精品解析：山西省临汾市侯马市第五中学2025-2026学年第二学期九年级 中考考前测试数学试题

2026年山西省中考信息冲刺卷·压轴与预测（二） 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下面四个数中，距离原点最近的数是（ ） A. B. C. 1 D. 2. 知阴晴冷暖，避风雨无常，下列天气预报符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是边的中点，是边上的动点（不与点重合），连接，在点从点向点运动的过程中，的度数（ ） A. 逐渐减小 B. 逐渐增大 C. 先增大再减小 D. 先减小再增大 4. 在“书灯映韶华”校园文创台灯设计活动中，某同学设计的台灯灯罩可近似看作圆台（如图所示），则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 太原某农科站，从1号、2号、3号、4号四个晋祠大米试验品种中随机抽取10块试验田，统计了每块田的亩产量（单位：），其平均数及方差如下表所示： 品种 1号 2号 3号 4号 平均数 520 520 660 660 方差 2.1 1.9 1.9 2.1 打算选取一种产量既高产又稳定的品种在晋祠灌区推广种植，应选取的品种是（ ） A. 1号 B. 2号 C. 3号 D. 4号 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 围棋源于中国，蕴含着“阴阳相生，黑白相克”之道．棋盒中装有外形相同的黑棋3枚，白棋2枚．小明先从盒中随机摸出一枚棋子，记下颜色后不放回，再从剩下的棋子中随机摸出一枚，则“他摸到棋子颜色相同”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 在“探究水在沸腾前后温度随时间变化的特点”实验中，甲、乙两位同学分别使用自己的实验器材进行测量，甲同学测量的水的质量记为，乙同学测量的水的质量记为．根据记录的数据，绘制出水的温度（单位：）与加热时间（单位：）的关系图象，如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 两位同学实验所用水的初始温度相同，但水开始沸腾的温度不同 B. 两位同学实验所用水的初始温度相同，且水开始沸腾的时刻也相同 C. 质量为的水从开始加热到的过程中，与的函数关系式是 D. 质量为的水从开始加热到的过程中，与的函数关系式是 10. 如图，在中，，，分别以点为圆心作扇形、扇形，且点在边上，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：____． 12. 观察下列图形：第①个图形有5个小三角形，第②个图形有8个小三角形，第③个图形有11个小三角形，若按照这样的规律，则第个图形有___________个小三角形． 13. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴负半轴上，是边长为2的等边三角形，将以原点为中心作中心对称，得到，则点的坐标是____________． 14. 某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5元．当售价为15元/杯时，平均每天能售出300杯．市场调查发现，售价每降价1元，平均每天就能多售出50杯．店主希望扩大销量，提高知名度，且使每天的销售利润仍保持在3000元，则每杯奶茶应降价____________元． 15. 将一副三角尺按如图所示的位置放置，已知，与交于点，则线段的长为____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求解答： （1）计算：； （2）解不等式组：并在数轴上表示其解集． 17. 户外露营成为当下流行的休闲方式如图，某户外用品店购进甲、乙两款露营折叠椅进行销售．已知购进2把甲款折叠椅和3把乙款折叠椅共需310元；购进3把甲款折叠椅和1把乙款折叠椅共需220元． （1）求甲、乙两款折叠椅的进价各是多少？ （2）该店计划用不超过3000元的资金购进这两款折叠椅共50把，设购进甲款折叠椅把，全部售完后获得的总利润为元．甲款折叠椅每把的利润为25元，乙款折叠椅每把的利润为35元．该店如何进货可获得最大利润？最大利润是多少元？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边长为4，顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上，交轴于点，且．若一次函数与反比例函数的图象都过点． （1）求和的值； （2）求的面积． 19. “锦绣太原·文化传承”志愿服务岗位调查报告 第43届太原“晋祠牡丹文化节”期间，某校组织学生参与志愿服务活动，为合理安排岗位，学校随机抽取名学生，对A：晋祠参观导览，B：晋祠秩序维护，C：牡丹花艺讲解，D：打卡摄影协助，E：晋祠文化宣传这五类志愿服务岗位开展调查，从五个岗位中投票选出学生参与意愿最高的岗位然后将收集到的数据绘制整理成如下不完整的条形图和扇形图： 根据投票结果，得票最高的两个岗位是：牡丹花艺讲解和打卡摄影协助．为了进一步了解学生对这两个岗位服务要求的了解，随机抽取了8名学生分别对两个岗位进行10分制测评，结果如下表： 志愿服务岗位 测评得分 平均数/分 中位数/分 众数/分 牡丹花艺讲解 10，9，8，3，6，4，10，10 7.5 10 打卡摄影协助 10，10，9，5，5，5，8，8 7.5 8 5 根据以上信息，解决下列问题： （1）填空：___________，___________． （2）请补全条形图，并计算扇形图中A这一项所对应的圆心角度数． （3）结合投票数据（条形图）与测评得分情况（表中平均数、中位数、众数），你认为班级应优先安排学生参与牡丹花艺讲解还是打卡摄影协助？请至少从两个统计量的角度说明理由． 20. 项目学习项目背景：如图1，“天幕”是一种常见的露营设备，由支撑杆、天幕布和拉绳组成．某校课外活动小组为了探究天幕的稳定性与拉绳长度、支撑杆高度之间的关系，开展项目式学习，形成如下活动报告． 项目主题 天幕帐篷中的数学 天幕概述 天幕布米，支撑杆可伸缩，且于点；两根长度相同的拉绳和分别固定于地面上点和点处，点共线，点共线；地面固定点与点之间的距离米，． 测量工具 皮尺：测量水平距离． 方案说明 支撑杆由伸长至（点位置不变，点升高到点）；固定点分别移动至点，米，且点在同一条直线上；在这个过程中，拉绳长度保持不变． 示意图 请你根据以上信息，完成下列任务：（，结果精确到0.1米） （1）求拉绳的长度； （2）求支撑杆伸长后的高度． 21. 阅读与思考下面是聪聪数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相关任务． 借助网格解决几何问题 学习正方形网格，既能直观度量线段的长度、比较长短，又能方便计算周长与面积，使与长度相关的问题更加清晰．同时，正方形网格形象直观，便于定位坐标、探究图形变换，有助于学生通过数形结合理解数学规律． 例如：如图1，在边长均为1的小正方形构成的99网格中，的顶点都在格点上，可以发现：…… 任务： （1）判断的形状，并说明理由； （2）如图2，的外接圆的圆心恰好是的中点，依据是___________； （3）在图2中，作出的切线（尺规作图：保留作图痕迹，不写作法）． 22. 综合与探究 问题情景： 如图1，投壶源于古代射礼，作为非物质文化遗产，它承载着中华传统礼仪与娱乐文化．今投壶成为学校、景区和节庆活动中的体验项目，让人们感受古人雅趣，弘扬君子之风，具有教育传承价值． 数据测量： 投壶过程中，箭头的运动轨迹近似地可视为一条抛物线． 如图2，明明在点处投壶时，出手点距离地面，当箭头行进至与出手点水平距离的点时，其离地面的最大高度为． 解决问题： （1）以箭头运动轨迹在地面的投影所在直线为轴，以明明的位置所在直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出在此平面直角坐标系下该抛物线对应的二次函数解析式． （2）求箭头的落地点与点之间的距离（，精确到）． （3）如图3，在明明正前方（明明距离容器最左端的距离）点处有一高、直径为的圆柱形容器，判断明明此次投壶能否投中容器，并说明理由；若不能，在不改变投掷力度（抛物线的形状不变）的情况下，明明此次投壶能投中容器，出手点的高度应该在什么范围？ 23. 综合与探究 【问题背景】旋转是一种常见的图形运动方式，某数学学习小组在学习旋转的相关知识后，深入研究了正方形的旋转．如图1，正方形与正方形有公共顶点，顶点分别在边上．将正方形绕点逆时针旋转一定角度，连接． 【观察证明】 （1）如图2，判断线段与之间的关系，并说明理由； 【操作发展】 （2）如图3，当点落在边上（点不与点重合）时，写出之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）若，当三点共线时，直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山西省中考信息冲刺卷·压轴与预测（二） 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下面四个数中，距离原点最近的数是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】数轴上一个数到原点的距离等于该数的绝对值，只需计算各选项数的绝对值，比较大小得到绝对值最小的数，即为所求. 【详解】解：∵数轴上一个数到原点的距离等于该点所表示的数的绝对值， ∴分别计算四个选项中数的绝对值： ，，，， 又∵ ， ∴的绝对值最小，即距离原点最近的数是. 2. 知阴晴冷暖，避风雨无常，下列天气预报符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，对各选项分析判断即可． 【详解】解： A、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项错误； B、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项错误； C、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项错误； D、该图形绕中心旋转后能与原图形重合，是中心对称图形，故本选项正确． 3. 如图，是边的中点，是边上的动点（不与点重合），连接，在点从点向点运动的过程中，的度数（ ） A. 逐渐减小 B. 逐渐增大 C. 先增大再减小 D. 先减小再增大 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形的外角性质进行分析，随着点向右移动，作为某个三角形的外角，其度数会逐渐变小． 【详解】解：设点在运动过程中的两个位置分别为点和点，且点在点和点之间 连接， 在中，是的一个外角 即随着点从点向点运动，的度数逐渐减小 4. 在“书灯映韶华”校园文创台灯设计活动中，某同学设计的台灯灯罩可近似看作圆台（如图所示），则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图的定义，从物体正上方往下看得到的投影图形即为俯视图，结合圆台的几何特征：上下底面均为圆且平行，即可判断． 【详解】解：∵该几何体近似看作圆台，且上底面小，下底面大 ∴从正上方观察，能同时看到上底面和下底面的边缘 ∴其俯视图是由两个同心圆组成的图形，且圆的轮廓线均可见，应画为实线， 故俯视图为： ． 5. 太原某农科站，从1号、2号、3号、4号四个晋祠大米试验品种中随机抽取10块试验田，统计了每块田的亩产量（单位：），其平均数及方差如下表所示： 品种 1号 2号 3号 4号 平均数 520 520 660 660 方差 2.1 1.9 1.9 2.1 打算选取一种产量既高产又稳定的品种在晋祠灌区推广种植，应选取的品种是（ ） A. 1号 B. 2号 C. 3号 D. 4号 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据平均数和方差的意义解题，高产要求平均亩产量更大，稳定要求方差更小，依次对比四个品种的对应数据即可得到结论． 【详解】解：∵要选取产量既高产又稳定的品种，高产需要平均亩产量更大，稳定需要方差更小，方差越小产量波动越小，越稳定， 又∵由表格得，号、号的平均亩产量为，大于号、号的， ∴号、号产量更高， ∵号的方差为，小于号的方差， ∴号产量更稳定，因此应选取号． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：，计算错误； 选项B：，计算错误； 选项C：，计算正确； 选项D：，计算错误． 7. 围棋源于中国，蕴含着“阴阳相生，黑白相克”之道．棋盒中装有外形相同的黑棋3枚，白棋2枚．小明先从盒中随机摸出一枚棋子，记下颜色后不放回，再从剩下的棋子中随机摸出一枚，则“他摸到棋子颜色相同”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用列表法列举出所有等可能的结果，找出摸到棋子颜色相同的结果数，利用概率公式求解即可． 【详解】解：设3枚黑棋分别为，2枚白棋分别为． 列表如下： 第一次摸棋子有5种可能，第二次摸棋子有4种可能情况，共有种等可能的结果． 其中摸到棋子颜色相同的情况有： 两次均为黑棋：，共6种； 两次均为白棋：，共2种．   摸到棋子颜色相同的结果共有种．  ∴“他摸到棋子颜色相同”的概率是． 8. 如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用邻补角定义求出，根据等腰三角形性质求出 ，再利用弧中点性质得出，最后求和即可． 【详解】解：连接， 点在的延长线上， 是的中点 ． 9. 在“探究水在沸腾前后温度随时间变化的特点”实验中，甲、乙两位同学分别使用自己的实验器材进行测量，甲同学测量的水的质量记为，乙同学测量的水的质量记为．根据记录的数据，绘制出水的温度（单位：）与加热时间（单位：）的关系图象，如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 两位同学实验所用水的初始温度相同，但水开始沸腾的温度不同 B. 两位同学实验所用水的初始温度相同，且水开始沸腾的时刻也相同 C. 质量为的水从开始加热到的过程中，与的函数关系式是 D. 质量为的水从开始加热到的过程中，与的函数关系式是 【答案】C 【解析】 【分析】根据水沸腾温度判断A的对错，观察图象即可判断B的对错，根据一次函数所经过的点，通过待定系数法即可求出正确的函数解析式，判断C和D的正确性． 【详解】解：A、由图象可知，水沸腾的温度都是，错误； B、甲同学水开始沸腾的时间是，乙同学水开始沸腾的时间是，二者时间并不相同，错误； C、观察图可知，质量为的水从开始加热到的过程中，与的关系式是一次函数，设，将和代入可得，正确； D、观察图可知，质量为的水从开始加热到的过程中，与的函数关系式是一次函数，设，将和代入可得，错误． 10. 如图，在中，，，分别以点为圆心作扇形、扇形，且点在边上，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理逆定理判断是等腰直角三角形，推出，再利用图中阴影部分的面积为计算即可求解． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：____． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简，再相减． 【详解】解： 故答案是：． 【点睛】本题考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式的化简及性质． 12. 观察下列图形：第①个图形有5个小三角形，第②个图形有8个小三角形，第③个图形有11个小三角形，若按照这样的规律，则第个图形有___________个小三角形． 【答案】 【解析】 【分析】观察图形中小三角形数量的变化规律，发现后一个图形比前一个图形多个小三角形，据此归纳出第个图形的中小三角形的个数即可. 【详解】解：第①个图形中小三角形的个数为； 第②个图形中小三角形的个数为； 第③个图形中小三角形的个数为； 由此规律可知，第个图形中小三角形的个数为. 13. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴负半轴上，是边长为2的等边三角形，将以原点为中心作中心对称，得到，则点的坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先过点作轴的垂线，利用等边三角形的性质和勾股定理求出点的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点． 因为是边长为2的等边三角形， 所以． 因为， 所以． 在中，由勾股定理得． 因为点在第二象限，所以点的坐标为． 因为是以原点为中心作中心对称得到的，所以点与点关于原点对称． 所以点的坐标为． 14. 某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5元．当售价为15元/杯时，平均每天能售出300杯．市场调查发现，售价每降价1元，平均每天就能多售出50杯．店主希望扩大销量，提高知名度，且使每天的销售利润仍保持在3000元，则每杯奶茶应降价____________元． 【答案】 【解析】 【分析】设出每杯奶茶的降价金额，结合已知条件表示出每杯利润和每日销售量，根据总利润每杯利润销售量列方程求解，再根据扩大销量的要求选择符合题意的解即可. 【详解】解：设每杯奶茶应降价元， 由题意得：， 解得，； ∵店主希望扩大销量，降价越多销量越高， ∴舍去，取， 答：每杯奶茶应降价元. 15. 将一副三角尺按如图所示的位置放置，已知，与交于点，则线段的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出和的度数，从而确定中和的度数．过点作于点，构造两个直角三角形，设，利用三角函数或特殊直角三角形的性质表示出和，根据列方程求解，进而求出的长． 【详解】解：在中，，， ． 在中，，， ． 点在，上， ，． 过点作于点．设． 在中，，， ，． 在中，，， ． ， ． 解得． ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求解答： （1）计算：； （2）解不等式组：并在数轴上表示其解集． 【答案】（1）2 （2）； 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：， 由①，得； 由②，得； ∴不等式组的解集为； 略 17. 户外露营成为当下流行的休闲方式如图，某户外用品店购进甲、乙两款露营折叠椅进行销售．已知购进2把甲款折叠椅和3把乙款折叠椅共需310元；购进3把甲款折叠椅和1把乙款折叠椅共需220元． （1）求甲、乙两款折叠椅的进价各是多少？ （2）该店计划用不超过3000元的资金购进这两款折叠椅共50把，设购进甲款折叠椅把，全部售完后获得的总利润为元．甲款折叠椅每把的利润为25元，乙款折叠椅每把的利润为35元．该店如何进货可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲款折叠椅进价为50元/把，乙款折叠椅进价为70元/把； （2）购进甲款25把、乙款25把时利润最大，最大利润为元. 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两款折叠椅的进价各是元/把和元/把，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）根据题意，列出不等式，求出的范围，再根据总利润等于两款折叠椅的利润之和，列出函数关系式，求最值即可. 【小问1详解】 解：设甲、乙两款折叠椅的进价各是元/把和元/把， 由题意，得， 解得； 答：甲款折叠椅进价为50元/把，乙款折叠椅进价为70元/把； 【小问2详解】 解：购进甲款折叠椅把，则购进乙款折叠椅把， 由题意，得， 解得； ∵， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，最大，最大为， 此时； 答：购进甲款25把、乙款25把时利润最大，最大利润为元. 18. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边长为4，顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上，交轴于点，且．若一次函数与反比例函数的图象都过点． （1）求和的值； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）作于点，根据等边三角形的性质，结合勾股定理求出的长，平行线分线段成比例求出的长，进而求出点坐标，待定系数法求出和的值即可； （2）求出的长，再利用面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵等边三角形的边长为4， ∴， 作于点，则，轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵一次函数与反比例函数的图象都过点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∵， ∴， ∴的面积为. 19. “锦绣太原·文化传承”志愿服务岗位调查报告 第43届太原“晋祠牡丹文化节”期间，某校组织学生参与志愿服务活动，为合理安排岗位，学校随机抽取名学生，对A：晋祠参观导览，B：晋祠秩序维护，C：牡丹花艺讲解，D：打卡摄影协助，E：晋祠文化宣传这五类志愿服务岗位开展调查，从五个岗位中投票选出学生参与意愿最高的岗位然后将收集到的数据绘制整理成如下不完整的条形图和扇形图： 根据投票结果，得票最高的两个岗位是：牡丹花艺讲解和打卡摄影协助．为了进一步了解学生对这两个岗位服务要求的了解，随机抽取了8名学生分别对两个岗位进行10分制测评，结果如下表： 志愿服务岗位 测评得分 平均数/分 中位数/分 众数/分 牡丹花艺讲解 10，9，8，3，6，4，10，10 7.5 10 打卡摄影协助 10，10，9，5，5，5，8，8 7.5 8 5 根据以上信息，解决下列问题： （1）填空：___________，___________． （2）请补全条形图，并计算扇形图中A这一项所对应的圆心角度数． （3）结合投票数据（条形图）与测评得分情况（表中平均数、中位数、众数），你认为班级应优先安排学生参与牡丹花艺讲解还是打卡摄影协助？请至少从两个统计量的角度说明理由． 【答案】（1）200，8.5 （2）补全条形图如下： ； （3）应优先安排学生参与牡丹花艺讲解，理由如下： 两个岗位的平均数相同，但是牡丹花艺讲解的中位数和众数均高于打卡摄影协助，故应优先安排学生参与牡丹花艺讲解. 【解析】 【分析】（1）用E类的人数除以所占的比例求出，根据中位数的确定方法求出； （2）求出的值，进而求出B类人数，补全条形图，用360度乘以A类所占的比例，求出圆心角的度数； （3）根据中位数和众数作决策即可. 【小问1详解】 解：； 将数据从小到大排序后，第4个和第5个数据分别为和； 故； 【小问2详解】 解：， B类人数为； 补图略； A这一项所对应的圆心角度数为； 【小问3详解】 略 20. 项目学习项目背景：如图1，“天幕”是一种常见的露营设备，由支撑杆、天幕布和拉绳组成．某校课外活动小组为了探究天幕的稳定性与拉绳长度、支撑杆高度之间的关系，开展项目式学习，形成如下活动报告． 项目主题 天幕帐篷中的数学 天幕概述 天幕布米，支撑杆可伸缩，且于点；两根长度相同的拉绳和分别固定于地面上点和点处，点共线，点共线；地面固定点与点之间的距离米，． 测量工具 皮尺：测量水平距离． 方案说明 支撑杆由伸长至（点位置不变，点升高到点）；固定点分别移动至点，米，且点在同一条直线上；在这个过程中，拉绳长度保持不变． 示意图 请你根据以上信息，完成下列任务：（，结果精确到0.1米） （1）求拉绳的长度； （2）求支撑杆伸长后的高度． 【答案】（1）拉绳的长度为米 （2）支撑杆伸长后的高度为米. 【解析】 【分析】（1）根据三线合一，解直角三角形，求出的长，进而求出的长即可； （2）利用勾股定理进行求解即可. 【小问1详解】 解：由题意，，即， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴； 答：拉绳的长度为米； 【小问2详解】 解：由（1）和题意，可知，，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴； 答：支撑杆伸长后的高度为米. 21. 阅读与思考下面是聪聪数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相关任务． 借助网格解决几何问题 学习正方形网格，既能直观度量线段的长度、比较长短，又能方便计算周长与面积，使与长度相关的问题更加清晰．同时，正方形网格形象直观，便于定位坐标、探究图形变换，有助于学生通过数形结合理解数学规律． 例如：如图1，在边长均为1的小正方形构成的99网格中，的顶点都在格点上，可以发现：…… 任务： （1）判断的形状，并说明理由； （2）如图2，的外接圆的圆心恰好是的中点，依据是___________； （3）在图2中，作出的切线（尺规作图：保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）解：为等腰直角三角形，理由如下： 由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2）90度的圆周角所对的弦为圆的直径 （3）解：如图，即为所求； 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理和逆定理进行判断即可； （2）根据直角所对的弦为直径进行作答即可； （3）过点作的垂线即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 综合与探究 问题情景： 如图1，投壶源于古代射礼，作为非物质文化遗产，它承载着中华传统礼仪与娱乐文化．今投壶成为学校、景区和节庆活动中的体验项目，让人们感受古人雅趣，弘扬君子之风，具有教育传承价值． 数据测量： 投壶过程中，箭头的运动轨迹近似地可视为一条抛物线． 如图2，明明在点处投壶时，出手点距离地面，当箭头行进至与出手点水平距离的点时，其离地面的最大高度为． 解决问题： （1）以箭头运动轨迹在地面的投影所在直线为轴，以明明的位置所在直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出在此平面直角坐标系下该抛物线对应的二次函数解析式． （2）求箭头的落地点与点之间的距离（，精确到）． （3）如图3，在明明正前方（明明距离容器最左端的距离）点处有一高、直径为的圆柱形容器，判断明明此次投壶能否投中容器，并说明理由；若不能，在不改变投掷力度（抛物线的形状不变）的情况下，明明此次投壶能投中容器，出手点的高度应该在什么范围？ 【答案】（1）； （2）； （3）不能；理由如下： ∵， ∴当时，； ∵直径为的圆柱形容器， ∴当时，； ∴明明此次投壶不能投中容器， ∵不改变投掷力度， ∴设新的抛物线的解析式为 ， 当新的抛物线过点时，则， 解得； 当新的抛物线过点时，则， 解得， ； 故出手点的高度应该在. 【解析】 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，求出的值，即可得出结果； （3）求出和时的函数值，进行判断，设新的抛物线的解析式为，分别求出抛物线过点和点时的函数值，即可得出结果. 【小问1详解】 解：由题意，抛物线的顶点坐标为，且抛物线经过点， 设抛物线的解析式为，把点代入，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时， 解得或（舍去）， 故箭头的落地点与点之间的距离为； 【小问3详解】 解：略 23. 综合与探究 【问题背景】旋转是一种常见的图形运动方式，某数学学习小组在学习旋转的相关知识后，深入研究了正方形的旋转．如图1，正方形与正方形有公共顶点，顶点分别在边上．将正方形绕点逆时针旋转一定角度，连接． 【观察证明】 （1）如图2，判断线段与之间的关系，并说明理由； 【操作发展】 （2）如图3，当点落在边上（点不与点重合）时，写出之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）若，当三点共线时，直接写出的长度． 【答案】（1）解：，，理由如下： ∵正方形和正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， 延长交于点，交于点，则， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵正方形和正方形， ∴， ∴， ∵点落在边上 ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）证明，得到，，延长交于点，交于点，求出，得到即可； （2）根据正方形的性质，得到，根据，即可得出结论； （3）分在线段上和点在线段上，两种情况进行讨论求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵正方形和正方形， ∴，， 当在线段上时，如图，连接交于点，则，，， 在中，由勾股定理，得， ∴； 同（1）法可得； 当点在线段上时，如图， 同法可得； 综上：或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $