25.2.1第二课时配方法 学案 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的配方法，引导学生理解配方法原理及步骤，掌握二次项系数为1和不为1的方程求解。通过复习直接开平方法和完全平方公式，以具体方程和填空练习为支架，衔接新旧知识，构建学习脉络。 资料亮点在于探究过程引导学生自主转化方程形式，步骤归纳精准且强调易错点，例题涵盖不同系数及无实根情况，练习设计层次分明。助力学生提升数学运算能力，发展逻辑推理素养，增强转化与化归的模型意识，培养灵活解题能力。

人教版九年级数学上册第25章一元二次方程 第二课时：25.2.1配方法学案 一、素养目标 1.进一步理解配方法和配方的目的； 2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤； 3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程； 4.通过配方法解一元二次方程，培养数学运算能力，发展逻辑推理素养，增强数学建模意识，体会转化与化归思想. 二、教学重点、难点 重点：利用配方法解一元二次方程. 难点：用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方程两边都除以二次项系数，将方程化为二次项系数是1的类型. 三、教学过程 复习引入 用直接开平方法解下列方程： (1) 2x2－29＝21 (2) (x＋2)2＋3＝52 ( 解：( x ＋ 2 ) 2 ＝ 49 x ＋ 2 ＝ ± 7 即 x ＋ 2 ＝ 7 ，或 x ＋ 2 ＝－ 7 ∴ x 1 ＝ 5 ， x 2 ＝－ 9 ) ( 解： 2 x 2 ＝ 50 x 2 ＝ 25 x ＝ ± 5 ∴ x 1 ＝ 5 ， x 2 ＝－ 5 ) 完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝ (a＋b)2 a2－2ab＋b2＝ (a－b)2 应用完全平方公式填空： (1) x2＋6x＋ 32 ＝(x＋3)2 (2) x2－10x＋25＝(x－ 5 )2 探究 怎样解方程 x2＋6x＋4＝0 ？ 能否将方程x2＋6x＋4＝0转化为像(x＋3)2＝5这种形式的方程？然后直接(开平方法)降次解方程. 为此，对方程x2＋6x＋4＝0移项，得 x2＋6x＝－4 由a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，将上述方程两边同时加，即9，方程左边就可以配成x2＋2mx＋m2形式的完全平方公式，即 x2＋6x＋9＝－4＋9 左边写成完全平方形式，得 (x＋3)2＝5 解这个方程，得 x1＝－3＋，x2＝－3－ 可以验证，－3±是方程x2＋6x＋4＝0的两个根. 完整解法：解：对方程x2＋6x＋4＝0移项，得 ( 配方是为了利用开方实现降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解. )x2＋6x＝－4 x2＋6x＋9＝－4＋9 (x＋3)2＝5 x＋3＝±5 ∴ x1＝－3＋，x2＝－3－ 像上面这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 例2 解下列方程： (1) x2－8x＋1＝0 (2) 2x2＋1＝3x (3) 3x2－6x＋4＝0 分析：(1)方程的二次项系数为1，可直接运用配方法. (2)方程的二次项系数为2，为了便于配方，可把二次项系数化为1.为此，方程的两边都除以2. (3)与(2)类似，方程的两边都除以3后再配方. 解：(1)移项，得 x2－8x＝－1 配方，得 x2－8x＋42＝－1＋42 (x－4)2＝15 由此可得 x－4＝± ∴ x1＝4＋，x2＝4－ 解：(2)移项，得 2x2－3x＝－1 二次项系数化为1，得 x2－x＝－ 配方，得 x2－x＋()2＝－＋()2 由此可得 x－＝± ∴ x1＝1，x2＝ 解：(3)移项，得 3x2－6x＝－4 二次项系数化为1，得 x2－2x＝－ 配方，得 x2－2x＋12＝－＋12 (x－1)2＝－ 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根. 归纳总结 配方法解一元二次方程的步骤： (1)移：把含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边； (2)化：把二次项系数化为1； (3)配：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方； (4)开：在利用直接开平方法求出方程的解. 配方时易出现的错误： (1)移项时忘记变号； (2)系数化为1时漏项； (3)方程两边没有同时加上一次项系数一半的平方. 一般地，一元二次方程可以通过配方转化为 (x＋n)2＝p 的形式. (1) 当p＞0时，方程有两个不等的实数根 x1＝－n－，x2＝－n＋； (2) 当p＝0时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－n； (3) 当p＜0时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2≥0，所以方程无实数根. 课堂练习 1.填空： (1) x2＋10x＋___＝(x＋__)2 (2) x2－12x＋___＝(x－__)2 (3) x2＋5x＋___＝(x＋__)2 (4) x2－x＋___＝(x－__)2 2.解下列方程： (1) x2＋10x＋9＝0 (2) x2－x－＝0 (3) 3x2＋6x－4＝0 (4) 4x2－6x－3＝0 (5) x2＋4x－9＝2x－11 (6) x(x＋4)＝8x＋12 参考答案： 1、 （1）25,5（2）36,6（3）6.25,2.5（4）， 2、 （1）-1，-9 （2）（3）（4）（5）无解 （6）-2,6 四、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 五、教学反思 本节课由直接开平方法过渡引入配方法，引导学生理解配方凑完全平方的原理，掌握二次项系数为1的配方步骤。但部分学生不会正确添加一次项系数一半的平方，二次项系数不为1时变形易错。今后需强化配方原理讲解，多示范步骤，加强易错点专项练习，注重学生理解而非机械套用。 6、 课堂检测 1、用配方法解一元二次方程时可配方得（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2、解方程 （1） （2） （3） （4） (5) (x+2)2-3(x+2)+2=0 （6）3 3、先化简，再求值 参考答案： 1、 B 2、（1）2，-1 （2）（3）1， （4） （5）-1,0 （6） 3、 ，1 学科网（北京）股份有限公司 $