0,2)和(3,1)的距离之和，当点(x,y)在以(0,2) 和(3,1)为端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可， 【详解】(1)解：A(1,-2),B(-2,2), 答案第14页，共79页 AB=1-(-2)订+(-2-2)°=5； (2)解：作点B关于x轴对称的点B,连接AB,直线AB与x轴的交点即为所求的点P, PA+PB的最小值就是线段AB'的长度， 点B(4,1)与点B关于x轴对称， ∴点B的坐标为(4，-1)， A(-1,3), AB=V-1-4)+[3-(-1)]=④， PA+PB的最小值为V4I; (3)解：代数式Vx2+y-2)+x-3)°+y-1)°，表示点(xy)到点(0,2)和(3,1)的距离 之和， 由两点之间线段最短，可知点(x,y)在以(0,2)和(3,1)为端点的线段上时，其距离之和最小， (0-3)°+(2-1)2=V9+1=V10, 代数式vx2+(y-2)+x-3)2+(y-1)的最小值为0. 11,(1)猜想：BD=CE,理由如下： .'∠BAE=∠CAD, .∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC, 即∠EAC=∠BAD, 在△EAC和△BAD中， AE=AB ∠EAC=∠BAD, AC=AD ·△EAC≌△BAD(SAS), ∴BD=CE; (2)9 (3)20 【分析】(1)先说明∠EAC=∠BAD,再根据“边角边”证明△EAC≌△BAD,可得答案； (2)根据等腰直角三角形的性质说明∠EAC=∠BAD,再根据边角边”证明△EAC≌△BAD, 答案第15页，共79页 可得BD=CE,然后根据勾股定理求出BE=VAE?+AB?=6√5，接下来说明△EBC是直角 三角形，最后根据勾股定理得出答案； (3)连接BD,可得△BCD是等边三角形，再把△ACD绕点D顺时针旋转60°得到△EBD, 连接AE,则BE=AC=25,△ADE是等边三角形，然后说明∠BAE=90°，最后根据勾股定理 求出AE=20,则此题可解， 【详解】(1)略 (2)解：等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACD中，∠EAB=∠CAD=90°， ·∠ABE=∠AEB=∠ACD=∠ADC=45,AE=AB,AC=AD. '∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC, ·∠EAC=∠BAD, 在△EAC和△BAD中， (AE=AB ∠EAC=∠BAD, AC=AD ·△EAC≌△BAD(SAS), ..BD=CE. .AE=AB=6, ∴BE=VAE2+AB2=6√5. .∠EBC=∠ABE+∠ABC=45°+45°=90°， “△EBC是直角三角形， ∴CE=VBC2+BE2=32+(6√2)2=9， BD=9; (3)解：如图3，连接BD, A B D E 图3 CD=BC,∠BCD=60°， 答案第16页，共79页 “△BCD是等边三角形， 把△ACD绕点D顺时针旋转6O°得到△EBD,连接AE, 则BE=AC=25,△ADE是等边三角形， AD=AE,∠EAD=60°. ∠BAD=30°，AB=15, ∠BAE=∠BAD+∠EAD=30°+60°=90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=VBE2-AB2=V252-152=20, ·AD=4E=20, 12.V5+10②5+6e)30 2 3 【分析】(1)过D作DH⊥BC于H,利用含30°的直角三角形的性质、勾股定理等求出 CH,DH,利用翻折的性质以及三角形内角和定理可求出∠BDH=∠DBC=45°，利用等 角对等边可求出BH,即可求解： (2)延长ED交BC于M,在AC上取点F,使AF=EF,利用翻折的性质可求出 ∠BDC=∠BDE=105°，利用三角形内角和定理求出∠EBD=∠CBD=I5°，利用等腰三角形 三线合一性质得出BE⊥AC,利用等边对等角和三角形内角和定理求出 ∠BAE=∠AEB=75°，进而求出∠NAE=15°，利用等边对等角和三角形外角的性质求出 ∠EFN=30°，设NE=x,利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理求出AF=EF=2x, Nr=V5x,利用勾股定理求出AE=(N2+6)x,利用含30°的直角三角形的性质 DE=CD=2x,即可求解； (3)分点F在A的右侧和左侧两种情况讨论，利用角平分线的性质与判定可证BF平分 ∠AFE,然后利用AAS可证△ABF≌△EBF,得出AF=EF=1,在Rt△ADG、Rt△FDG中， 利用勾股定理可得出DG=AD-AG=FD2-FG,代入数据即可求解. 【详解】(1)解：过D作DH⊥BC于H, B ~△ABC是等边三角形， 答案第17页，共79页 ∠C=∠ABC=∠BAC=60°，AB=BC=AC, ∠HDC=30°， “CH=-CD=1, DH=CD -CH=3, 翻折， BE=BC,∠EBD=∠CBD, BE⊥BC, ·∠EBD=∠CBD=45°， .∠BDH=45°=∠DBC, :.BH =DH=3, ∴BE=BC=BH+CH=V5+1; (2)解：如图，延长ED交BC于M,在AC上取点F,使AF=EF, F N E 'DE⊥BC, .∠CDM=90°-∠ACB=30°， 翻折， ·∠BDC=∠BDE,∠EBD=∠CBD,BE=BC=AB,DE=CD, ∠BDC-∠CDM+∠BDE=180°， ·∠BDC=∠BDE=105°， ·∠EBD=∠CBD=180°-∠BDC-∠C=15°， ZCBE=30°=ZABC=∠ABE, AB=BC, BE⊥AC,即∠ANE=90°， AB=BC=BE,∠ABE=30°， 答案第18页，共79页 ÷∠BAE=∠AEB=1180°-∠ABE)=75°， ∠BAC=60°， ·∠NAE=∠BAE-∠BAC=15°， .AF=EF, ·∠FEA=∠FAE=15°， ∠EFN=30°， 设NE=x, ..AF=EF 2NE =2x, ..NF =3x, 4E=VAN+NE=2x+3x)+=+6)x .'∠NDE=∠CDM=30°，∠DNE=90°， ..CD=DE =2NE=2x, :AE=2+V6 CD 2 (3)解：当F在A的右侧时，如图，过D作DG⊥1于G,过B作BH⊥1于H,BN⊥AD 于N,BM⊥ED延长线于M,连接BF, 翻折， ∠BDC=∠BDE,BC=BE=AB=6,∠C=∠BED=6O°，CD=DE, 又∠CDM=∠EDN, .∠BDM=∠BDN, ..BM BN, IBC, ∠HAB=∠ABC=60°=∠BAC,∠CAF=∠C=60°， 又BH⊥I,BN⊥AD, ..BH BN, 答案第19页，共79页 .BH BM, “BF平分∠AFE, ∠AFB=∠EFB, .∠CAF=60°，∠BAC=60°，∠BED=60°， ∠BAF=∠BAC+∠CAF=120°，∠BEF=180°-∠BED=120°， ∠BAF=∠BEF, 又BF=BF, ∴△ABF≌△EBF(AAS), .AF=EF=1, 设CD=x,则DE=x,AD=6-x, DG⊥AG,∠CAF=60°， ·∠ADG=30°， AG-14D-3-x 2 FG=AG-AF=2-1 ， 在DG中，DG=D-4G=6--32, 在R△oG中，DG=m-G=6x+1-（2-, 6-3--2- 30 解得x= 13 ÷CD=30 : 当F在A的左侧时，如图，过D作DG⊥1于G,过B作BH⊥1于H,BN⊥AD于N, BM⊥DE于M,连接BF, 答案第20页，共79页 HN B 同理可证BF平分∠HFM, ∴∠HFB=∠MFB, 又∠EFH=∠AFM, ·∠BFE=∠BFA, 又∠BEF=∠BAF=60°，BF=BF, ·△ABF≌△EBF(AAS), .AF=EF=1, 设CD=x,则DE=x,AD=6-x, DG⊥AG,∠CAG=60°， .∠ADG=30°， G40-3 FG-AG+AF-4-x, 2 在1DG中，DGAD-4G=(6-x-33月， 在A0G中，DG=Fm-G=(x--（4, 6--j=e--(4 解得x=2 11 CD=42 15 30 42 综上，CD的长为3或1： 13.(1)证明：∠A=90°，AB=3,AD=4, 答案第21页，共79页 .BD=V32+42=5, ..BD =CD :BD2+CD2=50, BC2=(5V2)=50, .BD2+CD2=BC2, .△BDC是等腰直角三角形， 四边形ABCD是“和谐共存四边形” (2)解：AC=BE.理由： 由题意知，△BDC和△ADE都是等腰直角三角形， ..BD=CD,AD=DE. ∠BDC=∠ADE=90°， .∠ADC=∠EDB, ∴△ADC≌△EDB(SAS), ..AC=BE. (3)10或1 【分析】(1)先根据勾股定理求出BD=V32+4?=5,再证明△BDC是等腰直角三角形，即 可得出结论； (2)根据“SAS”证明△ADC≌△EDB(SAS)即可得出结论； (3)分两种情况：当∠BDC=90°时，如图，以AD为腰向上作等腰直角三角形ADE,当 ∠DBC=90°时，如图，以AB为腰向下作等腰直角三角形ABE,分别画出图形，进行求解 即可. 【详解】(1)略(2)略(3)解：由题意知，△BDC是等腰直角三角形， 当∠BDC=90°时，如图，以AD为腰向上作等腰直角三角形ADE,连接BE, E B 由(2)同理得△ADC≌△EDB, 答案第22页，共79页 .AC=BE :AD=V3,△ADE是等腰直角三角形， .∠DAE=45°，AE=N2AD=N6. .·∠DAB=45°， ∴.∠EAB=45°+45°=90°. 由勾股定理，得BE=VAE+AB 同+2=0， .'.AC=BE=10; 当∠DBC=90°时，如图，以AB为腰向下作等腰直角三角形ABE,连接DE. D A 、 E 同理可得，AE=V2AB=22,DAE=90°， .DE=VAD+AE=(3)+(2)=1, ..AC=DE=11. 综上所述，AC的长为V10或v1. 14.(1)3(2)①22.5°②64 【分析】(1)先证明∠ADB=∠DEC,再证明△ADB≌△DEC(AAS),得到 DB=EC,AB=DC,继而得到DB=BC-DC=BC-AB=EC,求解即可； (2)①在AC上取一点G,使得∠DGF=45°，证明△ADE≌aGFD(AAS),得到 DG=EA,AD=GF,再证明AD=GF=GC,利用三角形外角性质求解即可； ②当BF⊥CF时，钢索BF长度最短，得到CF=BF,根据勾股定理，得 CF=BP=5BC=82,解答即可. 2 【详解】(1)解：AB=AC, 答案第23页，共79页 B D ∴∠B=∠C, ∠B=∠ADE, ∠B=∠C=∠ADE, ∠ADB+∠CDE=180°-∠ADE,∠DEC+∠CDE=180°-∠C, .∠ADB=∠DEC, 「∠B=∠C ∠ADB=∠DEC, AD=DE △ADB≌△DEC(AAS), ..DB=EC,AB=DC, “DB=BC-DC=BC-AB=EC, BC=9,AB=6, :CE=BC-AB=9-6=3. (2)解：①在AC上取一点G,使得∠DGF=45°， ∠A=45°， .∠A=∠DGF, ∠ADE+∠FDG=180°-∠A=135°，∠GFD+∠FDG=180°-∠DGF=135°， G B .∠ADE=∠GFD, 「∠A=∠DGF .{∠ADE=∠GFD, DE=FD 答案第24页，共79页 ·△ADE≌△GFD(AAS), ..DG=EA,AD=GF, .AB=AC, ..AB-AE=AC-DG, ..BE AD+GC, BE=2AD, ∴2AD=AD+GC, ..AD=GC, ..AD=GF=GC, ∴∠FCA=∠GFC, .·∠DGF=∠FCA+∠GFC,∠DGF=45°， FCA= ∠DGN=25°. ②解：AB=AC,∠A=45°， 4∠ABC=∠4CB=(180°-∠A)=67.5°. ∠FCA=22.5°， D B C .∠BCF=∠ACB-∠FCA=45°， 当BF⊥CF时，钢索BF长度最短， .∠BCF=∠CBF=45°， ∴CF=BF, 根据勾股定理，得CF2+BF2=BC2, .BC=16, CF=BF-BC= 2 8△BFC的面积为CF:BF=)X82×82三64 2 答案第25页，共79页 15.(1)B(2)C(3)见解析(4)见解析 【分析】(I)根据AD=DE,∠ADC=∠BDE,BD=DC推出结论即可； (2)根据全等得出BE=AC=6,AE=2AD,由三边关系推出： (3)延长AD到M,使AD=DM,连接BM,根据等腰三角形性质求出； (4)延长FD到H,使得DH=DF,连接BH,EH,可证△EDH≌△EDF,得到 EF=EH,再在△BEH中，根据边长的关系即可证明. 【详解】(1)解：(1)在△ADC和△EDB中， AD=DE ∠ADC=∠BDE, BD=CD ∴.△ADC≌△EDB(SAS): (2)由(1)可得：△ADC≌△EDB(SAS), .BE=AC=6,AE=2AD, ,△ABE中，AB=8, 由三边关系得：8-6<2AD<8+6, .1<AD<7; (3)延长AD到M,使AD=DM,连接BM, B D :AD是△ABC的中线， M 图1 图2 .BD=DC, 在△ADC和△MDB中， BD=DC ∠ADC=∠BDM, AD=DM ∴.△ADC≌△MDB(SAS), 答案第26页，共79页 .BM=AC,∠CAD=∠M, .AE=EF, .∠CAD=∠AFE, ,'∠AFE=∠BFD, ∴.∠BFD=∠CAD=∠M, ∴.BF=BM=AC, 即AC=BF; (4)证明：如图所示，延长FD到H,使得DH=DF,连接BH,EH, E D ② 同理△BDH≌△CDF, :.BH=CF,DH=DF, DE⊥DF, ∴.∠EDF=∠EDH=90°， ED=ED {∠EDH=∠EDF, DH=DF .△EDH≌△EDF(SAS), :.EF =EH, 在△BEH中，BE+BH>EH, ·BE+CF>EF 16.(1)证明：在AB上截取AH=EC, D H F:四边形ABCD是正方形， B E 图1 答案第27页，共79页 .∴.AB=BC,∠B=∠BCD=90°， .AH=EC, .AB-AH =BC-EC HB=EB, ∴△BHE是等腰直角三角形， .∠BHE=45°， ∴.∠AHE=135°， :CF是正方形ABCD的外角平分线， .∠DCF=45°， .∠ECF=135°， .∠AHE=∠ECF=135°， :∠AEF=90°， .∴∠AEB+∠FEC=90°， ·.'∠BAE+∠AEB=90°， .∠BAE=∠FEC, 在△AHE和△ECF中， ∠AHE=∠ECF .AH=EC ∠HAE=∠CEF .△AHE≌ECF(ASA）, ..AE=EF (2)四边形DMEF是平行四边形. 理由如下： :四边形ABCD是正方形， .∴AD=AB=BC,DAB=∠B=90°， M,E分别为AB,BC的中点， .∴.AM=BE, 在△DAM和△ABE中， AD=AB {∠DAB=∠B AM=BE 答案第28页，共79页 .∴△DAM≌△ABE(SAS), .∠ADM=∠BAE,DM=AE, .·∠BAE+∠DAE=90°， .∴.∠ADM+∠DAE=90°， .∠AGD=90°， :∠AEF=90°， .∠AGD=∠AEF, MD∥EF, 由(1)得AE=EF, ..MD=EF, ∴.四边形DMEF是平行四边形. (3)当BM+BE=CD时，四边形DMEF是平行四边形 【分析】(1)在AB上截取AH=EC,结合正方形的性质得到HB=EB,则∠BHE=45°，再 结合正方形ABCD的外角平分线，得到∠AHE=∠ECF=135°，即可证明△AHE≌ECF(ASA), 得到AE=EF; (2)由M,E分别为AB,BC的中点，得到AM=BE,即可证明△DAM≌△ABE(SAS), 得到∠ADM=∠BAE,DM=AE=EF,接着得到∠AGD=∠AEF=90°，则MD∥EF,最 后根据一组对边平行且相等即可得到四边形DMEF是平行四边形. (3)根据BM+BE=CD,得到AM=BE,即可证明△DAM≌△ABE(SAS),得到 ∠ADM=∠BAE,DM=AE=EF,接着得到∠AGD=∠AEF=90°，则MD∥EF,最后根 据一组对边平行且相等即可得到四边形DMEF是平行四边形， 【详解】(1)略(2)略(3)解：当BM+BE=CD时，四边形DMEF是平行四边形. 理由如下： 四边形ABCD是正方形， .AD=AB=BC,∠DAB=∠B=90°， .BM+BE=CD,BM+AM=AB, .AM=BE, 在△DAM和△ABE中， 答案第29页，共79页 AD=AB ∠DAB=∠B AM=BE ,∴△DAM≌△ABE(SAS), .∠ADM=∠BAE,DM=AE, ∠BAE+∠DAE=90°， .∴.∠ADM+∠DAE=90°， ∴.∠AGD=90°， :∠AEF=90°， .∠AGD=∠AEF, .MD∥EF, 由(1)得AE=EF, ..MD=EF, .四边形DMEF是平行四边形. 17.(1)① 8+4N2②CF=ME且CF∥ME,理由如下： 如图， :CO为等腰直角△ABC的中线， B .CO⊥AB, :ME⊥AB, ∴.CO∥ME,即CF∥ME, 则∠EMA=∠MFC, 由①知，ME=MC,AM=AM, 则Rt△AME≌RtAMC(HL), .∠EMA=∠CMA, ∴.∠MFC=∠CMA, 答案第30页，共79页 ..ME MC =CF, 即CF=ME且CF∥ME; (2)45 【分析】(1)①利用角平分线的性质得出CM=ME=4,结合等腰直角三角形BEM的边长 关系求出BM,进而求出AB的长；②利用等腰直角三角形“三线合一”性质证明CO⊥AB, 从而得出CF∥ME;再通过证明△MFC为等腰三角形得出CF=ME; (2)过点M作ME∥AN,使ME=AN,连接NE,BE,通过构造平行四边形AMEN,证 △BEM≌△AMC,将分散的线段和角度集中，证明△BEN为等腰直角三角形，利用平行线的 性质即可求出∠BPM的度数， 【详解】(1)解：①设AC=BC=x, AM是△ABC的角平分线，ME⊥AB, ∴.CM=ME=4,BM=x-4, 在等腰直角三角形BEM中，BM=VBE2+ME2=4V2, 即x-4=4V2,则x=4+4V2, AB=AC+CB2=2x=8+4v2; ②略 （2)如图，过点M作ME∥AN,使ME=AN,连接NE,BE, 则四边形AMEN为平行四边形， ∴.NE=AM,ME⊥BC,∠CAM=∠MEN,AM∥NE, AN=CM, ∴.ME=CM, 在△BEM和△AMC中， 答案第31页，共79页 ME=CM ∠EMB=∠MCA=90°， BM=AC :·.△BEM≌△AMC(SAS), .BE=AM=NE,∠CMA=∠BEM, :∠CMA+∠CAM=90°， ∴.∠BEM+∠MEN=90°， 即∠BEN=90°， 又BE=NE, ∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE=45°， :AM∥NE, .∴∠BPM=∠BNE=45°. 18.(1)ASA(2)见解析(3)∠APM=90°-2x 【分析】(1)先证明∠ABF=∠DAE,结合AB=DA,∠BAF=∠D=90°可知根据ASA即可 证明△ABF≌△DAE; (2)作MH⊥BC于点H,先证明∠HMN=∠DAE,然后根据ASA证明△HMN≌△DAE即 可； (3)NZ⊥AD于点L,同理可证△LM≌△DAE(HL),从而∠MNL=∠DAE=，,然后利用 直角三角形两锐角互余和三角形外角的性质即可求解. 【详解】(1)证明：~四边形ABCD是正方形， AB=AD,∠BAD=90°， .∠B4P+∠DAE=90°. AE⊥BF, ∠BAP+∠ABF=90°， ∠ABF=∠DAE, ∠BAF=∠D=90°， △ABF≌△DAE(ASA). 故答案为：ASA; (2)作MH⊥BC于点H, 答案第32页，共79页 M D P E G H 图2 四边形ABCD是正方形， :CD=AD,∠C=∠D=90°， :四边形CDH是矩形， :CD=MH=AD,∠AMH=∠DMH=90°， .∠AMP+∠HN=90°. .AE⊥N, ∴∠AMP+∠DAE=90°， ∠HMN=∠DAE, ·.△HMN≌△DAE(ASA), ..MN=AE (3)作NZ⊥AD于点L, M A D E B 图3 同理可证四边形CDLN是矩形， ..CD LN AD. .AD LN,AE =MN, ·△LNM≌△DAE(HL), ∠MNL=∠DAE=a, .∠LN=90°-， .∠APM=∠LMN-∠DAE=90°-2a, 答案第33页，共79页 19.(1)证明：如图，连接BC, B D 在矩形ABCD中，∠ABC=90°，即△ABC为直角三角形， 由矩形的性质可得，AC-BD,A0=0C=4C,B0=0D=BD, ∴.OB=OC, ∴.∠OBC=∠OCB, :BE∥AC, .∴∠EBC=∠OCB, CE∥BD, .∴.∠ECB=∠OBC, .∴.∠EBC=∠ECB, ∴EB=EC, .△EBC是等腰三角形， ∴.四边形ABEC是奇特四边形； (2)AE的长为10或10v2或5V5 【分析】(1)证得BE=CE且∠ABC=90°，判定为奇特四边形： (2)分情况讨论，当AE=BE,AE=AB,BE=BA时，分别求AE长度即可. 【详解】(1)略 (2)解：在菱形ABCD中，△AOB为直角三角形， :AB=10,AC=12, ..OC=OA=6, 0B=V4B2-042=v102-62=8, 1 1 0.0s=2×01x0B=2x6x8=24, 2 SAB服=S4边形089-80AB=74-24=50, 答案第34页，共79页 ①当AE=BE时，如图，作EF⊥AB交AB于F点， D 片SABB= ×EF×AB=50, 2 B .EF=10, ,'△ABE为等腰三角形， 2B=5, .AF= .AE=VEF2+AF2=10+52=5V5; ②如图，设△AEB底边AB的高为h, B 1 当AB=BE=10时，SA8B= ×ABxh=50 解得h=10, .BE=AB=10, ,BE为底边AB的高， .∴∠EBA=90°， AE=VAB2+BE2=V102+102=10N5; ③如图，设△ABE底边AB的高为h, 1 当AB=AE=10时，SABB=)×AB×h=50 解得h=10, 答案第35页，共79页 即AE为△ABE的高， .AE=h=10 20.16 【分析】过点A作AH⊥BE交BE于点H,根据翻折的性质即可得AE=AD=AB,可知△ABE 是等腰三角形，进而可知∠DCE=∠BAH=∠EAH,再根据同角的余角的关系可知 ∠BEC=90°，进而可证明△ABH≌△BCE,再根据勾股定理即可知BH,AH长度，根据面积公 式即可求解. 【详解】解：过点A作AH⊥BE交BE于点H, H 在正方形ABCD中， ..AB=BC =CD=AD=210. ~△ADM沿AM所在直线翻折得到△AEM, ..AE=AD=AB, 六∠BH=∠EMM=BA,Bn=n .∠BAE=2∠DCE, :∠DCE=∠BAH=∠EAH ∴.∠BAH+∠ABH=90°，∠ABH+∠CBH=90°，∠BCE+∠DCE=90° .∠BAH=∠CBH=∠DCE .∠CBH+∠BCE=909 ∠BEC=90°， 在△ABH和△BCE中， [∠BAH=∠CBH ∠AHB=∠BEC=90° AB=BC ·△ABH≌△BCE(AAS) ..AH=BE, 答案第36页，共79页 ..AH 2BH, 在Rt△ABH中，BH2+AH=AB BH2+(2BH)}=(21O), ∴BH=2N2 ∴BE=AH=4V2, .SABE= BE:4H=16 21,(1)证明：~O是对角线AC的中点， ..0A=OC, 四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC, ∠EAO=∠FCO, 在△AOE和△COF中， [∠EAO=∠FCO OA=OC ∠AOE=∠COF △AOE≌△COF(ASA), ..AE FC, 由折叠的性质可得：EM=AE, ..EM=FC (2)证明：如图，延长HM交FE的延长线于K,延长HC交EF的延长线于L, B 图1 四边形ABCD是平行四边形， :AD∥BC,∠BAD=∠BCD, 答案第37页，共79页 ·∠AEF=∠CFE, 由折叠的性质可得：EM=AE,∠FEM=∠AEF,∠BAD=∠EMN, ∴∠FEM=∠CFE,∠EMN=∠BCD, :180°-∠FEM=180°-∠CFE,即∠MEK=∠CFL, 同理可得：∠EMK=∠FCL, EM FC, ·△EMK≌△FCL(ASA), “EK=FL,∠K=∠I, ∴HK=HL 由(1)可得：△AOE≌△COF, ..OE=OF, ∴OE+EK=OF+FL,即OK=OL, ∴OH⊥EF; ③)32+3v6 2 【分析】(1)由平行四边形的性质可得AD∥BC,由平行线的性质可得∠EAO=∠FCO, 证明△AOE≌△COF(ASA),得出AE=FC,由折叠的性质可得EM=AE,即可得证； (2)延长HM交FE的延长线于K,延长HC交EF的延长线于L,由平行四边形的性质可 得AD∥BC,∠BAD=∠BCD,由平行线的性质可得∠AEF=∠CFE,由折叠的性质可得 EM=AE,∠FEM=∠AEF,∠BAD=∠EMN,证明△EMK≌△FCL(ASA),得出 EK=FL,∠K=∠I,由(1)可得△AOE≌△COF,由全等三角形的性质可得OE=OF, 从而得出OK=OL,即可得证； (3)过点H作HQ⊥BC交BC的延长线于Q,过点O作OT⊥BC于T,连接FH,求出 FP=2V5,CP=2,从而即可得出PN=NF-FP=4,由直角三角形的性质可得 =)PN=2,由勾股定理可得PH=23,求出CH-2+2V,证明FH0是等腰直角三 角形，得出∠HFQ=45°，FH=V6+3√2，再求出∠FHO=30°，最后由直角三角形的性质 即可得解. 【详解】(1)略(2)略(3)解：如图，过点H作HQ⊥BC交BC的延长线于Q,过点O 答案第38页，共79页 作OT⊥BC于T,连接FH,设FN交CH于点P, 图2 ∠ABC=60°， ∠N=60°，∠HC9=60°， 'MN⊥CD, .∠CPF=∠NPH=90°-60°=30°， ·PFC=∠HCQ-∠CPF=30°， ∠PFC=∠CPF=30°， ..CF=CP=2, 作CK1n于K,则CK=Cr=1,P-2FK, FK=CF-CK= FP=25, 由折叠的性质可得：NF=BF=4+2√5， ..PN=NF-FP=4, 在Rt△PNH中，'∠NPH=30°， .NH-TPN-2. ∴PH=VPN2-NH=2V5, ∴CH=CP+PH=2+25, ∠CHQ=90°-60°=30°，∠Q=90°， :c0=cH=1+V5, 2 ∴H0=VCH-CQ2=V5+3, FO=FC+CO=3+3, 答案第39页，共79页 ..FO=HO, ·△FHQ是等腰直角三角形， ∴∠HFQ=45°，FH=V2HQ=V6+3V2, ∠BFN=180°-∠PFC=150°， ∠EFN=∠EFB=∠BFN=75°， ·.∠HF0=∠EFC-∠HFQ=180°-75°-45°=60°， OH⊥EF, ∠FOH=90°，∠FHO=30°， 0F=FH=6+32 2 OH=VFH-OF32+36 2 oH的长为3V2+3V6 2 22.方法一：选择①作为条件，②③作为结论，命题成立. 如图，连接PB, M .·AD=AB, 矩形ABCD是正方形， .AB=BC,∠ABC=∠DAB=90°. .∴∠CAB=∠ACB=∠DAC=45°. 又：PM⊥BC, .∠PMC=90°. .∠CPM=90°-∠PCM=45°. ∴.∠ACB=∠CPM. ..CM PM PN⊥BA, .∠PNB=90°. 又，∠PNB=∠ABC=∠PMB=90°， .四边形PNBM是矩形. 答案第40页，共79页 .PB=MIN, 又：AD=AB,∠DAC=∠BAC,AP=AP, ∴△APD≌△APB(SAS). .DP=PB. ,·.DP=MN. 方法二：选择②作为条件，①③作为结论，命题成立， 如图，连接PB, C M :PM⊥BC,PN⊥BA, B ∴.∠PMC=∠PNB=90°. 又PM=CM, ∴.∠CPM=∠ACB=45°. :矩形ABCD, .·.∠ABC=90°，AD=BC, .∠CAB=90°-∠PCM=45°. .∴∠ACB=∠CAB=∠DAC=45°. ..AB=BC=AD 又：AD=AB,∠DAC=∠BAC,AP=AP, .∴△APD≌△APB(SAS). .DP=PB. 又：∠PNB=∠ABC=∠PMB=90°， :四边形PNBM是矩形 .PB =MIN, ..DP =MN. 方法三：选择③作为条件，①②作为结论，命题成立 如图，连接PB, 答案第41页，共79页 D M :PM⊥BC,PN⊥BA, ∴.∠PMC=∠PNB=90°. 又：矩形ABCD, .∠ABC=90°. :四边形PNBM是矩形. .PB=MIN 又：对于AC上任意点P(除A、C外)，都有DP=MN, .DP=PB. .AC垂直平分BD. 即BD⊥AC. 又，四边形ABCD是矩形， .四边形ABCD是正方形. .AB=AD=BC,且∠ABC=90°. ∴.∠PCM=∠CAB=45°. 又·矩形PNBM, .∠PMC=90°. .∴.∠CPM=90°-∠PCM=45°. ∠CPM=∠PCM. ∴.PM=MC, 【分析】选择其中一个作为条件，另外两个作为结论，命题成立.证明矩形ABCD是正方形， 四边形PNBM是矩形，△APD≌△APB(SAS),即可得证. 【详解】略 23.(1)证明：四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠C=90°，AB=CD=CP, 由翻折可得AB=BE,∠E=∠A=90°， 在△BFE和△PFC中， 答案第42页，共79页 「∠BFE=∠PFC, ∠E=∠C BE=PC, ∴.△BFE≌△PFC(AAS)； (2)4 (3)2 (4)2或8 【分析】(1)由长方形得∠A=∠C=90°和AB=CD,由翻折可得AB=BE和 ∠E=∠A=90°，即可利用AAS判定△BFE≌△PFC即可； (2)由翻折可得，BE=AB=4,则点E在以B为圆心，4为半径的圆弧上运动，当E在线 段BC上时，CE最小，此时点E,F重合，推导出四边形ABBP是正方形，得到 AP=AB=4,即可解答： (3)由①知，BF=PF,结合PF=FC,求得BF=FC=】BC,利用勾股定理求得 2 EF=NBF?-BE,则PE=EF+PF,故AP=PE,即有DP=AD-PE; (4)分两种情况：①当M在线段PE延长线上，②当M在线段PE上，分别利用中点和勾 股定理、折叠的性质求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：由翻折可得，BE=AB=4, 则点E在以B为圆心，4为半径的圆弧上运动，如图： D B E 当E在线段BC上时，CE最小， 如图 D B E(F 答案第43页，共79页 此时点E,F重合， 四边形ABCD是矩形， ∠ABC=∠BAD=90°， 由∠BEP=∠PAB=90°，AB=BE, ∴四边形ABEP是正方形， :.AP=AB=4; (3)解：①四边形ABCD是长方形， AD∥BC, ·∠APB=PBF, 由翻折可得∠APB=∠EPB, ∠PBF=∠FPB, ..PF BF, PF=FC, ar=rc-c 2*10=5, PF=5, BE=4,∠BEF=90°， EF =BF2-BE2 =52-4=3, .PE=EF+PF=3+5=8, 则AP=PE=8, DP=AD-PE=10-8=2, (4)解：①当M在线段PE延长线上时，如图： M M为BC中点， 8M-Bc-10=5. 2 由翻折可得，BE=AB=4,∠BEP=∠A=90°=∠BEM, .EM=BMP -BE=52-4=3, .AD∥BC, 答案第44页，共79页 .∠APB=∠PBM, 由翻折得∠APB=∠EPB,AP=PE, ∠PBM=∠EPB, ∴BM=PM=5, 则PE=PM-EM=5-3=2, AP=2; ②当M在线段PE上时，如图： 同理可得PM=BM=5,EM=3, .PE=PM+M=5+3=8, .AP=PE=8: 综上所述，当射线PE恰好经过BC的中点M时，AP的长为2或8. 4,四Ae,2y=x26 x)23EF51 【分析】(1)作CK⊥AD,根据含30度角的直角三角形求出CK,DK的长，进而求出AK的 长，再根据折叠得到AE=CE,然后设AE=CE=a,在Rt△CEK中，利用勾股定理进行求 解即可； (2)作GL⊥BC交延长线于点L,连接AF,FG,作AV⊥BC于点V,先表示出CF=6-y, 进而得出CL= 2'GL=5 x,然后得出几=6-)+方及4=25.-少-2，最后根 据勾股定理号1-+16及4=F心+G=(6-)+劳：C停，再整理得出答案 (1)先求出EF的最小值，当点G与点D重合时，EF L BC,此时EF=2V5;再根据点G 与点C重合时，此时x=0,求出BF-3,然后虚据勾股定理求出CV-,可得N-3, 接下来根据勾股定理求出EF=√21，即可得出答案 【详解】(1)解：当点G与点C重合时，如图，作CK⊥AD于点K, 答案第45页，共79页 D H 在口ABCD中，AB=4,BC=6,∠B=60°， :.CD=AB=4,AD=BC=6,∠D=∠B=60°. 在Rt△CDK中，∠KCD=30°， DK=CD-2.CK=CD-DK25. .AK=AD-DK =4. 根据折叠可得AE=CE, 设AE=CE=a,则EK=AK-AE=4-a, 在Rt△CEK中，由勾股定理，得CE2=CK2+EK2, 即a=(4-a+(23), 7 解得a=2' 人 (2)解过点G作GL⊥BC,交BC延长线于点L,连接AF,FG,过点A作AV⊥BC于点 , 根据(1)可知AV=2V3,BV=2, 根据题意可知CG=x,BF=y, .CF=6-y. 在RtACGL中，∠GCL=∠D=60°， ∠CGL=30°， CL-方根据勾股定理，得GL=CG-C亚- -X, L=CF+CL=-6-功*号 在Rt△AFV中，AV=25,FV=y-2,则AF2=AV2+FV=12+(y-2)2=y2-4y+16. 答案第46页，共79页 在Raa中.4元6，则r-4+16(6-+5: 整理，得y=+6x+20 x-2+ 36 x+8 r+8 (3)解：2v5≤EF≤V21. 过点E作EN⊥BC于点N, 当点G与点D重合时，EF⊥BC,此时EF=2V3; 当点G与点C重合时，此时x=0, 5 y=2’ 即即 4CF=BC-BF=6-5=7 22 在Rt△CEN中，CE2=EN2+CN2, 图-)-cv. 部得Cw 名日3. 在Rt△EFN中，EF2=FN2+ENP, 即EF2=32+(23=21, 解得EF=√21， 所以25≤EF≤V21. 答案第47页，共79页 F (G) 25.(1)16;5(2)21(3)13秒或23.5秒 【分析】本题考查了从统计图中获得信息，三角形的面积公式，比例的性质，熟练掌握相关 知识点是解题的关键 (1)利用三角形的面积公式，分别计算AB和AD的长即可； (2)用AD的长加上DC的长，除以P点运动的速度，计算P到C所需时间， (3)设三角形PBM的面积为S,,三角形ABM的面积为S,三角形ADM的面积为S,三 角形PDM的面积为S4,分两种情况：①当点P在边CD上时；②当点P在边BC上时，利 三角形BDP面积S+S4=1 用三角面积公式得令&：根据比例的性顶得到角4D面积+8了— 进一步计算即可求出点P的运动时间， 【详解】(1)解：16×2÷2=16（厘米）， 40×2÷16=80÷16=5(厘米)， AB长16cm,AD长5cm; 故答案为：16,5： (2)解：（5+16)÷1=21÷1=21（秒）， 当运动时间为21秒时，点P运动到点C的位置， 故答案为：21； (3)解：设三角形PBM的面积为S,三角形ABM的面积为S,三角形ADM的面积为 S,三角形PDM的面积为S4, 分两种情况： ①当点P在边CD上时，如图： D 4 S3 M 答案第48页，共79页 三角形PBM的面积与三角形ABM的面积之比为1：2， PM_S_1 AM S:2 S.PM 1 8AM2' 三角形BDP面积_S,+S4-1_DP 三角形BAD面积S,+S,2AB’ :.DP=4B =1x16=8(cm), (5+8)÷1=13÷1=13(秒)， ∴点P的运动时间为13秒； ②当点P在边BC上时，如图， D S S4 M S S A 同理①可得3,8.2 S4-S-1 三角形BDP面积_S,+S4_1_BP 三角形B,AD面积S,+S,2AD Bp=1AD=×5=2.5(cm), -21 (5+16+5-2.5)÷1=23.5÷1=23.5(秒)， ∴点P的运动时间为23.5秒； 综上所述，点P的运动时间为13秒或23.5秒. -8x+16(0≤x≤2) 19 26.(1)4或8(2)S= 2x-4(2<x≤6)(3) 41 sxs 19 2 或10≤x≤12 -8x+56(6<x<7) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，求函数表达式，一元一次不等式组的应用.解题的 关键是理清题意，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解， (1)分点Q在DC和CB上两种情况进行讨论求解； (2)分点Q在AD上，在CD上和PC上，三种情况讨论求解即可； (3)分M到达D之前，到达D之后返回未到达A和返回到达A,三种情况进行讨论求 解 【详解】(1)解：长方形ABCD, 答案第49页，共79页 ...BC=AD=4,CD=AB=8; ①当点2在DC上与点C相距4时， 即：4+8-2x=4, 解得：x=4; ②当点2在CB上与点C相距4时， 即：2x-8-4=4, 解得x=8; 综上：x=4或x=8; 故答案为：4或8； (2)解：P是BC的中点，且BC=4, PC-PB-BC-2 当0≤x≤2时，如图1， 由saw0QcD,有 8=x8(4-2x), 2 整理得，S=-8x+16; 图1 当2<x≤6时，如图2， 由se号P0Pc,传 92x(2x-4, 整理得，S=2x-4; 图2 当6<x<7时，如图3， 答案第50页，共79页 POCD,得 5-号804-2x. 整理得，S=-8x+56, D 图3 B -8x+16(0≤x≤2) 综上所述，S= 2x-4(2<x≤6). -8x+56(6<x<7) (3)解：由题意，可知：当点Q到达A点时，所需时间为：(8+4)×2÷2=12秒； 如图4，点M到达D前： M 图4 B 24-2x-6(x-3)≤4 由题意，得： 2x+6(x-3)-24≤4' 解得： 19 .23 4: 当点M到达点D时， 6(x-3)=8+4+8=20, 解得：日 如图5，点M返回，但未到达点A, D M 图5 答案第51页，共79页 （,194 2x-4-6x- 3 由题意，得： 9 6x-3 +4-2x≤4 解得： sxs 19 15 : 当点M回到点A,则 (6-x)=2×(8+4+8)=40, 解得：=29」 3 29 3 <12,此时点Q未到达点A, 如图6，由题意，得：0≤24-2x≤4， 解得：10≤x≤12. AM0(Q)图6 B 综上 19 4 sxs 19. 或10≤x≤12. 2 2 -x2+2x(0<x<2 27.(1)y= (2)见解析(3)0<t<1 2x-4(2<x≤4) 【分析】(1)分两种情况：当点P在线段AB上，点Q在BC上时，当点P在射线AB上时， 点Q在C℉上时，分别根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案： (2)先列表，再描点连线即可得到函数图象，由函数图象即可得出函数的性质； (3)根据函数图象即可得到答案. 【详解】(1)解：根据题意得： 当点P在线段AB上，点2在BC上时， 此时：AP=2x,BQ=x,0<x<2, 答案第52页，共79页 .PB=AB-AP=4-2x, ..y=S.PBo= 8即80-4-2x=x+2x: 当点P在射线AB上时，点Q在CF上时， B D 此时：AP=2x,2<x≤4， ∴.PB=AP-AB=2x-4, ..y=S.PBe= nBcax42=2x4: -x2+2x(0<x<2) 综上所述：y= 2x-4(2<x≤4) (2)解：列表： 0 1 2 3 4 y 0 0 2 4 函数图像如图： 5 3 -i9123456成 由函数图象可得： 函数的性质： ①当0<x<1或2<x≤4时，y随x增大而增大，当1<x<2时，y随x增大而减小； ②当x=4时，函数y有最大值4；（回答一个即可） (3)解：由函数图象可得： 在0<x<2时， y=-x2+2x=-(x-1)°+1 要使y=t与该抛物线有2个交点， 答案第53页，共79页 则0<t<1 【点睛】本题考查了动点问题、求函数解析式、画函数图象、从函数图象中获取信息，理解 题意，正确取出函数解析式，采用分类讨论与数形结合的思想解题，是解此题的关键， 28.(1)A(6,0),B(0,3),△OAB的面积为9 (2)①C(1,0),D(4,1)；②存在， 引 【分析】(1)分别令x,y=0,求得A,B的坐标，进而根据三角形的面积公式，求得△OAB 的面积； ①根据题意过点D作DE⊥x于点E,利用全等三角形的判定先证△BOC≌aCED,可求出 DE、OC的长，进而即可得出点C和点D的坐标； ②根据题意设点e的坐标为”2”+3分CD为边和CD为对角线两种情况考虑：当CD 为边时，由C,D的坐标及点P的横坐标可求出n值，进而可得出点2，Q'的坐标；当CD 为对角线时，由C,D的坐标及点P的横坐标，利用平行四边形的对角线互相平分可求出 值，进而可得出点Q”的值. 【详解】(1)解：~直线)=一2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点8 当x=0时，y=3,当y=0时，x=6 A(6,0),B(0,3), :.OA=6,OB=3 △01B的面积为)01,0B=)×6x3=9 21 (2)①过点D作DE⊥x于点E, B D :∠BOC=∠BCD=∠CED=90° E 图1 .∠OCB+∠DCE=90°，∠DCE+∠CDE=90°， ∴.∠BCO=∠CDE,又BC=CD, ∴.△BOC≌CED(ASA), ..OC=DE,BO=CE=3. 答案第54页，共79页 设OC=DE=m,则点D的坐标为(m+3,m), :点D在直线AB上， .m=- m+)+3. ∴.m=1, ∴.点C的坐标为(1,0)，点D的坐标为(4,1) ②存在友的坐标为3》()安对引 理由如下： 设点Q倒坐标为nn-3】 分两种情况考虑，如图2所示： B 图2 当CD为边时 点C的坐标为(1,0)，点D的坐标为(4,1)，点P的横坐标为0， ..0-n=4-1或n-0=4-1, ∴.n=-3或n=3, 3 ∴点2的坐标为3， ,点Q'的坐标为 -3. 2 当CD为对角线时， :点C的坐标为(1,0)，点D的坐标为(4,1)，点P的横坐标为0， .n+0=1+4, .n=5, :点Q的坐标为5,2广 1 综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为 3 3 2 答案第55页，共79页 （别或 29.(①直线为y=2x+2,直线y=2-1,(26:(6)-2K-1:(4M点坐标为-5-2)或 (1,-2)或(3,2). 【分析】(1)先将点P分别代入直线y=2x+b和直线2=-1，求出b、k的值，再代入即 可； (2)先求出直线y=2x+b和直线y=a-1与x轴和y轴的交点，在根据三角形面积公式求 解即可； (3)依据题意得，不等式组a-1<2x+b<0的解集是直线y2=-1在直线y=2x+b的下 方，且都在x轴下方部分对应的自变量的取值范围，从而结合函数图象即可得解； (4)设M点坐标为(m,n),根据平行四边形的性质以及中点坐标公式求解即可. 【详解】(1)解：直线y=2x+b和直线y,=a-1相交于点P(-2,-2), 将P(-2,-2)代入直线y=2x+b中，得-4+b=-2,即b=2, 将P(2-2列代入直线=-1中，得-2水-1=-2，即长=2 1 直线为y=2x+2,直线片=2x-1: (2)解：连接BC, y个y=2x+b y2=kx-1 P(-2,-2) 直线y,=2x+2与x轴相交于点A, 当y=0时，得0=2x+2,解得x=-1,即点A(-1,0),OA=1, 当x=0时，得y=2,即点B(0,2),OB=2, 答案第56页，共79页 直线乃=2-1与x轴相交于点C, 当y=0时，得0=x-1,解得x=2,即点C(2,0),OC=2, .AC=OA+OC=1+2=3, x=8m+8e4C%+号4C3x2+x3x2=6, 2 1 (3)解依据题意得，不等式组a-1<2x+b<0的解集是直线八=2x-1在直线片=2x+2 下方，且都在x轴下方部分对应的自变量的取值范围， P(-2,-2),A(-1,0), 结合函数图象可得，-2<x<-1: (4)解：设M点坐标为(m,n), A(-1,0),C(2,0),P(-2,-2), 当CP为对角线时， .m-1=-2+2.n+0_-2+0 2 2 2 2, 解得m=1,n=-2, M点坐标为(1，-2)； 当CA为对角线时， :m-2--1+2.n-20+0 22’22 解得m=3,n=2, M点坐标为(3,2)： 当AP为对角线时， :m+2=-1-2n+0_-2+0 2 2’ 2 2 解得m=-5,n=-2, M点坐标为(-5，-2)： 综上，M点坐标为(-5，-2)或(1，-2)或(3,2). 答案第57页，共79页 4x(0≤x≤8) 30.(1)16(2)y=32(8<x≤16) (3)x=6或18(4)x的值为4,8,12 -4x+96(16<x≤24) 【分析】(1)由x=4,可得AP=4cm,然后由y=SAPn= 下AP·AD,求得答案， (2)分三种情况：当0≤x≤8时，当8<x≤16时，当16<x≤24时，根据三角形面积公式， 求出函数解析式即可； (3)由己知得只有当点P在边AB或边CD上运动时，y=24,然后分别求解即可求得答案 (4)分三种情况：当点P运动到AB的中点处时，当点P运动到BC的中点处时，当点P 运动到B点处时，分别画出图形，求出结果即可. 【详解】(1)解：x=4, ..AP =4cm, AD=8cm,∠A=90°， .S.wo-AP.AD=1x4x8-16(cm). 2 2 即y=16; 解：当0≤x≤8时，点P在AB上，y=Sm=)×8x日 58<x≤16时，点P在BC上，y=S)×8x832 寸，点P在CD上，y=S2=X8(24 4x(0≤x≤8) 综上，y与x的函数关系式为：y=32(8<x≤16) -4x+96(16<x≤24) (3)解：根据解析(2)可得：只有当点P在边AB或边CD上运动时，y=24, 当点P在边AB上运动时，把y=24代入y=4x得：4x=24, 解得：x=6; 当点P在边CD上运动时，把y=24代入y=-4x+96得： 24=-4x+96,解得：x=18; 综上所述，当y=24时，x=6或18； (4)解：当点P运动到AB的中点处时，延长DP,CB交于点Q,如图所示： 答案第58页，共79页 P B 0 矩形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°， ∠AB0=180°-90°=90°， ∠DAB=∠ABQ, P为AB的中点， AP=PB三)AB=4 ∠APD=∠BPQ, ·△APD≌△BPQ(ASA, :此时将△APD放在△BPQ的位置，剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形， 即当x=4时，剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形； 当点P运动到BC的中点处时，延长DP,AB交于点Q,如图所示： D B 矩形ABCD中，∠ABC=∠DCB=90°， .∠PBQ=180°-90°=90°， .∠DCB=∠PBQ, P为BC的中点， .BP-PC-BC-4. ∠CPD=∠BPQ, ·△CPD≌△BPQ(ASA), :此时将△CPD放在△BPQ的位置，剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形， 答案第59页，共79页 即当x=8+4=12时，剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形； 当点P在点B处时，如图所示： B(P) 四边形ABCD为矩形， ·AB=CD,∠DAB=∠BCD=90°， 将△DCP的顶点P与△ABD的顶点D重合，将△DCP的顶点C与△ABD的顶点A重合， 如图所示： D(P) A(C) B ∠DAD'+∠DAB=180°， ∴D、A、B在同一直线上， “此时剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形， 即当x=8时，剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形； 综上，将四边形纸片ABCD沿DP剪开，当剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形 时，x的值为4,8,12： 31.(1)y=-x+4(2)C(1,3)或(2,2)(3)3<m≤4 【分析】(1)由待定系数法即可求解： (2)设点C(m,-m+4),由中点公式知D(2m,8-2m),可表示三角形三边长，分别以三边 为斜边根据勾股定理列方程求解即可； (3)点C(m,n)是线段AB上一点，可得n=-m+4,0≤m≤4，代入y=mx+2n-18,得 y=x-2m-10,可知直线过定点(2，-10)；分别求出直线y=mx+2n-18过点B,C,D时m的 值，因为直线y=x+2n-18与△BCD的边有两个交点，结合0≤m≤4，即可求m的取值 范围. 答案第60页，共79页 【详解】(1)解：·.'∠OAB=45°，∠AOB=90°，点A的坐标为(4,0)， “△AOB为等腰直角三角形，OA=OB=4 点B(0,4), 将A,B坐标代入y=+b, b=4 得4k+b=0' [k=-1 解得6=4’ 直线AB的表达式为：y=-x+4; (2)解：点C(m,n)是线段AB上一点，直线AB的表达式为y=-x+4, ∴.n=-+4 故点C(m,-m+4), DC=OC 由中点公式知D(2m,8-2m), 作DH⊥y轴于H,过C作MN⊥y轴于M,DN⊥MN于N, M 头N 由勾股定理得：CD=(2m-m)+(8-2m+m-4)=2m2-8m+16, BD2=(2m)+(8-2m-4)=8m2-16m+16, BC2=m2+(4+m-4)=2m2, 若△BCD是直角三角形， 当CD为斜边时， 则2m2-8m+16=8m2-16m+16+2m2, 解得：m=0（舍去)或m=1, 答案第61页，共79页 即点C(1,3)； 当BD为斜边时， 同理可得：8m2-16m+16=2m2+2m2-8m+16 解得m=0(舍去)或m=2, 点C(2,2): 当BC为斜边时， 2m2-8m+16+8m2-16m+16=2m2, 整理得m2-3m+4=0, △=32-4×1×4<0 无实根； 综上，点C(1,3)或(2,2)： (3)解：：点C(m,nm)是线段AB上一点，直线AB的表达式为y=-x+4, ∴.n=-m+4,0≤m≤4， ∴.y=x+2n-18 =x+2(-m+4)-18 =11x-211-10 =m(x-2)-10, 直线过定点(2，-10)， C是OD的中点， :D点坐标为(2m,2n),即D点坐标为(2m,8-2m), 当直线过点D时，代入函数表达式得： 8-2m=m.(2m）-2m-10, 解得：m=-3（舍去)或m=3, 直线过点C时，代入函数解析式得： -m+4=m2-2m-10 m=1+N7(舍)或m=1-57(舍， 2 2 直线过点B时，代入函数解析式得： 答案第62页，共79页 4=-2m-10 m=-7（舍)， 直线与△BCD的边有两个交点，且过定点(2，-10)，0≤m≤4， .∴.3<m≤4. 32.(1623)2①25-2或2V5+2;②y=-5x+83 3 -x+ 3 【分析】(1)作BH⊥x于点H,利用菱形的性质可得OA=AB=4,∠BAH=∠COA=60°， 进而可得4=4B=2,即得BH=VAB-AH=2V5,OH=OA+AH=6,即可求解； (2)①连接AC,作CE⊥OA于点E,CF1AB于F,结合1与x轴的夹角为45°，设直 线为y=+b,可得k=1,再进一步求解即可； ②设菱形ABC0的面积为S,可得点C的坐标为(2,2V3),Scos:S四边形c4=1:3, SC:S四边形cR4o=1:3,即得直线CE和CF均将菱形OABC分成面积比为1：3的两部分，且 直线CE的解析式为x=2,此时不符合题意，再利用待定系数法求出直线C℉的解析式即可 求解， 【详解】(1)解：如图，作BH⊥x轴，交x轴于点H,则∠AHB=90°， :四边形OABC是边长为4的菱形， A ∴.OA=AB=4,AB∥OC, ∴.∠BAH=∠COA=60°， .∠ABH=30°， =4B=4-2, 2 .BH=AB-H=4-22=23,OH=OA+AH=4+2=6, ∴.B6,23 (2)解：如图，连接AC,作CE⊥OA,CF⊥AB,垂足分别为E,F, 答案第63页，共79页 设菱形ABCO的面积为S, :四边形ABC0是边长为4的菱形，∠COA=60°， △AOC和△ABC都是等边三角形，点A的坐标为(4,0)， ∴.△AOC≌△ABC,AE=OE,AF=BF, o8-2,cB=2N5,8as-9e-,3w8c 1S, 2 4 21 ∴C(2,23, ①：1与x轴的夹角为45°，设直线为y=a+b, ∴.k=1, 可设1：y=x+b或y=-x+b,则1与y轴交点的纵坐标即为b, 直线1过点C, .2V3=2+b或2V3=-2+b, .b=2√5-2或2V5+2, ∴.1与y轴交点的纵坐标为2√5-2或25+2 ②：S△cog:S四边形0aB=1:3,S△Bcs:S四边形CR40=1:3, .直线CE、CF均将菱形OABC分成面积比为1：3的两部分，且直线CE的解析式为x=2 (平行于y轴，不合题意，舍去)， :B(6,23,A(4,0),F为AB的中点， F(5,), 2V5=2k+b 设直线CF的解析式为y=+b,把C,F的坐标代入得， 5=5k+b1 k=3 3 解得 3 答案第64页，共79页 “直线CF的解析式为)y=-5x+8 3 3； 综上，该直线的解析式为y=5+83 3 (74)(120 3.()y=-x+3②33,33)8存在，（1,2)或(14) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点，割补法求三角形的面 积，熟练掌握待定系数法，并运用数形结合是解题的关键 (1)根据题意易得A(-3,0),B(0,6),从而可求出D(3,0),由于点E(-1,m)是直线CD与 线段AB的交点，则E(-1,4),根据待定系数法求解即可： 1 (2)根据题意可求得Sac=208=6,设F(化，2+6)，根据割补法求三角形的面积即可 求解； (3)根据待定系数法求出AC的解析式为y=x+3,从而推得△AOC,△COD,△ACD为 等腰直角三角形，由∠CDM+∠ABC=∠BCE推得∠CDM+∠ABC=45°，连接BD交AC于 点M,作∠MDC关于CD的对称角∠CDM',交AC于点M',通过角度计算得此时M,M 为所求，通过计算直线AC和直线BD的交点即可求出点M的坐标，利用中点公式即可求解 M'. 【详解】(1)解：令y=0得，0=2x+6,解得x=-3,则A(-3,0), 令x=0得，y=6,则B(0,6), .OA=OD, .D(3,0), ~点E(-1,m)是直线CD与线段AB的交点， m=2×(-1)+6=4, E(-1,4), 将D(3,0),E(-1,4)代入y=a+b得， 0=3k+b 4=-k+6’解得 k=-1 =3’ 则直线CD的解析式为y=-x+3; (2)解：由(1)可知，直线CD的解析式为y=-x+3, 答案第65页，共79页 令x=0得，y=3,则C(0,3), A(-3,0),D(3,0),E(-1,4), 1 1 Su0s-24Dg=2x6x4=12, 1 SACDFD6 设F(t,2t+6), 当F在直线CD下方时，连接OF,如图， B A D 当-3≤t≤-1时， am-8mw+8a8am0o0-0c+0coDl:-+3州-g+ 则号3+3引=6，解得1=子 74 则33： 7 当t<-3时，同理可得t=3 (舍去)， 当F在直线CD上方时，连接OF,如图， C A O D 当t>0时， sow=8+8am8aec分3xr+x3pr+分3x3. 2 则+(2+6号=6，解：即） 当-1<t≤0时，同理可得，t= 1(舍去) (74)120 综上所述，点F的坐标为3333 答案第66页，共79页 (3)解：存在， 由（2)可知，A(-3,0),C(0,3), 将其代入y=a+b得， [0=-3k+b k=1 3=b ，解得 b=3’ 则AC的解析式为y=x+3, ∴△AOC,△COD,△ACD为等腰直角三角形， .∠BCE=∠OCD=45°， '∠CDM+∠ABC=∠BCE, .∠CDM+∠ABC=45°， 连接BD交AC于点M,作∠MDC关于CD的对称角∠CDM',交AC于点M', V .OA=OD,OB⊥AD, ..AB=BD, .∠ABC=∠DBC, .∠DBC+∠CDB=∠OCD=45°， ∠ABC+∠CDB=45°， 即点M,M'为所求， 设BD的解析式为y=a+b 将B(0,6),D(3,0)代入得， [0=3k+b 「k=-2 6=b ，解得6=6， 则BD的解析式为y=-2x+6, 答案第67页，共79页 y=x+3 x=1 则 y=-2x+6’解得 y=4' 即M(1,4), .∠CDM=∠CDM',CD=CD,∠DCM=∠DCM'=90°， ·△CDM≌△CDM'(ASA), ∴CM=CM', C(0,3),M(1,4), M'(-1,2), 综上，点M的坐标为(1,4)，（-1,2). 34.(1)(0,3),(6,0), o9）a03》②2 (3)存在满足条件的点P,坐标为P 3416 33或P 2016 3’3 2a-c=0 【分析】(1)根据算术平方根和绝对值均非负性，得出3a-c-3=0,解方程即可解答； 1 (2)先根据题意求出B(-3,0),直线1的方程为y 3, ①求出直线AB的解析式，联立 16 716 y=x+3和y= 3，即可求出E 33 ②先根据题意求出P1, 16 再根据S。PAB=SPBB-S。PAB求解即可， (3)先求出S△ABC= 27 27 16 ,则a2设P3则PE= 表示出 Sp8=Sm-Ss=号7-3刘，列出方程求解即可。 【详解】(1)解：V2a-c+3a-c-3=0,2a-c≥0,3a-c-3≥0， vV2a-c=0,3a-c-3=0, 2a-c=0 3a-c-3=0 a=3 解得： (c=61 36 216 .C 2 33’ 答案第68页，共79页 10,3),C(60,D0,16 (2)解：OA=OB,A(0,3), ..OA=OB=3, B(-3,0), 16 ~点P是x轴的上方距离x轴的距离为。的直线1上的任意一点， 直线1的方程为y=3 16 ①设直线AB的解析式为y=a+b, 「0=-3k+b 代入40,3)、B(-3.0),得6=3 解得：b=3,k=1, ∴直线AB的解析式为y=x+3. 16 联立y=x+3和y= 3 解得x= 3 居9》 ②~点P横坐标为1，在直线1上， 9》 D P/ 成w-5m8aG小9名小}号-2. (3)解：A(0,3),B(-3,0),C(6,0), .BC=6-(-3)=9,OA=3, 9x3=27 1 -2 2 答案第69页，共79页 设P叫) .16 123=27-3刘， ÷Sp4B=Sa-SAs=23-f -时=召-=7， 解得：1衫成=9. 34 存在满足条件的点P,坐标为P 2016 3’3 豆子粒数出现次数的 条形统计图 个出现次数（频数） m 35.(1)100,40, 35 126 6 04 A B C D E类别 (2)C (3)解：不能得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律，理由：甲、乙两位同学的调查样 本容量较小，样本不具有广泛性和代表性，不能由此推断总体的规律， 【分析】(1)先利用B类的频数和对应百分比求出总数量，m的值为C的占比乘总数量， 用总数量减去其他类的频数，求出D类的频数，再用D的频数除以总数量然后乘以360°可 求n的值； (2)根据中位数的定义判断中位数所在的类别. (3)根据统计中样本与总体的关系，分析样本容量较小时，样本结果能否代表总体规律， 【详解】(1)解：总数量=14÷14%=100， “本次调查活动中随机抽取了100个豌豆荚， C类频数m=100×40%=40, D类频数=100-5-14-40-6=35， 补全图形如图， n°=35 ×360°=126°， 100 n=126; 答案第70页，共79页 (2)解：总数量=100， :.中位数位置是将100个数据进行从小到大排列后的第50、51个数据的平均数， ~A类累计频数=5，A、B类累计频数=5+14=19，A、B、C类累计频数=19+40=59， ∴中位数落在C类中； (3)略 36.(1)见解析，甲车的性能更好(2)中位数(3)见解析 【分析】(1)根据平均数、中位数和众数的定义进行解答即可； (2)将11个数据分别求出“平均数“众数”或“中位数”再与(1)进行对比可得绪论 (3)根据中位数和众数的定义可判断出丙的众数和中位数，再补全条形统计图即可 【详解】(1)解：甲的10次成绩中，8分出现次数最多，共4次，故众数为8； 乙的10次成绩的平均数为6x1+7x4+8x2+9x1+10x2=7.9: 10 乙的10次成绩的中位数是第5,6个成绩，即7和8，故中位数为7十8=75， 补全甲、乙小车的测试成绩统计表： 平均数 中位数 众数 甲 8.2 8 8 乙 7.9 7.5 7 甲成绩的平均数、中位数和众数均高于乙，故甲的成绩好些； (2)解：甲的原10次成绩再加上9分，则11次成绩为：6,7,8,8,8,8,9,9,9,9， 10, 8.2×10+9 新的平均数为： ≈8.27； 10+1 数据中8和9出现的次数同样最多，故众数是8和9； 中位数是第6个数据8， 由此知：甲小车的测试成绩不会发生改变的统计量是中位数； (3)解：根据题意得众数是8（至少4次）， 若7出现2次时，8出现4次时，平均数为6x1+7×2+8×4+9x1+10x2=81, 10 答案第71页，共79页 补全条形统计图为： 丙小车测试成绩 次数/次 6 6 78910成绩/分 37.(1)甲、乙的报告成绩分别为76,92分(2)125(3)①130；②95% 【分析】(1)当卫=100时，甲的报告成绩为：y= 80×95 100 =76分，乙的报告成绩为： 20×(130-100) +80=92分： 150-100 (2)设丙的原始成绩为X,分，则丁的原始成绩为(x-40)分，依题意可知，丙的原始成绩 92= 20(x1-p 2+80 150-p 合格，则丁的原始成绩不合格，从而列出方程组 ,解得 80(x1-40) 64= 之 p=125,x=140; (3)①共计100名员工，且成绩已经排列好，则中位数是第50,51名员工成绩的平均数， 由表格得第50,51名员工成绩都是130分，故中位数为130；②原始成绩130分，报告成 绩90分合格，得到方程90 20130-P+80,解得p=110,而由表格得到原始成绩为110 150-p 及10以上的人数为10-5=95，故合将字为：510%=95%。 【详解】(1)解：当卫=100时，甲的报告成绩为：y 80×95=76分， 100 乙的报告成绩为：y-20x130-100 +80=92分； 150-100 (2)解：设丙的原始成绩为X分，则丁的原始成绩为(x-40)分， 丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，64<80<92 丙的原始成绩合格，则丁的原始成绩不合格，即x-40<p<x, 20(x-卫+80 92= 150-p 80(x,-40) 64= p 答案第72页，共79页 p=125 解得： 出=140’且符合题意， p的值为125； (3)解：①共计100名员工，且成绩已经排列好， “中位数是第50,51名员工成绩的平均数， 由表格得第50,51名员工成绩都是130分， 中位数为130： ②①中的中位数换算成报告成绩为90分， ∴原始成绩130分，报告成绩90分合格， 90 20(130-P+80,解得p=110, 150-p .由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为100-(1+2+2)=95， …合格率为： 95 x100%=95% 100 【点睛】本题考查了函数关系式，自变量与函数值，中位数的定义，合格率，解分式方程， 熟练知识点，正确理解题意是解决本题的关键， 38.(①)折痕GH的长为10v0, 3； (2)@3v10 @y关士的丙数关系式为y-号50<x<0. 2 【分析】(1)当点G与点A重合，此时Q与A重合，连接AP,PH,由四边形ABCD是矩 形，则AB=CD=6,BC=AD=10,∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，通过折叠性质可得 AD=AP=10,PH=DH,设PH=DH=x,则CH=6-x,由勾股定理得PC2+CH=PH, 即2+(6-x)=x2,然后求出x的值即可； (2)①如图，过2作QM⊥BC于点M,作QN⊥CD于点N,连接QD,则 ∠PMQ=∠DNQ=∠CNQ=90°，证明四边形CMQN是正方形，则∠MQN=90°，证明 RtaPMO≌Rt△DNQ(HL),所以∠PQM=∠DQN,可证△PQD是等腰直角三角形，通过勾 股定理得PQ=Y2PD,然后求出PC=BC=3,PD=35,从而可得PQ=3 2 2 ②如图，过Q作OM⊥BC于点M,作QN⊥CD于点N,连接QD,则 ∠PMQ=∠DNQ=∠CNQ=90°，由折叠性质可知PQ=DQ,同①得△PQD是等腰直角三 答案第73页，共79页 角形，P0=2PD,由四边形ABCD是正方形，得∠BCD=90,通过勾骰定理得 CM=QM=5),PD=N+36,所以PQ=5pD=V2x+2,通过勾股定理可得 2 V2x2+72 ,则(-2=36，从而得x-2y=-6,故y关于x 2 的函数关系式为y=5x+35(0≤x≤6). 2 【详解】(1)解：当点G与点A重合，此时Q与A重合， 如图，连接AP,PH, A(G)() ~四边形ABCD是矩形， :AB=CD=6,BC=AD=10,∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°， 由折叠性质可得，AD=AP=10,PH=DH, ∴BP=VAP2-AB2=V102-62=8, PC=BC-BP=10-8=2, 设PH=DH=x,则CH=6-x, 由勾股定理得，PC2+CH=PH, 2+(6-x)2=x2, 解得：x=10 ’ .PH=DH=10 2 .AH=AD+DH= 10 10w10 3 GH=100 3 折痕GH的长为1010 3； (2)解：①如图，过Q作OM⊥BC于点M,作QN⊥CD于点N,连接QD,则 ∠PMQ=∠DNQ=∠CNQ=90°， 答案第74页，共79页 G B M P 由折叠性质可知，PQ=DQ, 四边形ABCD是正方形， ·∠BCD=90°，AC平分∠BCD, ·.∠PMQ=∠BCD=∠CNQ=90°， 四边形CMON是矩形， AC平分∠BCD,OM⊥BC,QN⊥CD, ..OM=ON, :四边形CMQN是正方形， ∠MgN=90°， 在RtAPMO和Rt△DNQ中， 「PQ=DQ OM ON :.Rt△PMQ≌Rt△DNQ(HL), :∠PQM=∠DQN, .∠MQN=∠PQM+∠PQN=∠DQN+∠PQN=∠PQD=90°， :.△PQD是等腰直角三角形， ..PO2+DO2 PD2, P=PD 当点P为BC的中点时， PC3, PD=PC+CD=3+6=35 o2 2 ②如图，过Q作QM⊥BC于点M,作QN⊥CD于点N,连接QD,则 答案第75页，共79页 ∠PMg=∠DNQ=∠CNQ=90°， A G B M 由折叠性质可知，PQ=DQ, 同①得△PQD是等腰直角三角形，PQ=2Pp, 2 ~四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90,∠ACB=∠ACD=∠BCD, ·∠ACB=∠ACD=45°， ∠ACB=∠MQC=45°， ..CM=OM, .CM+OM2=cO2, CM=ov= 2, PM=CM-PC= 2y-x, 在Rt△PCD中，PC2+CD=PD, x2+62=PD2, PD=Vx2+36, P-5pn-+6-2r+7万 2 2 2 在Rt PM0中，PM2+QM2=Pg, 停jj y-w++2 4 1x2-2gy+y=18 x2-2V2y+2y2=36 答案第76页，共79页 (x-2y=36, .0≤x≤6，x<y ∴x-V2y<0, ∴x-V2y=-6, y关于x的函数关系式为y=5x+32(0≤r≤6. 2 3x 39.(①y=6(0<x≤7列，5= (0<x≤4) ;(2)见解析(3)2<x<6.5 -2x+14(4<x≤7) 【分析】(1)根据图形的面积，结合题意求解即可： (2)根据画图象的基本步骤，结合图象写一条性质即可； (3)结合图象分析，即可得出当乃<y时，x的取值范围. 【详解】(1)解：由题意可得， 3 BCxCO 4× 乃= 2 x×33x 当0<x≤4时，y3= 22 当4<x≤7时，为=7-水4 =-2x+14, 3x 即片=6(0<x≤7)，5， (0<x≤4) 2 -2x+14(4<x≤7) (2)解：根据题意，画图象如下： 珠 6 y= 12 11 10 9 8 7 6 5 y2=2+14 4 3/ 2 3x y2= 12345678910111213 答案第77页，共79页 当0<x<7时，y随x的增大而减小： 当0<x≤4时，y随x的增大而增大；当4<x≤7时，y随x的增大而减小.（答案不唯一， 合理即可) (3)解：由图象可得，当y,<y时，x的取值范围是2<x<6.5. 40.(1)5(2)s=12-2t,0≤t<6 (3)当t=（6-V20)秒或1秒或2秒时，△EPC是等腰三角形(450 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，轴对称的性质，函数关系式的建立等知 识点， (1)确定出△ABC、△AME均为等腰直角三角形，然后对Rt△PME运用勾股定理求解即 可； (2)由题意得，CP=6-t,根据s=】PC-ME即可建立函数关系式； (3)由题意得CP=6-t,根据勾股定理可得CE=VCM+EM2=V20, EP=VMP?+EM?=V-8t+32,然后分三种情况结合等腰三角形的性质求解即可； (4)过点N分别作AC,AB的对称点H,K,连接PH,QK,EK,HK,则PH=PN,QN=QK, HM=MN=3,EN=EK=4-3=1,∠AEM=∠AEK=45°，那么 C△PoN=PO+PN+ON=PH+PO+OK≥HK,∠HEK=∠AEM+∠AEK=90°，则当点 H,P,O,K共线时，△PQN的周长取得最小值，即为HK,然后对Rt△HEK运用勾股定理求 解即可. 【详解】(1)解：∠ACB=90°，AC=BC=6, “△ABC为等腰直角三角形，∠A=∠B=45°， .CM=2, ..AM=AC-CM=4 ~ME⊥AC, ∴△AME为等腰直角三角形， :AM=ME=4,∠AEM=45° 由题意得，当t=1时，AP=1×1=1, ∴PM=AM-AP=3, 答案第78页，共79页 ∴PE=VPM2+ME2=5; (2)解：由题意得，CP=6-t, s-PCME(6-)4-12-2. 由0<6-t≤6得0≤t<6; (3)解：由题意得，CP=6-t,CE=VCM2+EM=V20, EP=VMP2+EM=(4-t)+4=v-8t+32, 当CP=CE时，则6-t=V20,解得t=6-√20； 当CP=EP时，(6-t)3=tP-8t+32,解得t=1: 当CE=EP时， EM⊥AC, ..PM =CM, ∴.4-t=2, …t=2, 综上：当t=(6-V20)秒或1秒或2秒时，△EPC是等腰三角形 (4)解：过点N分别作AC,AB的对称点H,K,连接PH,QK,EK,HK, 图2 ·.PH=PN,QN=QK,HM=MN=3,EN=EK=4-3=1,∠AEM=∠AEK=45 C△POw=PO+PN+ON=PH+PO+OK≥HK,∠HEK=∠AEM+∠AEK=90°， 当点H,P,O,K共线时，△PQN的周长取得最小值，即为HK, HE=HM+ME=3+4=7, HK=VHE2+EK2=+1=50, .△PQN的周长最小值为50. 答案第79页，共79页 22025-2026学年八年级下册数学（人教版） 非选择题专项训练 一、解答题 1．生活中，许多商品都用纸箱进行包装，对于给定数量的商品，如何用更少的包装纸进行包装，对于环保和生产商的利益都是重要的．某综合实践小组针对圆柱体产品单层齐排列时，长方体包装纸箱的卡纸用料最小的问题开展探究活动．图1的长方体是外包装纸箱的示意图，图2是该种圆柱体产品在包装箱中齐排列的底面示意图． 为了方便计算，该小组将圆柱体的底面圆半径记为R，圆柱体的高记为h，排列的列数记为x，排列的行数记为y，每箱产品的个数记为n． (1)请用含R，x，y的代数式表示包装纸箱的底面积； (2)已知某规格的圆柱体产品中，，，若采用单层齐排列的包装方式，请探究如何设计排列的行数和列数，使得包装纸箱的用料最省； (3)根据（2）的探究结果，当n为完全平方数（若整数，其中a为整数，则n是完全平方数），猜想采用单层齐排列的包装方式，包装纸箱的用料最省时，x，y与n的数量关系． 2．对于实数x，表示不超过的最大整数，如 ．细心观察图形，解答下面问题： （是的面积）； （是的面积）； （是的面积）； ．．．依此类推，是的面积． (1)___________； ___________． (2)若 ，则的最大值为___________． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为，，，其中a，b，c满足关系式． (1)求a，b，c的值； (2)如果在第二象限内有一点，是否存在点P，使的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如果在平面直角坐标系中存在一个点P，使是以为直角边的等腰直角三角形，则称点P为线段的“小K点”，请直接写出此题中的“小K点”的坐标． 4．阅读下列材料，并解答问题： 分解因式时，细心观察这个式子就会发现前三项符合完全平方和公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后再提取公因式就可以完成对这个多项式的因式分解了，具体过程为： 这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)试用“分组分解法”分解因式：； (2)已知三个实数，满足，并且，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示，． 5．【阅读理解】 “截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题． （1）如图1，是等边三角形，点是边右侧一点，，则线段之间的数量关系为__________； 【迁移应用】 （2）如图2，为等边三角形，点在边上，，且．试探究线段之间的数量关系，并说明理由； 【能力提升】 （3）如图3，在四边形中，．若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，则与的数量关系为________；若此时，则的面积为_________． 6．图①、图②、图③都是的正方形网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．的三个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画的中线． (2)在图②中画的高． (3)在图③中边上确定点，连结，使得． 7．如图，在中，，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图，若D为的中点，求证：； 8．如图，地面上放着一个小凳子（凳宽与地面平行，墙面与地面垂直），点到地面的距离为．在图①中，一根长的木杆一端与墙角重合，另一端靠在点处． (1)求小凳子顶点与墙面的距离； (2)在图②中另一木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上的点处，若，木杆比凳宽B长，求小凳子宽和木杆的长度． 9．2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程：①测得水平距离的长为24米；②根据图图手中剩余线的长度计算出牵引线的长为30米；③图图牵线放风筝的手到地面的距离为米．请你帮助解决涵涵提出的问题．放风筝小队在野外放风筝，为了安全，风筝高度不得高于20米，根据测量的数据判断此时风筝的高度是否安全？ 10．阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，如果，是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如图，过、分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，，． 由此得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式为：       (1)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为__________； (2)在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，求的最小值． (3)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值． 11．解答下列问题： (1)如图1，在中，分别以为边向外作等腰和等腰，使，连接，试猜想与的大小关系，并说明理由； (2)如图2，在中，分别以为边向外作等腰和等腰，，连接，若，求的长； (3)如图3，在四边形中，连接，求的长． 12．已知为等边三角形，点D是边上一动点，连接，将沿翻折，点C的对应点为E． (1)如图1，若，，求线段的长； (2)如图2，连接，若所在直线与垂直，求的值； (3)如图3，过点A的直线，射线与直线l交于点F．若，，求线段的长． 13．当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“和谐共存线”，把这个四边形叫做“和谐共存四边形”． (1)【概念理解】如图1，四边形中，，，，，求证：四边形是“和谐共存四边形”． (2)【模型构建】如图2，四边形与四边形都是“和谐共存四边形”，且，，，对角线，分别是这两个四边形的“和谐共存线”，试说明与的数量关系． (3)【思维拓展】如图3，四边形是“和谐共存四边形”，对角线是“和谐共存线”．已知为等腰直角三角形，且，请直接写出的长． 14．探究以下问题： (1)如图1，在中，，点D、E分别在边、上，且，．若，，则的长度为______； (2)现有等腰三角形支架，如图2，，，D、E是支架两边、上可滑动的节点，且滑动时始终保持，现以为边向右拼接配件、，使，，用钢索连接点C、点F和点B、点F，支架底部跨度，滑动节点D、E时，F点位置会随之变动． ①请计算的度数； ②现需要调整点位，使钢索长度最短，以降低耗材用量，请求出此时的面积． 15．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是___________． A．SSS        B．SAS        C．AAS        D．HL (2)求得的取值范围是___________． A．        B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 (3)如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：． (4)如图3，是的中线，点，分别在，上，且．求证：． 16．如图，四边形是正方形，点是边（不与点，点重合）上的一点，，且交正方形外角的平分线于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，分别为，的中点，连接和相交于点，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由； (3)若点是边（不与点，点重合）上的一点，直接写出，，三边满足什么数量关系时，四边形是平行四边形． 17．在中，，点是线段上的一点，连接． (1)如图1，，是的角平分线，于点． ①当时，求的长； ②若的中线交于点，判断与的关系，并说明理由； (2)如图2，若，点是上的一点，且，连接交于点，求的度数． 18．综合与实践 数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，、分别是、上的两点，连接、交于点． 已知，求证：． 甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下： 由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得． 完成任务： (1)填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”或“”） 【发现问题】 同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究． 【迁移探究】 在正方形中，点在上，点、分别在、上，连接、交于点P．甲小组同学根据，画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出的图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立． (2)在图2中，已知，求证：； (3)在图3中，若，则的度数为多少？ 19．定义：连接四边形的一条对角线，若四边形被分成一个直角三角形和一个等腰三角形，则称这个四边形是奇特四边形，这条对角线叫做奇特线． (1)如图，矩形的对角线、交于点，，，求证：四边形是奇特四边形； (2)如图，菱形中，，，点是对角线的交点，在左侧有一点，使得四边形为奇特四边形，且为奇特线．若四边形的面积为，直接写出的长． 20．如图，在正方形中，，点M为线段上一点，将沿所在直线翻折得到（点E在正方形内部），连接，，，若，则的面积为______． 21．如图，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点H，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，，，，求的长． 22．如图，矩形中，点是对角线上的动点（不与、重合），过点分别作、边上的垂线段与，连接、．从以下三个选项中选择一个作为命题的条件， 另外两个作为结论，先判断真假再证明或举反例． ①；②；③对任意一点都有． 23．综合与实践 已知矩形中，，在上有一点P，将沿进行翻折，当的对应边与边相交时，记交点为点F． 【发现】 (1)如图1，若点P与点D重合时，求证：； 【探究】 (2)连接，当取得最小值时，直接写出的长； (3)如图2，当点P满足时，求的长； 【拓展】 (4)当射线恰好经过的中点M时，直接写出的长． 24．如图，在中，，，，E、F分别在边上，将四边形沿翻折得到四边形，点G落在边上． (1)当点G与点C重合时，则的长为______； (2)设，，求y关于x的函数关系式； (3)直接写出折痕的取值范围______． 25．如图所示，四边形是长方形，点P从A出发沿顺时针方向运动，速度为1厘米/秒．图是三角形的面积随着时间的变化情况，当运动时间为2秒时，三角形的面积为16平方厘米． (1)长___________，长___________． (2)当运动时间为___________秒时，点P运动到点C的位置． (3)连接．若与相交于M，当三角形的面积与三角形的面积之比为时，求点P的运动时间．（画出草图，再解答） 26．如图，在长方形中，，，是的中点，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向向终点A运动，设点Q运动的时间为x秒． (1)点Q在运动的路线上和点C之间的距离为4时， 秒． (2)若的面积为S，用含x的代数式表示． (3)若点Q从A出发3秒后，点M以每秒6个单位长度的速度沿的方向运动，M点运动到达D点后立即沿着原路原速返回到A点，当M与Q在运动的路线上相距不超过4时，请直接写出相应x的取值范围． 27．如图，矩形中，，点F是线段的中点，动点P从点A出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点B出发沿折线B→C→F方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点F时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的面积为y． (1)请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（面积不为0）； (2)在给定的平面直角坐标系内画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图像，在范围内，与函数有2个交点，直接写出t的求值范围． 28．【综合与实践】 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求点，点的坐标以及的面积； (2)若是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转（即）得到，此时点恰好落在直线上． ①求点和点的坐标； ②若点在轴上，在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点坐标，否则说明理由． 29．如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式组的解集． (4)在平面内找一点M，使以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，直接写出M点坐标 30．如图，矩形纸片的每一条边长都是，动点从点出发，沿着运动到点时停止，设点经过的路程为，的面积为． (1)当时，_____； (2)求与的函数关系式； (3)当时，求的值； (4)将四边形纸片沿剪开，当剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形时，直接写出的值． 31．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，，点A的坐标为．点是线段上一点，连接并延长至D，使，连接． (1)求直线的表达式； (2)若是直角三角形，求点C的坐标； (3)若直线与的边有两个交点，求m的取值范围． 32．如图，在平面直角坐标系中，为原点．边长为的菱形的一边与轴的正半轴重合，． (1)求点的坐标； (2)已知直线过点，且直线不平行于轴． ①若与轴的夹角为，求与轴交点的纵坐标； ②若将菱形分成面积比为∶的两部分，求的解析式． 33．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． (1)求直线的解析式； (2)若为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，在直线上是否存在动点，使得，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由． 34．如图，已知在平面直角坐标系中，，，，其中，满足．点是轴的上方距离轴的距离为的直线上的任意一点． (1)点的坐标为______________，点的坐标为______________，点的坐标为______________； (2)画出直线，与直线相交于点． ①求出点的坐标； ②若点的横坐标为1，连接，，则三角形的面积为______________； (3)是否存在点，使三角形的面积等于的面积？如果存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 35．豌豆荚里有几粒豆子不确定，那么豆子粒数是否有规律？同学们对这个问题很感兴趣，为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本次调查的过程． 【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3毫米）粒数，记录数据． 【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：其中A类（），B类（），C类（），D类（），E类（）． 【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查活动中随机抽取了________个豌豆荚，条形图中________，补全条形统计图，扇形图中________； (2)所调查豆子粒数的中位数落在________类中；（只填写字母） (3)如果甲同学调查了20个豌豆荚，其中B类有7个，乙同学调查了10个豌豆荚，其中D类有3个，能否得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律？请说明理由． 36．在“自制太阳能小车竞速赛”中，对甲、乙、丙三个小车进行10次赛道测试，每次测试的用时评分记为分（分数越高代表用时越短、性能越好），老师对它们的成绩进行统计后，绘制了如图所示的统计图（图不完整）． (1)补全下面甲、乙小车的测试成绩统计表，并直接写出甲、乙小车中哪个小车性能更好； 平均数 中位数 众数 甲 8.2 8 乙 7 (2)若甲小车再进行1次测试，得分为9分，则甲小车的测试成绩不会发生改变的统计量是________（填“平均数”“众数”或“中位数”）； (3)若丙小车10次成绩的众数、平均数均大于乙小车，请在图中补全丙小车的成绩．（画出一种情况即可）． 37．某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下： 当时，； 当时，． （其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线） 公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格． (1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若，求甲、乙的报告成绩； (2)丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值： (3)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表： 原始成绩（分） 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5 ①直接写出这100名员工原始成绩的中位数； ②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率． 38．综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．将矩形对折，使点落在边上的点处，得到折痕，点和点分别在线段和线段上，折痕与对角线交于点．打开铺平，得到图． (1)若点与点重合，，，求折痕的长度； (2)若矩形变成边长为的正方形，其他条件不变，如图． 当点为的中点时，线段_______； 若，，请求出关于的函数，并求出自变量的取值范围． 39．如图，在中，，，，点P从点B出发，沿折线运动，当它到达点A时停止，设点P运动的路程为x，点Q是射线上一点，，连接，设，． (1)求出，与x的函数关系式，并注明x的取值范围； (2)在直角坐标系内画出，函数图象，结合和的函数图象，并描述出，图象的一条性质． (3)当时，求出x的取值范围（精确到）． 40．如图1，中，，M点在边上，且，过M点作的垂线交边于E点，动点 P 从点A 出发沿边向M 点运动，速度为1个单位/秒，当动点P 到达M点时，运动停止．连接，设运动时间为t．在此过程中 (1)当时，求的长度； (2)设的面积为s，试求s与t的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)当t为何值时，是等腰三角形? (4)如图2，若点N是线段上一点，且，点Q 是线段上一动点，连接得到，请直接写出周长的最小值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $