广东省深圳市2025-2026学年下学期高二数学期末考前冲刺模拟卷（考试范围：人教A版选择性必修第二册、第三册）

**基本信息** 聚焦人教A版选择性必修二、三核心内容，通过函数单调性、数列递推、导数应用、统计概率等综合题设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力，适配高二期末冲刺需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|函数单调区间、等差等比数列、正态分布|基础题与中档题结合，如条件概率题融入实际情境| |填空题|3题/15分|导数极值、相关系数计算、摸球概率|注重教材公式应用，如相关系数直接关联教材定义| |解答题|5题/77分|数列通项与求和、独立性检验、导数恒成立、概率分布与期望、不动点证明|综合性强，如导数题含切线、单调性、恒成立三级设问，不动点结合数列证明体现逻辑推理|

广东省深圳市2025-2026学年下学期高二数学期末考前冲刺模拟卷 考试范围：人教A版选择性必修第二册、第三册 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出导函数，在定义域内解不等式可得单调递增区间. 【详解】因为，，所以对函数求导得：， 令，即，，， 解得， 因此函数的单调递增区间为． 故选：B. 2．已知、分别是等差数列和等比数列，其前项和分别是和，且，，，则（    ） A．13 B．3或13 C．9 D．9或18 【答案】D 【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由已知条件列出方程组，求出、，再由求和公式计算可得. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，， 得，解得或． 或． 故选：D． 3．设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得曲线在处的切线斜率表达式，再由垂直关系计算可得. 【详解】由可得， 所以在点处的切线斜率为， 又因为切线与直线垂直，即可得， 因此． 故选：A 4．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了次试验，收集数据如下表所示． 零件数个 加工时间 由上表数据求得关于的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用回归方程过样本点，可求参数，然后再根残差概念即可求解. 【详解】由表格中数据可求得：， ， 根据关于的经验回归方程必过点得： ，故经验回归方程为， 当时，预报值， 所以在样本点处的残差为， 故选：D. 5．展开式中的系数是（     ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【分析】写出的通项，将前面多项式每一项与通项相乘，根据所求的的系数，对r分类计算系数相加即可． 【详解】的通项为； 因为， 的通项为：， 当时，此项为； 的通项为， 当时，此项为； 综上的系数为． 6．设随机变量服从正态分布，服从正态分布，下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态曲线的性质逐项判断即可. 【详解】根据题意，随机变量服从正态分布，， 服从正态分布，， A选项：， ， 故，命题正确； B选项： ，所以，命题正确； C选项：， ， 所以，命题正确； D选项：， ， 所以，命题错误. 故选：D 7．学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由求出,再由求出，最后利用即可求解. 【详解】设为第天选套餐，为第天选套餐， 则， ； 从而， . 8．已知函数，若恒成立，则ab的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．e 【答案】B 【分析】求导并利用赋值法求出函数，再等价变形给定不等式并构造函数，按分类，利用导数求出最小值，进而求得，然后构造函数并利用导数求出最大值即可. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 则，解得，于是， 又，则，， 不等式， 令，依题意，恒成立， 当时，，函数在R上单调递增， 而时，，不恒成立； 当时，恒成立，则，； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此的最大值是，此时， 而，故的最大值是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论中正确的是（ ） A．两个随机变量的线性相关程度越强，样本相关系数越接近1； B．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量存在关联； C．经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点； D．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为1. 【答案】BD 【分析】根据线性相关、独立性检验、经验回归直线及相关系数的知识判断即可. 【详解】对于A，样本相关系数的取值范围为，两个随机变量的线性相关程度越强，样本相关系数的绝对值越接近1，A错误. 对于B，利用进行独立性检验时，的值越大，则说明有更大的把握认为两个分类变量存在关联，B正确. 对于C，经验回归直线是通过最小二乘法得到的，是使样本数据点到该直线的距离的平方和最小，不一定经过其样本数据点中的一个点，C错误. 对于D，说明与是完全正相关，此时相关系数，D正确. 10．已知数列的各项均为正数，前项和为，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】A令可得；B利用化简得出数列是等差数列；C利用等差数列求出，再结合函数的单调性判断；D举反例. 【详解】令，则，得（舍负），故A正确； 因为，所以，得， 则数列是以为首项，为公差的等差数列，故，故B正确； 易得，则，则， 因为符合上式，故， 因为在上单调递减， 所以，故C正确； 因为，所以，故D错误. 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．4是的极大值点 B．当时， C．函数的图像是中心对称图形 D．当且时， 【答案】ACD 【分析】对于A，结合定义域，解可得单调性，据此可判断选项正误；对于B，通过举特例可判断选项正误；对于C，注意到 ，据此可判断选项正误；对于D，由题设可得，然后由在上单调递增，可得，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，定义域为：， . 因时，，则， ，从而在上单调递增， 在上单调递减.从而是的极大值点，故A正确； 对于B，因，又注意到当时，，则时，，故B错误； 对于C，注意到， ， 则图像关于中心对称，故C正确. 对于D，因，则，又，则， 从而，又由A分析可得在上单调递增， 则，从而 ,故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数在处取得极小值，则___________． 【答案】1 【分析】求导，令，求出的值，再将的值代回中，再根据的符号判断在处是否取得极小值即可得到答案． 【详解】由，则， 又在处取得极小值，则，解得或， 当时，， 则若时，，此时单调递增；若时，，此时单调递减， 此时在处取得极大值，不满足条件； 当时，， 则若时，，此时单调递减；若时，，此时单调递增， 此时在处取得极小值，满足条件． 综上所述，． 13．现调查某地区某种野生动物的数量，将该地区分成面积相近的200个地块，从这些地块中简单随机抽样的方法抽取20个作为样本，调查得到样本数据，其中分别表示第个样本的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，构造向量，，其中，，并计算得，，，，，由选择性必修二教材中的知识，我们知道对数据的相关系数，则上述数据的相关系数__________. 【答案】 【分析】根据题干中相关系数的定义进行计算. 【详解】由题干数据，，可得， 根据夹角公式的定义，，而， 根据 ， 于是. 故答案为： 14．某同学进行一项摸球试验，已知袋中装有三个形状、大小均相同的小球，分别标有数字1，2，3．某同学从袋中有放回地依次随机摸出一球：若连续摸出三次奇数编号的球，则试验成功；连续摸出两次偶数编号的球，则试验失败．则该同学试验成功的概率为________． 【答案】 【分析】定义不同情况下最终试验成功的概率，结合独立乘法、互斥加法列出方程组即可求解. 【详解】由题意得，每次摸到奇数球的概率为，摸到偶数球的概率为. 设当前无连续出现同种球时最终成功的概率为，已经连续出现一次奇数球时最终成功的概率为， 已经连续出现两次奇数球时最终成功的概率为，已经连续出现一次偶数球时最终成功的概率为， 则，解得， 因此最终试验成功的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列满足，，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）由已知，， 可得，， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，则， 数列是以为首项，2为公差的等差数列，， 从而可以得到，； （2）由（1）可得， 设数列的前项和为， 所以， ， 错位相减得 ， 所以. 16．（15分）某学校为研究学生的体育锻炼习惯（分为“经常锻炼”和“不经常锻炼”两类）与体能达标情况的关系，随机调查了该校160名学生，其中体能达标的学生80名（称为达标组），体能未达标的学生80名（称为未达标组），得到如下数据： 不经常锻炼 经常锻炼 达标组 20 60 未达标组 40 40 (1)根据小概率值的独立性检验，能否推断体能达标群体与未达标群体的体育锻炼习惯有差异？ (2)从该校学生中任选一人，设事件表示“选到的学生不经常锻炼”，事件表示“选到的学生体能达标”． ①直接写出和的估计值； ②计算指标的估计值（可利用①的结果简化计算）． 附：． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)有差异 (2)①，；② 【分析】（1）先由独立性检验计算卡方来说明体能达标群体与未达标群体的体育锻炼习惯是否有差异 （2）利用条件概率公式逐一求解，进而求出指标的值. 【详解】（1）零假设：体能达标群体与未达标群体的体育锻炼习惯没有差异， 由卡方公式可得， 解得，. 根据小概率值的独立性检验,没有充分证据说明零假设成立， 即认为体能达标群体与未达标群体的体育锻炼习惯有差异． （2）①因为事件表示“选到的学生不经常锻炼”，事件表示“选到的学生体能达标” 因为，； 所以， . ②因为, 所以， 所以有，. 又因为，所以. 所以，． 17．（15分）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. (3) 【分析】（1）直接由导数的几何意义求切线方程可得； （2）先对函数求导，再对实数分两类讨论：和，并结合导数与函数单调性关系可得； （3）对不等式进行参数分离可得，再构造函数，利用导数求函数的最大值可得. 【详解】（1）当时，，函数定义域为， 所以， ，切线斜率， 则曲线在点处的切线方程为. （2）因为函数，函数定义域为， 所以， 因为，故，导数符号由决定，分情况讨论： 若时，恒成立，，在上单调递减； 若时，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由不等式化简得：，因，变形得：. 所以对，不等式恒成立. 令，求导得， 当时，，，故，在上单调递减， 因此的最大值为， 故， 即的取值范围为. 18．（17分）袋中共装有大小相同的个红球和个黑球，现连续从袋中随机取出小球，每次取个． (1)若每次取出小球后放回，连取次，记取出黑球的次数为，求的概率分布和方差； (2)若每次取出的小球不放回， （i）记前次取球中，取出黑球次数为的概率是，求取最大值时的值； （ii）当取出所有黑球时，记取出的小球总个数是，求的数学期望． 【答案】(1)，，，，． (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由题意可得，根据二项分布的概率计算公式及方差公式计算求解即可； （2）（i）根据题意结合超几何分布可得，利用作商法计算可得最大值；（ii）由题意可得，根据期望计算公式计算可解. 【详解】（1）由题意得，的取值集合是， ，， ，， ． （2）（i）由题意得， 所以， 令，解得， 将，，，代入可得， 将，，代入可得， 综上，取最大值时，． （ii）的取值集合是， 则，可得， ， 故． 19．（17分）对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知，且的不动点的集合为．以和分别表示集合中的最小元素和最大元素． (1)若，求的元素个数及； (2)当恰有一个元素时，的取值集合记为． （ⅰ）求集合； （ⅱ）若，数列满足，．求证：对任意，． 【答案】(1)的元素个数为2， (2)（ⅰ）； （ⅱ）由（i）知，，所以， 此时，，， 由（i）知，在单调递增， 所以当时，，所以，即， 故若，则，因此若存在正整数使得，则，从而， 重复这一过程有限次后可得，与矛盾，从而，， 下面我们先证明当时，， 设，， 所以，所以在单调递减， 所以，即当时，， 从而当时，， 从而，即， 故，即， 由于，，所以，，故， 故时，， 所以，. 【分析】（1）依题意可得，令，利用导数求出函数的单调性，即可求出零点，即可求出集合，从而得解； （2）（i）结合（1）可得，令，求出函数的导函数，再分，两种情况讨论，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的零点个数，从而确定集合； （ii）由（i）可得，即可得到，即可得到，先利用导数证明当时，，即可得到，故，即，从而得到，即可放缩得到，利用等比数列求和公式求出，即可得解. 【详解】（1）当时，，其定义域为. 由得. 设，则， 当时，；当时，； 所以在单调递增，在单调递减， 注意到，所以在恰有一个零点，且， 又，所以，所以在恰有一个零点， 即在恰有一个不动点，在恰有一个不动点， 所以，所以的元素个数为， 又因为，所以. （2）（i）当时，由（1）知，有两个元素，不符合题意； 当时，，其定义域为， 由得. 设，则， 设，则， ①当时，，所以在单调递增， 又，所以在恰有一个零点， 即在恰有一个不动点，符合题意； ②当，故恰有两个零点. 又因为，所以， 当时，；当时，； 当时，； 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增； 注意到，所以在恰有一个零点， 且， 又时，，所以在恰有一个零点， 从而至少有两个不动点，不符合题意； 所以的取值范围为，即集合. （ii）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳市2025-2026学年下学期高二数学期末考前冲刺模拟卷 考试范围：人教A版选择性必修第二册、第三册 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2．已知、分别是等差数列和等比数列，其前项和分别是和，且，，，则（    ） A．13 B．3或13 C．9 D．9或18 3．设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值（    ） A． B． C． D． 4．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了次试验，收集数据如下表所示． 零件数个 加工时间 由上表数据求得关于的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（    ） A． B． C． D． 5．展开式中的系数是（     ） A．5 B．10 C．15 D．20 6．设随机变量服从正态分布，服从正态分布，下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 7．学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为（ ）． A． B． C． D． 8．已知函数，若恒成立，则ab的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论中正确的是（ ） A．两个随机变量的线性相关程度越强，样本相关系数越接近1； B．利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量存在关联； C．经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点； D．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为1. 10．已知数列的各项均为正数，前项和为，且，则（     ） A． B． C． D． 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．4是的极大值点 B．当时， C．函数的图像是中心对称图形 D．当且时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数在处取得极小值，则___________． 13．现调查某地区某种野生动物的数量，将该地区分成面积相近的200个地块，从这些地块中简单随机抽样的方法抽取20个作为样本，调查得到样本数据，其中分别表示第个样本的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，构造向量，，其中，，并计算得，，，，，由选择性必修二教材中的知识，我们知道对数据的相关系数，则上述数据的相关系数__________. 14．某同学进行一项摸球试验，已知袋中装有三个形状、大小均相同的小球，分别标有数字1，2，3．某同学从袋中有放回地依次随机摸出一球：若连续摸出三次奇数编号的球，则试验成功；连续摸出两次偶数编号的球，则试验失败．则该同学试验成功的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列满足，，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 16．（15分）某学校为研究学生的体育锻炼习惯（分为“经常锻炼”和“不经常锻炼”两类）与体能达标情况的关系，随机调查了该校160名学生，其中体能达标的学生80名（称为达标组），体能未达标的学生80名（称为未达标组），得到如下数据： 不经常锻炼 经常锻炼 达标组 20 60 未达标组 40 40 (1)根据小概率值的独立性检验，能否推断体能达标群体与未达标群体的体育锻炼习惯有差异？ (2)从该校学生中任选一人，设事件表示“选到的学生不经常锻炼”，事件表示“选到的学生体能达标”． ①直接写出和的估计值； ②计算指标的估计值（可利用①的结果简化计算）． 附：． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17．（15分）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若对恒成立，求的取值范围． 18．（17分）袋中共装有大小相同的个红球和个黑球，现连续从袋中随机取出小球，每次取个． (1)若每次取出小球后放回，连取次，记取出黑球的次数为，求的概率分布和方差； (2)若每次取出的小球不放回， （i）记前次取球中，取出黑球次数为的概率是，求取最大值时的值； （ii）当取出所有黑球时，记取出的小球总个数是，求的数学期望． 19．（17分）对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知，且的不动点的集合为．以和分别表示集合中的最小元素和最大元素． (1)若，求的元素个数及； (2)当恰有一个元素时，的取值集合记为． （ⅰ）求集合； （ⅱ）若，数列满足，．求证：对任意，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $