精品解析：2026年山西太原市小店区6月中考考前模拟数学试题

数学 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 点，，，在数轴上的位置如图所示，其中到原点的距离与到原点的距离相等的点是（ ） A. B. C. D. 2. 中国刺绣是中国古老的手工技艺之一，是用绣针引彩线，将设计的花纹在纺织品上刺绣运针，以绣迹构成花纹图案的一种工艺，是文化与经济相互交融，相互促进，相得益彰的生动体现．下列刺绣图案是中心对称图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列变形中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 模型设计与制作是现代青少年非常喜欢的一种活动，如图是一个车模中的零件示意图及其主视图，该零件的俯视图为（ ） A. B. C. D. 5. 医学界发现，特定波长紫外线可以抑制皮肤过度增殖和炎症反应，紫外线疗法可以帮助治疗某些皮肤疾病，该波长紫外线的平均波长为311纳米（1纳米米）左右，数据“311纳米”用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 将一把直尺按如图所示的方式叠放在一块三角形纸片上，直尺的两个顶点，分别落在，边上，并与交于点和，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，点，，将线段平移，使得线段中的点的对应点落在的位置，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，弦交于点，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 在一个不透明盒子里有20个除颜色外完全相同的小球，其中白球有个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回．通过大量的重复试验后发现，摸到白球的频率为．由此可以推算出为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 10. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点、的对应点分别为、，与交于点，若，，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_____． 12. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和等边三角形镶嵌而成，其中第1个图案中有4个等边三角形，第2个图案中有6个等边三角形，第3个图案中有8个等边三角形，…依此规律，第2026个图案中有____个等边三角形． 13. 如图，的顶点都在正方形网格的格点上，且正方形网格的边长为1，则的值为____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数（）与（）的图象上，轴，点在轴上，且，若，则的值为____． 15. 如图，在中，，，，连接，点是边上一点，连接交于点，若，则的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如图，在等腰中，，点，分别是，的中点．点在上，连接，．当时，试判断与的位置关系，并说明理由． 18. 足球、篮球、排球三大球纳入中考体育考核，完善了体能测评维度．其中排球正面双手垫球测试，直观检验学生肢体协调、核心耐力与动作把控能力，便于从宏观研判身体素质、日常锻炼情况与运动天赋差异．某校为了解该校两个学部排球课程开展情况，组织全体八年级学生进行了“1分钟垫球”测试，并随机抽取部分学生进行调查，对收集到的数据进行整理和描述． 【数据收集】调查小组从参加测评的两个学部的八年级男生中各随机抽取30名学生，对其中一分钟垫球的个数进行整理和分析（垫球个数记为，共分为六组：A：，B：，C：，D：，E：，F：）． 【数据整理】下面给出了部分信息： 甲学部八年级男生“1分钟垫球”个数在C组的数据是：28，29，27，29，30，30，30，30； 乙学部八年级男生“1分钟垫球”个数在D组的数据是：23，24，25，26，26，25，26； 平均数中位数方差优秀率 平均数 中位数 方差 优秀率 甲学部 28 乙学部 28 26 注：“优秀”指1分钟垫球个数在C组以上（即）． 【问题解决】 （1）填空： ， ， ；（结果保留1位小数）并请补全频数分布直方图； （2）根据以上数据分析，你认为该校哪个学部的八年级男生“1分钟垫球”的成绩更优秀，请说明理由； （3）若该校参加此次测试的男生甲学部有600人，乙学部有400人，请你估计该校八年级男生“1分钟垫球”的成绩达到“优秀”等级的人数（结果保留整数）． 19. 孟母贤良教子，三迁断机，是古代慈母的典范，学校组织七年级学生去距学校的晋中市太谷区“孟母文化园”参观，一部分学生乘坐“城际大巴”先出发，过了，其余学生乘坐“旅行中巴”出发，结果他们同时到达．已知“旅行中巴”的平均速度是“城际大巴”平均速度的倍，求“城际大巴”的平均速度． 20. 【学科融合】 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角，这就是光的反射定律． 【探索活动】奋进组想要测量观景台的高度． 【测量】如图2所示，奋进组让同学甲举起一面镜子，镜子反射的太阳光刚好能照到观景台的顶端，测得同学甲脚掌中心位置到镜面中心的距离是，镜子与水平方向的夹角，太阳光与水平线的夹角为．乙同学在沿的方向距甲同学处，，乙同学同样举起一面镜子，调整镜子与水平方向的夹角，镜子反射的太阳光也刚好能照到观景台的顶端． 【计算】请根据以上测量数据计算观景台的高度．（参考数据：，，，，，，，，，，，）（结果精确到1米） 21. 阅读与思考 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 关于“对称五边形”的研究报告 生活中窗花纹样、装饰标牌、园林造型随处可见对称五边形实例．为体会几何与生活的联系，立足轴对称、平行线等初中知识，开展特殊轴对称五边形探究，在推理与尺规作图中培养几何直观与归纳探究能力，数学兴趣小组展开了对于“对称五边形”的实践探究． 【概念理解】若平面内存在一条直线经过凸五边形的一个顶点，且另两组顶点分别关于直线对称，则称它为对称五边形． 如图，直线过五边形的顶点，点、，点、关于对称，则五边形为对称五边形，直线是它的对称轴，称为对称五边形的顶角；点称为对称五边形的顶角顶点，，称为对称五边形的底角；称为对称五边形的底边． 【性质探究】 性质1：勤学小组同学发现，对称五边形中的两个底角相等，请帮助勤学小组的同学证明这一结论； 性质2：依据轴对称特征，再写出一条关于对角线的性质，并尝试证明． …… 【任务】 （1）请帮助勤学小组的同学完成证明； 若在对称五边形中，，则 ； （2）我发现对角线的性质为： ，请完成证明； （3）尺规作图：已知如图，对称五边形的底边与顶点的位置如图所示，请补全对称五边形，使为底边，且（保留作图痕迹，不写画法）． 22. 综合与实践 问题情境：某游乐园想设计一款带喷泉的水上滑梯游乐设施，如图所示为设计示意图，为水上滑梯，滑梯顶端点离地面4米（即米），水平长度米，在滑梯上方设计喷泉，喷泉喷出的水柱呈抛物线，为不淋湿游客，保证在滑梯两端，处喷泉离滑梯的距离为米（即米），如图所示建立平面直角坐标系，喷泉最高点离轴米． （1）数学建模：请你结合已知安全间距与顶点位置条件，求出喷泉喷出的水柱所在抛物线的函数表达式． （2）解决问题：根据施工要求喷泉落地处需要修建防水排水凹槽，防止积水漫延侵蚀滑梯地基．请求出喷泉落地位置到滑梯立柱的水平距离，以此确定排水槽的位置． （3）游乐园采购部门依据水柱与滑梯的最大间距选配喷泉出水压力（间距决定水压上限，间距过小需减小水压防溅水），请写出全程范围内喷泉水柱与滑梯滑道的最大竖直距离． 23. 综合与探究 问题情境：在综合与探究课上，老师让同学们以“矩形的几何变换”为主题开展探究活动，如图1，矩形中，作对角线的垂直平分线交于点，点、分别在和边上，连接，． （1）操作发现：证明，并直接写出四边形的形状； （2）如图2，若，，将绕点顺时针方向旋转得到，点、的对应点分别是、，当点恰好落在点上时，判断四边形的形状，并说明理由； （3）实践探究：如图3，在（2）的基础上连接，在旋转过程中，当所在直线与边所在直线垂直时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 点，，，在数轴上的位置如图所示，其中到原点的距离与到原点的距离相等的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值的几何意义，由各点到原点的距离进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：点P到原点的距离为3， ∴到原点的距离为3． ∴到原点的距离与到原点的距离相等的点是点P． 2. 中国刺绣是中国古老的手工技艺之一，是用绣针引彩线，将设计的花纹在纺织品上刺绣运针，以绣迹构成花纹图案的一种工艺，是文化与经济相互交融，相互促进，相得益彰的生动体现．下列刺绣图案是中心对称图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 、是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项符合题意； 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意． 3. 下列变形中，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据等式的基本性质与不等式的基本性质逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：根据等式性质，等式两边同时加(或减)同一个数，等式仍然成立，∵，两边同时加，得，∴ A变形正确； 根据等式性质，等式两边同时乘(或除以)同一个不为的数，等式仍然成立，∵，两边同时除以，得，∴B变形正确； ∵， ∴， 根据不等式性质，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，∵，两边同时除以正数，得，∴C变形正确； ∵无法确定的符号，当时，不等式两边同时除以，不等号方向改变，若，可得，因此D变形错误． 4. 模型设计与制作是现代青少年非常喜欢的一种活动，如图是一个车模中的零件示意图及其主视图，该零件的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据俯视图：从上面看到的物体的形状图，根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从上面看，俯视图如图所示： 5. 医学界发现，特定波长紫外线可以抑制皮肤过度增殖和炎症反应，紫外线疗法可以帮助治疗某些皮肤疾病，该波长紫外线的平均波长为311纳米（1纳米米）左右，数据“311纳米”用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵纳米米， ∴纳米米， 整理为符合要求的科学记数法：米． 6. 将一把直尺按如图所示的方式叠放在一块三角形纸片上，直尺的两个顶点，分别落在，边上，并与交于点和，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出，，再由平角得出，利用三角形内角和定理得出，再由平行线的性质得出，即可求解 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 7. 在平面直角坐标系中，点，，将线段平移，使得线段中的点的对应点落在的位置，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据点及其对应点的坐标确定平移规律，再根据平移规律计算点对应点的坐标． 【详解】解：∵点平移后对应点为， ∴平移规律为：向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即的坐标为． 8. 如图，是的直径，弦交于点，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据邻补角的性质求出的度数，再运用圆周角定理得到，最后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：， ， 由圆周角定理得，， ， ． 9. 在一个不透明盒子里有20个除颜色外完全相同的小球，其中白球有个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回．通过大量的重复试验后发现，摸到白球的频率为．由此可以推算出为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】大量重复试验中频率稳定于概率，据此得到摸到白球的概率，再根据概率公式列方程求解即可，解题关键是掌握频率估计概率的性质． 【详解】解：∵通过大量重复试验后，摸到白球的频率为， ∴可估计摸到白球的概率为， 由题意得，总球数为，白球数为， ∴， 解得． 10. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点、的对应点分别为、，与交于点，若，，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理可得，由正切的定义可得，由旋转的性质可得，，，作于，则，从而可得为等腰直角三角形，，进而可得，，求出，再由计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∵将绕点顺时针旋转得到，点、的对应点分别为、， ∴，，， 如图，作于，则， ∴为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_____． 【答案】1 【解析】 【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 故答案为：1． 【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和等边三角形镶嵌而成，其中第1个图案中有4个等边三角形，第2个图案中有6个等边三角形，第3个图案中有8个等边三角形，…依此规律，第2026个图案中有____个等边三角形． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目中的图形可以发现三角形个数的变化规律，可以求得第2026个图案中三角形的个数． 【详解】解：第①个图案有4个三角形，即 第②个图案有6个三角形，即 第③个图案有8个三角形，即 第个图案三角形个数为， 所以第2026个图案有三角形的个数为． 13. 如图，的顶点都在正方形网格的格点上，且正方形网格的边长为1，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】由网格求出，由勾股定理得，，作于，由等面积法得出，最后再由正弦的定义计算即可得出结果． 【详解】解：由网格特点得， 由勾股定理得，， 如图，作于， ∵， ∴， ∴． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数（）与（）的图象上，轴，点在轴上，且，若，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用反比例函数解析式表示出点，的坐标，进而表示出线段的长度，最后结合三角形面积公式建立方程求解的值即可解答． 【详解】解：设点的横坐标为（），则点， 轴， 点的横坐标为，则点， 线段的长度为， 点在轴上，且， 中边上的高等于点到轴的距离，即， ， ， ， 解得或， 由图可知图象位于第一象限， 所以， 故的值为． 15. 如图，在中，，，，连接，点是边上一点，连接交于点，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作，过点C作，过点B作的延长线于点M，根据矩形的判定得出四边形为矩形，再由正切函数及勾股定理得出，利用等腰三角形的性质确定，利用勾股定理计算得出，最后利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：过点A作，过点C作，过点B作的延长线于点M，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， 同理：， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）2 （2）原方程组的解为 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：由②得，③ ①③得： 解得 将代入③得，． 原方程组的解为 17. 如图，在等腰中，，点，分别是，的中点．点在上，连接，．当时，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】， 理由如下： 点是边中点， ， ∵， ， ， 点是的中点 是等腰三角形，， ． 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例得出，确定点是的中点，再由等腰三角形的性质即可求解． 【详解】略 18. 足球、篮球、排球三大球纳入中考体育考核，完善了体能测评维度．其中排球正面双手垫球测试，直观检验学生肢体协调、核心耐力与动作把控能力，便于从宏观研判身体素质、日常锻炼情况与运动天赋差异．某校为了解该校两个学部排球课程开展情况，组织全体八年级学生进行了“1分钟垫球”测试，并随机抽取部分学生进行调查，对收集到的数据进行整理和描述． 【数据收集】调查小组从参加测评的两个学部的八年级男生中各随机抽取30名学生，对其中一分钟垫球的个数进行整理和分析（垫球个数记为，共分为六组：A：，B：，C：，D：，E：，F：）． 【数据整理】下面给出了部分信息： 甲学部八年级男生“1分钟垫球”个数在C组的数据是：28，29，27，29，30，30，30，30； 乙学部八年级男生“1分钟垫球”个数在D组的数据是：23，24，25，26，26，25，26； 平均数中位数方差优秀率 平均数 中位数 方差 优秀率 甲学部 28 乙学部 28 26 注：“优秀”指1分钟垫球个数在C组以上（即）． 【问题解决】 （1）填空： ， ， ；（结果保留1位小数）并请补全频数分布直方图； （2）根据以上数据分析，你认为该校哪个学部的八年级男生“1分钟垫球”的成绩更优秀，请说明理由； （3）若该校参加此次测试的男生甲学部有600人，乙学部有400人，请你估计该校八年级男生“1分钟垫球”的成绩达到“优秀”等级的人数（结果保留整数）． 【答案】（1）；；； （2）甲学部八年级男生的“1分钟垫球”的成绩更优秀，理由如下： 两个学部平均数一样，甲学部中位数高于乙学部中位数，方差小于乙学部，成绩更稳定； （3）该校八年级男生“1分钟垫球”的成绩达到“优秀”等级的人数约为507人． 【解析】 【分析】（1）根据题意得出中位数为第15，16名学生垫球个数的平均数，然后利用中位数的定义求解即可；然后得，求出C组所占比例为：，即可求解； （2）根据平均数、中位数和方差判断即可； （3）利用样本估计总体求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得C组的数据有8个，30名学生， ∴中位数为第15，16名学生垫球个数的平均数， ∵ ，， ∴C组的数据重新排序为： 30，30，30，30，29，29，28，27； ∴； 乙学部八年级男生“1分钟垫球”个数在D组的数据是7个， ∴， ∴； ∴C组所占比例为：， ∴优秀率， ∴； 补全图象略； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据题意得：人． 19. 孟母贤良教子，三迁断机，是古代慈母的典范，学校组织七年级学生去距学校的晋中市太谷区“孟母文化园”参观，一部分学生乘坐“城际大巴”先出发，过了，其余学生乘坐“旅行中巴”出发，结果他们同时到达．已知“旅行中巴”的平均速度是“城际大巴”平均速度的倍，求“城际大巴”的平均速度． 【答案】“城际大巴”平均速度为60千米/小时 【解析】 【分析】设“城际大巴”平均速度为千米/小时，“旅行中巴”平均速度为千米/小时．根据题意列出方程求解，然后检验即可． 【详解】解：设“城际大巴”平均速度为千米/小时，“旅行中巴”平均速度为千米/小时． 根据题意得：． 解得． 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：“城际大巴”平均速度为60千米/小时． 20. 【学科融合】 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角，这就是光的反射定律． 【探索活动】奋进组想要测量观景台的高度． 【测量】如图2所示，奋进组让同学甲举起一面镜子，镜子反射的太阳光刚好能照到观景台的顶端，测得同学甲脚掌中心位置到镜面中心的距离是，镜子与水平方向的夹角，太阳光与水平线的夹角为．乙同学在沿的方向距甲同学处，，乙同学同样举起一面镜子，调整镜子与水平方向的夹角，镜子反射的太阳光也刚好能照到观景台的顶端． 【计算】请根据以上测量数据计算观景台的高度．（参考数据：，，，，，，，，，，，）（结果精确到1米） 【答案】观景台的高度约为 【解析】 【分析】连接并延长交于点，由题意可知四边形，四边形，四边形均为矩形，由矩形的性质可得，，求出，； 设，在中，解直角三角形得出，在中，解直角三角形得出，再结合，计算即可得出结果． 【详解】解：连接并延长交于点，如图， 由题意可知四边形，四边形，四边形均为矩形， ∴；； 由光的反射定律可知点处观察点的仰角； 点处观察点的仰角； 设， 在中，，； ； 在中，，； ， ； ； 解得 ． ； 答：观景台的高度约为． 21. 阅读与思考 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务． 关于“对称五边形”的研究报告 生活中窗花纹样、装饰标牌、园林造型随处可见对称五边形实例．为体会几何与生活的联系，立足轴对称、平行线等初中知识，开展特殊轴对称五边形探究，在推理与尺规作图中培养几何直观与归纳探究能力，数学兴趣小组展开了对于“对称五边形”的实践探究． 【概念理解】若平面内存在一条直线经过凸五边形的一个顶点，且另两组顶点分别关于直线对称，则称它为对称五边形． 如图，直线过五边形的顶点，点、，点、关于对称，则五边形为对称五边形，直线是它的对称轴，称为对称五边形的顶角；点称为对称五边形的顶角顶点，，称为对称五边形的底角；称为对称五边形的底边． 【性质探究】 性质1：勤学小组同学发现，对称五边形中的两个底角相等，请帮助勤学小组的同学证明这一结论； 性质2：依据轴对称特征，再写出一条关于对角线的性质，并尝试证明． …… 【任务】 （1）请帮助勤学小组的同学完成证明； 若在对称五边形中，，则 ； （2）我发现对角线的性质为： ，请完成证明； （3）尺规作图：已知如图，对称五边形的底边与顶点的位置如图所示，请补全对称五边形，使为底边，且（保留作图痕迹，不写画法）． 【答案】（1）设直线交于点，连接， 点、关于直线对称 ， 点、关于直线对称 ， 又 又， 在对称五边形中， ∵， ∴ ∴ （2）顶角顶点与底角顶点所连对角线相等， 证明：如图，连接，， 五边形是对称五边形， 直线垂直平分， ． （3） 【解析】 【分析】（1）设直线交于点，连接，，根据轴对称的性质得出，，再由全等三角形的判定和性质得出 ，，，，结合平行线的性质求解即可； （2）连接，，根据轴对称的性质得出直线垂直平分，即可证明； （3）作线段的垂直平分线，然后作等边，作，得出，延长BH交中垂线于点A，同理确定点E，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 综合与实践 问题情境：某游乐园想设计一款带喷泉的水上滑梯游乐设施，如图所示为设计示意图，为水上滑梯，滑梯顶端点离地面4米（即米），水平长度米，在滑梯上方设计喷泉，喷泉喷出的水柱呈抛物线，为不淋湿游客，保证在滑梯两端，处喷泉离滑梯的距离为米（即米），如图所示建立平面直角坐标系，喷泉最高点离轴米． （1）数学建模：请你结合已知安全间距与顶点位置条件，求出喷泉喷出的水柱所在抛物线的函数表达式． （2）解决问题：根据施工要求喷泉落地处需要修建防水排水凹槽，防止积水漫延侵蚀滑梯地基．请求出喷泉落地位置到滑梯立柱的水平距离，以此确定排水槽的位置． （3）游乐园采购部门依据水柱与滑梯的最大间距选配喷泉出水压力（间距决定水压上限，间距过小需减小水压防溅水），请写出全程范围内喷泉水柱与滑梯滑道的最大竖直距离． 【答案】（1）水柱所在抛物线的表达式为 （2）喷泉落地位置D到滑梯立柱OA的水平距离为米 （3）当时， 【解析】 【分析】（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线，，得出抛物线与y轴交点C的坐标为，设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法代入求解即可； （2）当时，求解方程，根据题意得出合适的解即可； （3）设直线的解析式为，利用待定系数法得出，然后设喷泉水柱与滑梯滑道的竖直距离为d，得出相应的函数关系式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，， ∵， ∴抛物线与y轴交点C的坐标为， ∵， ∴抛物线经过点； 设抛物线的解析式为， 将点代入得， 由对称轴得， 将点代入得， 将代入上式得： 解得， ， ∴喷泉喷出的水柱所在抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 整理得， 解得， 且 (舍去)， 答：喷泉落地位置D到滑梯立柱的水平距离为米； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 将代入得： 解得， ∴直线的解析式为， 设喷泉水柱与滑梯滑道的竖直距离为d，则： ， ∴当时，d有最大值，最大值为 答：全程范围内喷泉水柱与滑梯滑道的最大竖直距离为米． 23. 综合与探究 问题情境：在综合与探究课上，老师让同学们以“矩形的几何变换”为主题开展探究活动，如图1，矩形中，作对角线的垂直平分线交于点，点、分别在和边上，连接，． （1）操作发现：证明，并直接写出四边形的形状； （2）如图2，若，，将绕点顺时针方向旋转得到，点、的对应点分别是、，当点恰好落在点上时，判断四边形的形状，并说明理由； （3）实践探究：如图3，在（2）的基础上连接，在旋转过程中，当所在直线与边所在直线垂直时，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：四边形是矩形， ∴，， ； 垂直平分； ，，，， ， ， ， ， ； ∵， ∴， 故此时四边形是菱形； （2）四边形是菱形，理由如下： 由（1）知四边形是菱形， ， 四边形是矩形， ， 在中， ，， ， ， 垂直平分， ， ， ， ∵， ； 是等边三角形； ； 由旋转可知：，， ； 四边形是菱形． （3）； 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，，证明得出，从而即可得出，由线段垂直平分线的性质并结合得出，即可得出四边形是菱形； （2）由（1）知四边形是菱形，则，解直角三角形得出，求出，从而可得是等边三角形，结合旋转的性质得出，即可得证； （3）先求出， 由旋转的性质得，为等边三角形，分两种情况：当在的右边，所在直线与边所在直线垂直时，令于，交于；当在的左边，所在直线与边所在直线垂直时，令于，的延长线交于，分别求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）可得为等边三角形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由旋转的性质得，为等边三角形， ∵所在直线与边所在直线垂直， ∴当在的右边，所在直线与边所在直线垂直时，如图，令于，交于， ∵， ∴， ∴，四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴； 当在的左边，所在直线与边所在直线垂直时，如图，令于，的延长线交于， ∵， ∴， ∴，四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】四条边都相等的四边形是菱形；全等三角形的对应边相等，对应角相等；旋转的对应边相等，对应角相等；采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $