暑假作业08 复数（巩固培优,4知识7题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高一数学人教A版

**基本信息** 以复数概念-几何意义-运算-结论为逻辑主线，整合7类题型与高考真题，提炼i周期性、模性质等核心方法，强化运算推理与几何直观的素养培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|4个（含结论总结）|i周期性、共轭复数性质、模长计算法则、轨迹几何转化|从定义分类到几何表示，通过运算法则推导结论，形成概念-运算-应用的递进链条| |题型突破|7类（35题，含高考真题）|概念辨析用分类标准、几何问题用复平面转化、高次方运算用周期性化简|覆盖概念、运算、几何意义等高频考点，典例兼顾基础与综合，体现知识应用的逻辑迁移|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业08 复数   【知识点1 复数的有关概念】 复数定义 形如z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a为实部，记作Rez；b为虚部，记作Im z， i叫作虚数单位. 复数分类 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) 复数的模 向量OZ―→的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R) 【知识点2 复数的几何意义】 复平面 的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 实轴、 虚轴 在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数的 几何表示 复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b) 平面向量 【知识点3 复数的运算法则】 (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i ； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b＋d)i ; ③乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i ； ④除法：＝ (c＋di≠0)． (2)运算律 ①复数的加法运算律： 结合律：＋z3＝z1＋； 交换律：z1＋z2＝z2＋z1. ②复数的乘法运算律： 结合律：·z3＝z1·； 交换律：z1·z2＝z2·z1； 乘法对加法的分配律：z1·＝z1·z2＋z1·z3. (3)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行运算．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－. ． 【知识点4 复数运算的几个重要结论】 (1)i的乘方具有周期性 i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N＋. (2)z·＝｜z｜2＝｜｜2；＝·；＝；＝； ＋＝2(｜z1｜2＋｜z2｜2). (3)复数z的方程或不等式在复平面上表示的图形 ①表示复数，对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式． ②表示以对应的点为圆心，为半径的圆． ③a≤≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界. （4）涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． 【题型1 复数的概念与分类】 1．（25-26高一下·陕西宝鸡·期中）是虚数单位，，则是为实数的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】C 【解析】由实数和复数的关系可知，是为实数的充要条件. 故选：C． 2．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【解析】， 因为复数的实部与虚部相等，所以，得. 故选：A． 3．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（    ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【解析】因为，所以其虚部为1. 故选：C. 4．（25-26高一下·山西忻州·期中）已知复数z满足，，且z的虚部为正，则的虚部为（     ） A． B． C．4 D．5 【答案】C 【解析】设，则， 解得，，计算得，所以， 所以，所以虚部为4. 故选：C． 5．（25-26高三上·北京海淀·期末）复数的共轭复数为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据共轭复数的概念求解. 【解析】因为的共轭复数为， 所以，所以， 故选：C. 【题型2 复数的几何意义】 1．（25-26高一下·四川乐山·阶段检测）已知复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】由题意得复数， 复数z在复平面内对应的点为，该点位于第一象限. 故选：A． 2.（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）（多选题）下列使得复数对应的点在第三象限的的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】AB 【解析】若复数对应的点在第三象限，则，解得，对比选项可知，只有AB符合题意. 故选：AB. 3．（25-26高三下·云南昆明·期中）在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为， 所以， 又， 所以向量对应的复数为． 故选：C． 4.（25-26高一下·广东广州·期末）已知向量对应的复数为，将绕点O按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 利用数形结合，可知：将绕点O按顺时针方向旋转，得到对应的复数是. 故选：A. 【题型3 复数的四则运算综合】 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以. 故选：C. 2．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为复数，则.. 故选：B． 3．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【解析】由，则. 故选：A. 4．（2026·湖北·三模）已知复数z满足，则（ ） A．i B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，即， 设，，则， 可得，， 则， 可得，解得，所以. 故选：C． 5．（2026·上海·模拟预测）若复数与在复平面上分别对应点与，则“”是“”的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【解析】复数与在复平面上分别对应点与， ， 由， 可得，所以， 所以，所以或，所以， 当，满足， 所以，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 【题型4 复数的高次方运算】 1．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）复数在复平面内对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以在复平面内对应点的坐标为． 故选：C. 2．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）复数（其中i为虚数单位），则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，即的幂次具有周期性，周期为4， 所以. 所以. 故选：D 3．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）复数的虚部为（    ） A． B． C．32 D． 【答案】C 【解析】 ，所以虚部为32. 故选：C. 4．（25-26高二下·河北承德·阶段检测）已知为虚数单位，复数，则复数的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，， 所以， 所以复数的共轭复数，其虚部为. 故选：B. 5．（25-26高一下·上海·期中）计算：__________. 【答案】 【解析】由虚数单位的幂次周期性，得，，，， 因此. 则 代入化简得，， 故原式. 【题型5 复数范围内解方程】 1．（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）已知是关于x的方程的一个根，则（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【解析】因为是方程的根， 所以 ，化简得： ， 整理得： ， 所以，解得， 因此. 故选：B 2．（2026·湖南·三模）在复数范围内，方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】所以在复数范围内，即为即， 故方程的解集为. 故选：B. 3．（2026·重庆北碚·模拟预测）复数是关于x的方程的根，则 （   ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【解析】因为复数是关于x的方程的根， 所以，所以，即，所以 ，所以，所以. 故选：A. 【题型6 复数的模长及应用】 1．（25-26高一下·四川乐山·阶段检测）（ ） A． B． C．5 D．25 【答案】C 【解析】对于任意复数（其中）， 其模的定义为：， 则. 故选：C. 2．（2026·山东烟台·模拟预测）若复数满足，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【解析】方法一： 由，又因为， 可得，所以. 方法二： 设方程的两根为，由，可知， 因为，所以. 故选：C. 3．（25-26高一下·贵州·期中）如图，在复平面内，已知复数，，，对应的向量分别是，，，是虚数单位，已知,则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】由图可得，，， 则，则， 所以． 故选：A. 4．（25-26高一下·江苏·期中）（多选题）已知复数和，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B． C． D． 【答案】BC 【解析】虚数不能比大小，故A错误； 设，则，故B正确； 由复数加减法的几何意义可知，C正确； 若，则，故D错误. 故选：BC. 【题型7 与复数模有关的轨迹最值问题】 1．（25-26高一下·陕西榆林·期中）若复数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 表示圆上的点与定点的距离， 而圆心到定点的距离为4， 则的最大值为． 故选：C. 2．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）已知复数z满足，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】设，， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知z在复平面内对应的点在半径为3的圆内部（含边界）的坐标轴上运动， 如图所示即在线段，上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 故选：C. 3．（2026·安徽·模拟预测）已知，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】 由可知在复平面内所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 在复平面内所对应的点为，又，所以点在圆外， 所以的最小值为. 故选：B. 4．（25-26高一下·河北唐山·期中）复数在复平面内对应的点为，若，则点的集合对应的图形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨设点的集合对应的图形是一个以原点为圆心，外环半径为3，内环半径为1的圆环， 则其面积为. 故选：C 5．（25-26高二下·上海·期中）已知为虚数单位，若复数和复数满足，，的最大值为______． 【答案】/ 【解析】， 设，则，整理得， 所以复数对应的点在复平面上是以为圆心，半径的圆及内部， 的最大值为， 所以的最大值为． 6．（25-26高三下·上海·期中）已知复数，复数满足，则的最大值为____________． 【答案】1 【解析】已知复数满足，表示复平面上以原点为圆心，半径的圆， 复数表示复平面上点， 表示圆上动点到点的距离， 定点到圆心的距离为， 则圆上点到圆外定点的距离， 故． 1．（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可知的共轭复数，所以，. 故选：D. 2．（25-26高二下·安徽·期中）若复数，满足，则（   ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由和，得是方程的两个根， 解得，它们互为共轭复数，设， 所以. 故选：A. 3．（25-26高一下·重庆·期中）已知复数（为实数），且，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由，则，得， 复数化简得， 由可得，， 则复数对应的点在第三象限. 故选：C. 4．（25-26高一下·河北石家庄·期中）（多选题）已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（   ） A． B．的虚部为 C． D．复数满足，则的最大值为6 【答案】ACD 【解析】复数在复平面内对应的向量，则． 的虚部为，故A，C正确，B错误； 由复数满足，所以点的集合是以点为圆心，以1为半径的圆， 所以，故D正确． 故选：ACD. 5．（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）已知复数，在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】复数在复平面内对应的点为， 所以且，解得， 则的取值范围为. 6．（25-26高一下·上海奉贤·期中）已知，，且，则________． 【答案】 【解析】由题意得， 结合，得，解得. 1．（25-26高一下·山东青岛·期末）在复平面中，为坐标原点，，，Z所对应的复数分别为，，，且，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，与相交于点， 又，所以， 则，又三点共线， 所以，则， 所以，即的面积为. 故选：B. 2．（25-26高一下·山东青岛·期末）在复平面内，复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上，则实数（    ） A． B． C．或2 D．或2 【答案】D 【解析】在复平面内与题中所给四个复数对应的点依次为， 得到对应的以原点为始点的向量依次为， 则， 可得，同理可得， 因为复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上， 所以这些点都在以原点为圆心、半径为的圆上， 所以，解得. 故选：D. 3．（25-26高一下·陕西榆林·期中）已知复数满足，则在复平面内对应的点形成的轨迹为（    ） A．一条直线 B．一条线段 C．一个圆 D．一段圆弧 【答案】A 【解析】记复数在复平面中的点为， 表示点到原点的距离，表示点到的距离， 因为，所以在复平面内对应的点形成的轨迹为线段的中垂线， 即一条直线. 故选：A. 4．（25-26高一下·广西来宾·阶段检测）已知复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，且在复平面内对应的点位于第一象限，则在复平面内对应的点不可能位于第_________象限. 【答案】四 【解析】设（，），则，则， 在复平面内对应的点为. 当时，位于第三象限， 当时，位于第二象限， 当时，位于第一象限， 当时，位于坐标轴上. 综上，不可能位于第四象限. 5．（2026·上海虹口·三模）已知和是复平面上的两个动点，它们所对应的复数分别为和，若，，则随着的运动，动点所形成的平面图形的面积为_____________． 【答案】16π 【解析】由知，点的轨迹为以坐标原点O为圆心，以为半径的圆， 又，，所以点到点的距离小于或等于. 所以随着的运动，动点所形成的平面图形为以坐标原点O为圆心，以为半径的圆的外部与以坐标原点O为圆心，以为半径的圆的内部形成的圆环， 所以其面积为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业08 复数   【知识点1 复数的有关概念】 复数定义 形如z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a为实部，记作Rez；b为虚部，记作Im z， i叫作虚数单位. 复数分类 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔ 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔ 复数的模 向量―→的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R) 【知识点2 复数的几何意义】 复平面 的概念 建立 来表示复数的平面叫做复平面 实轴、 虚轴 在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示 ；除原点以外，虚轴上的点都表示 复数的 几何表示 复数z＝a＋bi复平面内的点 平面向量 【知识点3 复数的运算法则】 (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ; ③乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ ； ④除法：＝ (2)运算律 ①复数的加法运算律： 结合律：＋z3＝z1＋； 交换律：z1＋z2＝z2＋z1. ②复数的乘法运算律： 结合律：·z3＝z1·； 交换律：z1·z2＝z2·z1； 乘法对加法的分配律：z1·＝z1·z2＋z1·z3. (3)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行运算．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝ ，＝ ． 【知识点4 复数运算的几个重要结论】 (1)i的乘方具有周期性 i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N＋. (2)z·＝｜z｜2＝｜｜2；＝·；＝；＝； ＋＝2(｜z1｜2＋｜z2｜2). (3)复数z的方程或不等式在复平面上表示的图形 ①表示复数，对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式． ②表示以对应的点为圆心，为半径的圆． ③a≤≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界. （4）涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． 【题型1 复数的概念与分类】 1．（25-26高一下·陕西宝鸡·期中）是虚数单位，，则是为实数的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既非充分也非必要 2．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（   ） A． B．3 C． D．1 3．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（    ） A． B．0 C．1 D．6 4．（25-26高一下·山西忻州·期中）已知复数z满足，，且z的虚部为正，则的虚部为（     ） A． B． C．4 D．5 5．（25-26高三上·北京海淀·期末）复数的共轭复数为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【题型2 复数的几何意义】 1．（25-26高一下·四川乐山·阶段检测）已知复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）（多选题）下列使得复数对应的点在第三象限的的值为（    ） A． B． C．0 D．1 3．（25-26高三下·云南昆明·期中）在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高一下·广东广州·期末）已知向量对应的复数为，将绕点O按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是（    ）． A． B． C． D． 【题型3 复数的四则运算综合】 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 4．（2026·湖北·三模）已知复数z满足，则（ ） A．i B． C． D． 5．（2026·上海·模拟预测）若复数与在复平面上分别对应点与，则“”是“”的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【题型4 复数的高次方运算】 1．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）复数在复平面内对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）复数（其中i为虚数单位），则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）复数的虚部为（    ） A． B． C．32 D． 4．（25-26高二下·河北承德·阶段检测）已知为虚数单位，复数，则复数的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·上海·期中）计算：__________. 【题型5 复数范围内解方程】 1．（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）已知是关于x的方程的一个根，则（    ） A．2 B．0 C． D． 2．（2026·湖南·三模）在复数范围内，方程的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆北碚·模拟预测）复数是关于x的方程的根，则 （   ） A． B．0 C． D．2 【题型6 复数的模长及应用】 1．（25-26高一下·四川乐山·阶段检测）（ ） A． B． C．5 D．25 2．（2026·山东烟台·模拟预测）若复数满足，则（    ） A． B．2 C． D．3 3．（25-26高一下·贵州·期中）如图，在复平面内，已知复数，，，对应的向量分别是，，，是虚数单位，已知,则（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·江苏·期中）（多选题）已知复数和，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B． C． D． 【题型7 与复数模有关的轨迹最值问题】 1．（25-26高一下·陕西榆林·期中）若复数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）已知复数z满足，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 3．（2026·安徽·模拟预测）已知，，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26高一下·河北唐山·期中）复数在复平面内对应的点为，若，则点的集合对应的图形的面积为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·上海·期中）已知为虚数单位，若复数和复数满足，，的最大值为______． 6．（25-26高三下·上海·期中）已知复数，复数满足，则的最大值为____________． 1．（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·安徽·期中）若复数，满足，则（   ） A．-1 B．1 C． D． 3．（25-26高一下·重庆·期中）已知复数（为实数），且，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（25-26高一下·河北石家庄·期中）（多选题）已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（   ） A． B．的虚部为 C． D．复数满足，则的最大值为6 5．（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）已知复数，在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为________． 6．（25-26高一下·上海奉贤·期中）已知，，且，则________． 1．（25-26高一下·山东青岛·期末）在复平面中，为坐标原点，，，Z所对应的复数分别为，，，且，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·山东青岛·期末）在复平面内，复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上，则实数（    ） A． B． C．或2 D．或2 3．（25-26高一下·陕西榆林·期中）已知复数满足，则在复平面内对应的点形成的轨迹为（    ） A．一条直线 B．一条线段 C．一个圆 D．一段圆弧 4．（25-26高一下·广西来宾·阶段检测）已知复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，且在复平面内对应的点位于第一象限，则在复平面内对应的点不可能位于第_________象限. 5．（2026·上海虹口·三模）已知和是复平面上的两个动点，它们所对应的复数分别为和，若，，则随着的运动，动点所形成的平面图形的面积为_____________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $