精品解析：江苏省南京市雨花台初级中学2025-2026学年八年级下学期第二次阶段学情自测数学试卷

2025-2026学年江苏省南京市雨花初级中学 八年级（下）第二次月考数学试卷 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ） A. ⊥ B. ∠ C. △ D. ⏥ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的识别．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件判断即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得：， ∴． 3. 为了解某区10000名八年级考生的数学成绩，教育部门抽取了500名考生的数学成绩进行统计分析．下列说法正确的是（ ） A. 每个考生是个体 B. 样本容量是500名学生 C. 500名考生是总体的一个样本 D. 10000名学生的数学成绩的全体是总体 【答案】D 【解析】 【分析】根据个体、总体、样本、样本容量的定义，总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体； 个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．进行判断即可． 【详解】解：A．每个考生的数学成绩是个体，故不符合题意； B．样本容量是500，故不符合题意； C、500名考生的数学成绩是总体的一个样本，故不符合题意； D、10000名学生的数学成绩的全体是总体，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查个体、总体、样本、样本容量，理解个体、总体、样本、样本容量的定义是正确判断的前提． 4. 下列式子从左到右的变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．而如果分式的分子、分母同时加上或减去同一个非0的数或式子，分式的值改变． 【详解】A.无法进行运算，故A项错误. B.当c=0时无法进行运算，故B项错误. C. 无法进行运算，故C项错误. D. ,故D项正确. 故答案为D 【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质定理是解题的关键. 5. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. 8a2b2＝2a2·4b2 B. 1－a2＝(1＋a)(1－a) C. (x＋2)(x－1)＝x2＋x－2 D. a2－2a＋3＝(a－1)2＋2 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A、8a2b2＝2a2·4b2，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、1－a2＝(1＋a)(1－a)，是因式分解，故本选项符合题意； C、(x＋2)(x－1)＝x2＋x－2，不是因式分解，故本选项不符合题意； D、a2－2a＋3＝(a－1)2＋2，不是因式分解，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了分解因式的定义，属于基础概念题型，将一个多项式化为几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，熟知概念是关键． 6. 顺次连接三角形三边中点得到的图形叫做它的中点三角形，下列三个命题：①三角形的周长是它的中点三角形的周长的2倍；②三角形的三条中线分别平分它的中点三角形的三边；③三角形的三条角平分线分别平分它的中点三角形的三个内角．其中真命题是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据中点三角形的性质判断即可． 【详解】解：①三角形的周长是它的中点三角形的周长的2倍是真命题； ②三角形的三条中线分别平分它的中点三角形的三边是真命题； ③三角形的三条内角平分线平分它的中点三角形的三个内角，三角形的角平分线不一定经过对边中点，是假命题； 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 二、填空题（每题2分，共20分） 7. 若分式的值为零，则x的值为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由题意根据分式值为0的条件即分子为0且分母不为0进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴2x-1=0，且， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，注意掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 8. 小明调查了某地6月份5天的最高气温（单位：℃），分别是30，33，31，30，29，其中不低于30的气温出现的频率是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据频率＝频数÷总数可得结果． 【详解】解：不低于30的气温有4次， ∴频率是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了频数与频率，关键是掌握频数和频率之间的关系． 9. 比较大小：________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】将两数平方，根据结果比较大小． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，涉及了二次根式的运算，解题的关键是灵活运用平方法进行比较． 10. 已知a+b＝5，ab＝3，＝_____． 【答案】． 【解析】 【分析】将a+b=5、ab=3代入原式=，计算可得． 【详解】当a+b=5、ab=3时， 原式= = = =. 故答案为． 【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则和完全平方公式． 11. 某化肥厂原计划五月份生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等．设原计划每天生产化肥吨．根据题意，列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】关键描述语是：实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，等量关系为：原计划生产120吨的时间实际生产180吨的时间，据此列出方程． 【详解】解：设原计划每天生产化肥吨， 由题意可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列分式方程，找到关键描述语，找到相应的等量关系是解决问题的关键． 12. 如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则________． 【答案】22 【解析】 【分析】根据对顶角相等可得，再利用四边形的内角和定理求出，然后求出，根据旋转的性质可得对应边、的夹角即为旋转角． 【详解】解：由旋转可得：， （对顶角相等）， ， ， 旋转角． 故答案为：22． 【点睛】本题考查了旋转的性质，四边形的内角和，对顶角相等，熟记各性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 13. 如图，菱形的对角线，则菱形的周长为___________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查求菱形的性质、勾股定理．熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，是解题的关键．利用菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理，求出菱形的边长，即可求解． 【详解】解：∵菱形中，， ， ， ∴菱形的周长是：． 故答案为：20． 14. 关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为___________ 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程及分式方程的解，先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”及分式方程有解建立不等式求m的取值范围． 【详解】解：去分母得， 解得：， ∵方程的解为正数， ∴且， 解得：且． 故答案为：且． 15. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为__________°． 【答案】60 【解析】 【详解】试题分析：根据正方形和等边三角形的性质可得：∠BAD=90°，∠DAE=60°，根据△BAE为等腰三角形可得：∠ABE=∠AEB=15°，根据正方形的性质可得：∠BCF=45°，∠CBF=90°-15°=75°，根据△BCF的内角和定理可得：∠BFC=180°-45°-75°=60°. 故答案为：60 考点：（1）、等腰三角形的性质；（2）、三角形内角和定理；（3）、等边三角形的性质 16. 如图，在菱形中，点E，F分别在上，沿翻折后，点B落在边上的G处，若，，则的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 作交的延长线于点H，因为，所以，由四边形是菱形，得，则四边形是平行四边形，所以，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点H，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共68分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 先化简，再从，0，1中选取一个你认为符合题意的a值代入求值 【答案】；-1 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ∵要使原分式有意义， ∴把代入得：原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练进行分式化简，是解题的关键． 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程， （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【小问1详解】 解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为； 【小问2详解】 解： 去分母得， 解得 检验：将代入， ∴是原方程的增根，应舍去， ∴原方程无解． 21. 某校组织八年级学生参加汉字听写大赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表： 八年级抽取部分学生成绩的频率分布表 成绩x/分 频数 频率 2 a 9 b c 15 请根据所给信息，解答下列问题： （1） ， ； （2）请补全频数分布直方图； （3）已知该年级有400名学生参加这次比赛，若成绩在80分以上（含80分）的为优，估计该年级成绩为优的有多少人？ 【答案】（1）6； （2）解：根据题意，得， （3）264人 【解析】 【分析】（1）由的频数及其频率求出被调查的学生总数，再根据频数＝频率×总数求解可得； （2）根据（1）中所求结果补全图形可得； （3）总人数乘以样本中的频率即可得． 【小问1详解】 解：本次调查的总人数为， 则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：这次抽取成绩为“优秀”所占抽取人数的百分比是， 该年级成绩为优的有（人）， 故该年级成绩为优的有264人． 22. 某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖． （1）若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是 事件．（填随机、必然、不可能） （2）小明观察一段时间后发现，平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估算袋中白球的数量； （3）在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加三个黄球，那么抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由． 【答案】（1）必然 （2）9个 （3）解：抽中一等奖的概率会减小．理由如下： 则增加三个黄球，球的总数增加，而红球的数量没有变，抽中一等奖的概率为， ∴抽中一等奖的概率变小． 【解析】 【分析】（1）根据随机事件和必然事件的定义进行判断； （2）由于平均每6个人中会有3人抽中三等奖，利用样本估计总体，得到抽中白球的概率为，然后根据概率公式计算袋中白球的数量； （3）根据概率公式说明抽中一等奖的概率会减小． 【小问1详解】 解：∵只有三种颜色的小球，每种颜色的小球都对应着相应的奖级， ∴小明获得1次抽奖机会，小明一定会中奖，即小明中奖是必然事件； 【小问2详解】 解：∵平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖， ∴抽中一等奖的概率为，抽中二等奖的概率为， ∴红色球和黄色球分别有（个），（个）， ∴估算袋中白球的数量为（个）； 【小问3详解】 略 23. 如图，在中，点E、F分别在上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若平分，，则的长为 ． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵，即， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质和已知条件可证明，，则可证明四边形是平行四边形，由垂线的定义得到，据此可证明平行四边形是矩形； （2）证明，得到，则，由勾股定理可得，由矩形的性质可得，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 24. 已知，试比较与的大小． 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用作差比较大小；法二：利用不等式变形比较；法三：作商比较大小；法四：构造函数，利用二次函数的性质比较大小；法五：利用几何图形判断． 【详解】法一： 解： ． ． ， ， ， ． 法二： 解：， 两边乘以，得． 两边乘以，得． ． 又， ． 法三： 解： ， ，，． 将两边除以，得． 将两边除以，得． 将两边乘以，． ． ． 法四： 解：构造函数，即， 它的图像如图所示． 可以看出，当时，随的增大而减小． 因此，当时，． 法五： 用图形说明，过程如下： ， ． 如图，以，为边长的正方形面积分别为，； 以，为边长，另一边为1的矩形面积分别为，． 所以拼成的矩形面积为与． ． 25. 以下关于四边形的形状的命题都是假命题，在所给图形的基础上用尺规作出它们的反例（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． （1）若，，则四边形是平行四边形； （2）若，，被平分，则四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）作，得，再以C为圆心，为半径作弧，交射线于D； （2）以B为圆心，为半径作弧，交于E，作的垂直平分线，交于O，连接并延长至点D，使，连接即可； 【小问1详解】 解：如图，四边形即为所求； 作，得，再以C为圆心，为半径作弧，交射线于D； 则四边形是等腰梯形，不是平行四边形； 【小问2详解】 如图，四边形即为所求； 以B为圆心，为半径作弧，交于E，作的垂直平分线，交于O，连接并延长至点D，使，连接即可； 由作图可知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则四边形不是矩形． 26. 如图，将四边形绕点旋转，使得点的对应点恰好落在射线上，旋转后的四边形为，连接交于点． （1）如图①，若四边形为正方形，则四边形是________．（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形； （2）如图②，若四边形为矩形， （Ⅰ）求证； （Ⅱ）若，，交于点，则的长为________； （3）如图③，若与互相平分，求证． 【答案】（1）① （2）（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到，再根据，即可证明； （2）（Ⅰ）连接，，，与相交于点，根据矩形的性质推出，进一步证明四边形是平行四边形，可得；（Ⅱ）根据平行四边形的性质得到，，设，证明，得到，在中，利用勾股定理列出方程，解之即可； （3）连接，，连接交于点，首先证明四边形是平行四边形，得到，，进一步推理得出，可得，则，得到，从而可得，即可证明． 【小问1详解】 解：由旋转可知：四边形为正方形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 故答案为：①； 【小问2详解】 （Ⅰ）证明：连接，，，与相交于点． ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 又， ∴． ∴． 又， ∴四边形是平行四边形． ∴． （Ⅱ）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，设，则， 由旋转可知：， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：，即； 【小问3详解】 证明：连接，，连接交于点． ∵与互相平分， ∴四边形是平行四边形． ∴，． ∴，． ∵， ∴． 又， ∴． ∴． ∴，即． ∴． 又， ∴． ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形和矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，知识点较多，综合性很强，要在图形中合理利用四边形的性质，将角和边互相转化． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省南京市雨花初级中学 八年级（下）第二次月考数学试卷 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ） A. ⊥ B. ∠ C. △ D. ⏥ 2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 为了解某区10000名八年级考生的数学成绩，教育部门抽取了500名考生的数学成绩进行统计分析．下列说法正确的是（ ） A. 每个考生是个体 B. 样本容量是500名学生 C. 500名考生是总体的一个样本 D. 10000名学生的数学成绩的全体是总体 4. 下列式子从左到右的变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. 8a2b2＝2a2·4b2 B. 1－a2＝(1＋a)(1－a) C. (x＋2)(x－1)＝x2＋x－2 D. a2－2a＋3＝(a－1)2＋2 6. 顺次连接三角形三边中点得到的图形叫做它的中点三角形，下列三个命题：①三角形的周长是它的中点三角形的周长的2倍；②三角形的三条中线分别平分它的中点三角形的三边；③三角形的三条角平分线分别平分它的中点三角形的三个内角．其中真命题是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（每题2分，共20分） 7. 若分式的值为零，则x的值为________． 8. 小明调查了某地6月份5天的最高气温（单位：℃），分别是30，33，31，30，29，其中不低于30的气温出现的频率是________． 9. 比较大小：________（填“”、“”或“”）． 10. 已知a+b＝5，ab＝3，＝_____． 11. 某化肥厂原计划五月份生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等．设原计划每天生产化肥吨．根据题意，列方程为________． 12. 如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则________． 13. 如图，菱形的对角线，则菱形的周长为___________． 14. 关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为___________ 15. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为__________°． 16. 如图，在菱形中，点E，F分别在上，沿翻折后，点B落在边上的G处，若，，则的长为___． 三、解答题（本大题共10小题，共68分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 先化简，再从，0，1中选取一个你认为符合题意的a值代入求值 20. 解方程： （1） （2） 21. 某校组织八年级学生参加汉字听写大赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表： 八年级抽取部分学生成绩的频率分布表 成绩x/分 频数 频率 2 a 9 b c 15 请根据所给信息，解答下列问题： （1） ， ； （2）请补全频数分布直方图； （3）已知该年级有400名学生参加这次比赛，若成绩在80分以上（含80分）的为优，估计该年级成绩为优的有多少人？ 22. 某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖． （1）若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是 事件．（填随机、必然、不可能） （2）小明观察一段时间后发现，平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估算袋中白球的数量； （3）在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加三个黄球，那么抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由． 23. 如图，在中，点E、F分别在上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若平分，，则的长为 ． 24. 已知，试比较与的大小． 25. 以下关于四边形的形状的命题都是假命题，在所给图形的基础上用尺规作出它们的反例（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． （1）若，，则四边形是平行四边形； （2）若，，被平分，则四边形是矩形． 26. 如图，将四边形绕点旋转，使得点的对应点恰好落在射线上，旋转后的四边形为，连接交于点． （1）如图①，若四边形为正方形，则四边形是________．（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形； （2）如图②，若四边形为矩形， （Ⅰ）求证； （Ⅱ）若，，交于点，则的长为________； （3）如图③，若与互相平分，求证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $