25.3第一课时：公式法学案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

人教版九年级数学上册第25章一元二次方程

25.3第一课时：公式法学案

一、素养目标

1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；

2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况；

3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程；

4.理解一元二次方程公式法的推导原理，掌握公式运用，提升逻辑推理与数学运算能力，培养方程思想解决实际问题.

二、教学重点、难点

重点：求根公式的推导和公式法的应用.

难点：一元二次方程求根公式法的推导.

三、教学过程

复习引入

用配方法解方程：2x2－5x＋3＝0

解：移项，得 2x2－5x＝－3

二次项系数化为1，得

配方，得

由此可得

∴ x1＝，x2＝1

探究

任何一个一元二次方程都可以化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0). 能否用配方法得出它的解呢？

ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)

移项，得 ax2＋bx＝－c

二次项系数化为1，得

配方，得

即   ①

∵ a≠0，∴ 4a2＞0.式子b2－4ac的值有以下三种情况：

(1) 当b2－4ac＞0时，＞0，由①得

方程有两个不等的实数根

，

(2) 当b2－4ac＝0时，＝0，由①可知，方程有两个相等的实数根

(3) 当b2－4ac＜0时，＜0，由①可知 ＜0，而x取任何实数都不能使＜0成立，因此方程无实数根.

可以发现，式子b2－4ac可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ＝b2－4ac.

 

归纳

由上可知，对于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，

当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，方程无实数根.

Δ＞0     方程有两个不相等的实数根；
Δ＝0     方程有两个相等的实数根；
Δ＜0     方程无实数根.

当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式.

求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的结果.解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.

 

例3 用公式法解下列方程：

(1) x2－4x－7＝0   (2) 2x2－2x＋1＝0    (3) 5x2－3x＝x＋1    (4) x2＋17＝8x

解：(1) ∵ a＝1，b＝－4，c＝－7
∴ Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0
方程有两个不相等的实数根

即 ，

解：(2) ∵ a＝2，b＝－2，c＝1
∴ Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×2×1＝0

方程有两个相等的实数根

解：(3) 方程化为 5x2－4x－1＝0

此时a＝5，b＝－4，c＝－1
∴ Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0
方程有两个不等的实数根