高一数学下学期期末模拟卷（北师大版必修第二册全册：三角函数+平面向量及其应用+三角恒等变换+复数+立体几何初步）

**基本信息** 立足北师大版必修二全册，以鹳雀楼测量、折扇面积等文化与生活情境为载体，梯度设计选择、填空、解答题，综合考查三角函数、立体几何等核心知识，渗透数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|平面向量共线（1题）、复数共轭（9题）|多选第11题结合三角函数图象平移考查推理能力| |填空题|3题/15分|解三角形（12题）、四棱锥外接球（14题）|14题分层设问，考查空间想象与运算| |解答题|5题/77分|三角函数单调区间（15题）、立体几何折叠（17题）、仿射坐标系新定义（19题）|17题三问递进，19题创新情境，对接高考命题趋势|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：北师大版必修第二册全册（三角函数+平面向量及其应用+三角恒等变换+复数+立体几何初步） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，，若，则（ ） A．-1 B．1 C．-9 D．9 2．如图，这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面.已知扇子扇形的圆心角为，则此扇面的面积为（ ） A． B． C． D． 3．已知，则（ ） A． B． C． D． 4．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ） A．若，，则. B．若，，则. C．若，，，则 D．若，，则 5．一圆台的上底面半径为，下底面半径为，若母线与底面的夹角为，则该圆台的体积为（ ） A． B． C． D． 6．设，则有（ ） A． B． C． D． 7．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点在正方体的表面上运动，且平面.则线段的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数满足为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．在复平面内对应的点在第二象限 D．若，则 10．下列说法正确的是（ ） A．在中，，E为AC的中点，则 B．在中，与满足，则是等腰三角形 C．已知，，若与的夹角是钝角，则 D．在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，且，点F是CD中点，则 11．已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．当时，在上单调递增 B．若，且，则函数的最小正周期为 C．若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3 D．若在上恰有4个零点，则的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．中，角，，所对的边分别为，，，，，，则角的对边____________. 13．已知，，，则______． 14．已知在四棱锥中，底面为边长是4的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知 (1)求的单调递增区间； (2)若，求的值域. 16．（15分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求； (2)若的面积为，求AB边上的中线CD的长． 17．（15分）如图1，四边形ABCD为菱形，是边长为2的等边三角形，点为AB的中点，将沿AB边折起，使，连接PD，如图2， (1)证明：； (2)求异面直线BD与PC所成角的余弦值； (3)在线段PD上是否存在点，使得平面MCN？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 18．（17分）已知函数的部分图象如图. (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象先向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的单调递增区间； (3)函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围. 19．（17分）如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系．若在θ仿射坐标系下，，则把有序数对叫作向量的仿射坐标，记为，若满足，则称为θ仿射坐标系下的“完美向量”．已知在θ仿射坐标系下，，． (1)若，求向量的仿射坐标，并直接写出两个“完美向量”的仿射坐标； (2)当，求与的夹角β的余弦值； (3)设，对任意实数t，恒成立，求θ的取值范围，求的最大值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C D D B B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ABD AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．；13．；14．. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】(1)（）. (2). 【分析】（1）先将函数化简为的形式，再根据正弦函数的单调性求出单调递增区间； （2）根据的取值范围，求出的取值范围，再结合正弦函数的值域求出的值域. 【详解】（1）依题化简： ，…………………………………4分 令，， 解得，， 所以的单调递增区间为（）. ………………7分 （2）因为 ，所以 ，则 ，………………9分 当 ，即 时， 取得最大值 ， 当 ，即 时， 取得最小值 ，………………11分 所以 ， 所以 ， 则，即 ， 所以当 时， 的值域为 .………………13分 16．（15分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，然后通过余弦定理求出. （2）根据三角形面积公式求出边的值，最后利用余弦定理求出中线的长. 【详解】（1）在中，因为，根据正弦定理得： ，因为，所以. 根据余弦定理.………………6分 （2）由（1）知，因为， 所以. 因为的面积为，所以， 解得，进而.………………10分 根据余弦定理可得.………………12分 所以根据余弦定理. 因为为线段，其长度取正值，所以. 所以边上的中线的长为.………………15分 17．（15分） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，由四边形，可得，再由线面垂直的判定可得平面，则； （2）在上取点Q，使得，设，连接，，可证得或其补角为异面直线BD与PC所成的角，然后在中利用余弦定理求解即可； （3）设，连接，则由线面平行的性质可得，从而可找出点的位置. 【详解】（1）连接，因为是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，所以. 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以..………………4分 （2）在上取点Q，使得，设，连接，， 因为，所以， 在中，，所以， 所以或其补角为异面直线BD与PC所成的角，因为，所以， 又， ， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线BD与PC所成角的余弦值为..………………10分 （3）假设线段上存在点，使得平面， 因为平面，平面，平面平面， 所以，又，所以. 所以线段PD上存在点N，使得平面，且， ．.………………15分 18．（17分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由函数的图像，求得，得到，再由，求得，进而得到函数的解析式； （2）根据三角函数的图象变换，求得，结合三角函数的图象与性质，即可求得的单调递增区间； （3）令，得到，转化为方程在有且仅有两个实根，结合余弦函数的性质，求得方程的根，进而求解. 【详解】（1）由图象可知， 设函数的最小正周期为， 由函数的图像，可得，所以， 因为，所以，所以函数， 又因为，所以，解得， 因为，所以令，可得， 所以函数的解析式为..………………5分 （2）函数的图象先向右平移个单位长度， 得到，的图象， 再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，（纵坐标不变）， 得到函数的图象，所以， 令，解得， 所以函数的单调递增区间..………………11分 （3）令，则， 因为函数在区间上有且仅有两个零点， 所以方程在有且仅有两个实根， 令，得或， 所以方程的较小的三个正根从小到大排列分别是， 所以，解得， 所以实数的取值范围为..………………17分 19．（17分） 【答案】(1)仿射坐标，， (2) (3) 【分析】（1）根据向量的三角形法则和坐标表示计算即可. （2）根据向量的数量积定义和向量的模的公式以及向量夹角的余弦公式计算即可. （3）根据向量的模的公式化简不等式，然后根据二次函数的性质和向量夹角的余弦公式计算即可. 【详解】（1），仿射坐标， ， 即或，或， 所以或，或，， 所以，为“完美向量”. .………………4分 （2），， ，， ， ， ．.………………10分 （3）， 由得， ， 得到， 对任意恒成立．因为，所以， ，，所以， ， 令， 因为，所以，， 所以的最大值为，当且仅当时，取等号．.………………17分 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，，若，则（ ） A．-1 B．1 C．-9 D．9 【答案】A 【分析】根据两向量平行的充要条件求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 解得. 2．如图，这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面.已知扇子扇形的圆心角为，则此扇面的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用扇形面积公式计算扇形和扇形的面积，最后相减即可. 【详解】扇子扇形的圆心角为，， 由扇形面积公式得，扇形的面积为， 扇形的面积为， 扇面的面积为. 故选：B. 3．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， ． 4．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ） A．若，，则. B．若，，则. C．若，，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系进行判断． 【详解】对于A，若，，则与可以平行或相交，故A项错误； 对于B，若，，则与可以平行，异面，相交，故B项错误； 对于C，若，，，则与可以平行，异面，相交，故C项错误； 对于D，若，由线面平行的定义，存在，使得， 由得，而，得，故D项正确． 5．一圆台的上底面半径为，下底面半径为，若母线与底面的夹角为，则该圆台的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据母线与底面的夹角求出圆台的高，再代入圆台体积公式计算结果即可. 【详解】已知圆台的上底面半径为，即，下底面半径为，即，母线与底面的夹角为， 由于圆台的轴截面为等腰梯形，如图所示，由题意得，， 因此圆台的高， 由圆台的体积公式得. 6．设，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， ，因为在上单调递增， 所以，又因为，所以 即，综上. 7．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得、、，再利用正弦定理计算即可得解. 【详解】，， ，则， 由正弦定理可得， 即， 则. 8．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点在正方体的表面上运动，且平面.则线段的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点，中点，连接，，，，，证明平面平面，由点在正方体的表面上运动可得点在线，，，上运动，再由求线段的最小值，即求点到平面各边距离的最小值即可求解. 【详解】如图，取中点，中点，连接，，，，， 因为点分别是棱的中点，所以，因为为中点， 所以，，，所以平面平面， 点在平面上运动，又因为点在正方体的表面上运动，所以点在直线，，，上运动，且为等腰三角形， 求线段的最小值，即求点到平面各边距离的最小值，点到边距离最小， 设点到边的垂足为，则为的中点，所以，所以线段的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数满足为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．在复平面内对应的点在第二象限 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据复数的除法运算可得，结合复数的相关概念可判断选项. 【详解】A.由题意得，， ∴，A正确； B.，B正确； C.，在复平面内对应的点为，在第一象限，C错误； D.由题意得，， ∴，解得， ∴，D正确. 故选：ABD. 10．下列说法正确的是（ ） A．在中，，E为AC的中点，则 B．在中，与满足，则是等腰三角形 C．已知，，若与的夹角是钝角，则 D．在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，且，点F是CD中点，则 【答案】ABD 【分析】对于A，利用平面向量基本定理根据题意将用表示出来再判断；对于B，由向量的加法法则判断；对于C，由题意可知，且两向量不共线，从而可求出的范围；对于D，以为原点建立直角坐标，表示，然后利用数量积求解. 【详解】 对于A，因为中，，为的中点， 所以，所以A正确； 对于B，因为与是非零向量， 所以所在的直线平分， 因为，所以， 所以是等腰三角形，所以B正确； 对于C，因为与的夹角是钝角， 所以，且两向量不共线， 由得，得， 当与共线时，得， 所以当与的夹角是钝角时且，所以C错误， 对于D， 如图，以为原点建立直角坐标， 则由题意可得， 所以， 所以，所以D正确， 故选：ABD. 11．已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．当时，在上单调递增 B．若，且，则函数的最小正周期为 C．若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3 D．若在上恰有4个零点，则的取值范围为 【答案】AD 【分析】对A，由复合函数单调性即可判断；对B，由题可得，由此即可判断；对C，由题意得，，结合的范围即可判断；对D，根据，，得到，进一步列出不等式组即可求解. 【详解】对于A，当时，，，则， 由正弦函数单调性可知在上单调递增，故A正确； 对于B，由可知，一个为函数的最大值，一个为函数的最小值. 又因为，则当且仅当，即，所以函数的最小正周期为π，故B错误； 对于C，若的图象向左平移个单位长度后，得到的函数解析式为， 其图象关于轴对称，则，，所以，， 又因为，则的最小值为4，故C错误； 对于D，，，则， 若在上恰有4个零点，则当且仅当，得，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．中，角，，所对的边分别为，，，，，，则角的对边____________. 【答案】 【分析】由正弦定理得到，再结合余弦定理即可求解. 【详解】在中，因为，所以根据正弦定理有， 又，则，， 由， 得. 故答案为： 13．已知，，，则______． 【答案】 【分析】利用角的拆分，先由和角的范围求，再由和角的范围求，最后用两角差的正弦公式代入计算． 【详解】因为，且，所以， 由，得，又，所以， 因为，所以， 所以 ． 14．已知在四棱锥中，底面为边长是4的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为_____． 【答案】 【分析】取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，分别过，作两个平面的垂线交于点O，得到点O即为该球的球心，取线段的中点E，得到四边形为矩形，分别求得，结合球的截面圆的性质，即可求解. 【详解】如图所示，在四棱锥中，取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，分别过，作两个平面的垂线交于点O， 则由外接球的性质知，点O即为该球的球心， 取线段的中点E，连，，，，则四边形为矩形， 在等边中，可得，则，即， 在正方形中，因为，可得， 在直角中，可得，即， 所以四棱锥外接球的表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知 (1)求的单调递增区间； (2)若，求的值域. 【答案】(1)（）. (2). 【分析】（1）先将函数化简为的形式，再根据正弦函数的单调性求出单调递增区间； （2）根据的取值范围，求出的取值范围，再结合正弦函数的值域求出的值域. 【详解】（1）依题化简： ， 令，， 解得，， 所以的单调递增区间为（）. （2）因为，所以，则， 当，即时，取得最大值， 当，即时，取得最小值， 所以， 所以， 则，即， 所以当时，的值域为. 16．（15分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求； (2)若的面积为，求AB边上的中线CD的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，然后通过余弦定理求出. （2）根据三角形面积公式求出边的值，最后利用余弦定理求出中线的长. 【详解】（1）在中，因为，根据正弦定理得： ，因为，所以. 根据余弦定理. （2）由（1）知，因为， 所以. 因为的面积为，所以， 解得，进而. 根据余弦定理可得. 所以根据余弦定理 . 因为为线段，其长度取正值，所以. 所以边上的中线的长为. 17．（15分）如图1，四边形ABCD为菱形，是边长为2的等边三角形，点为AB的中点，将沿AB边折起，使，连接PD，如图2， (1)证明：； (2)求异面直线BD与PC所成角的余弦值； (3)在线段PD上是否存在点，使得平面MCN？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，由四边形，可得，再由线面垂直的判定可得平面，则； （2）在上取点Q，使得，设，连接，，可证得或其补角为异面直线BD与PC所成的角，然后在中利用余弦定理求解即可； （3）设，连接，则由线面平行的性质可得，从而可找出点的位置. 【详解】（1）连接，因为是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，所以. 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）在上取点Q，使得，设，连接，， 因为，所以， 在中，，所以， 所以或其补角为异面直线BD与PC所成的角，因为，所以， 又， ， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线BD与PC所成角的余弦值为. （3）假设线段上存在点，使得平面， 因为平面，平面，平面平面， 所以，又，所以. 所以线段PD上存在点N，使得平面，且， ． 18．（17分）已知函数的部分图象如图. (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象先向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的单调递增区间； (3)函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由函数的图像，求得，得到，再由，求得，进而得到函数的解析式； （2）根据三角函数的图象变换，求得，结合三角函数的图象与性质，即可求得的单调递增区间； （3）令，得到，转化为方程在有且仅有两个实根，结合余弦函数的性质，求得方程的根，进而求解. 【详解】（1）由图象可知， 设函数的最小正周期为， 由函数的图像，可得，所以， 因为，所以，所以函数， 又因为，所以，解得， 因为，所以令，可得， 所以函数的解析式为. （2）函数的图象先向右平移个单位长度， 得到，的图象， 再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，（纵坐标不变）， 得到函数的图象，所以， 令，解得， 所以函数的单调递增区间. （3）令，则， 因为函数在区间上有且仅有两个零点， 所以方程在有且仅有两个实根， 令，得或， 所以方程的较小的三个正根从小到大排列分别是， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 19．（17分）如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系．若在θ仿射坐标系下，，则把有序数对叫作向量的仿射坐标，记为，若满足，则称为θ仿射坐标系下的“完美向量”．已知在θ仿射坐标系下，，． (1)若，求向量的仿射坐标，并直接写出两个“完美向量”的仿射坐标； (2)当，求与的夹角β的余弦值； (3)设，对任意实数t，恒成立，求θ的取值范围，求的最大值． 【答案】(1)仿射坐标，， (2) (3) 【分析】（1）根据向量的三角形法则和坐标表示计算即可. （2）根据向量的数量积定义和向量的模的公式以及向量夹角的余弦公式计算即可. （3）根据向量的模的公式化简不等式，然后根据二次函数的性质和向量夹角的余弦公式计算即可. 【详解】（1），仿射坐标， ， 即或，或， 所以或，或，， 所以，为“完美向量”. （2），， ，， ， ， ． （3）， 由得， ， 得到， 对任意恒成立．因为，所以， ，，所以， ， 令， 因为，所以，， 所以的最大值为，当且仅当时，取等号． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：北师大版必修第二册全册（三角函数+平面向量及其应用+三角恒等变换+复数+立体几何初步） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，，若，则（ ） A．-1 B．1 C．-9 D．9 2．如图，这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面.已知扇子扇形的圆心角为，则此扇面的面积为（ ） A． B． C． D． 3．已知，则（ ） A． B． C． D． 4．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ） A．若，，则. B．若，，则. C．若，，，则 D．若，，则 5．一圆台的上底面半径为，下底面半径为，若母线与底面的夹角为，则该圆台的体积为（ ） A． B． C． D． 6．设，则有（ ） A． B． C． D． 7．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点在正方体的表面上运动，且平面.则线段的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数满足为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．在复平面内对应的点在第二象限 D．若，则 10．下列说法正确的是（ ） A．在中，，E为AC的中点，则 B．在中，与满足，则是等腰三角形 C．已知，，若与的夹角是钝角，则 D．在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，且，点F是CD中点，则 11．已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．当时，在上单调递增 B．若，且，则函数的最小正周期为 C．若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3 D．若在上恰有4个零点，则的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．中，角，，所对的边分别为，，，，，，则角的对边____________. 13．已知，，，则______． 14．已知在四棱锥中，底面为边长是4的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知 (1)求的单调递增区间； (2)若，求的值域. 16．（15分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求； (2)若的面积为，求AB边上的中线CD的长． 17．（15分）如图1，四边形ABCD为菱形，是边长为2的等边三角形，点为AB的中点，将沿AB边折起，使，连接PD，如图2， (1)证明：； (2)求异面直线BD与PC所成角的余弦值； (3)在线段PD上是否存在点，使得平面MCN？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 18．（17分）已知函数的部分图象如图. (1)求函数的解析式； (2)若将函数的图象先向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的单调递增区间； (3)函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围. 19．（17分）如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系．若在θ仿射坐标系下，，则把有序数对叫作向量的仿射坐标，记为，若满足，则称为θ仿射坐标系下的“完美向量”．已知在θ仿射坐标系下，，． (1)若，求向量的仿射坐标，并直接写出两个“完美向量”的仿射坐标； (2)当，求与的夹角β的余弦值； (3)设，对任意实数t，恒成立，求θ的取值范围，求的最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $