25.3第一课时：公式法学案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程公式法，核心知识点为求根公式的推导与应用。课堂导入通过复习配方法解具体方程，引导学生用配方法推导一般形式方程的求根公式，衔接旧知与新知，搭建学习支架。 资料注重推导过程的逻辑严谨性，培养学生逻辑推理与数学运算能力，例题涵盖不同根的情况及实际问题，强化模型意识。分层习题设计帮助巩固公式应用规范，提升学生用数学语言表达和解决问题的能力。

人教版九年级数学上册第25章一元二次方程 25.3第一课时：公式法学案 一、素养目标 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程； 2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况； 3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程； 4.理解一元二次方程公式法的推导原理，掌握公式运用，提升逻辑推理与数学运算能力，培养方程思想解决实际问题. 二、教学重点、难点 重点：求根公式的推导和公式法的应用. 难点：一元二次方程求根公式法的推导. 三、教学过程 复习引入 用配方法解方程：2x2－5x＋3＝0 解：移项，得 2x2－5x＝－3 二次项系数化为1，得 配方，得 由此可得 ∴ x1＝，x2＝1 探究 任何一个一元二次方程都可以化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0). 能否用配方法得出它的解呢？ ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 移项，得 ax2＋bx＝－c 二次项系数化为1，得 配方，得 即 ① ∵ a≠0，∴ 4a2＞0.式子b2－4ac的值有以下三种情况： (1) 当b2－4ac＞0时，＞0，由①得 方程有两个不等的实数根 ， (2) 当b2－4ac＝0时，＝0，由①可知，方程有两个相等的实数根 (3) 当b2－4ac＜0时，＜0，由①可知 ＜0，而x取任何实数都不能使＜0成立，因此方程无实数根. 可以发现，式子b2－4ac可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ＝b2－4ac. 归纳 由上可知，对于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)， ( Δ ＝ b 2 － 4 ac )当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，方程无实数根. Δ＞0 方程有两个不相等的实数根； Δ＝0 方程有两个相等的实数根； Δ＜0 方程无实数根. 当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式. 求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的结果.解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 例3 用公式法解下列方程： (1) x2－4x－7＝0 (2) 2x2－2x＋1＝0 (3) 5x2－3x＝x＋1 (4) x2＋17＝8x 解：(1) ∵ a＝1，b＝－4，c＝－7 ∴ Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0 方程有两个不相等的实数根 即 ， 解：(2) ∵ a＝2，b＝－2，c＝1 ∴ Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×2×1＝0 方程有两个相等的实数根 解：(3) 方程化为 5x2－4x－1＝0 ( 注意：用公式法解一元二次方程时，首先要将方程转化 为 一般形式，再确定 a ， b ， c 的值. )此时a＝5，b＝－4，c＝－1 ∴ Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0 方程有两个不等的实数根 即 x1＝1，x2＝. 解：(4) 方程化为 x2－8x＋17＝0 此时a＝1，b＝－8，c＝17 ∴ Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4＜0 方程无实数根. 归纳总结 用公式法解一元二次方程的步骤： (1)化：先把方程化为一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)； (2)定：确定a，b，c的值； (3)算：算出b2－4ac的值； (4)求：当b2－4ac≥0时，把a，b及b2－4ac的值代入一元二次方程的求根公式：，求得方程的根；当b2－4ac＜0时，方程无实数根. 回到本章引言中列出的一元二次方程 x2＋5x－25＝0 用公式法解这个方程，得 即 ， 结果保留小数点后两位，那么x1≈3.09，x2≈－8.09. 关于这两个根，只有x1≈3.09符合问题的实际意义，因此雕像腰部以下身长约为3.09m. 课堂练习 1.解下列方程： (1) x2＋x－6＝0 (2) x2－x－＝0 (3) 3x2－6x－2＝0 (4) 2x2－3x＝0 (5) x2＋4x＋8＝4x＋11 (6) x(2x－4)＝5－8x 2．若关于x的一元二次方程kx2+1=x－x2有实数根,求k的取值范围． 四、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 五、教学反思 教学过程中，引导学生推导求根公式，再进行例题演练. 同时公式法的得出是通过配方法来的，用公式法解方程的前提是Δ≥0. 部分学生对公式推导逻辑理解不透彻，易混淆符号、记错公式结构，甚至部分学生在代入数值时常出现计算失误。后续教学应放慢推导节奏，强化符号辨析与基础计算训练，增设分层习题，巩固公式法解题规范。 6、 课堂检测 1、解方程： （1）（x-5）2=2（x-5） （2）x2-4x-5=0 （3） （配方法） （4） （5） （6） （7） (8) 2．m取什么值时，方程2x2－(4m+1)x+2m2－1=0 （1） 有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根； 3.先化简，再求值：（ －）÷，其中 x=＋1，y=－1. 参考答案： 1、 （1）5,7 （2）-1,5 （3）（4）2，-1 （5）（6（7）1.5，（8）-1，-1.5 2、 m> , m= , m< 3、 ,2 学科网（北京）股份有限公司 $