专题10 期末真题百练通关（100题21大选填小压轴题型）（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材人教版

**基本信息** 聚焦期末选填小压轴，21类题型100道真题，覆盖二次根式、勾股定理、四边形、函数、统计等核心模块，突出综合应用与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数与式|12题|非负性应用、规律探究|从概念到综合化简，体现抽象能力| |几何图形|44题|折叠勾股、多结论判断|以勾股定理为核心，结合四边形性质，培养几何直观| |函数|25题|图像动点、新定义|从定义到几何综合，发展推理意识| |统计与概率|19题|方差最值、图表决策|数据分析与应用，强化数据意识|

专题10 期末真题百练通关（100题21大选填小压轴题型） 题型1二次根式非负性+方程+分类讨论（选择压轴） 题型12函数定义+自变量范围（选择压轴） 题型2 根式+数轴/绝对值化简（高频填空压轴） 题型13 函数图像+动点（填空压轴） 题型3 根式规律探究（填空压轴） 题型14 新定义函数/规律（填空压轴） 题型4 折叠+勾股（必考压轴，选择/填空） 题型15 一次函数+几何综合（选择压轴） 题型5 网格勾股+逆定理（选择压轴） 题型16 一次函数+不等式（填空压轴） 题型6 勾股+动点/最短路径（填空压轴） 题型17一次函数+行程（填空压轴） 题型7勾股数/规律探究（填空压轴） 题型18一次函数+折叠/对称（选择压轴） 题型8 特殊四边形多结论判断（选择压轴之王） 题型19统计量+新定义/规律（填空压轴） 题型9 四边形+动点函数图像（选择/填空压轴） 题型20图表综合+决策（选择压轴） 题型10中点四边形/中位线综合（填空压轴） 题型21方差最值/数据调整（填空压轴） 题型11四边形+旋转/平移（选择压轴） 题型1二次根式非负性+方程+分类讨论（选择压轴）（共4小题） 1．（25-26八年级上·山东德州·期末）已知，，且，则的值为（　　） A．或 B．2或10 C．10 D． 2．（25-26八年级上·福建福州·期末）若，则代数式的值是（    ） A．2019 B．2025 C．2026 D．2033 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）设正整数满足，则的值为（    ） A．9 B．12 C．16 D．18 4．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知，为实数，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 题型2 根式+数轴/绝对值化简（高频填空压轴）（共5小题） 5．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）已知在数轴上的位置如图：化简的结果为______． 6．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，数轴上点表示的数为，化简___________． 7．（24-25八年级下·全国·期末）实数a、b在数轴上位置如图，化简：________． 8．（23-24八年级下·辽宁营口·期末）在数轴上的位置如图所示，那么化简：的结果是_____．    9．（23-24八年级下·四川广元·期末）已知x，y两个实数在数轴上位置如图所示，则化简的结果是__________． 题型3 根式规律探究（填空压轴）（共3小题） 10．（24-25八年级下·广西南宁·期末）观察下列等式，如果为大于的正整数，请用含的等式表示这个运算规律：______． ；；； 11．（24-25八年级下·山东聊城·期末）观察数表： 第1行：，2，，； 第2行：，，，4； …… 根据数表排列的规律，第13行从左向右第2个数是______． 12．（23-24八年级下·山东聊城·期末）代数推理： …… 试探究一般规律，并写出第n个代数式：______． 题型4 折叠+勾股（必考压轴，选择/填空）（共6小题） 13．（25-26八年级上·重庆合川·期末）如图，在长方形中，为对角线，为的中点，将沿所在直线折叠至该长方形所在平面内，得与交于点，连接，若，则边的长度为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 14．（25-26八年级上·北京昌平·期末）如图，在长方形纸片中，点M在边上，沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为，若，，则的长度为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 15．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，，点D是上一点，连接，将沿着折叠，使点C落在上的点E处，过点B作，交的延长线于点F，则的长为_________． 16．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则的长为___________． 17．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在Rt中，，，点是边上一点，，将沿直线折叠，使点落在边上的点处．若点是直线上的动点，则的周长的最小值是_____． 18．（25-26八年级上·河南·期末）在长方形中，，，点在边上，，将沿折叠，点的对应点为点，若点恰好落在长方形的对称轴上，则____． 题型5 网格勾股+逆定理（选择压轴）（共5小题） 19．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格中的中，边长为无理数的边数是（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 21．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在单位长度为1的的网格中，，，，，，各点都在格点上，其中能代表长为，的两线段是（    ） A．， B．， C．， D．， 23．（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、均在格点上，那么和线段两个端点距离相等的点的轨迹是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 题型6 勾股+动点/最短路径（填空压轴）（共6小题） 24．（23-24八年级上·陕西·期中）在中，，，，点N，M分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ______． 25．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，是的平分线，若P、Q分别是和的动点，则的最小值是________________ ． 26．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）已知在中，，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是__________． 27．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，中，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为_____． 28．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）如图，是等边三角形，边长为，是边上的高，，分别为边，上的一动点，则的最小值为___________． 29．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，，在边上依次取两点，，使，以为边作正方形．当在边上滑动时，点，之间的距离最小值为___________． 题型7勾股数/规律探究（填空压轴）（共4小题） 30．（24-25八年级上·福建漳州·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，3，4，5；5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点如下：勾为奇数，若此类勾股数的勾为（，n为正整数），则股是 ___________．（结果用含n的式子表示） 31．（25-26八年级上·四川成都·期中）定义：若三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组．例如：，都是“邻近”勾股数组，将从小到大排列，分别记为，，，，（为正整数），若时，的值为______；若时，的值为______． 32．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）探究发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个是偶数，如果将它写成，那么另外两个数分别可以写成，，如，，．从而可以得到下列顺序排列的等式： ①， ②， ③， ④， … 根据你发现的规律写出第⑨个等式：________． 33．（25-26九年级上·山东临沂·期末）世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为，其中是互质的奇数，则，为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式： 根据规律写出第⑦个等式为_____． 题型8 特殊四边形多结论判断（选择压轴之王）（共8小题） 34．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）如图，矩形中，点E为上一点，将沿折叠得到，与相交于点G，的延长线与相交于点H，若G为的中点，平分，下列结论:①平分；②点H在的垂直平分线上；③．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 35．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，正方形的边长为1，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：①若为的中点，则四边形是正方形；②点在运动过程中，始终满足；③点在运动过程中，的值为定值1；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 36．（25-26八年级上·山东日照·期末）两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知，，，点F是边中点，则下列结论：①是等边三角形，②，③，④四边形是平行四边形，其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 37．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，已知在菱形中，，、分别是射线和上的两个点，，以下结论：①；②是等边三角形；③；④，，若，则面积的最大值为．其中正确的个数有（   ） A． B． C． D． 38．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，E，F，G分别是，，的中点，下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 39．（24-25八年级下·四川眉山·期末）如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长，交于点，连结交于点下列结论：；；；其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 40．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，正方形中，点E、F、G分别为边，，上的中点，连接、交于点M，连接，，，与交于点N，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．其中结论正确的序号有（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．②④ 41．（24-25八年级下·北京怀柔·期末）如图，在正方形中，点P是对角线上一点（点P不与B，D重合），连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接，，交于点G，给出三个结论：，．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 题型9 四边形+动点函数图像（选择/填空压轴）（共9小题） 42．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图1，在正方形中，M是正方形内部一点，连接，，动点P从点A出发，沿匀速运动，到达点B后停止．设点P运动的路程为x，，若y与x的函数图象如图2所示，则正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 43．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图①，在正方形中，点在边上，且，点沿从点运动到点．设点到边的距离为，，随变化的函数图象如图②所示，则图②中函数图象的最低点的坐标为（   ） A． B． C． D． 44．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，点P是菱形边上的动点，它从点A出发沿路径匀速运动到点D，设的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（　　） A．B．C． D． 45．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图1，在中，，E为边上一点．动点从点出发以的速度沿匀速运动，运动到点时停止．点的运动时间为，线段的长为与的函数图象如图2所示，则的面积()为（   ） A．4 B． C． D．16 46．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法： ①点N的运动速度是； ②的长度为；③a的值为7； ④当时，t的值为． 其中正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 47．（25-26八年级下·湖北·期末）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，当点P运动到的中点处时，的长为______， 的面积为______． 48．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图①，在矩形中，E为边上一点．现有点P以的速度沿运动，到达点E停止．的面积y（单位：）与点P运动的时间t（单位：s）的关系图像如图②所示，则的值为________，当点P运动的时间t为________s时为直角三角形． 49．（24-25八年级下·河南许昌·期末）如图1，在矩形中，是边上的一个动点，将沿折叠得到，记和矩形重叠部分的面积为，的长度为与之间的函数关系如图2所示，则__________，__________． 50．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图1，菱形中，，E是边上一点，F是对角线上一点，且满足，G是的中点，连接和，令，，y与x的函数图象如图2所示，若图象最右边端点N的纵坐标为3，则图象与y轴交点M的纵坐标是______，图象最低点T的纵坐标是______． 题型10中点四边形/中位线综合（填空压轴）（共5小题） 51．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形的对角线，且两条对角线的夹角为，则该四边形较短的“中对线”的长为______．   52．（24-25八年级下·四川凉山·期末）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，…，按此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为_______请用含的式子写出你猜想的规律． 53．（24-25八年级下·上海青浦·期末）已知点、、、分别为菱形四边、、、的中点，如果，，那么四边形的面积为________． 54．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）顺次连接四边形各边、、、的中点E、F、G、H，得到矩形，则原四边形的对角线满足条件： _______． 55．（24-25八年级下·北京海淀·期末）如图，点A、B、C为平面内不在同一条直线上的三个点，点D为平面内一点，线段、、、的中点分别为M、N、P、Q，连接M、N、P、Q组成的凸四边形中，下列叙述正确的是：__________． ①存在无数个这样的凸四边形为平行四边形； ②这样的凸四边形不可能是菱形； ③仅存在一个这样的凸四边形是矩形； ④恰好存在两个这样的凸四边形是正方形． 题型11四边形+旋转/平移（选择压轴）（共3小题） 56．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，已知四边形纸片，E，F，G，H是四条边上的中点，连结，分别过点H，F作于点I，于点J，沿，，将四边形纸片剪成四个小四边形纸片，记为①，②，③，④，将这四张纸片恰好可以无重叠、无缝隙地拼成一个新的四边形纸片 (①沿方向平移，④和②分别绕点H和点G旋转)．若，，，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 57．（24-25九年级上·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第四次得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 58．（24-25九年级上·山东日照·期中）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第2024次得到的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型12函数定义+自变量范围（选择压轴）（共3小题） 59．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）下列图形中的曲线不能表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 60．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 61．（24-25八年级下·河南商丘·期末）下列关系式中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中y是x的函数的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型13 函数图像+动点（填空压轴）（共6小题） 62．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为______． 63．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图①，在中，，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动至点，图②是点运动时，的面积随时间（单位：）变化的函数图象，则的斜边的长为________． 64．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点．图2是点运动过程中，线段的长度（单位：）随时间（单位：）变化的图象，其中点为曲线部分的最低点．则图2中的值为________． 65．（24-25八年级下·四川攀枝花·期末）如图①，在四边形中，，，动点P从点B出发，沿折线的方向以每秒1个单位长度的速度运动．在整个运动的过程中，的面积与运动时间的关系如图②所示，则线段的长为_______________． 66．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图1，在中，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点A后停止，设点P的运动路程为x，线段的长度为y，的高．图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线的最低点．则点F的坐标为_____． 67．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图1，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图2是点运动时，的长度（单位：）随时间（单位：）变化而变化的函数图象，则的值为______，的面积为______． 题型14 新定义函数/规律（填空压轴）（共2小题） 68．（25-26七年级上·四川雅安·期中）定义，即当时，；当时，，则___________． 69．（24-25八年级上·上海·期末）小明在探究事物的变化过程时发现，在某个变化过程中也可能有三个变量，参考本学期学习函数的经验，小明将这三个变量设为、和，如果在变量和的允许取值范围内，变量随着和的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，小明就将变量叫做变量和的二元函数，例如，小明认为、两数的积，就是和的二元函数．同样为了继续研究二元函数，小明把语句“是和的二元函数”用记号来表示．现在，小明在研究过程中发现了一个二元函数，满足特征，，那么____． 题型15 一次函数+几何综合（选择压轴）（共3小题） 70．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，已知函数与y轴交于A，与交于B，C两点，若一次函数与有交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 71．（25-26八年级下·广东深圳·期中）小明设想用电脑模拟台球游戏，约定：①台球桌面设计为腰长为的等腰；②小球撞击桌边后反弹角等于入射角．如图建立平面直角坐标系，球从点出发，撞击边上的点后反弹，再撞击边上的点反弹，最后回到点．则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 72．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，将一个等腰直角三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上．将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示．下列说法正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．的面积为16 C．边所在直线的表达式为 D．D点坐标为 题型16 一次函数+不等式（填空压轴）（共3小题） 73．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，则m的取值范围是_______ ． 74．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，直线经过两点，直线． （1）若，则k的值为__________； （2）当时，总有，则k的取值范围是__________． 75．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）的值为__________； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，则k的取值范围为__________． 题型17一次函数+行程（填空压轴）（共5小题） 76．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）某校八年级组织了一场趣味运动会，甲、乙两组同学参加“背夹球竞走”比赛．下图反映了比赛过程中，两组同学距离出发点的距离y（m）与比赛时间x（s）的函数关系．根据函数图象，可知甲、乙两组同学比赛途中两次相遇所间隔的时间为____s． 77．（24-25八年级上·江苏南京·期末）甲车从A地匀速驶往相距的B地，当甲车行驶小时经过途中的C地时，乙车恰好从C地出发以另一速度匀速驶往B地，当乙车到达B地后立即掉头以原来的速度匀速驶往A地（甲车到达B地，乙车到达A地后分别停止运动）．行驶过程中两车的距离y（）与甲车从出发所用的时间x（）之间的函数关系如图所示，则甲车到达B地时，乙车距A地 ___________． 78．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）如图，在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程（千米）随时间（分钟）变化的图象（全程）分别用图中的实线（）与虚线（）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的的取值范围是______________． 79．（24-25八年级上·山东青岛·期末）同一条公路连接，，三地，在，之间．小明和小张两人分别乘车从、同时出发匀速前往．小张乘坐的汽车中途出现故障，维修后继续行驶，最终两人同时到达．如图，表示小明、小张两人之间的距离与时间的函数关系．下列结论正确的是______． ①小明的速度是；     ②，两地相距； ③小张中途休息40分钟； ④小明行驶与小张相遇． 80．（24-25八年级上·山东青岛·期末）某校八年级同学到距学校6千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同路线前往．如图，、分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程（千米）与所用时间（分钟）之间的函数图象，则以下四个结论中正确的有______（填序号）． ①骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟； ②步行的速度是千米/时； ③骑车的同学从出发到追上步行的同学用了20分钟； ④骑车的同学和步行的同学同时到达目的地． 题型18一次函数+折叠/对称（选择压轴）（共3小题） 81．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（为常数）的图象，若该图象在直线下方的点的横坐标满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 82．（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折，点O落在边上的点D处．以下结论：①；②；③直线的解析式为；④点D的坐标为．正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 83．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点关于y轴的对称点Q落在内（不包括边），则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型19统计量+新定义/规律（填空压轴）（共2小题） 84．（25-26八年级上·广东深圳·期末）定义两种新运算：为的中位数；为的算术平均数． 例如：①因为，所以；②． 则函数与的交点坐标为_____________． 85．（23-24八年级上·重庆渝北·期末）如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，且满足，那么称这个四位数为“阶梯数”，并规定，例如四位数4725，∵，∴4725是“阶梯数”，且；又如四位数5324，∵，，，即，5324不是“阶梯数”；若一个“阶梯数”为，则______；若，都是“阶梯数”，其中，，a，n都是整数，且的值是某个正整数的平方，则满足条件的n的平均数为______． 题型20图表综合+决策（选择压轴）（共3小题） 86．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（） 185 180 185 180 方差 3.6 3.6 6.4 7.1 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 87．（25-26八年级上·江苏南通·期末）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 88．（25-26八年级上·山西运城·期末）某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法正确的是（   ） A．三个班级中，甲班分数的方差最大 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显 C．丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数 D．若每班有42个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，甲班分数最高 题型21方差最值/数据调整（填空压轴）（共3小题） 89．（24-25八年级上·山东烟台·期末）某班数学综合与实践活动小组的5位同学在一次数学测验成绩分别为81分，83分，89分，85分，87分，经过计算这组数据的方差为m、若小红和小明同学也想加入小组，并且两人成绩均为85分，那么加入后小组成绩的方差为n，则m和n的大小关系为________ 90．（23-24八年级下·北京平谷·期末）某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙两家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这两家民宿体验过的游客参与调查，得到了这两家民宿的“综合满意度”评分．现从这两家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理，绘制出折线图如下： 设甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的方差分别是，，则________．（填“”或“”） 91．（24-25八年级上·四川成都·期末）三个小组每组都有10人，一道满分为3分的题目，三个小组的得分情况如图所示：观察这三个小组的得分情况，小明发现，“柱子的高度”总是1，2，3，4，但是它们排列的顺序不同，导致了平均数和方差发生了变化，在这三组中，方差最小的是第_______组． （可能用到的数学公式：平均数，方差） 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，将置于第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，，在和上分别有点、，连接、、．点关于的对称点，点关于的对称点，若、刚好落在对角线上，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（     ）秒． A．2或 B． C．或 D． 4．如图，在长方形中，，在上取一点，连接，，将沿翻折，使点落在点处，线段交于点，将沿翻折，使点的对应点落在线段上．若点恰好为线段的中点，则线段的值为（    ） A．22 B． C． D． 二、填空题 5．如图，正方形，，，…的顶点，，，…在直线上，顶点，，，…在轴上，已知，，那么点的坐标为________，点的坐标为________． 6．如图，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条竖直直线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为_______． 7．新定义：若点，点，如果，那么点与点就叫作“和等点”，，称为等和．例如：点，点，因，则点与点就是和等点，为等和．如图，在平面直角坐标系中等边，点，，若等边的边上存在不同的两个点，这两个点为和等点，则等和的取值范围为______． 8．如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是_______. 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，沿折叠正方形，点的对应点为，若，则点的坐标是______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 期末真题百练通关（100题21大选填小压轴题型） 题型1二次根式非负性+方程+分类讨论（选择压轴） 题型12函数定义+自变量范围（选择压轴） 题型2 根式+数轴/绝对值化简（高频填空压轴） 题型13 函数图像+动点（填空压轴） 题型3 根式规律探究（填空压轴） 题型14 新定义函数/规律（填空压轴） 题型4 折叠+勾股（必考压轴，选择/填空） 题型15 一次函数+几何综合（选择压轴） 题型5 网格勾股+逆定理（选择压轴） 题型16 一次函数+不等式（填空压轴） 题型6 勾股+动点/最短路径（填空压轴） 题型17一次函数+行程（填空压轴） 题型7勾股数/规律探究（填空压轴） 题型18一次函数+折叠/对称（选择压轴） 题型8 特殊四边形多结论判断（选择压轴之王） 题型19统计量+新定义/规律（填空压轴） 题型9 四边形+动点函数图像（选择/填空压轴） 题型20图表综合+决策（选择压轴） 题型10中点四边形/中位线综合（填空压轴） 题型21方差最值/数据调整（填空压轴） 题型11四边形+旋转/平移（选择压轴） 题型1二次根式非负性+方程+分类讨论（选择压轴）（共4小题） 1．（25-26八年级上·山东德州·期末）已知，，且，则的值为（　　） A．或 B．2或10 C．10 D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵时，无论a取4或，都不满足，故舍去， ∵时，和都满足， 当时，， 当时，， ∴的值为2或10． 2．（25-26八年级上·福建福州·期末）若，则代数式的值是（    ） A．2019 B．2025 C．2026 D．2033 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）设正整数满足，则的值为（    ） A．9 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【详解】解：∵，且为正整数， ∴， 即，， ∵为正整数， ∴， 即， ∴， ①当时，，不符合题意，舍去； ②当时，，不符合题意，舍去； ③当时，，即或（不符合题意，舍去）； ∴． 故选B． 4．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知，为实数，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴分情况讨论， 当，时， ∴； 当，时， ∴， 综上，的值为． 故选：D． 题型2 根式+数轴/绝对值化简（高频填空压轴）（共5小题） 5．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）已知在数轴上的位置如图：化简的结果为______． 【答案】 【详解】解：∵，，在数轴上的位置如图所示， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，数轴上点表示的数为，化简___________． 【答案】1 【详解】解：根据数轴点表示的数得， 所以， ． 故答案为：1． 7．（24-25八年级下·全国·期末）实数a、b在数轴上位置如图，化简：________． 【答案】 【详解】解：由数轴可得：，且， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·辽宁营口·期末）在数轴上的位置如图所示，那么化简：的结果是_____．    【答案】 【详解】解：由数轴可得：， ∴， ∴ ， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·四川广元·期末）已知x，y两个实数在数轴上位置如图所示，则化简的结果是__________． 【答案】 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴； 故答案为：． 题型3 根式规律探究（填空压轴）（共3小题） 10．（24-25八年级下·广西南宁·期末）观察下列等式，如果为大于的正整数，请用含的等式表示这个运算规律：______． ；；； 【答案】（，且为整数）． 【详解】解：根据题意可知，， ， ， ∴． 故答案为：（，且为整数）． 11．（24-25八年级下·山东聊城·期末）观察数表： 第1行：，2，，； 第2行：，，，4； …… 根据数表排列的规律，第13行从左向右第2个数是______． 【答案】 【详解】解：由数表可知： 第1行：，，，； 第2行：，，，； 第3行：，，，； …… 因此，第1行从左向右第二个数为， 第2行从左向右第二个数为， 第3行从左向右第二个数为， …… 第n行从左向右第二个数为， 所以第13行从左向右第二个数为， 故答案为：． 12．（23-24八年级下·山东聊城·期末）代数推理： …… 试探究一般规律，并写出第n个代数式：______． 【答案】 【详解】解：因为 …， 所以第n个式子为：， 故答案为：． 题型4 折叠+勾股（必考压轴，选择/填空）（共6小题） 13．（25-26八年级上·重庆合川·期末）如图，在长方形中，为对角线，为的中点，将沿所在直线折叠至该长方形所在平面内，得与交于点，连接，若，则边的长度为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：∵长方形， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，； 故选C． 14．（25-26八年级上·北京昌平·期末）如图，在长方形纸片中，点M在边上，沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为，若，，则的长度为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【详解】解：∵长方形纸片沿所在的直线折叠， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴； 由四边形折叠得到四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 15．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，，点D是上一点，连接，将沿着折叠，使点C落在上的点E处，过点B作，交的延长线于点F，则的长为_________． 【答案】 【详解】解：∵在中，，，， ∴ 由折叠得，，， ∴ 设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 16．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则的长为___________． 【答案】 【详解】解：由折叠可知，，； ∵点，点， ∴， 则； ∵点，则， ∴； 设，则， 在中，， 即 解方程得：，即． 17．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在Rt中，，，点是边上一点，，将沿直线折叠，使点落在边上的点处．若点是直线上的动点，则的周长的最小值是_____． 【答案】 【详解】解：连接、， ∵在中，，， ∴， ∵沿直线折叠得到， ∴，，， ∴， 在中，，， ， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴ ∴的周长 ∵当在与的交点时，最小，最小值为 ∴周长的最小值 故答案为： 18．（25-26八年级上·河南·期末）在长方形中，，，点在边上，，将沿折叠，点的对应点为点，若点恰好落在长方形的对称轴上，则____． 【答案】或 【详解】解：∵长方形的对称轴有两条，故分类讨论， 当点落在竖向的对称轴上时，取中点为，中点为，如下图所示： ∵，， ∴， ∴， 令，则， 由, 得方程， 解得； 当点落在横向的对称轴上时，取中点为，中点为，过点作交于点，如下图所示： ∵，， ∴， ∴， 令，则，且， 由， 得方程， 解得， 综上，的长度为或． 故答案为：或 题型5 网格勾股+逆定理（选择压轴）（共5小题） 19．（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 20．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格中的中，边长为无理数的边数是（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【详解】解：由网格可知， ， ， ， ∴边长为无理数的边数有条， 故选：C． 21．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得： ， ， ∴， 解得：， 故选：D． 22．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在单位长度为1的的网格中，，，，，，各点都在格点上，其中能代表长为，的两线段是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：根据网格可知，， ， ， ， ， 故选：A． 23．（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、均在格点上，那么和线段两个端点距离相等的点的轨迹是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【详解】解：连接，，，，，，，， ∵每个小正方形的边长都为1， ∴，，，， ，，，， ∴，， ∴直线是的垂直平分线， ∴和线段两个端点距离相等的点的轨迹是直线． 故选：C 题型6 勾股+动点/最短路径（填空压轴）（共6小题） 24．（23-24八年级上·陕西·期中）在中，，，，点N，M分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ______． 【答案】 【详解】解：如图，过点C作，使，连接、， ，，， ， ， ， ，即， ， ， ， ，， （）， ， ， 当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值， 的最小值为． 25．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，是的平分线，若P、Q分别是和的动点，则的最小值是________________ ． 【答案】 【详解】解：如图，作，垂足为E，交于P点，过P点作，垂足为Q，如图． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是点C到直线的最短距离， ∴就是的最小值， ∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 26．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）已知在中，，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【详解】解：延长至，使， ∵， ∴， ∴点和B点关于对称， 过点作交于E点，交于F点，连接． 此时，且，E，F三点共线， 根据“垂线段最短”可知，此时的值最小，最小值为的长， ∵中，，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴的最小值是． 故答案为：． 27．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，中，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】解：如图：作点A关于直线的对称点，连接，，过作于， ，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴ ∴，   ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 28．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）如图，是等边三角形，边长为，是边上的高，，分别为边，上的一动点，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】解：如图，连接、， ∵是等边三角形，边长为，，分别为边，上的一动点， ∴，， ∵是边上的高， ∴是边上的中线， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当且点、、共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵， ∴，， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 29．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，，在边上依次取两点，，使，以为边作正方形．当在边上滑动时，点，之间的距离最小值为___________． 【答案】8 【详解】解：过点B作于点H，交的延长线于点Q， 由正方形， 得，， 又， ． 故四边形是长方形， 故， 由，， 得， 故，， 根据垂线段最短，得到当点F与点Q重合时，取得最小值， 故答案为：8． 题型7勾股数/规律探究（填空压轴）（共4小题） 30．（24-25八年级上·福建漳州·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，3，4，5；5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点如下：勾为奇数，若此类勾股数的勾为（，n为正整数），则股是 ___________．（结果用含n的式子表示） 【答案】 【详解】解：∵，n为正整数， ∴为奇数， 设股是a，则弦为， 根据勾股定理得：， 解得：， 故答案为：． 31．（25-26八年级上·四川成都·期中）定义：若三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组．例如：，都是“邻近”勾股数组，将从小到大排列，分别记为，，，，（为正整数），若时，的值为______；若时，的值为______． 【答案】 7 41 【详解】解：三个正整数，，满足，，且，则称为“邻近”勾股数组， ， ∵b是正整数， 为奇数， ∵“邻近”勾股数组中，a是连续的奇数， ∴当时，（对应数组）； 当时，（对应数组）； 当时，下一个奇数为7， 验证：，， 满足且， ∴， 由规律可知，是第n个符合条件的奇数， ∴， ∴当时，． 故答案为：7；41． 32．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）探究发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个是偶数，如果将它写成，那么另外两个数分别可以写成，，如，，．从而可以得到下列顺序排列的等式： ①， ②， ③， ④， … 根据你发现的规律写出第⑨个等式：________． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， 第一个数的底数是，指数是2， ， ， ， ， 第二个数的底数是，指数是2， 第三个数的底数比第二个数的底数大1，指数是2， 第个等式为， 第⑨个等式为：， 故答案为：． 33．（25-26九年级上·山东临沂·期末）世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为，其中是互质的奇数，则，为勾股数．我们令，得到下列顺序排列的等式： 根据规律写出第⑦个等式为_____． 【答案】 【详解】解：观察已知等式可得 第k个等式中，第一个数的底数为，指数为2， 第二个数的底数为，指数为2， 第三个数的底数为，指数为2， 则第k个等式为 当时 ， ， ， 所以第⑦个等式为． 题型8 特殊四边形多结论判断（选择压轴之王）（共8小题） 34．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）如图，矩形中，点E为上一点，将沿折叠得到，与相交于点G，的延长线与相交于点H，若G为的中点，平分，下列结论:①平分；②点H在的垂直平分线上；③．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：如图，作于点M，取的中点P，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可知：，， ∴，是锐角， ∴点M与点E不重合， ∴， ∵G为的中点， ∴，假设平分 ， ∵，， ∴， ∴，与 相矛盾， ∴不能平分，故①错误； 由折叠可知，， ， ， ， ， ∴点H在的垂直平分线上，故②正确； ∵平分，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴点F是的中点，点P是的中点， ∴是的中位线， ， ∵四边形是矩形，， ， ， ∵点G是的中点， ∴， 又∵ ， ，故③正确． 综上所述：结论正确的是②和③． 35．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，正方形的边长为1，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：①若为的中点，则四边形是正方形；②点在运动过程中，始终满足；③点在运动过程中，的值为定值1；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，， ， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，故正确； 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵矩形， ∵， 又∵ ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即的值为定值1，故正确； ∵， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小，在中，， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为，故正确； ∴正确的有， 故选：． 36．（25-26八年级上·山东日照·期末）两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知，，，点F是边中点，则下列结论：①是等边三角形，②，③，④四边形是平行四边形，其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【详解】解：由题可知，，则， ， 是等边三角形，故①正确； ，， ， 点F是边中点， ， ，故②正确； 在中，， 则，即， 是等边三角形，点F是边中点，， ，， ，故③正确； ，， ，即， ，， ，则， ， ， ， ， 在中，点F是边中点， ， ， ，则， 又， 四边形是平行四边形，故④正确； 故选：A． 37．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，已知在菱形中，，、分别是射线和上的两个点，，以下结论：①；②是等边三角形；③；④，，若，则面积的最大值为．其中正确的个数有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接． 四边形为菱形，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，，即，①正确， ，为等边三角形，②正确； ∴，则，③不正确； ， ， 可知当取得最小值，取得最大值， 设等边三角形边长为，可知其高为，面积为， 为等边三角形，其面积会随边长变化而变化， 当，取得最小值，则取得最小值， ， 此时，，， ，④正确． 综上，正确的个数有个． 故选：． 38．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，E，F，G分别是，，的中点，下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：四边形是平行四边形，对角线，相交于点O， ，，， ，， ， ， ， 是的中点， ，即， 故①正确； ，G是的中点， ， 、F分别是、的中点， ∵，， ， 故②正确； ∵，，G是的中点， ∴，， ∴，且， ， 在和中， ， ， 故③正确； ， ， ∵， ， ， 平分， 故④正确． 综上所述，正确的有①②③④，一共4个． 故选：D． 39．（24-25八年级下·四川眉山·期末）如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长，交于点，连结交于点下列结论：；；；其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 的平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， 故正确； ，垂足为， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故正确； ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 故正确； ，， ， ， ， ， 故正确， 故选：D． 40．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，正方形中，点E、F、G分别为边，，上的中点，连接、交于点M，连接，，，与交于点N，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．其中结论正确的序号有（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．②④ 【答案】B 【详解】解：∵正方形中， ∴， 又点，，分别为边，，上的中点， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形；故③正确； ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作，交的延长线于点， 则：四边形为平行四边形，， ∴， ∵点为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴是的中垂线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故①正确； 在中，， ∵， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④错误． 综上，正确的为：①③． 故选：B． 41．（24-25八年级下·北京怀柔·期末）如图，在正方形中，点P是对角线上一点（点P不与B，D重合），连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接，，交于点G，给出三个结论：，．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 连接并延长交于点E，过点P作交于点F， 是直角三角形， 正确； 如图，过P点作，延长交于Q点，则，四边形是矩形， ，， ， 四边形是正方形， 是对角线， ，， 是等腰直角三角形， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在和中， ， ， 正确； 将绕点A顺时针旋转得到，如图2， ， ， C，B，H共线， ， ， ， 在和中， ， ， ， 正确； 综上，均正确． 故答案为：D． 题型9 四边形+动点函数图像（选择/填空压轴）（共9小题） 42．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图1，在正方形中，M是正方形内部一点，连接，，动点P从点A出发，沿匀速运动，到达点B后停止．设点P运动的路程为x，，若y与x的函数图象如图2所示，则正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，当时，P在段上，可知 ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即M在对角线上， 如图，当时，P在段上，可知 ， 如图，作交于N， ∵M在对角线上， ∴， 即， ∵， ∴ ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴， 故选：D 43．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图①，在正方形中，点在边上，且，点沿从点运动到点．设点到边的距离为，，随变化的函数图象如图②所示，则图②中函数图象的最低点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：四边形是正方形， ，， 设， ， ，， 根据图象，当时，， ， 解得：， ，，， 正方形， 点与点关于直线对称， 连接，交于点， 当点与点重合时，取得最小值， ， 设此时点关于直线的对称点为， 根据题意，，、、三点共线， 根据正方形的性质，得点到边的距离为，点到边的距离也为， ， ， 解得：， 故图②中函数图象的最低点的坐标为， 故选：D． 44．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，点P是菱形边上的动点，它从点A出发沿路径匀速运动到点D，设的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：分三种情况： ①当在边上时，如图1， 设菱形的高为， ， 随的增大而增大，不变， 随的增大而增大， 故选项C和D不正确； ②当在边上时，如图2， ， 和都不变， 在这个过程中，不变， 故选项B不正确； ③当在边上时，如图3， ， 随的增大而减小，不变， 随的增大而减小， 点从点出发沿在路径匀速运动到点， 在三条线段上运动的时间相同， 故选项A正确； 故选：A． 45．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图1，在中，，E为边上一点．动点从点出发以的速度沿匀速运动，运动到点时停止．点的运动时间为，线段的长为与的函数图象如图2所示，则的面积()为（   ） A．4 B． C． D．16 【答案】B 【详解】由图2可知，当点P与A重合时，即时，， 当点P与C重合时，， 如图3，连接，过点C作交延长线于F，则， 四边形是平行四边形，， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的面积， 故选：B． 46．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法： ①点N的运动速度是； ②的长度为；③a的值为7； ④当时，t的值为． 其中正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：，点的速度为， 当点从点到点，用时， 当时，过点作于点， ， ， 在中，， ，， ， 点的运动速度是；故①正确； 点从到，用时， 由图2可知，点从到用时， ，故②正确； ，故③正确； 当点未到点时，过点作于点， ， 解得，负值舍去； 当点在上时，过点作交延长线于点， 此时， ， ， 解得， 当时，的值为或9．故④错误； 故选：C． 47．（25-26八年级下·湖北·期末）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，当点P运动到的中点处时，的长为______， 的面积为______． 【答案】 6 【详解】解：在图1中，作，垂足为， 在图2中，取，，    当点P从点A到点B时，对应图2中线段，得， 当点P从B到D时，对应图2中曲线，得， 解得， 当点到点时，对应图2中到达点，得， 在中，，，， ∴， ∴在中，， ∴， 当点运动到的中点处时，． 48．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图①，在矩形中，E为边上一点．现有点P以的速度沿运动，到达点E停止．的面积y（单位：）与点P运动的时间t（单位：s）的关系图像如图②所示，则的值为________，当点P运动的时间t为________s时为直角三角形． 【答案】 8 2或12 【详解】解：由图①②可知，当点P从点A运动到点B的运动距离为； 故答案为：8； 当点P运动到点B处，， ， 解得， 当点P运动到点C处，， ， 解得， （1）当时， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ； （2）当时，分两种情况： ①若点P在上，则，， 过点P作于点M， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ，， 在中，， ， 解得， ， 舍去； ②若点P在上，则，，， 在中，， 在中，， 在中，， ， 解得； 当点P运动的时间t为或时为直角三角形． 故答案为：2或12． 49．（24-25八年级下·河南许昌·期末）如图1，在矩形中，是边上的一个动点，将沿折叠得到，记和矩形重叠部分的面积为，的长度为与之间的函数关系如图2所示，则__________，__________． 【答案】 2 【详解】解：如图： 当时，如图示中的位置， 由题意和矩形及折叠的性质可得，四边形是正方形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）； ∴， 当最大时，与重合，即如图示位置， 此时，， ∴， 由折叠可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2；． 50．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图1，菱形中，，E是边上一点，F是对角线上一点，且满足，G是的中点，连接和，令，，y与x的函数图象如图2所示，若图象最右边端点N的纵坐标为3，则图象与y轴交点M的纵坐标是______，图象最低点T的纵坐标是______． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 作点G关于的对称点H，连接，则，，，， ∴， 观察图象得：当时，y的值等于图象最低点T的纵坐标，当点E与点B重合时，y的值等于图象最右边端点N的纵坐标，即等于图象最右边端点N的纵坐标，当点E与点A重合时，y的值等于图象与y轴交点M的纵坐标，即等于图象与y轴交点M的纵坐标， ∵图象最右边端点N的纵坐标为3， ∴当点E与点B重合时，， ∵G是的中点， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ， ∴， ∴． 综上所述，图象与y轴交点M的纵坐标为；图象最低点T的纵坐标为 故答案为：； 题型10中点四边形/中位线综合（填空压轴）（共5小题） 51．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形的对角线，且两条对角线的夹角为，则该四边形较短的“中对线”的长为______．   【答案】3 【详解】解：如图，取四边的中点，依次连接起来，设与交点M， ∴是的中位线， ，， 同理， ，，， ，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， 较短的“中对线”长度为． 故答案为：． 52．（24-25八年级下·四川凉山·期末）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，…，按此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为_______请用含的式子写出你猜想的规律． 【答案】 【详解】解： ∵第个矩形的面积为， 第个矩形的面积为， 第个矩形的面积为 …… 第个矩形的面积为， 故答案为：． 53．（24-25八年级下·上海青浦·期末）已知点、、、分别为菱形四边、、、的中点，如果，，那么四边形的面积为________． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接、交于点O． ∵点E，F，G，H分别是菱形的边、、、的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的面积． 故答案为：． 54．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）顺次连接四边形各边、、、的中点E、F、G、H，得到矩形，则原四边形的对角线满足条件： _______． 【答案】/垂直 【详解】解：如图，连接， 分别为的中点， ∴，， ∴， 同理可得：， 四边形为平行四边形， 要使平行四边形为矩形，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：． 55．（24-25八年级下·北京海淀·期末）如图，点A、B、C为平面内不在同一条直线上的三个点，点D为平面内一点，线段、、、的中点分别为M、N、P、Q，连接M、N、P、Q组成的凸四边形中，下列叙述正确的是：__________． ①存在无数个这样的凸四边形为平行四边形； ②这样的凸四边形不可能是菱形； ③仅存在一个这样的凸四边形是矩形； ④恰好存在两个这样的凸四边形是正方形． 【答案】①②④ 【详解】解：连接、， ，，，的中点分别为，，，， ，，，，，， ，，，， ①当与不平行时，如图1， ，， 中点四边形是平行四边形， 故存在无数个中点四边形是平行四边形，故符合题意； ②当且与不平行时，如图2， ，，， ， 中点四边形是菱形；故存在无数个中点四边形是菱形，故①符合题意； ③当，不重合）时，如图3， ，，， ， 中点四边形是矩形； 故存在无数个中点四边形是矩形，故③不符合题意； ④当，时，如图4， ，，， ， ，， 中点四边形是正方形； 故存在两个中点四边形是正方形；故④符合题意． 综上：正确的有①②④． 故答案为：①②④． 题型11四边形+旋转/平移（选择压轴）（共3小题） 56．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，已知四边形纸片，E，F，G，H是四条边上的中点，连结，分别过点H，F作于点I，于点J，沿，，将四边形纸片剪成四个小四边形纸片，记为①，②，③，④，将这四张纸片恰好可以无重叠、无缝隙地拼成一个新的四边形纸片 (①沿方向平移，④和②分别绕点H和点G旋转)．若，，，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， 由题可知，，， 设，则， ， 矩形周长为． 故选：B． 57．（24-25九年级上·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第四次得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，旋转第四次得到菱形， 过作轴于，连接交于， 四边形是菱形， ，，， 的坐标是， ， ， ， ， ， ， ， ， 的坐标是． 故选：D． 58．（24-25九年级上·山东日照·期中）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第2024次得到的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴旋转周期为6个， ， ∴旋转第2024次得到的菱形与第二次得到的菱形相同， 如图，旋转第二次得到菱形， 过作轴于，连接交于， 四边形是菱形， ，，， 的坐标是， ， ， ， ， ， ， ， ， 的坐标是． 点的坐标是． 故选：C． 题型12函数定义+自变量范围（选择压轴）（共3小题） 59．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）下列图形中的曲线不能表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．中图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，不符合题意； B．中图象，对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，那么不是的函数，符合题意； C．中图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，不符合题意； D．中图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，不符合题意． 故选：B． 60．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【详解】解：函数中： 分子部分要求底数，即， 分母部分要求被开方数（分母不能为零），解得， 结合两个条件： 时，的值必然大于，此时自动成立， ∴自变量的取值范围是，对应选项C， 故选：C． 61．（24-25八年级下·河南商丘·期末）下列关系式中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中y是x的函数的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解： ①：每个x对应唯一y，是函数． ②：每个x对应唯一y，是函数． ③：解为 ，一个x对应两个y，不是函数． ④：平方根仅取非负值，每个x对应唯一y，是函数． ⑤：解为 ，一个x对应两个y，不是函数． ⑥：每个x对应唯一y，是函数． ∴y是x的函数的有①②④⑥。 故选：B． 题型13 函数图像+动点（填空压轴）（共6小题） 62．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为______． 【答案】 【详解】解：如图， 由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，的值为的长，为定值，随着的增大逐渐减小，当点运动到时，此时，，当点与点重合时，此时，，即：； 设点运动到时，，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴， 故答案为：． 63．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）如图①，在中，，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动至点，图②是点运动时，的面积随时间（单位：）变化的函数图象，则的斜边的长为________． 【答案】 【详解】解：由图象可知，面积的最大值为6， 由题意可得，当点D运动到点B时，的面积最大， ∴，即， 由图象可知，当时，，此时点D运动到点C， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 64．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点．图2是点运动过程中，线段的长度（单位：）随时间（单位：）变化的图象，其中点为曲线部分的最低点．则图2中的值为________． 【答案】 【详解】解：由图象可知，当时，点与点重合， ∴， 当点在上，且时，最小，对应图象上的点，此时， 在中，， ∵，， ∴， ∴的周长为：， ∴； 故答案为：． 65．（24-25八年级下·四川攀枝花·期末）如图①，在四边形中，，，动点P从点B出发，沿折线的方向以每秒1个单位长度的速度运动．在整个运动的过程中，的面积与运动时间的关系如图②所示，则线段的长为_______________． 【答案】 【详解】解：当时，点到达A处，则，    过点A作交于点，则四边形为矩形，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，点到达点处，则， ∴， ∴． 故答案为：． 66．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图1，在中，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点A后停止，设点P的运动路程为x，线段的长度为y，的高．图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线的最低点．则点F的坐标为_____． 【答案】 【详解】解：当点P运动到点B处时，，即， 当点P运动到点C处时，，即， 如图，作， 当点P运动到点Q处时，最短， ∵，， ∴， ∴点F纵坐标为， 在中，， ∴， ∴， ∴点F的横坐标为9， ∴点F坐标为， 故答案为：． 67．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图1，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图2是点运动时，的长度（单位：）随时间（单位：）变化而变化的函数图象，则的值为______，的面积为______． 【答案】 4 【详解】解：如图所示，过点C作于点H，设运动3秒时点P运动到点D，运动5秒时点P运动到点E，连接， 由图2可知，和时的函数值都为4，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，当点P运动到点H时，有最小值，即y有最小值， ∴； 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得； ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 故答案为：． 题型14 新定义函数/规律（填空压轴）（共2小题） 68．（25-26七年级上·四川雅安·期中）定义，即当时，；当时，，则___________． 【答案】 【详解】解：由，可得，且当时，， 原式， 利用，得：原式， 分组求和：原式， 由，对 到，有，共对： ∴ ， ∵， ∴原式； 故答案为：； 69．（24-25八年级上·上海·期末）小明在探究事物的变化过程时发现，在某个变化过程中也可能有三个变量，参考本学期学习函数的经验，小明将这三个变量设为、和，如果在变量和的允许取值范围内，变量随着和的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，小明就将变量叫做变量和的二元函数，例如，小明认为、两数的积，就是和的二元函数．同样为了继续研究二元函数，小明把语句“是和的二元函数”用记号来表示．现在，小明在研究过程中发现了一个二元函数，满足特征，，那么____． 【答案】 【详解】解：， ， ，令 ，， ， 即 ； ，令 ， ， ，代入得， 解得． 故答案为：． 题型15 一次函数+几何综合（选择压轴）（共3小题） 70．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）如图，已知函数与y轴交于A，与交于B，C两点，若一次函数与有交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题知，当时，， 所以一次函数的图象过定点． 由得，， 所以点B坐标为． 将代入得，， 所以点A坐标为． 当一次函数图象经过点A时， ， 解得． 当一次函数图象经过点B时， ， 解得， 所以当一次函数的图象与有交点时，k的取值范围是：． 71．（25-26八年级下·广东深圳·期中）小明设想用电脑模拟台球游戏，约定：①台球桌面设计为腰长为的等腰；②小球撞击桌边后反弹角等于入射角．如图建立平面直角坐标系，球从点出发，撞击边上的点后反弹，再撞击边上的点反弹，最后回到点．则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点作交直线于点，延长交轴于点，连接， 由题意得，，， ， ， 又，， ， ，， ， ， ； 同理可证明， ， 垂直平分， ； 是等腰直角三角形， ； ， ， ， 设直线的解析式为，则， ， 直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得， 点的坐标为， 故选：B． 72．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，将一个等腰直角三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上．将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图2所示．下列说法正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．的面积为16 C．边所在直线的表达式为 D．D点坐标为 【答案】C 【详解】解：A、令直线， 解得：， ∴点M的坐标为， ∴， 由函数图象可知：当时，直线l经过点A， ∴， ∴ 点A的坐标为， ∴A错误； B、由函数图象可知：当时，直线l经过点C， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， ∴， ∴的面积：， ∴B不正确； C、∵， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， ∴C正确； D、∵， ∴，直线l和x轴正方向的夹角为， ∴， ∵， ∴当l经过点C时， ， ∴， ∴D不正确； 故选：C. 题型16 一次函数+不等式（填空压轴）（共3小题） 73．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，则m的取值范围是_______ ． 【答案】 【详解】解：函数与的图象交于点， ， 解得， 所以，两函数解析式为和， 又与平行， 作图如下： 所以当时，函数的值既大于函数的值， 也大于函数的值，则． 故答案为：． 74．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）如图，直线经过两点，直线． （1）若，则k的值为__________； （2）当时，总有，则k的取值范围是__________． 【答案】 【详解】（1）解：∵直线经过，两点， ∴将代入解析式，得． 将代入，得， 解得． ∵，直线平行时的系数相等， ∴． 故答案为：． （2）解：由（1）得， ∵当时，总有． ∴对恒成立． 移项整理得， 分情况讨论： 当，即时不等式化为，恒成立，满足条件． 当，即时，式子随增大而减小， 要让时式子恒大于0，只需时式子， 代入，得， 解得． 结合前提，得， 当，即时，式子随增大而增大， 此时不能满足时式子恒大于0，舍去． 综上，的取值范围是． 故答案为：． 75．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）的值为__________； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，则k的取值范围为__________． 【答案】 【详解】解：（1）∵函数与的图象交于点， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：； （2）∵当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，如图： ∵直线与交于点， 由图可知当时，函数的值大于函数的值， ∴要满足题意，只需函数的值大于函数的值即可， ∵当直线平行于直线时，符合题意，此时 ∴满足题意，， 故答案为：． 题型17一次函数+行程（填空压轴）（共5小题） 76．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）某校八年级组织了一场趣味运动会，甲、乙两组同学参加“背夹球竞走”比赛．下图反映了比赛过程中，两组同学距离出发点的距离y（m）与比赛时间x（s）的函数关系．根据函数图象，可知甲、乙两组同学比赛途中两次相遇所间隔的时间为____s． 【答案】14 【详解】解：如图， ， 设段的函数表达式为， 把和代入， 得， 解得， ∴函数段的解析式为； 设段的函数表达式为， 把和代入， 得， 解得， ∴函数段的解析式为； 同理段的函数表达式为； 当时，甲乙在比赛途中相遇， 即， 解得； 当时，甲乙在比赛途中相遇， 即， 解得， 甲、乙两组同学比赛途中两次相遇所间隔的时间为， 故答案为：14． 77．（24-25八年级上·江苏南京·期末）甲车从A地匀速驶往相距的B地，当甲车行驶小时经过途中的C地时，乙车恰好从C地出发以另一速度匀速驶往B地，当乙车到达B地后立即掉头以原来的速度匀速驶往A地（甲车到达B地，乙车到达A地后分别停止运动）．行驶过程中两车的距离y（）与甲车从出发所用的时间x（）之间的函数关系如图所示，则甲车到达B地时，乙车距A地 ___________． 【答案】180 【详解】解：由图象可得， 甲车的速度为：（）， 乙车的速度为：（）， 甲车从A地到B地用的时间为：（小时）， 则甲车到达B地时，乙车距A地的路程是：（）， 故答案为：180． 78．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）如图，在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路程（千米）随时间（分钟）变化的图象（全程）分别用图中的实线（）与虚线（）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的的取值范围是______________． 【答案】 【详解】解：设乙的解析式为，根据题意，得，解得， 故解析式为； 设甲的解析式为，根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， 根据题意，得， 解得； 设甲段的解析式为，根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， 根据题意，得， 解得； 根据题意，得， 故答案为：． 79．（24-25八年级上·山东青岛·期末）同一条公路连接，，三地，在，之间．小明和小张两人分别乘车从、同时出发匀速前往．小张乘坐的汽车中途出现故障，维修后继续行驶，最终两人同时到达．如图，表示小明、小张两人之间的距离与时间的函数关系．下列结论正确的是______． ①小明的速度是；     ②，两地相距； ③小张中途休息40分钟； ④小明行驶与小张相遇． 【答案】①②④ 【详解】解：小明的速度是， ①正确，符合题意； ，两地相距， ②正确，符合题意； 小张中途休息的时长为， ③不正确，不符合题意； ， 小明行驶与小张相遇， ④正确，符合题意． 故答案为：①②④． 80．（24-25八年级上·山东青岛·期末）某校八年级同学到距学校6千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同路线前往．如图，、分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程（千米）与所用时间（分钟）之间的函数图象，则以下四个结论中正确的有______（填序号）． ①骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟； ②步行的速度是千米/时； ③骑车的同学从出发到追上步行的同学用了20分钟； ④骑车的同学和步行的同学同时到达目的地． 【答案】①②③ 【详解】解：①骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟，①正确； ②，步行的速度是（千米/时），②正确； ③骑车的同学从出发到追上步行的同学用了（分钟），③正确； ④骑车的同学到达目的地时间为54分钟，步行的同学到达目的地时间为60分钟，不同时到达目的地，④不正确． ∴正确的有①②③， 故答案为：①②③． 题型18一次函数+折叠/对称（选择压轴）（共3小题） 81．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（为常数）的图象，若该图象在直线下方的点的横坐标满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，直线的图象沿x轴翻折后的函数关系式是， 把代入得：， 解得：， ∴两函数与x轴的交点坐标为：， 对，当时； 对，当时，； 可列出不等式组， 解得：． 故选：A． 82．（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折，点O落在边上的点D处．以下结论：①；②；③直线的解析式为；④点D的坐标为．正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：∵直线分别与x、y轴交于点A、B， ∴点，点， ∴，， ∴， 故①正确； ∵线段沿翻折，点O落在边上的点D处， ∴，，，， 故②正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， 设直线解析式为：， ∴， ∴， ∴直线解析式为：， 故③正确； 如图，过点D作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， ∴， ∴点， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④． 故选：D． 83．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点关于y轴的对称点Q落在内（不包括边），则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入得： 解得： ∴直线的解析式为， 当时，； 设直线的解析式为， 将，代入得： 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，； 即点Q在范围内运动， ∵点关于y轴的对称点Q， ∴ 故选：B． 题型19统计量+新定义/规律（填空压轴）（共2小题） 84．（25-26八年级上·广东深圳·期末）定义两种新运算：为的中位数；为的算术平均数． 例如：①因为，所以；②． 则函数与的交点坐标为_____________． 【答案】 【详解】解：设，，， 则为的中位数， 依题意， 求两两相等的点：当时，则， 当时，则， 当时，则， 当时，； 依题意，， 则， ∴， 解得（舍去）； 当时，； 依题意，， 则， ∴， 解得（舍去）； 当时，； 依题意，， 则， ∴， 解得（舍去）； 当时，； 依题意，， 则， 解得， 依题意，把代入，得， 则函数与的交点为， 故答案为：． 85．（23-24八年级上·重庆渝北·期末）如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，且满足，那么称这个四位数为“阶梯数”，并规定，例如四位数4725，∵，∴4725是“阶梯数”，且；又如四位数5324，∵，，，即，5324不是“阶梯数”；若一个“阶梯数”为，则______；若，都是“阶梯数”，其中，，a，n都是整数，且的值是某个正整数的平方，则满足条件的n的平均数为______． 【答案】 6 【详解】解：是“阶梯数”， ， ， ， ，都是“阶梯数”， ，即，， 的值是某个正整数的平方， ，时，， ，时，， ，时，， 的平均数为， 故答案为：，． 题型20图表综合+决策（选择压轴）（共3小题） 86．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（） 185 180 185 180 方差 3.6 3.6 6.4 7.1 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴ 从甲和丙中选择一人参加比赛； ∵ ，方差越小发挥越稳定， ∴ 甲成绩好且发挥稳定，应选择甲． 87．（25-26八年级上·江苏南通·期末）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：根据组内离差平方和最小原则，选取第2个间隔， A. 的平均数为7，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； B. 的平均数为，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； C. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； D. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数是15，离差平方和为， 组内离差平方和为； 根据组内离差平方和最小原则，可知B符合题意，其余均不符合题意， 故选：B． 88．（25-26八年级上·山西运城·期末）某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法正确的是（   ） A．三个班级中，甲班分数的方差最大 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显 C．丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数 D．若每班有42个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，甲班分数最高 【答案】C 【详解】解：、箱线图中，数据的离散程度可通过箱线图的宽度来判断，宽度越窄，数据越集中，方差越小．甲班箱线图的宽度相对较窄，说明甲班分数更集中，所以甲班分数的方差最小，故本选项错误，不符合题意； 、由箱线图可知，乙班中最大值较另两个班更大，最小值较另两个班更小，故乙班分数的波动最大，故本选项错误，不符合题意； 、由箱线图可知，丙班的中位数大于80，故丙班得分高于80分的学生人数多于得分低于80分的学生人数，丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数，故本选项正确，符合题意； 、每班有42个学生，第11名的分数是按从高到低排序后的第11个数据，从箱线图看，丙班的分数最高，故本选项错误，不符合题意； 题型21方差最值/数据调整（填空压轴）（共3小题） 89．（24-25八年级上·山东烟台·期末）某班数学综合与实践活动小组的5位同学在一次数学测验成绩分别为81分，83分，89分，85分，87分，经过计算这组数据的方差为m、若小红和小明同学也想加入小组，并且两人成绩均为85分，那么加入后小组成绩的方差为n，则m和n的大小关系为________ 【答案】 【详解】解：原数据的平均数为：， 方差为：； 新数据的平均数为：， 所以方差为： ∴ 故答案为：． 90．（23-24八年级下·北京平谷·期末）某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙两家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这两家民宿体验过的游客参与调查，得到了这两家民宿的“综合满意度”评分．现从这两家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理，绘制出折线图如下： 设甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的方差分别是，，则________．（填“”或“”） 【答案】 【详解】解：由折线统计图可知，甲的数据波动比乙的数据波动大，即． 故答案为：． 91．（24-25八年级上·四川成都·期末）三个小组每组都有10人，一道满分为3分的题目，三个小组的得分情况如图所示：观察这三个小组的得分情况，小明发现，“柱子的高度”总是1，2，3，4，但是它们排列的顺序不同，导致了平均数和方差发生了变化，在这三组中，方差最小的是第_______组． （可能用到的数学公式：平均数，方差） 【答案】二 【详解】解：第一组平均数是， 第一组的方差是； 第二组的平均数是：， 方差是； 第三组的平均数是：， 方差是：； 方差最小的是第二组． 故答案为：二． 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，将置于第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意得：直线向右平移个单位长度时，直线经过点，此时直线的解析式为， 设直线与轴的交点为，与轴的交点为， 当时，，当时，， 则， ∴， ∴， 当直线经过点，点时， 设过点的直线与的交点为，过点的直线与的交点为， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 根据函数图象得， 设直线分别与轴交于点，点， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，在矩形中，，，在和上分别有点、，连接、、．点关于的对称点，点关于的对称点，若、刚好落在对角线上，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵点关于的对称点为，点关于的对称点为， ∴，，，，，， ∴，，， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 3．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（     ）秒． A．2或 B． C．或 D． 【答案】C 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒），， ∴， ∵，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动， 到达的时间为（秒）， ∴当在点以及点的左边时，即时， 则， 当在的右边时，即时， 则， 以点为顶点的四边形是平行四边形时， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 4．如图，在长方形中，，在上取一点，连接，，将沿翻折，使点落在点处，线段交于点，将沿翻折，使点的对应点落在线段上．若点恰好为线段的中点，则线段的值为（    ） A．22 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由折叠知，，，，，，，，， 长方形，， ，，， 在和中， ， ， ， ，，， ，即， 设，则， 点恰好为线段的中点， ，， ， ，， 在中，， 在中，， 在中，， ，解得（负值已舍去）， ． 二、填空题 5．如图，正方形，，，…的顶点，，，…在直线上，顶点，，，…在轴上，已知，，那么点的坐标为________，点的坐标为________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴正方形的边长为1，正方形的边长为2， ∴， 设直线解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线解析式为， ∴． ∵，点的坐标为， ∴的纵坐标为，的横坐标为， 的纵坐标为，的横坐标为， 的纵坐标为，的横坐标为， ∴， ∴，即． 6．如图，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条竖直直线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为_______． 【答案】 【详解】解：如图，圆柱的展开图中，将长方形平均分为3个小长方形，沿着对角线运动路径最短，最短路线为， ∵圆柱的半径为，圆柱的高为， ∴在中， ， ． 7．新定义：若点，点，如果，那么点与点就叫作“和等点”，，称为等和．例如：点，点，因，则点与点就是和等点，为等和．如图，在平面直角坐标系中等边，点，，若等边的边上存在不同的两个点，这两个点为和等点，则等和的取值范围为______． 【答案】 【详解】解：如图，过点作轴，与轴交于点，与交于点， ∵点，， ∴，轴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 根据勾股定理：， ∴点，即， ∴点． ∵设边上点的坐标为， ∴这两个和等点满足，即， ∴这两个和等点为直线与边的两个不同交点， ∵如图，当直线过点、时，只有一个交点， ∴当过点时，，当过点C时，， ∴的取值范围为． 8．如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是_______. 【答案】5 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵点M是的中点， ∴， 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． ∴的最小值为5． 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，沿折叠正方形，点的对应点为，若，则点的坐标是______． 【答案】 【详解】解：连接、，过点作轴于点，交于点， ∵四边形是正方形， ， ，轴， ，， ， ， ，， ，， ∵沿折叠正方形，点的对应点为， ， 在中，， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $