江苏省南京市雨花台初级中学2025-2026学年八年级下学期第二次阶段学情自测数学试卷

**基本信息** 聚焦八年级下册核心知识，融合几何变换与实际应用，梯度设计适配月考检测需求，如分式方程、菱形性质及旋转综合题考查运算与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6题12分|中心对称图形、分式意义、统计概念|基础概念辨析，如第6题中点三角形性质判断| |填空题|10题20分|分式值为零、频率计算、菱形周长|几何与代数结合，如第16题翻折与菱形边长计算| |解答题|10题68分|因式分解、分式方程、矩形证明、旋转综合|分层设计，第26题旋转与矩形性质综合考查推理，第22题抽奖问题体现数据意识|

2025-2026学年江苏省南京市雨花初级中学 八年级（下）第二次月考数学试卷 一、选择题（每题2分，共12分） 1．（2分）下列数学符号中，是中心对称图形的是（　　） A．⊥ B．∠ C．△ D．▱ 2．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≤1 3．（2分）为了解某区10000名八年级考生的数学成绩，教育部门抽取了500名考生的数学成绩进行统计分析．下列说法正确的是（　　） A．每个考生是个体 B．样本容量是500名学生 C．500名考生是总体的一个样本 D．10000名学生的数学成绩的全体是总体 4．（2分）下列式子从左到右的变形一定正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2分）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A．8a2b2＝2a2•4b2 B．1﹣a2＝（1+a）（1﹣a） C．（x+2）（x﹣1）＝x2+x﹣2 D．a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2 6．（2分）顺次连接三角形三边中点得到的图形叫做它的中点三角形，下列三个命题：①三角形的周长是它的中点三角形的周长的2倍；②三角形的三条中线分别平分它的中点三角形的三边；③三角形的三条角平分线分别平分它的中点三角形的三个内角．其中真命题是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（每题2分，共20分） 7．（2分）若分式的值为零，则x的取值为 　 　 ． 8．（2分）小明调查了某地6月份5天的最高气温（单位：℃），分别是30，33，31，30，29，其中不低于30℃的气温出现的频率是　 　 ． 9．（2分）比较大小： 　 　 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 10．（2分）已知a+b＝5，ab＝3，　 　 ． 11．（2分）某化肥厂原计划五月份生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨．设原计划每天生产化肥x吨．根据题意，列方程为 　 　 ． 12．（2分）如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转到矩形A'B'CD'的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝112°，则α＝　 　 °． 13．（2分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的周长为　 　 ． 14．（2分）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为　 　 ． 15．（2分）如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为　 　 度． 16．（2分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，沿EF翻折后，点B落在边CD上的G处，若EG⊥CD，BE＝4，DG＝3，则AE的长为 　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，共68分） 17．（6分）因式分解： （1）a3﹣2a2+a； （2）4a2（2x﹣y）+b2（y﹣2x）． 18．（6分）计算： （1）； （2）． 19．（5分）先化简，再从﹣1，0，1中选取一个你认为符合题意的a值代入求值． 20．（8分）解方程： （1）； （2）8． 21．（8分）某校组织八年级学生参加汉字听写大赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表： 八年级抽取部分学生成绩的频率分布表 成绩x/分 频数 频率 x＜60 2 0.04 60≤x＜70 a 0.12 70≤x＜80 9 b 80≤x＜90 c 0.36 90≤x≤100 15 0.30 请根据所给信息，解答下列问题： （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）请补全频数分布直方图； （3）已知该年级有400名学生参加这次比赛，若成绩在80分以上（含80分）的为优，估计该年级成绩为优的有多少人？ 22．（5分）某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖． （1）若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是　 　 事件．（填随机、必然、不可能） （2）小明观察一段时间后发现，平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估算袋中白球的数量； （3）在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加三个黄球，那么抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由． 23．（7分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，BE⊥AD，AE＝CF． （1）求证：四边形EBFD是矩形； （2）连接AF，若AF平分∠BAD，AE＝3，AB＝5，则AF的长为　 　 ． 24．（5分）已知a＜b＜0，试比较a2﹣a与b2﹣b的大小． 25．（8分）以下关于四边形ABCD的形状的命题都是假命题，在所给图形的基础上用尺规作出它们的反例（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． （1）若AB＝CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形； （2）若∠ABC＝90°，AB＝CD，BD被AC平分，则四边形ABCD是矩形． 26．（10分）如图，将四边形ABCD绕点A旋转，使得点B的对应点B′恰好落在射线BD上，旋转后的四边形为AB′C′D′，连接BC′交AD于点E． （1）如图①，若四边形ABCD为正方形，则下列关于四边形ABDC′的形状的结论： ①平行四边形；②矩形；③菱形． 其中正确结论的序号是　 　 ． （2）如图②，若四边形ABCD为矩形． （I）求证：AE＝DE； （Ⅱ）若AB＝6，BC＝8，B′C交AD于点F，则EF的长为　 　 ． （3）如图③，若BC′与AD互相平分，求证：AB∥CD． 2025-2026学年江苏省南京市雨花台初级中学 八年级（下）第二次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每题2分，共12分） 1．（2分）下列数学符号中，是中心对称图形的是（　　） A．⊥ B．∠ C．△ D．▱ 【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【解答】解：根据中心对称图形的定义得， A．不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意； D．是中心对称图形，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 2．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≤1 【分析】根据二次根式有意义的条件判断即可． 【解答】解：根据二次根式有意义的条件得：x﹣1≥0， ∴x≥1， 故选：A． 3．（2分）为了解某区10000名八年级考生的数学成绩，教育部门抽取了500名考生的数学成绩进行统计分析．下列说法正确的是（　　） A．每个考生是个体 B．样本容量是500名学生 C．500名考生是总体的一个样本 D．10000名学生的数学成绩的全体是总体 【分析】根据个体、总体、样本、样本容量的定义进行判断即可． 【解答】解：A．每个考生的数学成绩是个体，因此选项A不符合题意； B．样本容量是500，因此选项B不符合题意； C.500名考生的数学成绩是总体的一个样本，因此选项C不符合题意； D.10000名学生的数学成绩的全体是总体，因此选项D符合题意； 故选：D． 4．（2分）下列式子从左到右的变形一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 【解答】解：A.，错误； B.，错误； C.，错误； D.，正确． 故选：D． 5．（2分）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A．8a2b2＝2a2•4b2 B．1﹣a2＝（1+a）（1﹣a） C．（x+2）（x﹣1）＝x2+x﹣2 D．a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2 【分析】根据因式分解的定义得出即可． 【解答】解：A、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； B、从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； C、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； D、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：B． 6．（2分）顺次连接三角形三边中点得到的图形叫做它的中点三角形，下列三个命题：①三角形的周长是它的中点三角形的周长的2倍；②三角形的三条中线分别平分它的中点三角形的三边；③三角形的三条角平分线分别平分它的中点三角形的三个内角．其中真命题是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据中点三角形的性质判断即可． 【解答】解：①三角形的周长是它的中点三角形的周长的2倍是真命题； ②三角形的三条中线分别平分它的中点三角形的三边是真命题； ③三角形的三条内角平分线平分它的中点三角形的三个内角，三角形的角平分线不一定经过对边中点，是假命题； 故选：A． 二、填空题（每题2分，共20分） 7．（2分）若分式的值为零，则x的取值为 x　 ． 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值． 【解答】解：由分式的值为零的条件得2x﹣1＝0，x+2≠0， 由2x﹣1＝0，得x，x， 此时x≠﹣2． 故答案为：x． 8．（2分）小明调查了某地6月份5天的最高气温（单位：℃），分别是30，33，31，30，29，其中不低于30℃的气温出现的频率是　0.8　 ． 【分析】根据“频率”可得答案． 【解答】解：不低于 30℃的气温有4天， ∴不低于 30℃的气温出现的频率是：0.8． 故答案为：0.8． 9．（2分）比较大小： 　＜　 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 【分析】由题意，两个正数都带根号，可比较其平方的大小，即可解答． 【解答】解：∵，（）2＝5， 1， ∴（）2＞5， ∴． 故答案为：＜． 10．（2分）已知a+b＝5，ab＝3，　　 ． 【分析】将a+b＝5、ab＝3代入原式，计算可得． 【解答】解：当a+b＝5、ab＝3时， 原式 ， 故答案为：． 11．（2分）某化肥厂原计划五月份生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨．设原计划每天生产化肥x吨．根据题意，列方程为 　　 ． 【分析】根据实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，列方程即可． 【解答】解：设原计划每天生产化肥x吨，则实际每天生产（x+3）吨， 由题意得：． 故答案为：． 12．（2分）如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转到矩形A'B'CD'的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝112°，则α＝　22　 °． 【分析】由旋转的性质可得∠BCD＝∠B'CD'＝90°＝∠B'＝∠D'，∠BCB'＝α，由四边形内角和定理可求∠B'CD＝68°，即可求解． 【解答】解：∵将矩形ABCD绕点C顺时针旋转到矩形A'B'CD'的位置， ∴∠BCD＝∠B'CD'＝90°＝∠B'＝∠D'，∠BCB'＝α， ∵∠1＝112°， ∴∠B'CD＝68°， ∴α＝22°， 故答案为：22． 13．（2分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的周长为　20　 ． 【分析】要解决菱形的周长问题，我们可以利用菱形的性质和勾股定理来求解． 【解答】解：菱形的对角线互相垂直且平分． 因此，对角线AC＝8， 则； 对角线BD＝6， 则． 在Rt△AOB 中（∠AOB＝90°，因为对角线互相垂直）， 根据勾股定理：AB2＝AO2+BO2， 代入AO＝4，BO＝3：AB2＝42+32＝16+9＝25， 因此，． 菱形的四条边相等， ∴周长为4×AB：周长＝4×5＝20， 最终，菱形ABCD的周长为20． 故答案为：20． 14．（2分）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为m＜3且m≠2　 ． 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”及分式方程有解建立不等式求m的取值范围． 【解答】解：关于x的分式方程的解为正数， 去分母得2x﹣m＝3（x﹣1）， 解得：x＝3﹣m， ∵方程的解为正数， ∴3﹣m＞0且3﹣m≠1， 解得：m＜3且m≠2． 故答案为：m＜3且m≠2． 15．（2分）如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为　60　 度． 【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质求出∠ABE＝15°，∠BAC＝45°，再求∠BFC． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD， 又∵△ADE是等边三角形， ∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°， ∴AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°+60°＝150°， ∴∠ABE＝（180°﹣150°）÷2＝15°， 又∵∠BAC＝45°， ∴∠BFC＝45°+15°＝60°． 故答案为：60． 16．（2分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，沿EF翻折后，点B落在边CD上的G处，若EG⊥CD，BE＝4，DG＝3，则AE的长为 　　 ． 【分析】作BH⊥CD交DC的延长线于点H，因为EG⊥CD，所以BH∥EG，由四边形ABCD是菱形，得AB＝BC＝CD，BE∥GH，则四边形BEGH是平行四边形，所以GH＝BE＝4，由折叠得GE＝BE＝4，则BH＝GE＝4，所以DH＝DG+GH＝7，由勾股定理得42+（7﹣AB）2＝AB2，求得AB，所以AE＝AB﹣BE，于是得到问题的答案． 【解答】解：作BH⊥CD交DC的延长线于点H，则∠H＝90°， ∵EG⊥CD， ∴BH∥EG， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AB＝BC＝CD， ∴BE∥GH， ∴四边形BEGH是平行四边形， ∴GH＝BE＝4， 由折叠得GE＝BE＝4， ∴BH＝GE＝4， ∵DG＝3， ∴DH＝DG+GH＝3+4＝7， ∵BH2+CH2＝BC2，CH＝7﹣CD＝7﹣AB， ∴42+（7﹣AB）2＝AB2， 解得AB， ∴AE＝AB﹣BE4， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共68分） 17．（6分）因式分解： （1）a3﹣2a2+a； （2）4a2（2x﹣y）+b2（y﹣2x）． 【分析】（1）先提公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提公因式（2x﹣y），再利用平方差公式进行因式分解即可； 【解答】解：（1）原式＝a（a2﹣2a+1）＝a（a﹣1）2， （2）原式＝（2x﹣y）（ 4a2﹣b2）＝（2x﹣y） （2a+b）（ 2a﹣b）． 18．（6分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先算括号里面的，再算除法即可． 【解答】解：（1） ＝2 ； （2） ＝（4）÷3 ＝33 ＝1． 19．（5分）先化简，再从﹣1，0，1中选取一个你认为符合题意的a值代入求值． 【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【解答】解： ， ∵要使原分式有意义a≠±1， ∴把a＝0代入得：原式． 20．（8分）解方程： （1）； （2）8． 【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：（1）去分母得：3x+3＝x+2， 解得：x， 经检验x是分式方程的解； （2）去分母得：x﹣8+1＝8x﹣56， 解得：x＝7， 经检验x＝7是增根，分式方程无解． 21．（8分）某校组织八年级学生参加汉字听写大赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表： 八年级抽取部分学生成绩的频率分布表 成绩x/分 频数 频率 x＜60 2 0.04 60≤x＜70 a 0.12 70≤x＜80 9 b 80≤x＜90 c 0.36 90≤x≤100 15 0.30 请根据所给信息，解答下列问题： （1）a＝　6　 ，b＝　0.18　 ； （2）请补全频数分布直方图； （3）已知该年级有400名学生参加这次比赛，若成绩在80分以上（含80分）的为优，估计该年级成绩为优的有多少人？ 【分析】（1）由x＜60的频数及其频率求出被调查的学生总数，再根据频数＝频率×总数求解可得； （2）根据（1）中所求结果补全图形可得； （3）总人数乘以样本中80≤x≤100的频率即可得． 【解答】解：（1）本次调查的总人数为2÷0.04＝50， 则a＝50×0.12＝6、b＝9÷50＝0.18， 故答案为：6；0.18； （2）c＝50×0.36＝18， 补全直方图如下： ； （3）这次抽取成绩为“优秀”所占抽取人数的百分比是（0.36+0.30）×100%＝66%， 该年级成绩为优的有400×66%＝264（人）， 故该年级成绩为优的有264人． 22．（5分）某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖． （1）若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是　必然　 事件．（填随机、必然、不可能） （2）小明观察一段时间后发现，平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估算袋中白球的数量； （3）在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加三个黄球，那么抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由． 【分析】（1）根据随机事件和必然事件的定义进行判断； （2）由于平均每6个人中会有3人抽中三等奖，利用样本估计总体，得到抽中白球的概率为，然后根据概率公式计算袋中白球的数量； （3）根据概率公式说明抽中一等奖的概率会减小． 【解答】解：（1）若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是必然事件； 故答案为必然； （2）白球的数量＝189（个）； （3）抽中一等奖的概率会减小． 理由如下：由于增加三个黄球，球的总数增加，而红球的数量没有变，所以抽中一等奖的概率变小． 23．（7分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，BE⊥AD，AE＝CF． （1）求证：四边形EBFD是矩形； （2）连接AF，若AF平分∠BAD，AE＝3，AB＝5，则AF的长为　4　 ． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC，根据线段的和差得到DE＝BF，根据全等三角形的性质得到BE＝DF，根据矩形的判定定理得到四边形EBFD是矩形； （2）如图，根据矩形的性质得到AD∥BC，BE∥DF，求得∠DAF＝∠AFB，根据角平分线的定义得到∠DAF＝∠BAF，等量代换得到∠BAF＝∠AFB，求得AB＝BF，得到AB＝BF＝DE＝5，根据勾股定理得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC， ∵AE＝CF， ∴DE＝BF， 在△ABE与△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴BE＝DF， ∵DE＝BF， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∵BE⊥AD， ∴∠BED＝90°， ∴四边形EBFD是矩形； （2）解：如图， ∵四边形EBFD是矩形， ∴AD∥BC，BE∥DF， ∴∠DAF＝∠AFB， ∵AF平分∠BAD， ∴∠DAF＝∠BAF， ∴∠BAF＝∠AFB， ∴AB＝BF， ∴AB＝BF＝DE＝5， ∵∠AEB＝90°， ∴BE4， ∴DF＝BE＝4， ∵BE∥DF， ∴∠ADF＝∠AEB＝90°， ∴AF4， 故答案为：4． 24．（5分）已知a＜b＜0，试比较a2﹣a与b2﹣b的大小． 【分析】依据题意，作差：a2﹣a﹣（b2﹣b）＝（a﹣b）（a+b﹣1），结合a＜b＜0，从而a﹣b＜0，a+b﹣1＜﹣1＜0，故可得a2﹣a﹣（b2﹣b）＝（a﹣b）（a+b﹣1）＞0，从而可以得解． 【解答】解：由题意，作差：a2﹣a﹣（b2﹣b） ＝a2﹣b2﹣（a﹣b） ＝（a﹣b）（a+b﹣1）， 又∵a＜b＜0， ∴a﹣b＜0，a+b﹣1＜﹣1＜0， ∴a2﹣a﹣（b2﹣b）＝（a﹣b）（a+b﹣1）＞0， ∴a2﹣a＞b2﹣b． 25．（8分）以下关于四边形ABCD的形状的命题都是假命题，在所给图形的基础上用尺规作出它们的反例（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． （1）若AB＝CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形； （2）若∠ABC＝90°，AB＝CD，BD被AC平分，则四边形ABCD是矩形． 【分析】（1）根据题意，画出反例即可； （2）根据题意，画出反例即可． 【解答】解：（1）作∠CAM＝∠C，则AM∥BC， 以C为圆心，AB为半径作圆，与射线AM交于点D（点D为靠近点A的交点）， 如图所示， 四边形ABCD不是平行四边形； （2）以点C为圆心，AB长为半径作圆， 延长BA和BC，在BA和BC的延长线上取点M，N，使得AM＝AB，CN＝CB， 连接AM与⊙C交于如图所示的D点即为符合要求的点． 所以四边形ABCD不是矩形． 26．（10分）如图，将四边形ABCD绕点A旋转，使得点B的对应点B′恰好落在射线BD上，旋转后的四边形为AB′C′D′，连接BC′交AD于点E． （1）如图①，若四边形ABCD为正方形，则下列关于四边形ABDC′的形状的结论： ①平行四边形；②矩形；③菱形． 其中正确结论的序号是　①　 ． （2）如图②，若四边形ABCD为矩形． （I）求证：AE＝DE； （Ⅱ）若AB＝6，BC＝8，B′C交AD于点F，则EF的长为　　 ． （3）如图③，若BC′与AD互相平分，求证：AB∥CD． 【分析】（1）由旋转可得AB＝DC′，AB∥DC′，进而可以进行判断； （2）（Ⅰ）连接AC′，C′D，AC，AC与BD相交于点O，证明四边形ABDC′是平行四边形，即可解决问题； （Ⅱ）连接AC′，C′D，AC，AC与BD相交于点O，证明四边形ABDC′是平行四边形，推出AE＝DE＝4，再证明FD＝FB′，再利用勾股定理求出FB′，进而根据线段的和差即可解决问题； （3）连接AC′，C′D，连接AC交BD于点O，证明OA＝OB，OC＝OD，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理证明∠OCD＝∠CAB，进而可以解决问题． 【解答】（1）解：由旋转可知：AB＝DC′，AB∥DC′， ∴四边形ABDC′是平行四边形， 故答案为：①； （2）（Ⅰ）证明：连接AC′，C′D，AC，AC与BD相交于点O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OAOC，OBBD，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB， ∵AB＝AB'， ∴∠OBA＝∠AB'O， ∵∠OAB＝∠C'AB'， ∴∠AB'O＝∠C'AB'， ∴AC′∥BD， ∵AC′＝AC＝BD， ∴四边形ABDC′是平行四边形， ∴AE＝DE； （Ⅱ）解：连接AC′，C′D，AC，AC与BD相交于点O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OAOC，OBBD，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB， ∵AB＝AB'， ∴∠OBA＝∠AB'O， ∵∠OAB＝∠C'AB'， ∴∠AB'O＝∠C'AB'， ∴AC′∥BD， ∵AC′＝AC＝BD， ∴四边形ABDC′是平行四边形， ∴AE＝DE＝4， 由旋转可知：AB＝AB'， ∴∠ABB′＝∠AB'B， ∵∠AB′C′＝∠ABC＝90°， ∴∠CBD＝∠DB′F， ∵AD∥BC， ∴∠CBD＝∠B′DF， ∴∠B′DF＝∠DB′F， ∴FD＝FB′， ∴AF＝AD﹣FD＝8﹣FB′， 在Rt△AB′F中，根据勾股定理得：AF2＝AB′2+FB′2， ∴（8﹣FB′）2＝62+FB′2， ∴FB′， ∵DE＝AE＝4， ∴EF＝DE﹣FD＝DE﹣FB′＝4； 故答案为：； （3）证明：连接AC′，C′D，连接AC交BD于点O， ∵BC′与AD互相平分， ∴四边形ABDC′是平行四边形， ∴AC′∥BD，AC′＝BD， ∴∠AB'B＝∠C'AB'，AC＝AC′＝BD， ∵AB＝AB'， ∴∠AB'B＝∠ABB'， ∵∠C'AB'＝∠CAB， ∴， ∴OA＝OB， ∴AC﹣OA＝BD﹣OB， ∴OC＝OD， ∴， ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠OCD＝∠CAB， ∴AB∥CD． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/13 0:26:27；用户：数学；邮箱：chzss1215@xyh.com；学号：38852001 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $