第1章三角形的证明及其应用 期末复习综合练习题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 以三角形证明为核心，整合等腰、直角三角形及特殊线段性质，通过基础辨析、推理证明、动态探究三级递进，培养推理意识与空间观念。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|选择1-3、填空8-10|概念辨析与简单应用|从多边形内角和、直角三角形判定到垂直平分线性质，构建概念网络| |推理证明|选择4-6、解答16-18|全等与角平分线综合证明|通过角平分线性质、三角形内角和推导，强化逻辑推理| |动态与综合探究|选择7、填空14、解答19-20|动点、折叠及拓展探究|结合图形变换与多知识点整合，发展空间观念与创新意识|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明及其应用》 期末复习综合练习题（附答案） 一、单选题 1．用正多边形密铺地面，下列组合可行的是（   ） A．正三角形和正五边形 B．正方形和正八边形 C．正六边形和正十二边形 D．正方形和正六边形 2．满足下列条件的不是直角三角形的是（    ） A．， B． C． D． 3．如图，在四边形中，垂直平分，垂足为，下列结论不一定成立的是（   ） A． B．平分 C． D． 4．如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在Rt中，，点在上，且是的中点，点在上运动，则的最小值是（    ） A． B． C．6 D．5 6．如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，D，E为上的两点，，F为外一点，且，．有下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．牛顿曾说：“反证法是数学家最精良的武器之一”，用反证法证明命题“在三角形的三个内角中，至少有两个锐角”第一步应假设_______． 9．在内部，将两个完全一样的含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，连接，则可得到平分，判断依据是__________． 10．如图，在中，，，是的垂直平分线，，则的长度为______． 11．如图，直线与正五边形的边、分别交于点M、N，则的度数为____． 12．如图，在中，已知，点是的中点，交于点，连接．当是以为底的等腰三角形时，边的长为__________；当是以为底的等腰三角形时，边的长为___________． 13．如图，在中，过点C作于点E，以为边作等腰，，点B与点D在直线异侧，且，连接．若，，则的长为_________． 14．如图，在中，，，是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，平分，交于点，连接．若是等腰三角形，则的度数可以是______________． 三、解答题 15．已知， (1)在边上求作一点，使得点到边的距离相等； (2)在（1）的基础上，求作上的点，满足点D到点之间的距离最短． 16．如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 17．如图，于点，于点F．若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 18．如图，在中，平分的外角，，垂足为点G，，垂足为点H，垂直平分于点E． (1)求证：； (2)若，求证：． 19．如图（1），中，，，，的平分线交于C，过O点作与垂直的直线．动点P从点B出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动． (1)求、的长： (2)当，时，求的面积； (3)当P在上，Q在上运动时，如图（2），设与交于点M，当t为何值时，为等腰三角形？求出所有满足条件的t值． 20．综合与实践：八年级某学习小组围绕“等边三角形”开展主题学习活动． 问题情境：在等边三角形中，O是边的中点，D是射线上一点（不与点C，B重合），连接，作等边三角形（点E和点C在边的同侧），连接并延长交直线于点F，连接． 【特例分析】 (1)如图1，当点D与点O重合时，与之间的数量关系是______； 【拓展探究】 (2)如图2，当点D在线段上（不与端点重合）时，上述结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【推广应用】 (3)当点D在射线上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系． 参考答案 1．B 【分析】本题考查了平面镶嵌，正多边形的内角和问题，判断正多边形组合能否密铺，需满足每个顶点处各多边形内角之和为，计算各选项内角并验证是否存在整数解，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A.正三角形的每个内角为，正五边形的每个内角为，设顶点处有个三角形和个五边形，则，化简得，无正整数解，故不符合题意； B.正方形每个内角为，正八边形的每个内角为，设个正方形和个八边形，则，化简得，解得，，满足条件，符合题意； C.正六边形每个内角为，正十二边形的每个内角为，设个六边形和个十二边形，则，化简得，无正整数解，故不符合题意； D.正方形每个内角为，正六边形每个内角为，设个正方形和个六边形，则，化简得，无正整数解，故不符合题意； 故选：B． 2．C 【分析】根据勾股定理逆定理以及三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：A选项，，则 是直角三角形，故A不符合题意； B选项，设， ∵， ∴是直角三角形，故B不符合题意； C选项，∵最大角， ∴是锐角三角形，不是直角三角形，C符合题意； D选项，∵，且， ∴，即， ∴是直角三角形，D不符合题意． 3．D 【分析】先由垂直平分线的性质得，，，再证明，故平分，进一步可得答案． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，，，故A，C选项成立， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故B选项成立， 没有可证明的条件，故D选项不一定成立． 4．D 【分析】先根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，，， ∴． 5．B 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握最短路线模型是解题的关键． 延长至，使，连接，，作于点，根据等腰直角三角形的判定和性质求出的长度，再证得，最后根据两点之间线段最短确定最小值就是，据此求解即可． 【详解】延长至，使，连接，，作于点，如图所示， 在Rt中，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在Rt中，由勾股定理，得， 即， ， ∴，， 在Rt中，， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最小，最小值为． 6．C 【分析】根据角平分线结合平行可以得到等腰三角形即：，进而可求. 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴ ． 7．C 【分析】根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可判定③，再根据勾股定理以及等量代换即可得出④． 【详解】解：①∵，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确， ②连接， 由①中证明， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，故②正确， ③如图，设与的交点为G， ∵，， ∴，， ∴，故③不正确， ④∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，故④正确． ∴其中正确的结论有个． 8． 在三角形的三个内角中，最多有一个锐角 【分析】反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，只需对原命题的结论进行否定即可得到假设内容. 【详解】解：用反证法证明命题“在三角形的三个内角中，至少有两个锐角”时， 第一步应假设原命题的结论不成立，即假设在三角形的三个内角中，最多有一个锐角. 9．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 【详解】 解：两个完全一样的三角尺， 且， 根据角的平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上， 平分． 10． 【分析】连接，根据垂直平分线的性质得到，进而得到，求出，利用直角三角形的性质可得，由，即可求解． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ∵， ， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 11． 【分析】根据正五边形的每个内角的大小和四边形的内角和解题． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∵四边形的内角和为， 正五边形的每个内角为， ∴， ， 即． 12． 【分析】当是以为底的等腰三角形时，论证即可求解；当是以为底的等腰三角形时，过点作于，设，利用列方程求解即可. 【详解】解：①∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∵， ∴； ②当是以为底的等腰三角形时，过点作于， 设， ∵， ∴，， ∵点是的中点，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴. 13．12 【分析】将绕点逆时针旋转的度数得到，得到等腰，利用等腰三角形的性质求出，根据已知求出为，延长到点，使，利用垂直平分线的性质证得四边形是平行四边形，求出的长度，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转的度数得到，连接， 设，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， 延长到点，使，连接， 又∵， ∴所在直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴，则， ∵ ∴四边形是平行四边形，， 在中，， ． 14．或或 【分析】先根据等腰△ABC的边长和角度条件，计算出底角和的度数，设的度数为x，利用折叠的性质得到对应边、对应角相等的关系，用x表示出、，进而表示出的度数，根据角平分线的性质，得到和的度数表达式，结合角度和差关系推导和的全等条件，得到的度数，用x表示出三个内角的度数，再分三种情况讨论等腰的腰的对应关系，分别列方程求解x． 【详解】∵，， ∴， ∵折叠， ∴，设， ∴，，， 又∵， ∴； 且平分， ∴， 结合， ∴， ∴， ∴， ， 当时， ∴，即， 解得， 当时， ∴，即， 解得， 当时， ∴，， 即， 解得， ∴的度数为、或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、折叠变换的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质以及分类讨论思想相关知识点，其中利用折叠性质和角平分线定义推导线段角的关系、证明三角形全等，再结合分类讨论思想分析等腰三角形的不同情况是解题的关键． 15．(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】（1）作的角平分线即可； （2）过点作的垂线即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所作． （2）解：如图，点即为所作． 16．(1) (2) ；证明见解析 【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解： ；证明如下： 根据题意得：， ∵平分， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， 即 ． 17．(1)见解析； (2)． 【分析】（）由垂直定义可得，然后证明，所以，再由角平分线的判定方法即可求证； （）证明，所以，然后通过即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； （2）解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）证明为等腰直角三角形，进而得到为等腰直角三角形，得到即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分的外角，，， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 19．(1)， (2) (3)t值为或 【分析】（1）求出，得到，利用勾股定理求出，求出，得到，进而求解即可； （2）如图，作于H，证明出，得到，求出，，即可解决问题； （3）首先求出，表示出，，然后分三种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图中，作于H．当时，P在上，Q在上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 根据题意得，， ∴ ①当时，如图， ， ∴， ∴， ∴， 解得：； ②当时， 此时， ∴， ∵， ∴， ∴此时不存在； ③当时，过P作于G，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ 解得：． 综上，当t为或时，是等腰三角形． 20．(1) (2)成立，理由见解析 (3)或或 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，求出和，即可得到结论； （2）根据等边三角形得到，证明，得到，证明，得到，即可得到结论； （3）分当点在线段上时，当点在线段上时，当点在线段的延长线上时三种情况进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 等边，点是的中点， ， 等边， ， ， ， ， ； （2）证明：上述结论仍然成立，证明如下： 和是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ； （3）解：①当点在线段上时，连接， 是等边三角形， ， 点是的中点， ， ， 由（2）同理知：， ； ②当点在线段上时， 由①知， 由（2）知， ， ； ③当点在线段的延长线上时，连接， 由①知， 由（2）知， ， ； 学科网（北京）股份有限公司 $