第6章平行四边形期末复习综合练习题2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 以平行四边形性质与判定为核心，整合动态问题、中位线及全等证明，形成“概念-性质-判定-应用”逻辑链，提炼辅助线构造、方程思想等解题方法，培养几何直观与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质与判定|单选1-3、填空8|平行四边形边/角/对角线性质应用，判定定理（SSS/SAS/对角线互相平分）|从定义出发，推导性质，逆向形成判定，构建“性质-判定”双向逻辑| |动态与多解|单选6、解答17|动点问题方程思想，分类讨论平行四边形存在性|结合运动变化，将几何关系转化为代数方程，体现数学思维的严谨性| |中位线与综合|填空9-10、解答20|三角形中位线性质，辅助线构造（延长/中点连线）|联结三角形与平行四边形，通过中位线实现线段转化，培养数学眼光的关联性|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第6章平行四边形》 期末复习综合练习题（附答案） 一、单选题 1．如图，在四边形中，对角线相交于点O，请添加一组条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（　） A． B． C． D． 2．在中，已知，则的度数是（    ） A．40° B．70° C．110° D．140° 3．如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点E，交于点F，若平行四边形的周长为18，且四边形的周长为12，则的长是（   ） A．5 B．4 C．3 D．6 4．如图，中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且，则下列为定值的是（    ） A．线段的长 B．的度数 C．四边形的周长 D．四边形的面积 5．如图，中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，在中，与交于，在上，，，，是的中点，点以秒的速度从出发，沿向运动，点同时以秒的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当点运动（　　）秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形． A．3或4 B．3或5 C．4或6 D．4或5 7．如图，在平行四边形中，，F是的中点，作，垂足E在线段上，连接，则下列结论中一定成立的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 8．如图，在中，，分别是，的中点，若，则_____． 9．已知平行四边形的三个顶点分别为，则第四个顶点的坐标为_______． 10．如图，点E是内一点，，平分，D是边的中点．若，，则边的长__________． 11．如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，与分别交于点E，F．再分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧交于内一点G．作射线，交于点H，交的延长线于点K．已知，，则的长为____． 12．如图，在平行四边形中，和的角平分线分别交于点和，则的值为__________________． 13．如图，在中，是边上一点，是边的中点，平分，若，，则的长为_____． 14．如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③；④四边形是平行四边形，正确的序号是________．[把正确结论的序号都填上）． 三、解答题 15．如图，在中，对角线与相交于点． (1)尺规作图：分别作的中点；（保留作图痕迹，不要求写出做法） (2)在（1）的条件下，连接，求证：四边形是平行四边形． 16．如图，在中，点，在对角线上，．求证： (1)； (2)连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 17．如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A出发向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发向点B运动，两点同时出发，当点Q到达点B时停止运动（同时点P也停止），设运动时间为t秒（）． (1)当点P，Q运动t秒时，线段的长度为_________；线段的长度为_________； (2)若经过t秒，四边形是平行四边形，请求出t的值． 18．如图所示，为内的一点，平分，且，垂足为D，延长交于点，为的中点，点在上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 19．已知：四边形是平行四边形，点E是中点，连接，将沿着直线翻折得到，延长交的延长线于点P，延长交于点Q． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中所有与相等的角． 20．数学课上，我们探究过三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．以下是对此定理的探究及证明过程： 已知：如图①，在中，，分别是，的中点． 求证： 且． (1)【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙三位同学．他们在思考后说出了添加的辅助线： 甲：如图②，延长至点，使，连接 乙：如图③，延长到点，使，连接，，． 丙：如图④，作于点，延长，使，延长，使，连接，． 三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线定理的是___________． A．仅甲、乙    B．仅乙    C．仅乙、丙    D．甲、乙、丙 (2)【定理证明】请你按“乙同学”所作的辅助线将证明过程补充完整． (3)【定理应用】如图⑤，，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．小颖在地面上选了点和点，使 ，连接，，并分别找到和的中点，．若测得，，则，两地间的距离为 ． 试卷第1页，共3页 参考答案 1．B 【详解】解：A、添加，可以运用两组对边分别相等的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、添加，无法证明四边形是平行四边形，符合题意； C、添加，可运用对角线相互平分的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、添加，可以运用两组对边分别平行的四边形是平行四边形的方法判定四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：B ． 2．B 【分析】本题考查平行四边形的性质，利用平行四边形对角相等，邻角互补的性质，即可计算出的度数. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴. ∵， ∴ . ∴ . 3．C 【分析】利用平行四边形的性质，易证，从而得出，，再结合周长即可得解． 【详解】解：平行四边形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ，即， ， 平行四边形的周长为18， ， 四边形的周长为12， ， ． 4．D 【分析】利用平行四边形的判定与性质，分析四边形各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断． 【详解】解：连接， 在中，，分别为，中点， 且，，， 且， 四边形是平行四边形， 同理可证四边形是平行四边形， ∵与的面积分别为与面积的一半， 又四边形的面积 ， 四边形的面积始终为面积的一半，是定值． 选项A：长度随、移动改变； 选项B：随位置改变； 选项C：、等边长随、移动变化，周长不定； 综上，四边形的面积是定值，故选项D符合题意． 5．A 【分析】根据平行四边形的性质证明，从而得出阴影部分的面积等于的面积，即平行四边形面积的四分之一；利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，求出平行四边形的面积即可求解 ． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴． 6．B 【分析】先利用平行四边形的性质和已知推导出，再根据等角对等边得到，则，然后利用平行四边形的性质得到，进而列方程求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， ， ， 点是的中点， ， 以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形， ， ，或， 或5． 7．C 【分析】根据平行四边形的性质以及，可得，根据平行线的性质和等边对等角可得，即可判断①，延长，交的延长线于M，证明，可得，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据，以及三角形的面积和即可判断③，设，则，根据角度关系的计算即可求得． 【详解】解：①∵F是的中点， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，故结论①正确， 延长，交的延长线于M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∵F为中点， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确， ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 故③错误 ④设，则 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，故结论④正确 综上可知，一定成立的是①②④ 8．16 【分析】利用三角形中位线求解即可． 【详解】解：，分别是，的中点， ， ， ． 9． 或或 【分析】根据平行四边形对角线互相平分的性质，分三种情况讨论，分别以为对角线，结合中点坐标公式计算第四个顶点的坐标． 【详解】解：设第四个顶点为，分三种情况讨论： 1. 当为平行四边形的对角线时，由平行四边形对角线互相平分，得中点与中点重合， ∴中点的坐标为，即，中点的坐标为， ∴可得方程组， 解得，此时第四个顶点的坐标为； 2. 当为平行四边形的对角线时，由平行四边形对角线互相平分，得中点与中点重合， ∴中点的坐标为，即，中点的坐标为， ∴可得方程组， 解得，此时第四个顶点的坐标为； 3. 当为平行四边形的对角线时，由平行四边形对角线互相平分，得中点与中点重合， ∴中点的坐标为，即，中点的坐标为， 可得方程组， 解得，此时第四个顶点的坐标为． 综上，第四个顶点的坐标为或或． 10．7 【分析】延长交于点F，先根据角平分线的定义和直角三角形的两个锐角互余得，进而得出,再说明是的中位线，可求出，然后根据得出答案． 【详解】解：延长交于点F， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴, ∴点E是的中点． ∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴． 11．2 【分析】根据平行四边形的性质得到，，即，结合作图得到平分，则，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，即， 根据作图得到，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 12． 【分析】构造平行四边形，先由平行四边形性质得到相关边的数量及平行关系，再证得、是等腰三角形，然后证得，设，得出长，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作，交延长线于点，如图所示： 在平行四边形中，，，，， ， 四边形是平行四边形， 则，，， 平分， ， ， ， ，即， 同理，由平分可得，， ， ，则， ， ， ， 设， ，， 在中，，，，则由勾股定理可得． 13．13 【分析】如图所示，延长交于点，连接，根据平行四边形的性质得到，，由角平分线的定义得到，，再证明，，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是中点，， ∴，且， ∴， ∴， ∴ ． 14．①②④ 【分析】根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，从而判断①；利用证明，从而判断②；同理证明，结合全等三角形性质和平行四边形判定定理判断③和④． 【详解】解：，，， ，， ， 是直角三角形，， ，故①正确； 和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ，故②正确； ， 是等边三角形， ，， ， 同理可证， ， 是等边三角形， ， ， ，， 四边形是平行四边形，故④正确； 四边形是平行四边形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，故③错误； 综上所述，正确的结论是①②④． 15．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点E，作线段的垂直平分线交于点F，则点E和点F即为所求； （2）根据平行四边形的性质得到，根据线段中点的定义推出，则可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E、F分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 16．(1)见解析 (2)四边形为平行四边形，理由见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质对边平行且相等得到与平行且相等，由与平行得到内错角与相等，再由已知的，根据得到与全等； （2）由（1）证出的全等，根据全等三角形的性质得到与相等且与相等，由内错角相等两直线平行得到与平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得到四边形的形状． 【详解】（1）证明：是平行四边形， ，， ， ， ，即， ； （2）四边形是平行四边形， ， ，， ， 四边形是平行四边形． 17．(1)t， (2)3 【分析】（1）根据平行四边形的性质和点运动的时间进行解答即可； （2）根据平行四边形的判定得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点P在上以的速度从点A出发向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发向点B运动， ∴当点P，Q运动t秒时，线段的长度为；线段的长度为； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义和垂直的定义证出，利用全等三角形的性质和三角形中位线的判定得出是的中位线，最后利用三角形中位线的性质和平行四边形的判定定理即可得出结果； （2）结合（1）的结论，得到，利用三角形的中位线定理和线段的和差即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵平分， , ∵， ， 又， ， ， 即点是线段的中点， 为的中点， 是的中位线， 又 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得， ∴， 由（1）得是的中位线， ， 又， ， ∴． 19．(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的性质可得，由折叠的性质可得，由平角的定义可得，则可证明，由线段中点的定义得到，则，据此可证明结论； （2）根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到；则可得到，进而得到，则，，再由平行四边形对角相等可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴； ∵点E是中点， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴图中所有与相等的角为，，，． 20．(1)D (2)见解析 (3)26 【分析】（1）观察三位同学所作的辅助线，都能证明三角形中位线性质定理； （2）由，，可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质有，，结合，可得，四边形是平行四边形，即可得； （3）先证明，根据全等三角形的性质可得，从而可得为的中点，再根据为的中点，可得是的中位线，从而可得，就可得． 【详解】（1）解：观察三位同学所作的辅助线，都能证明三角形中位线性质定理． （2）解：如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∴， ， ． （3）解：连接并延长，交延长线于P，如图： ∵， ∴，， ∵， ∴（）， ∴，， ∴为的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴，两地间的距离为． 学科网（北京）股份有限公司 $